xác định số hạng tổng quát của dãy số

1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Câu a) Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 u1 16   15  n.un  1 un 1  14  , n 1  u n 1 b) Cho dãy số  n  có  Tìm số hạng tổng quát un Hướng dẫn giải a) Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d cơng sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a  d , a, a  d  a  d  a  a  d 9  2  a  d   a   a  d  125 Theo giả thiết ta có hệ:  3a 9  2 3a  2d 125  a 3   d 7 Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 u1 16   15  n.un  1 , n 1 un 1  14  un   n 1 b)Cho dãy số có  Tìm số hạng tổng quát un 15  n.un 1 un 1  14    un1  14   n  1 15  n.un  1 n 1 Ta có:   n  1 un 1 15nun  14n  Đặt (1) nun   v1 16  v 15vn  14n   1   n  1 15   n  (1) trở thành: n 1 (2) w vn  n   w1 15  Đặt n n w 15wn   w n  (2) trở thành: n 1 csn có w1 15, q 15  w n 15 15n  n un  n Từ ta có: 1.7 CÁC DẠNG KHÁC u Câu Cho dãy số  n  xác định : u1 1; u2 4; un 2 7un 1  un  2, n   * Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có u1 1; u2 4; u3 25 Đặt un vn  18 123 v1  ; v2  ; v3  5 Khi un 2 7un 1  un  2, n   *  2 7vn1  , n   *  2  2  7  1    5  2      2, n   * 5  2 2 Ta có : 2  1 (7vn 1  ).vn  1 vn 1 (7vn  1 )  vn 1vn   vn 2  vn21 vn 1vn   vn2  v3v1  v22  ; n   * Suy : 2  2  2   un 2    un     un 1    5  5  5 Suy :   4   un 2un   un 2  un     un21  un 1    25  25   un 2un   7un 1    un21  un 1   u u u  2u  (u  1) ; n   * n 2 n n 1 n 1 n 1 5 Từ hệ thức un 2un (un 1  1) ; n   * u1 ; u2 số phương suy un số phương với n nguyên dương   a  x Câu Cho dãy số n n 1 tăng, an  n 1, 2,3,   Xét dãy số n n1 xác định n a a xn  i 1  i lim xn i 1 1ai Chứng minh tồn n  Hướng dẫn giải  x Dễ dàng thấy dãy n n1 tăng ngặt Trường hợp Nếu   1  1 1         xn     1 1ai ai 1ai ai 1 a1 dãy  xn  n1 lim xn bị chặn tồn n  Trường hợp Nếu    1   1         *  *   ai11  1    ai1  ai 1ai   ai 1    1 ai1  ai   1  ** 1  Ta chứng minh (**)  f x x a ;a Xét hàm số   Trên đoạn  i i 1  rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí c   ; 1  Lagrăng nên tồn số thoả mãn     a a a a a  a f '  c   i 1 i   c   i 1 i   ai11  i 1 i 1  ai 1  ai 1  đpcm  Từ ta có  xn     lim xn xn  n1   a1 dãy bị chặn tồn n  MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN Câu Tính: Lim x x   2011x  2009 x Hướng dẫn giải x    2011( x  1) x2   lim lim[  2011] x x  ( x  1)( x   2) x x 1 4021 lim(  2011)  x x 3    a1  n 1, n    2  a  n   an n an1   n  1 an an1 Câu Cho dãy số  n  thỏa mãn:  Tìm lim an Hướng dẫn giải  n  2  n2  n 1   * a  0,  n   a a n n  n Dễ thấy Từ giả thiết ta có 1 yn   * an ta có y1 1 Với n   , đặt  n  2 1 1 n2  2 y   n y   n   n  y  n y  y  y     n 1 n n 1  n 1   n  n 4 4    n  2 2 2 4n  n  1  n  1  n     yn  y   an       2  n 1   n     16  n  n  1  n  1 n Do Vậy lim an 4 a x1  0, xn  (3 xn   ), n 2,3, x xn  Câu Cho dãy số  n  thỏa mãn Hướng dẫn giải a xn  ( xn   xn   xn   )  a xn  Ta có với n 2 Do dãy  xn  bị chặn xn a     1 Với n 3 , ta có xn  4 xn  4  xn  xn –1 x Do  n  dãy giảm lim xn  a xn   Từ suy dãy có giới hạn dễ dàng tìm  x1 3   xn 1 3  , n 1, 2,3,  xn   y xn  Câu Cho dãy số thực : Xét dãy số  n  cho : (3  5) n yn  n ; n 1, 2,3, y x1.x2 x3 xn Chứng minh dãy số  n  có giới hạn hữu hạn tính giớn hạn Hướng dẫn giải  xn xn 1 3 xn  ; n 1, 2,3, xn xn 1 3   Ta có :  Đặt : zn  x1.x2 x3 xn ta có zn 2 x1.x2 x3 xn xn 1.xn 2  zn xn 1.xn 2  zn (3xn 1  1) 3 zn xn 1  zn 3 zn 1  zn  z1  x1 3    z2  x1.x2 3 8   z 3 zn 1  zn ; n 1, 2,3, z Khi :  n 2 Suy  n  dãy truy hồi tuyến tính cấp 3 t  3t  0  t  Xét phương trình đặc trưng : n  3   3  zn            Dãy có số hạng tổng quát dạng     3         3  5        10    3      5        8  2     10 :   Lúc này, ta có n n  3    n  (3  5)  yn  n   x1.x2 x3 xn zn  3   lim yn  n   3   lim     3  Suy :  Vậy : yn  n  3       n n n  3   3  5            3  1 5    53 10 5 n   un n   lim n3un ? u n un  un2  Câu Cho dãy số  n  xác định bởi: u0 1 , Tìm n   Hướng dẫn giải un u un 1  n  n  * un 1  n   v n un  un  n un n Từ giả thiết ta có nên  n  xác định un 1  n  uk lim c có giới hạn hữu hạn, giả sử n   ( c hữu hạn) un 1 n  un  n   un 1  n   n un  un  un Cũng từ ta có un 1 k 0  1  n  un n   un 1 un 1  02  u0 u1 u0 Do 1  12  u1 u2 u1 … 1  (n  1)  un  un un  1 (n  1)n(2n  1) n      uk k 0 Cộng theo vế ta : un u0 (n  1)n(2n  1)      n un 6n3 n3  0 lim c Mà n  n ( n   ) nên (n  1)n(2n  1)  lim  lim  n3un 3 n   n u n   6n3 hay nlim   n lim x1 1, xn 1 1  , n 1 x  xn Chứng minh dãy  n  có x Câu Cho dãy số  n  xác định : giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải 4 x2 1  3; x3 1  2  x1 ; x4 1   x2 Ta có f ( x ) 1   x liên tục nghịch biến [0,+),  f ( x) 5 Hàm số xn 1 1   f ( xn ), n  x n Ta có  ( xn ) bị chặn x1  x3  f ( x1 )  f ( x3 )  x2  x4  f ( x2 )  f ( x4 )  x3  x5  suy dãy ( x2 n 1 ) tăng dãy ( x2 n ) giảm suy ( x2 n 1 ),( x2 n ) dãy hội tụ Giả sử lim x2 n a;lim x2 n 1 b ( a, b 1) Từ x2 n 1  f ( x2 n )  lim x2 n 1 lim f ( x2 n )  b  f (a ) Từ x2 n 2  f ( x2 n 1 )  lim x2 n 2 lim f ( x2 n 1 )  a  f (b)  b 1   a  a b  2   a 1  1 b Giải hệ phương trình  Vậy lim xn 2 3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP Câu 10 Cho dãy số  bn   u1     un 1   un  un    4n xác định bởi:     Chứng minh dãy số hội tụ tìm lim un x  Hướng dẫn giải  cot n 1 ; n   (*) n 2 Ta chứng minh  u1  cot 11  2 Thật vậy: n 1 :  (*) với n 1 un   u  cot k k k 2 1 Giả sử (*) tới n k , k   , nghĩa có : 1 uk 1   uk  uk  k 2 Ta chứng minh (*) với n= k+1 Thật  1         k cot k 1  k cot k 1  k   k 1  cot k 1  cot k 1   2 2 4   2        k 1  cot k 1      sin k 1   0; sin  k 1   ( k   )   cos k 1  cos k 2 1  2  k 1  k 1  k 1 cot k 2  2 2sin  cos  2 sin k 1 2 k 2 k 2  (*) với n k   un  n cot n 1 ; n   2 Vậy *           cos 2n 1    2n 1  lim un lim  n  lim  cos n 1  x  x        x     2n 1   2n 1  lim un  x   Vậy dãy hội tụ có n Câu 11 Cho phương trình: x  x  x  0 với n ¿ N, n  1) Chứng minh với số ngun n  , phương trình có nghiệm dương xn U n n  xn  1 n 2,3, 4, , Tìm limU n ? Hướng dẫn giải n f x  x − x −x−1=0 Xét phương trình:   , với n nguyên, n  (1) n f ’  x  nx – x –1 f’ x 0 f x +) Ta có: Do n  , nên x    Vậy   hàm 2) Xét dãy số sau đây: số đồng biến ( 1;+∞ ) f   f   2n –  Lại có:   ; ( n nguyên n  ⇒ n ¿ 3) f f 0 f x f x 0 Ta có:       liên tục, đồng biến nên phương trình   có nghiệm ( 1;+∞ ) n f x 0 +) Mặt khác với  x  x  x ( n  ) suy   với  x  Như ta chứng minh (1) có nghiệm dương với n nguyên, n  n Gọi xn nghiệm dương phương trình x – x – x –1 0 Bây xét dãy Un  n x −1 với U n  ( n ) , n 3, 4,5, n n x = x x − x −x −1=0 n n n n n + x n +1 Ta có: hay √ Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: n x 2n + x n +1+1+ +1 ⏟ x n= √ x 2n + x n +1= n ( x2n +x n +1 ) 1 ⏟ √ (Chú ý  xn nên n so n−1 sô < x n + x n +1≠1 n (2) , bất đẳng thức khơng có dấu bằng) 1< x n