Thông tin tài liệu
1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT u Tìm số hạng tổng quát dãy số n biết Bài u1 u2 673 un 2 2( n 2) un 1 (n 4n 5n 2)un n , n 1 n 3 Hướng dẫn giải 2(n 2) un 1 ( n 4n 5n 2)un un n 3 Vì nên ta có: ( n 3)un 2 2(n 2) un 1 (n 2)(n 1) un n 3 un 2 2(n 2)un 1 (n 1) un n2 n 3 un 2 (n 3)un 1 (n 1)un 1 (n 1) un n2 Đặt un n !vn , n , n 1 thu (n 3)vn 2 (n 3)vn 1 (n 1)vn 1 (n 1)vn (n 3)(vn 2 1 ) (n 1)(vn 1 ) Đặt wn vn , n , n 2 thu ( n 1) wn (n 1) wn (n 1)nwn n(n 1) wn Do (n 1)nwn n(n 1) wn (n 1)(n 2) wn 3.2.w2 6(v2 v1 ) 2016 Như wn 2016 1 2016 n(n 1) n n , n , n 2 Từ đó, với n , n 1 , ta có n 1 v1 2016 2016 n 1 n 1 4033n 4031 2(n 1) Vậy un n ! 4033n 4031 , n , n 1 2(n 1) 3 n4 * u1 1; u n 1 un , n N 2 n 3n Bài xác định Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số theo n Hướng dẫn giải 3 n4 u n 1 un 2 n 3n nên Vì n4 1,5n u n 1 3un n 3n n 1 n u Cho dãy số n 1,5 1,5 n2 n 1 1,5 1,5 u n 1 3un n2 n 1 1,5 1,5 u n 1 un n2 2 n 1 u n 1 3un 2 Đặt un Lại có: 1,5 1 n , ta có: v1 u1 1,5 3 2 là: n 1,5 un vn n 1 n Từ đẳng thức ta có cơng thức tổng qt dãy Từ ta có cơng thức tổng qt dãy un là: n 1 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ u Cho cấp số cộng n với n số nguyên dương thoã mãn u2013 2013; u2014 2014 1 S u1u2 u2u3 u2013u2014 Tính tổng: Bài Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng un un n Khi 1 1 1 S u1u2 u2u3 u2013u2014 1.2 2.3 2013 2014 1 1 1 1006 503 3 2013 2014 2014 1007 Bài Cho dãy số thực xn xác định x0 a n xn 1 2 xn Tìm tất giá trị a để xn với số tự nhiên n Hướng dẫn giải x Giả sử n với n xn 1 x x n 1 Từ n 2 có 2 2 xn2 xn xn , n 2 Lại từ có xn xn 1, n Suy 1 1 xn 1 xn2 2 xn2 2 xn xn xn , n 2 2 2 Từ Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: a n n 1 2 1 2 2 x0 x1 x2 xn , n 2 3 2 3 3 n 1 2 lim 0 a 0 a n 2 Mà nên phải có 1 a xn 0, n Thử lại với Vậy a giá trị cần tìm x0 20; x1 30 x 3 xn 1 xn , n xác định n 2 x Bài Cho dãy số n Tìm n để xn 1.xn số phương Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi xn ta có 3x x n , x n21 x n2 3xn 1 xn x n21 xn x n 3xn 1 x n21 xn 2 xn x n21 x n2 3xn 1 xn xn 1 x n1 n n x n2 xn 1 xn Suy x n21 xn 2 xn x n2 xn 1 xn x12 x0 x2 500 x n21 x n2 xn 1 xn 500 x n21 x n2 3 xn 1 xn 500 x n1 x n xn1 xn 500 Vậy xn 1 xn 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn 1 xn 500 số phương 2 Đặt xn 1 xn 500 b , xn 1 xn a , a, b , a b a b 501 a b a b 1.501 3.167 Ta có Khi ta tìm a = 201, b=1 xn 1 xn 12600 n 2 xn 1 xn 7224 n Với a = 85, b =82 Vậy n = xn 1.xn số phương Bài Cho dãy số un u1 1, u2 2, u3 40 10un2 1.un 24un 1.un2 u n 4,5, 6, n un un xác định Tìm số n nhỏ để un chia hết cho 2048 Hướng dẫn giải un 10un 1.un 24.un2 10un 24un u n un un un un , đặt un , Từ cơng thức truy hồi cuả dãy un v2 2, v3 20 v 10vn 24vn dãy ( ) xác định n , n 4,5, n n Phương trình đặc trưng : x 10 x 24 0 , từ suy : 6 un vn 1.vn v2 2 ( n 1) n (3n 2n ).(3n 2n ) (3 2) n n n n Do (3 ).(3 ) (3 2) số số lẻ nên un 2048 n(n 1) 11 n 6 Vậy n 6 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện toán ( n 1) n 2048 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài xn Cho dãy số xác định x1 2,1 xn xn2 xn x * , n 1, 2, n 1 n yn i 1 xi Với số nguyên dương n, đặt Tìm lim yn Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a bất kì, ta có a 2 a 8a 2 a 2 a 4a a a 2 a Do 2,1 x1 x2 xn dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn lim xn L Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x x 2 x 8x 2 x x x phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy xn tăng không bị chặn nên lim xn Ta có xn 1 xn x n xn 2 xn 1 xn xn xn 2 xn 1 xn xn xn xn xn 3 xn xn 2 xn 1 Suy x i 1 xn 1 i xn xn n yn xn xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 x1 xn 1 10 xn 1 Vậy lim yn 10 x1 1, x n xn 1 xn n 1 n xác định sau x Cho dãy số n x Chứng minh n có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Bài Hướng dẫn giải x Dễ thấy n , với n nguyên dương, nên dãy số cho dãy tăng thực Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta cần chứng minh bị chặn * Ta chứng minh xn 8, n Thật vậy, với n 1 x1 1 nên điều cần chứng minh Giả sử ta có: xn , với n nguyên dương Ta cần chứng minh xn 1 n xn 1 x1 n xk 2.2 2 k k 1 k k 1 Theo công thức xác định dãy số có: Do xn với n nguyên dương từ suy điều phải chứng minh a1 ; a2 10 a an an , n , n 2 n xác định a Cho dãy số thực n a Chứng minh dãy n có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn Hướng dẫn giải a , a 0;1 a , a , , ak 0;1 , k , k 2 Có , giả sử Từ cơng thức truy hồi ta có: 1 a a 1 ak 1 k k 1, ak 1 0;1 2 6 ak , ak 1 Bài a 0;1 , n * Vậy phương pháp quy nạp ta chứng minh n y1 y2 10 x1 x2 yn : xn : 2 x x y yn yn n n x n 1 n 1 với n ; n 2 Xét hai dãy số x1 x2 x3 Có , giả sử ta có x1 x2 xk 1, k , k 3 , x2 x2 x x xk k k k k xk 1 6 x Vậy phương pháp quy nạp ta chứng minh n dãy số tăng bị chặn 1, nên có giới hạn hữu hạn lim xn 2 Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm x 0;1 nên suy 1 Do n y Chứng minh tương tự dãy số n , ta có lim yn 1 * Cuối ta chứng minh xn an yn , n (1) phương pháp quy nạp: Ta có x1 a1 y1 a2 x2 y2 , với n = 1, bất đẳng thức (1) Giả sử (1) tới k , k 2 , tức xi ai yi , i 1, 2, , k Khi xk xk2 1 ak ak2 1 yk yk2 xk 1 ak 1 yk 1 6 Từ xn an yn , n , n 1 áp dụng định lý kẹp ta suy lim an 1 Bài a) xn xác định x1 2016, xn1 xn2 x Chứng minh n tăng lim xn Cho dãy số xn 1, n 1, 2,3, 1 1 yn 2016 xn x1 x2 b) Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn Hướng dẫn giải 2 x x xn xn xn 1 0 xn 1 xn , n 1 x a) Ta có n 1 n Do n tăng Ta chứng minh quy nạp theo n xn n 1, n 1 (1) Thật vậy, (1) với n 1 Giả sử (1) với n ( n 1) xn 1 xn xn 1 n n 1 n n n xn tăng ngặt xn n 1, n 1 suy lim xn 1 1 x xn xn 1 x xn xn 1 xn xn b) Ta có n 1 Suy n 1 1 x xn xn 1 Từ n Vậy (1) với n Từ 1 1 yn 2016 2016 2016 xn x1 x2 x1 xn 1 2015 xn 1 2016 lim xn lim 0 lim yn xn 2015 Từ Vậy Bài Cho dãy số thực xn x1 2007 x xn n 1 n1 xn2 xác định bởi: Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn xn xn 1 1 3 2 xn xn n 1 Ta có: = Vậy xn 2007 với n nên dãy bị chặn f x Xét Ta có: x x2 f x x x ( x2 3x ) 2( x x2 x 3x ( L) f x x x2 (x x 1 3) f x 2 x x2 x2 x) 0 3x 3 15 a Áp dụng định lý Lagrang có: x n xn 1 a f ( xn ) f (a ) f '( n ) xn a xn a 0 x1 a n 2 2 2 Do lim xn a 15 u1 e un21 lim n u u u u u un2 2, n * n Bài Cho dãy số n xác định bởi: n 1 Tìm Hướng dẫn giải u1 a , a > u e a Vì nên đặt 1 u2 u a a a a Ta có 1 n Bằng quy nạp, ta chứng minh Xét n un 1 a a2 n , n 1 n 1 n 2i 1 2n a a a 2i a a 2n a a i 1 a a a i ui a 2i a i 1 i 1 1 n a a 2n 2 un 1 un21 1 1 a a 2 lim 2 a a e n u u u u1 u2 un a a n 2 n a 2n a a ; bn xác định Cho hai dãy số n a1 3, b1 2 , an 1 an2 2bn2 bn 1 2anbn với n = 1, 2, 3,… lim 2n bn lim 2n a1a2 an n n Tìm Hướng dẫn giải Với n = 1,2,3,… ta có Bài an 1 bn 1 an2 2bn2 2anbn an bn Do đó: a b 1 an bn an bn Tương tự ta có: 1 an 2 Từ đó: 2n n ta có: 21 2n ; bn an n a1 b1 bn 2 n n lim n lim bn lim an n n 2n Chú ý: 2n 1 1 n 22 2n 3 2 2n 1 2n 2n an bn n n 1 1 2n 21 2n 2n 1 , nên theo nguyên lí kẹp Mặt khác: bn 1 2anbn hay lim 2n n Bài a1a2 an = an lim 2n bn 1 n bn 1 b b b b a1a2 an n 1 n n1 (n 1) 2bn 2b1 2b2 2bn Do Suy ra: 2 3 2 (vì lim 2n n 1 2n ) x Cho trước số thực dương xét dãy số dương n thỏa mãn 1 xn 1 1 * xn với n Chứng minh dãy xn hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) x , x x Xét hàm số Ta có f ( x) x x 1 1 1 2 x x ; f ( x) 0 x x0 Ta có bảng biến thiên hàm f x x : x0 + f'(x) +∞ +∞ +∞ f(x) f(x0) Suy Do f ( x ) f x0 xn1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 xn1 xn xn 1 x x Suy xn 1 xn hay n dãy giảm Kết hợp với xn với n ta suy dãy n hội tụ 1 ( 1) x0 Đặt lim xn Chuyển qua giới hạn ta Vậy lim xn 1 u1 , u2 (0;1) 43 un 2 un 1 un , n 1 thỏa mãn u Cho dãy số thực n Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải x1 min u1 , u2 ( xn ) : xn 1 xn xn 5 Xét dãy Bài Ta thấy xn (0;1) xn3 xn xn xn xn 133 43 xn 1 xn xn xn xn 5 Ta có Vậy dãy xn tăng, bị chặn nên hội tụ, lim xn a (0 a 1) a a a a 1 Chuyển qua giới hạn ta được: Ta chứng minh xn u2 n ; u2 n (*) quy nạp theo n Ta có x1 u1 ; u2 Giả sử xn u2 n ; u2 n 4 xn 1 xn3 xn u23n u2 n u2 n 1 5 5 Suy 4 xn 1 xn3 xn xn31 xn u23n 1 u2 n u2 n 2 5 5 5 Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy lim un 1 a0 1; a1 1; an 1 Bài 10 Cho dãy số xác định a1a2 an n 1, 2,3, a n n k 1 ak 1a k Sn ak 1a k Ta có lim S n x Chứng minh tồn n ( phần nguyên x ) Hướng dẫn giải a 1 1 k 1 a a a ak 1 k a1a2 ak 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 ak 1 2 Đặt n 1 1 S n a1a2 ak 1 a1 a1a2 an 1 k 1 a1a2 ak Suy lim a1a2 an 1 Chứng minh n Ta có : an n 2 n n an 1 an suy dãy cho tăng Như an an a1 n Vậy lim S n lim a1a2 an 1 n Bài 11 n a1 , suy u ; xác định sau Cho dãy số n u1 3, v1 2 2 n N un 1 un 2vn v 2u v n n n 1 lim 2n x lim 2n u1.u2 un x Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải un 1 2.vn 1 un2 2vn2 2.un un 2.vn n N Ta có: : Áp dụng (1) ta suy ra: Theo quy nạp ta có: un 2.vn un 2.vn un 2.vn u1 2.v1 Lập luận tương tự ta có: un 2.vn n 32 21 2n Tương tự ta có : 2 1 (2) (3) n 2n n 1 2n 2n 1 u n 2 n n v n 2 Từ (2) (3) ta suy ra: 2n 2n 2n 1 un 2 Lại có: , từ suy ra: (1) 21 n 1 2n un 2n 2n n 1 2n Mặt khác ta có: un Do ta có dãy bất đẳng thức sau: 1 1 8 2n 2n 1 lim un lim n n n 1 2un un Hơn theo đề ta có: v v v v v u1.u2 un n 1 nn 1 nn11 2v1 2v2 2vn v1 Suy ra: Vậy lim 2n u1.u2 un lim 2n n n lim 2n 2un lim 2n n 1 n 1 Tóm lại ta có: 2n 2n un n Như theo định lí kẹp ta suy 2n 1 2vn 1 lim 2n 1 lim 2n n 1 n 1 n n 2 n 1 lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n 1 n 1 n n n n 2 1 3 2 lim 2n n lim 2n u1.u2 un 3 2 n an 1 an an n , n 1 an Cho dãy số xác định a1 1 lim an n 0 Chứng minh n Hướng dẫn giải a2 a1 a1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do a1 1 ) Bài 12 Nhận xét: an n, n 2 Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật Với n 2 ta có a2 (đúng) Giả sử ak k Ta có ak 1 ak k k ak2 k k 1 ak ak ak2 k 1 ak k ak 1 ak k (đúng) Suy ak 1 k Như an n, n 2 (điều phải chứng minh) n n an 1 n 1 an n 1 an n an an Mặt khác, an2 n 1 an n an n an 1 an an (1) Áp dụng (1) ta có a2 a2 1 a3 a2 a 3 a3 1 a4 a3 an n an 1 an 1 n 1 an Suy a3 3 a4 an1 n 1 an 1 n 1 a2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 a2 a3 an a2 a2 1 a3 1 an 1 a2 a3 an 1 1 an 1 n 1 a2 1 a2 a3 an n 1 an 1 n 1 a2 i 2 1 Ta lại có n Suy a 1 n 1 an 1 an 1 i 2 an n 1 an an 1 a1 a2 an a1 an a2 a3 an (2) an n an n 1 an 1 (do an ) an 1 n 1 a2 Từ (2) a1 a a2 an n (vì an n ) an 1 n 1 a2 a1 n a1 a 0 lim a2 0 n n Mà n n lim Do lim an 1 n 1 0 n hay lim an n 0 n a x Cho dãy số n tăng , an 0n 1, 2,3, Xét dãy số n xác định n a a xn i 1 i lim xn i 1 1ai Chứng minh tồn n Bài 13 Hướng dẫn giải x Dễ dàng thấy dãy n tăng ngặt Trường hợp Nếu 1 1 1 xn 1 1ai ai 1ai ai 1 a1 xn dãy bị chặn tồn lim xn n Trường hợp Nếu 1 1 * 1ai ai 1 * ai11 1 ai1 ai 1 a a i 1 i 1 ** 1 Ta chứng minh (**) f x x a ;a Xét hàm số Trên đoạn i i 1 Hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn số ai1 ai a a a a c i 1 i ai11 i 1 i 1 ai 1 ai 1 (đpcm) xn lim xn x a1 Từ ta có dãy n bị chặn tồn n f c c ; 1 thoả mãn ... thức ta có cơng thức tổng qt dãy Từ ta có cơng thức tổng qt dãy un là: n 1 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ u Cho cấp số cộng n với n số nguyên dương thoã... xác định Tìm công thức số hạng tổng quát un dãy số theo n Hướng dẫn giải 3 n4 u n 1 un 2 n 3n nên Vì n4 1,5n u n 1 3un n 3n n 1 n u Cho dãy. .. ).(3 ) (3 2) số số lẻ nên un 2048 n(n 1) 11 n 6 Vậy n 6 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện tốn ( n 1) n 2048 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài xn Cho dãy số xác định x1 2,1
Ngày đăng: 22/09/2018, 20:06
Xem thêm:
