xác định số hạng tổng quát của dãy số

1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT u  Tìm số hạng tổng quát dãy số n biết Bài  u1   u2 673  un 2  2( n  2) un 1  (n  4n  5n  2)un  n  , n 1  n 3 Hướng dẫn giải 2(n  2) un 1  ( n  4n  5n  2)un un   n 3 Vì nên ta có: ( n  3)un 2 2(n  2) un 1  (n  2)(n  1) un  n 3 un 2 2(n  2)un 1  (n  1) un n2 n 3 un 2 (n  3)un 1  (n  1)un 1  (n  1) un n2 Đặt un n !vn , n  , n 1 thu  (n  3)vn 2 (n  3)vn 1  (n  1)vn 1  (n  1)vn  (n  3)(vn 2  1 ) (n  1)(vn 1  ) Đặt wn vn   , n  , n 2 thu ( n  1) wn (n  1) wn  (n  1)nwn n(n  1) wn  Do (n  1)nwn n(n  1) wn  (n  1)(n  2) wn   3.2.w2 6(v2  v1 ) 2016 Như wn  2016  1 2016    n(n  1)  n n   , n  , n 2 Từ đó, với n  , n 1 , ta có  n 1  v1 2016    2016 n 1  n 1    4033n  4031 2(n  1) Vậy un n ! 4033n  4031 , n  , n 1 2(n  1) 3 n4  * u1 1; u n 1   un   , n  N 2 n  3n   Bài xác định Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số theo n Hướng dẫn giải 3 n4  u n 1   un   2 n  3n   nên Vì n4  1,5n  u n 1  3un   n  3n   n  1  n   u  Cho dãy số n 1,5 1,5  n2 n 1 1,5 1,5  u n 1  3un  n2 n 1 1,5   1,5     u n 1     un   n2 2 n 1    u n 1  3un 2 Đặt un  Lại có: 1,5 1  n  , ta có: v1 u1  1,5   3    2 là: n 1,5   un vn    n 1   n Từ đẳng thức ta có cơng thức tổng qt dãy Từ ta có cơng thức tổng qt dãy  un  là:     n  1 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ u  Cho cấp số cộng n với n số nguyên dương thoã mãn u2013 2013; u2014 2014 1 S    u1u2 u2u3 u2013u2014 Tính tổng: Bài Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng  un  un n Khi 1 1 1 S       u1u2 u2u3 u2013u2014 1.2 2.3 2013  2014 1 1 1 1006 503          3 2013 2014 2014 1007 Bài Cho dãy số thực  xn  xác định  x0 a  n     xn 1 2 xn  Tìm tất giá trị a để xn  với số tự nhiên n Hướng dẫn giải x  Giả sử n với n     xn 1  x  x   n 1 Từ n 2 có 2  2  xn2     xn     xn   , n   2 Lại từ có xn   xn   1, n   Suy 1 1 xn 1   xn2   2 xn2  2 xn  xn   xn  , n   2 2 2 Từ  Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: a n n 1  2 1  2  2  x0   x1     x2      xn     , n   2  3 2  3  3 n 1  2 lim   0 a  0  a  n  2   Mà nên phải có 1 a  xn   0, n Thử lại với Vậy a  giá trị cần tìm  x0 20; x1 30  x 3 xn 1  xn , n   xác định  n 2 x  Bài Cho dãy số n Tìm n để xn 1.xn  số phương Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi xn ta có   3x   x  n  , x n21  x n2  3xn 1 xn  x n21  xn x n  3xn 1  x n21  xn 2 xn  x n21  x n2  3xn 1 xn  xn 1 x n1 n n  x n2  xn 1 xn  Suy x n21  xn 2 xn  x n2  xn 1 xn   x12  x0 x2  500  x n21  x n2  xn 1 xn  500  x n21  x n2 3 xn 1 xn  500   x n1  x n   xn1 xn  500 Vậy xn 1 xn  500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn 1 xn  500 số phương 2 Đặt xn 1 xn  500 b , xn 1 xn  a , a, b  , a  b a  b 501   a  b   a  b  1.501 3.167 Ta có Khi ta tìm a = 201, b=1 xn 1 xn 12600  n 2 xn 1 xn  7224  n Với a = 85, b =82 Vậy n = xn 1.xn  số phương Bài Cho dãy số  un  u1  1, u2 2, u3 40  10un2 1.un   24un  1.un2  u  n 4,5, 6,  n un  un   xác định Tìm số n nhỏ để un chia hết cho 2048 Hướng dẫn giải un 10un  1.un   24.un2 10un  24un  u     n un  un  un  un  , đặt un  , Từ cơng thức truy hồi cuả dãy un  v2 2, v3 20  v 10vn   24vn  dãy ( ) xác định  n , n 4,5, n n Phương trình đặc trưng : x  10 x  24 0 , từ suy : 6  un vn  1.vn  v2 2 ( n  1) n (3n   2n  ).(3n   2n  ) (3  2) n n n n Do (3  ).(3  ) (3  2) số số lẻ nên un 2048  n(n  1)  11  n 6 Vậy n 6 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện toán ( n  1) n 2048 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài  xn  Cho dãy số xác định  x1 2,1   xn   xn2  xn  x   * , n 1, 2,  n 1  n yn  i 1 xi  Với số nguyên dương n, đặt Tìm lim yn Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a  bất kì, ta có a 2 a  8a   2 a 2 a  4a   a    a  2 a Do 2,1  x1  x2    xn  dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn lim xn  L  Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x x 2 x  8x  2  x   x    x   phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy  xn  tăng không bị chặn nên lim xn  Ta có xn 1  xn   x n  xn  2  xn 1  xn   xn  xn  2   xn 1  xn    xn  xn   xn    xn  3  xn      xn  2 xn 1  Suy x i 1 xn 1   i  xn   xn    n yn  xn   xn 1   xn 1   xn 1  xn 1  x1   xn 1  10  xn 1  Vậy lim yn 10  x1 1,  x  n  xn 1  xn  n 1 n xác định sau  x  Cho dãy số n x  Chứng minh n có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Bài Hướng dẫn giải x  Dễ thấy n , với n nguyên dương, nên dãy số cho dãy tăng thực Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta cần chứng minh bị chặn * Ta chứng minh xn  8, n   Thật vậy, với n 1  x1 1  nên điều cần chứng minh Giả sử ta có: xn  , với n nguyên dương Ta cần chứng minh xn 1  n xn 1  x1   n xk     2.2   2 k k 1 k k 1 Theo công thức xác định dãy số có: Do xn  với n nguyên dương từ suy điều phải chứng minh   a1  ; a2 10   a   an  an  , n  , n 2 n xác định  a  Cho dãy số thực n a  Chứng minh dãy n có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn Hướng dẫn giải a , a   0;1 a , a , , ak   0;1 , k  , k 2 Có , giả sử Từ cơng thức truy hồi ta có: 1 a a 1   ak 1   k  k     1,  ak 1   0;1 2 6 ak  , ak 1 Bài a   0;1 , n  * Vậy phương pháp quy nạp ta chứng minh n    y1  y2 10  x1  x2   yn  :   xn  :  2 x x  y   yn  yn  n n  x     n 1  n 1 với n  ; n 2 Xét hai dãy số  x1  x2   x3  Có , giả sử ta có  x1  x2   xk  1, k  , k 3 , x2 x2 x x xk   k   k    k  k   xk 1 6 x  Vậy phương pháp quy nạp ta chứng minh n dãy số tăng bị chặn 1, nên có giới hạn hữu hạn lim xn     2          Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm  x    0;1 nên suy  1 Do n y  Chứng minh tương tự dãy số n , ta có lim yn 1 * Cuối ta chứng minh xn an  yn , n   (1) phương pháp quy nạp: Ta có x1 a1  y1 a2  x2  y2 , với n = 1, bất đẳng thức (1) Giả sử (1) tới k  , k 2 , tức xi ai  yi , i 1, 2, , k Khi xk xk2 1 ak ak2 1 yk yk2 xk 1    ak 1        yk 1 6 Từ xn an  yn , n  , n 1 áp dụng định lý kẹp ta suy lim an 1 Bài a)  xn  xác định x1 2016, xn1 xn2  x  Chứng minh n tăng lim xn  Cho dãy số xn  1, n 1, 2,3, 1 1 yn 2016      xn   x1 x2 b) Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn Hướng dẫn giải 2 x  x  xn  xn   xn  1 0  xn 1  xn , n 1 x  a) Ta có n 1 n Do n tăng Ta chứng minh quy nạp theo n xn  n  1, n 1 (1) Thật vậy, (1) với n 1 Giả sử (1) với n ( n  1) xn 1  xn  xn  1   n  n  1  n  n   n   xn  tăng ngặt xn  n  1, n 1 suy lim xn  1 1    x   xn  xn  1 x  xn  xn  1 xn  xn b) Ta có n 1 Suy n 1 1   x xn  xn 1  Từ n Vậy (1) với n Từ 1   1    yn 2016      2016     2016   xn   x1 x2  x1  xn 1    2015 xn 1   2016 lim xn   lim 0 lim yn  xn 2015 Từ Vậy Bài Cho dãy số thực  xn   x1 2007   x   xn n 1  n1 xn2   xác định bởi: Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn  xn xn 1    1  3 2 xn  xn  n 1 Ta có: = Vậy xn 2007 với n nên dãy bị chặn f  x   Xét Ta có: x x2  f  x  x  x    ( x2  3x )  2( x   x2    x  3x  ( L)  f  x   x x2   (x  x  1 3)   f  x   2 x  x2 x2  x)  0 3x 3  15 a Áp dụng định lý Lagrang có: x n   xn 1  a  f ( xn )  f (a )  f '( n ) xn  a  xn  a     0  x1  a  n  2 2 2 Do lim xn a   15 u1 e un21 lim  n   u u u u  u un2  2, n  * n Bài Cho dãy số n xác định bởi:  n 1 Tìm Hướng dẫn giải u1 a  , a > u  e  a Vì nên đặt 1  u2 u   a    a  a a  Ta có 1 n Bằng quy nạp, ta chứng minh Xét n un 1 a  a2 n , n   1 n 1    n  2i 1     2n     a  a      a  2i    a    a  2n    a   a  i 1  a  a   a     i ui  a  2i  a i 1 i 1  1  n   a    a  2n  2  un 1 un21 1  1 a    a   2   lim 2  a    a    e  n   u u u u1 u2 un a  a n    2 n  a  2n  a    a  ;  bn  xác định Cho hai dãy số n a1 3, b1 2 , an 1 an2  2bn2 bn 1 2anbn với n = 1, 2, 3,… lim 2n bn lim 2n a1a2 an n   n Tìm   Hướng dẫn giải Với n = 1,2,3,… ta có Bài  an 1  bn 1 an2  2bn2  2anbn  an  bn  Do đó:    a  b   1 an  bn  an   bn  Tương tự ta có: 1 an   2 Từ đó: 2n   n ta có:  21 2n   ;  bn  an   n     a1  b1  bn   2 n n  lim n lim bn lim an   n  n 2n Chú ý: 2n   1 1 n 22  2n    3 2  2n     1 2n 2n an  bn  n  n     1  1 2n  21 2n    2n  1 , nên theo nguyên lí kẹp Mặt khác: bn 1 2anbn hay lim 2n n   Bài a1a2 an = an   lim 2n bn 1  n  bn 1 b b b b a1a2 an  n 1  n n1 (n 1) 2bn 2b1 2b2 2bn Do Suy ra:  2  3  2 (vì lim 2n n  1 2n ) x  Cho trước số thực dương  xét dãy số dương n thỏa mãn     1 xn 1      1  * xn với n   Chứng minh dãy  xn  hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x )  x  , x  x Xét hàm số Ta có f ( x)  x    x 1  1    1 2  x x ; f ( x) 0  x  x0  Ta có bảng biến thiên hàm f  x x : x0 + f'(x) +∞ +∞ +∞ f(x) f(x0) Suy Do f ( x )  f  x0   xn1     1    1 (  1)    1   1     1   1  xn1  xn xn 1 x  x  Suy xn 1  xn hay n dãy giảm Kết hợp với xn  với n ta suy dãy n hội tụ    1   (  1)    x0  Đặt lim xn   Chuyển qua giới hạn ta  Vậy lim xn    1 u1 , u2  (0;1)   43 un 2  un 1  un , n 1 thỏa mãn u  Cho dãy số thực n Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải  x1 min  u1 , u2   ( xn ) :   xn 1  xn  xn 5  Xét dãy Bài Ta thấy xn  (0;1) xn3  xn  xn  xn  xn 133 43 xn 1  xn  xn   xn  xn 5 Ta có Vậy dãy  xn  tăng, bị chặn nên hội tụ, lim xn a (0  a 1) a  a  a  a 1 Chuyển qua giới hạn ta được: Ta chứng minh xn u2 n  ; u2 n  (*) quy nạp theo n Ta có x1 u1 ; u2  Giả sử xn u2 n  ; u2 n  4 xn 1  xn3  xn  u23n  u2 n  u2 n 1  5 5 Suy 4 xn 1  xn3  xn  xn31  xn  u23n 1  u2 n u2 n 2  5 5 5 Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy lim un 1 a0 1; a1  1; an 1  Bài 10 Cho dãy số xác định a1a2 an  n 1, 2,3, a n    n k 1 ak 1a k  Sn  ak 1a  k  Ta có lim S n x Chứng minh tồn n   (   phần nguyên x ) Hướng dẫn giải a 1 1   k 1   a a a ak 1 k a1a2 ak 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 ak 1   2   Đặt   n   1 1 S n      a1a2 ak 1  a1 a1a2 an 1 k 1  a1a2 ak Suy lim  a1a2 an 1   Chứng minh n   Ta có : an  n 2  n   n  an 1  an  suy dãy cho tăng Như an  an     a1  n  Vậy lim S n  lim  a1a2 an 1   n   Bài 11 n   a1 , suy  u  ;   xác định sau Cho dãy số n u1 3, v1 2  2 n  N un 1 un  2vn v 2u v n n  n 1 lim 2n x  lim 2n u1.u2 un x  Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải  un 1  2.vn 1 un2  2vn2  2.un  un  2.vn  n  N Ta có: : Áp dụng (1) ta suy ra: Theo quy nạp ta có:  un  2.vn  un   2.vn   un  2.vn  u1  2.v1 Lập luận tương tự ta có:   un  2.vn    n   32  21  2n       Tương tự ta có :     2     1 (2) (3)   n 2n n     1  2n 2n   1 u      n 2      n n v         n 2   Từ (2) (3) ta suy ra:  2n 2n  2n 1 un         2  Lại có: , từ suy ra:  (1)    21 n       1 2n un   2n  2n  n   1 2n Mặt khác ta có:  un Do ta có dãy bất đẳng thức sau:   1 1    8  2n 2n    1 lim un lim   n  n n  1 2un  un  Hơn theo đề ta có: v v v v v u1.u2 un  n 1  nn 1  nn11 2v1 2v2 2vn v1 Suy ra: Vậy lim 2n u1.u2 un lim 2n n  n  lim 2n 2un lim 2n n  1  n   1 Tóm lại ta có:  2n  2n un   n Như theo định lí kẹp ta suy 2n 1 2vn 1 lim 2n 1 lim 2n n 1 n 1 n   n   2 n 1 lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n 1 n 1 n  n  n  n  2  1 3  2 lim 2n   n  lim 2n u1.u2 un 3  2 n  an 1 an   an  n , n 1 an Cho dãy số xác định  a1 1 lim  an  n  0 Chứng minh n   Hướng dẫn giải a2 a1   a1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do a1 1 ) Bài 12 Nhận xét: an  n, n 2 Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật  Với n 2 ta có a2  (đúng)  Giả sử ak  k  Ta có ak 1 ak  k  k   ak2  k   k  1 ak ak  ak2   k  1 ak  k    ak  1  ak  k   (đúng) Suy ak 1  k  Như an  n, n 2 (điều phải chứng minh) n n an 1   n  1 an    n  1 an  n   an an Mặt khác,  an2   n  1 an  n  an  n   an  1  an an (1) Áp dụng (1) ta có   a2    a2  1  a3   a2    a  3  a3  1  a4   a3      an  n   an  1  an 1   n  1  an  Suy  a3  3  a4    an1   n  1    an 1   n  1   a2    a2  1  a3  3  a3  1  an  n   an  1 a2 a3 an  a2    a2  1  a3  1  an  1 a2 a3 an   1  1  an 1   n  1  a2          1  a2   a3   an  n  1  an 1   n  1  a2       i 2  1 Ta lại có n Suy  a 1  n 1  an 1 an 1   i 2  an  n 1 an an 1  a1 a2 an  a1    an  a2 a3 an (2)  an n an  n  1 an 1 (do an )  an 1   n  1   a2   Từ (2) a1 a   a2   an n (vì an  n )   an 1   n  1   a2   a1 n a1 a 0  lim  a2   0 n  n Mà n   n lim Do lim  an 1   n  1  0 n  hay lim  an  n  0 n  a  x  Cho dãy số n tăng , an  0n 1, 2,3,   Xét dãy số n xác định n a a xn  i 1  i lim xn i 1 1ai Chứng minh tồn n   Bài 13 Hướng dẫn giải x  Dễ dàng thấy dãy n tăng ngặt Trường hợp Nếu   1  1 1         xn    1 1ai ai 1ai ai 1 a1  xn  dãy bị chặn tồn lim xn n   Trường hợp Nếu    1   1         *  1ai   ai 1   *   ai11  1    ai1  ai 1 a   a  i 1 i   1  ** 1  Ta chứng minh (**) f  x   x a ;a Xét hàm số Trên đoạn  i i 1  Hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn số ai1  ai a  a a  a   c   i 1 i   ai11  i 1 i 1  ai 1  ai 1  (đpcm)  xn    lim xn x   a1 Từ ta có dãy n bị chặn tồn n   f  c   c   ; 1  thoả mãn ... thức ta có cơng thức tổng qt dãy Từ ta có cơng thức tổng qt dãy  un  là:     n  1 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ u  Cho cấp số cộng n với n số nguyên dương thoã... xác định Tìm công thức số hạng tổng quát un dãy số theo n Hướng dẫn giải 3 n4  u n 1   un   2 n  3n   nên Vì n4  1,5n  u n 1  3un   n  3n   n  1  n   u  Cho dãy. .. ).(3  ) (3  2) số số lẻ nên un 2048  n(n  1)  11  n 6 Vậy n 6 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện tốn ( n  1) n 2048 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài  xn  Cho dãy số xác định  x1 2,1 