Giải toán xác định số hạng tổng quát của dãy bằng phương pháp sai phân

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VĂN THẠCH GIAI TOÁN XÁC ĐỊNH SO HẠNG TONG QUÁT CỦA DÃY BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh - Năm 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VĂN THẠCH GIAI TOÁN XÁC ĐỊNH SO HẠNG TONG QUÁT CỦA DÃY BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020 Học viên Đăng Văn Thạch Mục lục 1.1.1 Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến Mơt sơ kí hiêu • N: Tập số tự nhiên • N*: Tập số tự nhiên khác • Z: Tập số nguyên • Z': Tập số nguyên dương • R: Tập số thực • A : Ma trận chuyển vị ma trận A T Mở đầu Bài toán xác định số hạng tổng quát dãy số toán thú vị khó, thường xuất chương trình tốn Trung học phổ thơng Đe giải tốn xác định số hạng tổng quát dãy số, người ta thường sử dụng phương pháp truyền thống quy nạp tốn học, sử dụng đạo hàm, tích phân, biến đổi đại số, sử dụng tính chất số phức, Tuy nhiên, câu hỏi thường đặt toán xác định số hạng tổng quát dãy số phương pháp quy nạp là: “Làm biết cơng thức tổng qt dãy số đó?”, “Làm có the sáng tác hệ thống tập hay cho học sinh?” Luận văn cung cấp câu trả lời cho câu hỏi Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu việc giải toán xác định số hạng tổng quát dãy số dãy véc tơ phương pháp sai phân Chúng hệ thống làm rõ số nội dung tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4] Ngoài mục lục, mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương: Chương Trình bày khái niệm số tính chất sai phân, sai phân ngược, tính tổng phương pháp sai phân Chương Trình bày phương pháp giải phương trình hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương Trình bày số dạng tốn tìm số hạng tổng quát dãy số dãy véc tơ Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Đinh Công Hướng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành bảo, hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình thầy suốt trình thực luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020 Học viên Đăng Văn Thạch Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm số tính chất sai phân Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f : R R hàm số cho trước Ta gọi sai phân cấp hàm f đại lượng Af pxq “ f px ' 1q — f pxq Giả sử với n > ta định nghĩa sai phân cấp n — hàm f Khi sai phân cấp n hàm f định nghĩa sau A f (x) “ A (A _1f (x)),n > 1, A0f (x)f (x) n n Định lý 1.1.1 a Sai phân số b Sai phân cấp tốn tử tuyến tính c An(xn'q “ n!, A (x ) “ 0, m > n; m, nP Z m n Chứng minh a Sai phân số Thật vậy, ta có A(C) “ C — C “ b Ta chứng minh sai phân cấp tốn tử tuyến tính phương pháp quy nạp + Thật vậy, @f, g : R —> R, @a, p P R, @XP R, ta có A (af ' pg)(x) “ (af ' pg)(x ' 1) — (af ' pg) (x) “ af (x ' 1) ' Pg (x ' 1) — af (x) — Pg (x) “ [af (x ' 1) — af px)s ' rpg (x ' 1) — g px)s “ a rf (x ' 1) — f px)s ' p [g (x ' 1) — g (x)s “ a A (f q (x) ' pA (g) (x) A(af ' pg) “ aA(fq ' pA (g) Vậy sai phân cấp toán tử tuyến tính +Giả sử A tốn tử tuyến tính Ta cần chứng minh A '1 toán tử tuyến tính n n Thật vậy, @f, g : R R, @a, p P R, @XP R, ta có An'1(af ' Pg) (x) “ A(An(af ' pg) (x)) “ A(aA (f) (x) ' pA (g) (x)) n n (theo giả thiết quy nạp) “ aA(A f (x)) ' pA(A g (x)) n n “ aA +1(f) (x) ' pA"'1 (g) (x) n Do An'1(af ' Pg) “ aAn'1f ' pAn'1 g Vậy sai phân cấp n ' tốn tử tuyến tính Do đó, theo ngun lý quy nạp ta có A tốn tử tuyến tính n c Ta có A(x) “ (x ' 1) — x “ Giả sử A (x ) “ k!, @k < n k k Ta cần chứng minh A '1(x '1) “ (k ' 1)! k k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có Ak r(x ' iqk+1 x +1] k Ak+1(xk+1) “ Ak A (xk+1 q k'1 V1 ci !■' x + k x x / J Ck'1 i“ k fỵk+1 k+1 I y' sỵị Ck'1 x ' 2d i —k+1 x—x Ck'1 k Ck '1X “ Ck'1 A x k i“ i“ i“ “ Ck'1 A 'Áx‘) “ Ck'1 Ak—' (i!) i “C k -i (vì với k — i A (i!) “ 0) xk k'1 (k ' 1)! k!(k ' — k)! (k!) “ (k ' 1)! i“0 i“0 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có An(xn) “ n! Đặc biệt, với m > n ta có Am (x ) “ A - A (x ) n m n n n “ A - (n!) “ m n Vậy A (x ) “ m n Hệ 1.1.1 Từ định nghĩa sai phân Định lý 1.1.1, ta có hệ sau: a A (a.x ) “ a n! n n n b A + (x ) “ n n c Nếu f (x) đa thức bậc n x có dạng f (x) “ a xn ' a x -1 ' a x -2 ' ' a , n n n “ A ao.A E Pm (n) ' A ai.A -1.E -1.Pm (n) ' ' A ak.Pm (n) n k k n k k “ A rao.A E ' ai.Ak — 1.E -1 ' ' akiSPm (n) n k k “ A f(AE).Pm(n) n k n \n _ 1 Xn Tính chất Tính chất f(E)'X".Pm (n) “ fXE)■X"-Pm (n') f (E) f (X) Tính chất n _1 X pkq n —k X “ n X ■ n (E — XIq k k! Chứng minh Tính chất Tính chất suy từ Tính chất Ta chứng minh Tính chất Ta chứng minh phương pháp quy nạp , Với k “ 1, ta có —!—.n.X —1 “ (n ' 1) X — nX “ X (E — XI) n n (E — X) pkq • Giả su' ——-S.X “ n n (E — XI) X npiq.X —1 1! n >n n—k k! k n n Ta chứng minh - -, S Xn = lg (E — XI ) +1 Thật vậy, ta có pk iq ' X n—pk iq ' (k ' 1)! k xn _ xn (E — XI ) ' E — XI' (E — XI) k k pkq n X n—k n—1 E-XI'Id “ X Suy g (n) (E — XI) X g (n) “ X g (n ' 1) — X g (n) n n n “ X Ag (n) n Từ đó, ta suy „,, np q.X— Agy( q(n) “ — -— (k ' 1)! k k npk'! X - q n ' x pk iq -k g n ~(k ' 1)! ■ k! (n) “ k+r Do đó, ta x n yn n (E - XI) '1 pk iq ' x -p 'iq n k (k ' 1)! k Ví du 2.15 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân Xn'2 - 7xn'1 ' 12Xn “ 2020 n Ta có E2 f pEq “ - 7E ' 12 “ (E - 3I) (E - 4Iq Suy 2020 x n n (E - 3I) (E - 4I) —— - 77.2020 x n n (2020 - 3) (2020 - 4) ,„1 „ 2020 n 4066272 x n Ví du 2.16 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân Xn'3 - 10Xn'2 ' 33Xn'l36Xn “ 2020 n Ta có f (Eq “ E3 - 10E2'33E - 36 “PE3Iq2PE-4Iq Suy _ ,^.2020 PE-3I)2PE-4I) —— , n 2020 n (E - 3I)2 (-1) -„1 2020 PE-3I) 2020 20172 n n Chương MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số Ví dụ 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho dạng công thức truy hồi sau x1 “ 2020, x 'i “ 2x ' 2n — 1, @n P N* n n Bài toán quy việc giải phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp với điều kiện ban đầu X1 “ 2020 Ta có số hạng tổng quát dãy x “ X ' x* Vì phương trình đặc trưng A — “ có nghiệm A “ nên ta có X “ c.2 xn n n n n “ an ' b Thay xn “ an ' b vào phương trình sai phân x n'1 “ 2x ' 2n — 1, n n ta a Pn ' 1) ' b “ 2an ' 2b ' 2n — —an ' a — b “ 2n — a“2b Ta xn “ —2n — Suy x “ xn ' xn “ c.2 — 2n — n n 2023 Từ X11 “ 2020 ta c “ —— Vậ y Xn “ 2023.2"''1 — 2n — Ví dụ 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho dạng công thức truy hồi sau x1 “ 2020; ( x 'i “ 2x ' n2 ' n ' 2.2 , @n P N* n n n Bài tốn quy việc giải phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp với điều kiện ban đầu X1 “ 2020 Ta có số hạng tổng quát dãy số x “ X ' xn, xn “ xn ' xn Vì phương trình đặc trưng A — “ có nghiệm A “ nên ta có X “ c.2 Hơn nữa, ta có xn “ an2 ' bn ' c nghiệm riêng phương trình n n n x n'1 “ 2x ' n ' n, n sai phân xX nghiệm riêng phương trình n2 2x n Thay xn “ an2 ' bn ' c vào phương trình x 'i “ 2x ' n2 ' n ta n n a (n ' 1)2 ' b (n ' 1) ' c — 2an2 — 2bn — 2c “ n2 ' n —an ' p2a — b) n ' a ' b — c — n2 ' n 'a1 2 n b —3 — c— —4 < Suy — 3n — Thay xn — an2 ' bn ' c vào phương trình x 'i — 2x ' 2.2 ta X n1 —n n A pn ' 1) n n — 2An.2 — 2.2 n n A — Do đó, ta x* — 3n.2 —1 Suy n n2 x — c.2 — n2 — 3n — 4'3n.2 —1 n n n 2022 Vì X1 — 2020 nên c — 2~ — 1011 ““ “ Vậy Xn — 1011.2 — n2 — 3n — 4'3n.2 — n n Ví dụ 3.3 Tính tích phân sau I— n x e— sin xdx , n K— x n x e— cos xdx n Đặt n u—x e dv — sinxdx, —x, ta có I nK I nK n K, K n—1 n K — —nIn — ' I n n Từ ta I K n' n— nK n—ỉì x I K nI , hay I — n n prn—1 ' Kn-1, Io K — o n Kn — —2 “ 2, Pl K - n-1 ' n-1 Đổi biến n\yn Kn“ 2, ta thu hệ x n— x n—1 ' yn Xo “ 2, yo “2 i'i \, y n — xn—1 ' x n'1 y n'1 y xo “ 2, yo “2 — xn ' yn— -x n ' yn- Hệ tương đương với hệ Ta viết hệ dạng x Pn ' 1) — Ax (n), với A—(-19- x pn) — , n yn x p0) — 1{{22 Các giá trị riêng A Ă1,2 — + i Các véc tơ riêng độc lập tuyến tính A tương ứng với giá trị riêng A1, x v1 — , v — -i Nghiệm tổng quát hệ ai(1 ' iq ' a2(1 - iq n xpnq “ n a i(1 ' iq ' a i(1 — iq n n (V2)n '(ai ' a2q cos nn ' i(ai — az)sinnn) \ ((ai — a2q i cos nn ' (a ' a qsinnn) ) a cos nn' i/3sinnn) \ (^i cos _— = (