Xác định công thức tổng quát của một số hệ thức truy hồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HOÀNG THỊ PHƯƠNG ANH XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ HỆ THỨC TRUY HỒI ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 ii BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HOÀNG THỊ PHƯƠNG ANH XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ HỆ THỨC TRUY HỒI Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8242592001 Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG Người hướng dẫn khoa học 2: TS LÂM THỊ THANH TÂM Bình Định - Năm 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đinh Công Hướng và TS Lâm Thị Thanh Tâm, đề án " Xác định công thức tổng quát của một số hệ thức truy hồi" được hoàn thành theo nhận thức vấn đề của riêng tôi, không trùng với bất kì đề án nào khác Trong quá trình thực hiện và nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn đã dạy dỗ, truyền đạt kiến thức để em có thể hoàn thành khóa học và thực hiện đề án tốt nghiệp của mình.Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đinh Công Hướng và TS Lâm Thị Thanh Tâm đã tận tình chỉ bảo , hướng dẫn tận tâm và giúp đỡ em hoàn thành đề án này Do thời gian và kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những hạn chế và còn nhiều thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn và tiếp thu những ý kiến đóng góp của quý thầy giáo và cô giáo Bình Định, ngày 17 tháng 10 năm 2023 Tác giả Hoàng Thị Phương Anh Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân 3 1.2 Cơ sở lý thuyết về sai phân ngược 10 1.3 Tính tổng, tổng riêng của chuỗi số bằng phương pháp sai phân ngược 13 Chương 2 CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ HỆ THỨC TRUY HỒI 19 2.1 Công thức tổng quát của một số dãy số truy hồi cấp 1 20 2.2 Công thức tổng quát của một số dãy số truy hồi cấp cao 30 2.3 Công thức tổng quát của một số dãy vector truy hồi 36 2.3.1 Phương pháp 1 36 2.3.2 Phương pháp 2 36 2.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 38 2.4.1 Phương pháp sử dụng định lý Caley-Hamilton 38 2.4.2 Phương pháp tính lũy thừa của Ma trận Jordon 46 2.5 Một số ví dụ áp dụng 47 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 Mở đầu Các hệ thức truy hồi có vai trò quan trọng trong khoa học và ứng dụng (xem [1]-[10] và các tài liệu tham khảo trong các tài liệu trên) Bài toán xác định công thức tổng quát của các hệ thức truy hồi là một trong những bài toán hay và khó, thường xuất hiện trong nhiều trong lĩnh vực giải số, xử lý tín hiệu, đặc biệt là trong chương trình Toán ở bậc phổ thông trung học Để giải quyết bài toán này, một trong những phương pháp truyền thống thường được sử dụng là phương pháp quy nạp Toán học Tuy nhiên một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là “Làm thế nào để biết được công thức tổng quát của một hệ thức truy hồi nào đó?", “Làm thế nào để sáng tác được một hệ thống bài tập thuộc dạng này cho học sinh?” Rõ ràng, việc xác định được công thức tổng quát của các hệ thức truy hồi là có ý nghĩa và có tính thời sự Một trong những câu tả lời thú vị cho các câu hỏi trên là sai phân và ứng dụng của nó Có thể nói, Sai phân và ứng dụng của sai phân là phần rất quan trọng nó không những góp phần giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát của các hệ thức truy hồi mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Về bản chất sai phân là tìm cách tách một số hạng của dãy số đã cho thành hiệu (hay tổng quát hơn là tổng đại số) của hai hay ba số hạng liên tiếp của dãy số khác Trong sách giáo khoa gần như không đề cập vấn đề này, nhưng trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp vấn đề này thường hay được đề cập đến Các sách tham khảo hiện có một số bài toán có sử dụng phương pháp sai phân nhưng không phân tích chặt chẽ, không có hệ thống lý thuyết làm người đọc khó vận dụng Xuất phát từ động cơ giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và trao đổi với đồng nghiệp về lĩnh vực nói trên, chúng tôi đã nghiên cứu kỹ lưỡng dạng và cách giải của từng loại bài toán, giải chi tiết một số ví dụ cụ thể sau đó khái quát hóa thành phương pháp cho dễ vận dụng sau này Các dạng của sai phân còn được thể hiện sinh động hơn qua các ví dụ cụ thể lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, quốc gia và quốc tế 1 2 Trong đề án này, chúng tôi tập trung tìm hiểu và hệ thống lại một số dạng bài toán ứng dụng sai phân để tìm số hạng tổng quát của một số hệ thức truy hồi của dãy số và dãy véc tơ Để đạt được các mục đích trên, ngoài mục lục, phần mở đầu và phần kết luận, đề án được chia thành ba chương: Chương 1 Chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân Chương 2 Chúng tôi sẽ trình bày một số dạng toán xác định công thức tổng quát của một số dãy số truy hồi Đồng thời trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ áp dụng Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Đinh Công Hướng và TS Lâm Thị Thanh Tâm Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành về sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình của quý thầy, cô trong suốt quá trình thực hiện đề án Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnh những kết quả đã đạt được, đề án không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành của quý thầy cô và các bạn để đề án được hoàn thiện hơn Quy Nhơn, ngày 17 tháng 10 năm 2023 Tác giả Hoàng Thị Phương Anh Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân Các kết quả ở chương này được tham khảo từ các tài liệu [1,2,3,4] 1.1 Một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước Ta gọi sai phân cấp một của hàm f là đại lượng ∆f (x) = f (x + 1) − f (x) Giả sử, với n > 1 ta đã định nghĩa được sai phân cấp n − 1 của hàm f Khi đó sai phân cấp n của hàm f được định nghĩa như sau: ∆nf (x) = ∆ ∆n−1f (x) , n ≥ 1, ∆0f (x) := f (x) và ∆1 ≡ ∆ Ví dụ 1.1 ∆f (x) = f (x + 1) − f (x) a △x = (x + 1) − x = 1 3 4 b △(ax + b) = [a(x + 1) + b] − (ax + b) = a c △x2 = (x + 1)2 − x2 = 2x + 1 d △x! = (x + 1)! − x! = x!Cxx+1 − x! 1 f △lgx = lg(x + 1) − lgx = lg 1 + x Ví dụ 1.2 1 1 a △ sin x = sin(x + 1) − sin x = 2 sin cos x + 2 2 a a b △ sin(ax + b) = sin[a(x + 1) + b] − sin(ax + b) = 2 sin cos ax + b + 2 2 1 1 c △ cos x = cos(x + 1) − cos x = −2 sin cos x + 2 2 a a d △ cos(ax + b) = cos[a(x + 1) + b] − cos(ax + b) = −2 sin sin ax + b + 2 2 Ví dụ 1.3 a △x(n) = (x + 1)(n) − x(n) = nx(n−1) b △(ax + b)(n) = na(ax + b)(n−1) Định lý 1.1.1 a Sai phân của hằng số bằng 0 b Sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính c △n(xn) = n! Đặt biệt, △m(xn) = 0, nếu m > n, Chứng minh a Sai phân của hằng số bằng 0 Thật vậy, ta có △(C) = C − C = 0 b Ta chứng minh sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính bằng phương pháp quy nạp 5 + ∀f, g : R −→ R, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ R, ta có ∆ (αf + βg) (x) = (αf + βg) (x + 1) − (αf + βg) (x) = αf (x + 1) + βg (x + 1) − αf (x) − βg (x) = [αf (x + 1) − αf (x)] + [βg (x + 1) − βg (x)] = α [f (x + 1) − f (x)] + β [g (x + 1) − g (x)] = α∆ (f ) (x) + β∆ (g) (x) Suy ra ∆ (αf + βg) = α∆ (f ) + β∆ (g) Điều này chứng tỏ sai phân cấp một là toán tử tuyến tính + Giả sử △n là toán tử tuyến tính Ta cần chứng minh △n+1 cũng là toán tử tuyến tính Thật vậy, ∀f, g : R → R, ∀α, β ∈ R, ta có △n+1(αf + βg) = △(△n(αf + βg)) = △(α△n(f ) + β△n(g)) (theo giả thiết quy nạp) = α△(△n(f )) + β△(△n(g)) = α△n+1(f ) + β△n+1(g) Điều này chứng tỏ sai phân cấp n + 1 cũng là toán tử tuyến tính Vậy, theo nguyên lý quy nạp, △n là toán tử tuyến tính c Chúng ta sẽ chứng minh △n(xn) = n! bằng phương pháp quy nạp Ta có △(x) = (1 − x) − x = 1! Giả sử △k(xk) = k!, ∀k ≤ n Ta cần chứng minh △n+1(xk) = (n + 1)! Thật vậy, ta có △n+1(xk) = △n △ (xk) = △n[(x + 1)n+1 − xn+1] = △n n+1 Cn+1 k xk − xn+1 k=0