Iii he phuong trinh

III HỆ PHƯƠNG TRINH Khơng có tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương  y x   3x (2)  x   x 1 y  y  y   y 1 x  xy (3)   Bài Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1 Phương trình (3)  y x    2 2   x  y  1  y  y  x  0 y  y  x    y x      x 1 (vì x 1)   y 1  y x     y x   2   y  1  x  0 (vì (1;1) khơng thỏa phương trình(2)) Thay vào phương trình (2), ta :  x  1 x    x  1  0     x  x     x 2 ( n)   x 5   x, y   2;1 ;  x, y    3;4   Vậy Bài  x  y  2 x  y  x  y  3 x   y  x  y  15 0 Giải hệ phương trình sau tập số thực:  Hướng dẫn giải  x  y  2 x  y  x  y (1)  3 x   y  x  y  15 0 (2) Đặt   x  y 0   x  y 0  x 2 Điều kiện:  (1)   x y    x  y  0  y 4  x Thay vào (2) ta được: x    x  x  x  0  x   3   x  1    3 x   ( x  3)( x  2) 0 2  (4  x)   x      x 3     x  0 (*)  x   (4  x)   x  Phương trình (*) vơ nghiệm do: x 2  x  0  VT  Vậy x = y = nghiệm hệ phương trình Câu Câu Câu  x y (1  y )  x y (2  y )  xy  30 0  x y  x (1  y  y )  y  11 0 Giải hệ phương trình:   x  y  x  y 5  x, y     x  y 1   Giải hệ phương trình:  x3  xy x  xy  e y  y  ln 0 e y  y4  8  y 3  24 x  16 x  y  0 Giải hệ phương trình:  Lời giải Điều kiện: x  0;  y  e x  xy  e y  y4  ln - Ta có x  xy 0  e x  xy  ln  x  xy  e y  y  ln  y  y  y y (1) f  t  et  ln t ( t > )  f '  t  et   0, t > t Xét hàm số , suy hàm số g(t) đồng  0;  Kết hợp với (1) ta có biến khoảng x  xy  y  y  x  y  y  x  y  0   x  y   x  xy  y  y  0  x  y - Thế (2) vào phương trình cịn lại hệ cho ta được:  y 3  24 y  16 y  16 y  24 y   y  0  3 Xét hàm số g  y  16 y  24 y   y   g '  y  64 y  48 y  16 16 y  y  3  3 4y 16  0, 0< y  3 4y  2  3  0;  g  y Suy hàm số nghịch biến khoảng   , từ phương trình ( 3) có nghiệm 1 x y 2 , suy Vậy hệ phương trình có nghiệm  1 ,   2  x, y     x  y  y2  7x      x  y   y  x   x  y  Bài Giải hệ phương trình:  y   Điều kiện : 0  x 4 2  x  y   y  2x   x  y 1  x  xy  y  x  y   x  y   x  y  1   x  x  y  1   y  1   y   x 2 x  y  1     y 1  x    x y 1  0  y x  Thế vào pt đầu ta  x  x  x2  5x   x  x  3  x   4 x  x2 x7 1     x  x  3     x 1   x x   x       21 x    x  x  0    y    21  y   x  ( x  y)  x  y   2 Bài Giải hpt 2( x  y )  x  11 Điều kiện x ≥ ( x, y  ) Từ phương trình thứ dễ dàng suy y > x  ( x  y)  x  ( x  y )( x  y  1)  x  ( x  y )  y 0   y x y x  ( x  y )( x  y  1) ( x  y)2  x  y 1  x  ( x  y)  y x2  ( x  y)  y 0   x2  ( x  y) x y  0  ( x  y  1)    ( x  y)2  x  y 1  x  ( x  y )  y   Ta có  x  y  0  y  x  Thay vào phương trình thứ hai ta x  x   x  11 x  ta t4 – 3t – 10 =  t = Đặt t = ( x, y ) ( , ) 2 Từ tìm Bài Tìm tất số thực x, y thỏa hệ:  x, y    x  y 2  x x 1 y y 1 1  Hướng dẫn giải Ta chứng minh số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu x x 1 y y 1 1   x  1 ln x   y  1 ln y 0 Thay y 2  x ,ta chứng minh f  x   x  1 ln x    x  ln   x  0 Ta có f '  x  ln x  ln   x   1 f ''  x     x 2 x với  x  1  x x  1   2 2  x   x   2  x  1    0 1 11           x 2 x 2 x 2 x  x   x  x  x  f ' x  0;  , f '  1 0 nên f '  x  nhận giá trị dương  0;1 âm Do nghịch biến  1;  Suy f  x   f  1 0 với x   0;  Từ đó,hệ phương trình có nghiệm x  y 1 Bài Giải hệ phương trình sau: 3 2  x  x y  y  y x  x y  x  3  x ( y  x ) 7 Hướng dẫn giải  x  x y  y  y x  x y  x   3  x ( y  x ) 7   x y    x  x( y  x ) 7   y    x  (    x ( x  y )( x  y ) 9( x  y )  x ( x  y ) 9   3  3  x( y  x ) 7  x ( y  x ) 7  x x  3 3  x )  x  7 x    x y  x    x x  x3  27 x x  x  27 0    x y  x  (3  x x )3  x x 7 x    x y  x  2 x x  x  27 x x  x  27 0    x y  x  ( x  1)(2 x  x3 x  x  x x  x  x x  20 x  20 x  27) 0    x y  x   ( x  1)(( x  x  1)(2 x  x x  20)  7) 0  Bài  x  x2  y  x   x  x2  y   3x x  y 6   y  Giải hệ phương trình  Hướng dẫn giải  y 0  y 5  x2  y2   x  x  y 0 ĐK:  x x 6  (2 ') y Từ (2) suy ra: Do y 0 phương trình (1) tương đương với x2  y x  y y x  y   x  x 1 y   x   y 2  x 1  x2  y y 6 x  (1') y x u y Đặt u2  u * Xét y  :phương trình (1')trở thành: u  u  Nhân liên hợp mẫu số đưa phương trình: 6u   u u  3  u  0 u 0; u  nghiệm + u 0 suy x 0 không thoả mãn  loại + u  x 5 y Thế vào (2') x 5; y 3 u  u2   1' trở thành: u  * Xét y  :phương trình x=0 (Khơng thoả mãn điều kiện tốn) Vậy hệ cho có nghiệm Bài u2  6u  Phương trình có nghiệm u=0 suy  x; y   5;3 Giải hệ phương trình :   x  x  y  1  x  y  1   x x  y  y   y  x  Hướng dẫn giải Ta có: (1)  x( x  2)  2( y  1)  x ( y  1)  x ( x  2) ( y  1)( x  2)  x  y   y 2 x  Thế vào (2) ta có : x x  (2 x  1)  x    (2 x  1)  x   x  x  x   x  x    x  x  2 x  x  x  x    x  x  1  x     x  x   x  x 0  15 15  x  x  2 x    x  y 2 6   x  x  4 x  x 0 3 3  x  x   x    x  y 2 3  x  x   x   15 15  ;     Vậy nghiệm hệ PT là: Bài  3 3  ;   3     x  y  y2  7x      x  y   y  x   x  y  Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải  y   Điều kiện : 0  x 4 2  x  y   y  2x   x  y 1  x  xy  y  x  y   x  y   x  y  1   x  x  y  1   y  1   y   x 2 x  y  1     y 1  x    x y 1  0  y x  Thế vào pt đầu ta :  x  x  x2  5x   x  x  3  x   4 x  x2 x7 1     x  x  3     x 1   x x   x       21 x    x  x  0    y    21   x  y  xy 4  2 Bài 10 Giải hệ phương trình:  x  y  xy 2 (Chưa giải)  x  x  y   x  y  x  y   y 18  2 Bài 11 Giải hệ phương trình:  x  x  y   x  y  x  y   y 2 (Chưa giải) Bài 12 Giải hệ phương trình:  x  ( y  z ) 2   y  ( z  x) 30  z  ( x  y ) 16  (Chưa giải)  x  y  x  y  x  y  x y 2 Bài 13 Giải hệ phương trình:  (Chưa giải) Bài 14 Giải hệ phương trình a) xy  2  x  y  x  y 16   x  y x  y  b)  x 9 z  27( z  1)   y 9 x  27( x  1)  z 9 y  27( y  1)  (Chưa giải) Bài 15 Giải hệ phương trình:  x  y  27 y  27 0   y  z  27 z  27 0  z  x  27 x  27 0 a)   x  y  z  xy  zx  zy 3  x  y  yz  zx  xy  b)   x 2 y    y 2 z   z 2 x  c)  (Chưa giải)  x  y  x  y  30 28 y  Bài 16 (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình  x   x  y Hướng dẫn giải Từ phương trình đầu hệ ta có x    y  3 y  y   x   x  3x  10 0  x2  y   2  y  y   x   x  3x  10 0  * Coi (*) phương trình bậc ẩn y ta có   x   x nên (*) vơ nghiệm Do hệ phương trình tương đương với  x  y     x   x  y   x x   x x2   x  2x  x  x   x  0    x   x  0   Từ ta tìm nghiệm hệ  3;6  ,    2;  Bài 17 (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau:  x3  xy  x 2 y  x y  y (1)   x  x    y 1  y (2) Hướng dẫn giải Điều kiện: y  2 (1)  ( x  y )(2 x  y  1) 0  x 2 y Thay vào (2) ta có phương trình x  x   x 1  x  (3) Xét x  thỏa mãn (3), suy y  Xét x   : (3)  x 1 x  x   (1  x) 5 x   x2  x  1  x  x 1  x  0  x  1(loai )   x  x    x  x  (4)  2 x  x  2 x     x 2  x  x  0  Kết hợp (3) (4) ta Kết luận: Hệ phương trình cho có nghiệm: ( x; y ) (  1;  2 2 );( ; ) 2 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài   x    y  8    x  y  y  x 4 Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn giải x  cos u   u , v  [0; 2 ] x; y  [  2; 2] Đặt  y 2 cos 2v với Điều kiện: sin u cos v 1/  sin u cos v 1/ (1  cos 2u )(1  cos 2v) 2    u v    sin 2( u  v )  HPT  cos 2u sin 2v  cos 2v sin 2u 1      u  v  sin(u  v)  sin(u  v)  sin(u  v) 1/     u        u  v  u  v  u  v    v 0 (thỏa) 4     2    x 2 cos 0   y 2 cos 2 Kết luận: nghiệm hệ phương trình Bài  x 1  y  xy 4 y   y x  y   x 1 Giải hệ phương trình:  Ta thấy y = khơng nghiệm hệ phương trình cho, ta xét giá trị y 0 , chia hai vế PT thứ cho y 0 ta  x2 1  y  x  y 4   x  y   y  x 1 u Đặt x2 1 , v x  y y ta có hệ phương trình u  v 4   u (v  2) 1 v 4  u   u (4  u  2) 1 u 1  Với v 3 ta có  x2 1 1   y  x  y 3  u 1  v 3 (*) Giải hệ PT (*) ta hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)  x  y   x  y   4  y    x  y  x  y     y    y   0 Bài Hệ phương trình tương đương với  + Với y = -2 hệ phương trình vô nghiệm + Với y  , chia hai vế hai phương trình cho y + ta có  x2  y  y   x  y   4   2  x  y  x  y  0  y  x2  y a , b x  y  y2 Đặt  a  b 4   ab 4  Khi ta có hệ phương trình Do a  b 4    a   0 a 2  b 2  x2  y 2  y  x  x 1, y      y 2  x  2, y 2  x  x  0  x  y  2  Kết hợp với điều kiện hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) Bài  x   x    y   y  2  Giải hệ phương trình:  x  y 2 xy  x  2  y  2 ( x, y  )