Nghiên cứu điều khiển cân bằng robot có sử dụng thuật toán giảm bậc mô hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP  LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT NGÀNH: TỰ ĐỘNG HÓA NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG ROBOT CĨ SỬ DỤNG THUẬT TỐN GIẢM BẬC MƠ HÌNH NGUYẾN ĐẠI TÙNG THÁI NGUN - 2011 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP  LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG ROBOT CÓ SỬ DỤNG THUẬT TỐN GIẢM BẬC MƠ HÌNH Ngành: TỰ ĐỘNG HĨA Mã sớ: Học viên: NGUYỄN ĐẠI TÙNG Người HD khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU CÔNG THÁI NGUYÊN - 2011 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP  CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc  LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT NGÀNH: TỰ ĐỘNG HÓA Tên đề tài: NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG ROBOT CĨ SỬ DỤNG THUẬT TỐN GIẢM BẬC MƠ HÌNH Học viên: NGUYỄN ĐẠI TÙNG Lớp: K12 - TĐH Người HD khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU CÔNG Người hướng dẫn khoa học Học viên PGS TS NGUYỄN HỮU CÔNG NGUYỄN ĐẠI TÙNG Ban giám hiệu Khoa Sau Đại học LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan là công trì nh nghiên cứu của Các kết quả, số liệu nêu luận văn là trung thực và chưa từng được công bố bất kỳ công trì nh nào khác Tác giả luận văn Nguyễn Đại Tùng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Tác giả chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Nguyễn Hữu Công suốt quá trì nh hoàn thành luận văn này Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo Khoa Điện tử, Khoa Điện trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên đã tạo điều kiện giúp đỡ tận tình việc nghiên cứu đề tài Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên đã cho phép và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này Tác giả Nguyễn Đại Tùng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các bảng Danh mục các hì nh vẽ, đồ thị Mở đầu 1 Tính cấp thiết của đề tài Ý nghĩa khoa học và thực tiễn CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ROBOT CƠNG NGHIỆP VÀ BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG ROBOT 1.1 Tổng quan robot công nghiệp 1.1.1 Robot Robotics 1.1.2 Robot công nghiệp 1.2 Tự động hoá và robot công nghiệp 1.2.1 Tải trọng 10 1.2.2 Tầm với 10 1.2.3 Độ phân giải không gian 10 1.2.4 Độ xác 11 1.2.5 Độ lặp lại 12 1.2.6 Độ nhún 12 1.3 Chất lượng quá trình làm việc và các bài toán điều khiển robot 13 1.3.1 Yêu cầu chất lượng điều khiển robot 13 1.3.2 Các bài toán điều khiển robot 14 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3.2.1 Bài toán điều khiển động học ngược robot 14 1.3.2.2 Bài toán điều khiển cân robot 15 1.4 Bài toán điều khiển cân robot 15 1.4.1 Mô hình toán học của hệ Robot 16 1.4.2 Phần khí của Robot 18 1.4.2.1 Thân Robot 18 1.4.2.2 Cơ cấu lái 19 1.4.2.3 Cơ cấu chuyển động .20 1.4.2.4 Cơ cấu thăng 21 1.5 Kết luận chương 24 CHƯƠNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỊNH DẠNG H ÁP DỤNG CHO ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG ROBOT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC MƠ HÌNH 2.1 Giới thiệu chung 25 2.2 Thuật toán điều khiển định dạng vòng H∞ 26 2.2.1 Điều khiển định dạng vòng H∞ .26 2.2.2 Thiết kế điều khiển định dạng vòng H∞ đủ bậc 29 2.2.2.1 Lựa chọn hàm định dạng 29 2.2.2.2 Kết quả mô 29 2.3 Các phương pháp giảm bậc mô hình 32 2.3.1 Giới thiệu 32 2.3.2 Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.3 Các phương pháp giảm bậc bản 33 2.3.2.1 Phương pháp ghép hợp 35 2.3.2.2 Phương pháp sở trùng khớp tại các thời điểm 37 2.3.2.3 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị 40 2.3.2.4 Phương pháp cân nội .41 2.3.2.5 Các phương pháp sử dụng phép gần đúng tối ưu .42 2.3.2.6 Phương pháp tối ưu theo trạng thái 43 2.3.4 Kết luận .45 2.4 Giảm bậc mô hình theo phương pháp cân nội 46 2.5 Kết luận chương 48 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC CÂN BẰNG CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG ROBOT 3.1 Giảm bậc điều khiển hệ thống điều khiển cân theo phương pháp cân 50 3.2 Chất lượng quá độ của điều khiển gốc và các điều khiển giảm bậc 54 3.3 Sử dụng điều khiển giảm bậc cho hệ thống điều khiển cân robot 56 3.3.1 Bộ điều khiển giảm bậc điều khiển cân robot 56 3.3.2 Sử dụng điều khiển giảm bậc điều khiển cân robot 58 3.3.3 So sánh hệ điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp cân và theo PSO 59 3.4 Kết luận chương 62 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn PHỤ LỤC TĨM TẮT LUẬN VĂN Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Danh mục các bảng Bảng Tên bảng Trang 1.1 Số lượng Robot sản xuất số nước công nghiệp phát triển 1.2 Thông số động DC của robot 21 3.1 Tham số của các hệ giảm bậc mô hình không gian trạng 52 thái và mô hình hàm truyền Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Kết luận: Có thể sử dụng điều khiển giảm bậc điều khiển giảm bậc để thay cho điều khiển gốc bậc 3.3 Sử dụng điều khiển giảm bậc cho hệ thống điều khiển cân robot Xét hệ (3.1), sau giảm bậc ta kết bảng 3.1 Ta tiến hành thiết kế hệ thống điều khiển cân robot theo phương án sau: 3.3.1 Bộ điều khiển giảm bậc điều khiển cân robot Sử dụng điều khiển giảm bậc phần đề điều khiển cân robot ta có sơ đồ cấu trúc hệ thống sau Hình 3.2: Sơ đồ mơ Simulink hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Kết mơ Hình 3.3: Kết mô hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc Nhận xét: - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc sai lệch tĩnh (St% =0%), khơng có q đìều chỉnh, thời gian độ (s), thời gian đáp ứng (s), hệ không dao động - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển điều khiển giảm bậc gần trùng khít đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển điều khiển gốc bậc Do ta có dùng điều khiển giảm bậc thay điều khiển gốc bậc Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 3.3.2 Sử dụng điều khiển giảm bậc điều khiển cân robot Sử dụng điều khiển giảm bậc phần đề điều khiển cân robot ta có sơ đồ cấu trúc hệ thống sau Hình 3.4: Sơ đồ mô Simulink hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc Kết mô Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Hình 3.5: Kết mơ hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc Nhận xét: - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc sai lệch tĩnh (St% =0%), khơng có đìều chỉnh, thời gian độ (s), thời gian đáp ứng 2,8 (s), hệ không dao động - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc gần trùng khít Tuy nhiên thời gian đáp ứng điều khiển giảm bậc nhanh so với điều khiển gốc bậc Do ta có dùng điều khiển giảm bậc thay điều khiển gốc bậc Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 3.3.3 So sánh hệ điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp cân theo PSO Theo [1] dùng thuật toán giảm bậc theo PSO (tối ưu hố bầy đàn) điều khiển gốc bậc giảm xuống điều khiển bậc sau: W1 = 135.2 s  4.63 So sánh hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp giảm bậc cân theo PSO (tối ưu hoá bầy đàn) thu kết sau: Hình 3.6: Sơ đồ mơ Simulink hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc theo PSO theo phương pháp giảm bậc cân Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Kết mơ Hình 3.7: Kết mơ hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc theo PSO theo phương pháp giảm bậc cân Nhận xét: - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp cân sai lệch tĩnh (St% =0%), khơng có đìều chỉnh, thời gian độ (s), thời gian đáp ứng 2,8 (s), hệ không dao động Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp PSO (tối ưu hoá bầy đàn) sai lệch tĩnh 9,68% (St% = 9,68%), q đìều chỉnh - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp cân tốt so với hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp PSO 3.4 Kết luận chƣơng - Chất lượng đáp ứng h(t) dùng điều khiển giảm bậc điều khiển giảm bậc so với dùng điều khiển gốc bậc để điều khiển hệ thống cân robot tương đương - Để đơn giản cho việc thiết kế hệ thống điều khiển cân robot ta dùng điều khiển giảm bậc thay cho điều khiển gốc bậc mà chất lượng điều khiển đảm bảo - So sánh hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp giảm bậc theo phương pháp cân phương pháp giảm bậc theo PSO thấy rằng: Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển dùng điều khiển giảm bậc theo phương pháp cân cho chất lượng tốt - Thuật toán giảm bậc mơ hình theo phương pháp cân nội thực có hiệu hệ tuyến tính bậc cao Các kết mơ thể tính đắn thuật tốn giảm bậc mơ hình Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A Kết luận Luận văn nghiên cứu giải nội dung sau: Bài toán điều khiển cân robot toán điều khiển quan trọng hệ thống điều khiển robot Để thiết kế hệ thống điều khiển cân robot có nhiều phương pháp, luận văn tác giả lựa chọn phương pháp điều khiển robot dựa theo nguyên lý “con quay hồi chuyển”: Theo nguyên lý để trì robot trạng thái cân robot người ta đặt robot bánh đà hoạt động dựa nguyên lý “con quay hổi chuyển” Bánh đà quay trịn xung quanh trục (với gia tốc góc ) tạo mômen để cân với mômen trọng lực robot tạo Để điều khiển gia tốc bành đà, ta sử dụng động chiều DC với điện áp đặt lên động U, ta đưa toán điều khiển cân robot toán điều khiển góc nghiêng robot  (đầu ra) cách điều khiển điện áp U (đầu vào) đặt lên động DC Nhiệm vụ đặt phải thiết kế điều khiển để giữ cho robot cân tức giữ cho góc  (đầu ra) khơng Xây dựng hệ thống điều khiển cân robot theo thuật toán điều khiển định dạng H∞ thu điều khiển gốc bậc Bộ điều khiển có kích thước lớn gây khó khăn cho việc ứng dụng điều khiển thực tế điều khiển, cân phải giảm bậc điều khiển gốc bậc Phương pháp cân ma trận nội thực cách áp dụng điều kiện tương đương lên q trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận gramian điều khiển quan sát động học hệ tư hệ hở Việc tương đương hóa hai ma trận đường chéo cho phép xác định ma trận không suy biến T, từ xác đinh biến đổi tổ hợp Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 x  Tx * chuyển mơ hình gốc biểu diễn hệ sở thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ không gian cân nội Từ không gian cân trên, mơ hình bậc thấp tìm cách loại bỏ trị riêng đóng góp vào tạo dựng mối quan hệ đầu vào đầu hệ Luận văn xây dựng thuật tốn giảm bậc mơ hình theo phương pháp cân áp dụng cho đối tương bậc cao Áp dụng phương pháp cân nội giảm bậc điều khiển cân robot theo định dạng H : Kết mô cho thấy điều khiển giảm bậc điều khiển giảm bậc thay điều khiển gốc bậc Sau giảm bậc điều khiển gốc bậc 6, luận văn tiến hành thiết kế hệ thống điều khiển theo định dạng H dùng điều khiển giảm bậc Trong đó, tiến hành thiết kế dùng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc để điều khiển cân robot Kết mô cho thấy sử dụng điều khiển giảm bậc điều khiển giảm bậc để thay cho điều khiển gốc bậc mà chất lượng hệ thống điều khiển cân robot đảm bảo yêu cầu Điều có ý nghĩa thực tiễn giải pháp thiết kế giảm kích thước điều khiển làm việc thiết kế thực điều khiển trở nên dễ dàng Các kết mơ thể tính đắn thuật toán điều khiển cân robot theo thuật toán định dạng H thuật toán giảm bậc cân băng mở khả ứng dụng vào thực tế kiểm nghiệm qua thí nghiệm thực B Kiến nghị Cần nghiên cứu số phương pháp khác việc giảm bậc điều khiển, có so sánh với phương pháp cân nội Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 Cẩn nghiên cứu thiết kế hệ thống điều khiển cân robot theo phương pháp điều khiển khác để so sánh với phương pháp thiết kế theo định dạng H Cần tiến hành thí nghiệm thực để khẳng định tính đắn thuật toán điều khiển theo định dạng H.cũng thuật toán giảm bậc mơ hình theo phương pháp cân băng đưa vào ứng dụng thực tiễn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anderson J H., Geometrical approach to the reduction of dynamically systems, Proc IEE., 114, 1014-1018, 1967 [2] Aoki M., Control of large scale dynamic system by aggregation, IEEE Trans Auto Contr., AC-13, 246-235, 1968 [3] Bandler J W., Markettons N D and Sinha N K., Optimum system modeling using recent gradient methods, Int J System Sciences, 4, 257262, 1973 [4] Bistritz Y and Lanholz G., Model reduction by Chebyshev polynomial techniques, IEEE Trans Auto Contr., AC-24, 741-747, 1979 [5] Bùi Trung Thành, Balacing Control of Bicycle Robot by Particle Swarm Optimization – Based Structure – Specified H2/H Control, Doctoral thesis, 2008 [6] Ballois, S.L & Duc, G (1996) H∞ control of a satellite axis: Loop shaping, controller reduction, and µ-analysis Control Engineering Practice, Vol 4(7), pp 1001-1007 [7] Chen C F and Shieh L S., A novel approach to linear model simplification, Int J Contr., 14 (5), 561-570, 1968 [8] Davison E J., A method for simplifying linear dynamic systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-11, 93-101, 1966 [9] Commault C., Optimal choice of model for aggregation, Automatica, 17, 397-399, 1981 [10] Davison E J., A method for simplifying linear dynamic systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-11, 93-101, 1966 [11] Elliott H and Wolovich W A., A frequency domain model reduction procedure, Automatica, 16, 167-177, 1980 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 [12] Fernando K V and Nicholson H., Singular perturbational model reduction of balanced system, IEEE Trans Auto Contr., AC-27, 466468, 1982 [13] Gibarillo G and Lees F P., The reduction of complex transfer function models to simple models using the method of moments, Cher Eng Science, 24, 85-93, 1966 [14] Glover K., All optimal Hankel norm approximation of linear multivariable system and their L2 error bounds, IEEE Trans, Auto Contr., AC-29, 1105-1113, 1984 [15] Hickin J D and Sinha N K., Model reduction for linear multivariable systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-25, 1121-1127, 1980 [16] Hutton M F and Friedland B., Routh approximation for reducing order of linear time invariant systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-20, 329337, 1975 [17] Hyland D C and Berstein D S., The optimal projection equations for model reduction and the relationship among the methods of Wilson, Skelton and Moore, IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (12), 1201-1211, 1985 [18] Kabamba P.T., Balanced gains and their significance for L2 model reduction IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (6), 690-693, 1985 [19] Jonckheere E.A and Silverman L.M., A new set of invariant for linear systems – Application to reduced order compensator design, IEEE Trans Auto Contr., AC-28 (10), 953-964,1993 [20] Lanholz G J and Bistritz Y., Model reduction of dynamic systems over a frequency interval, Proc 16th Annual Allerton Conf Communications, Control and Computing (Monticello IL), 903-912, 1978 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 [21] Lastman G J and Sinha N K., A comparision of the blanced matrix and the aggregation methods of model reduction, IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (4), 301-304, 1985 [22] Lastman G J and Sinha N K., Worst-case error analysis of the balanced matrix method of model reduction, Can I Elect And Comp Engg., 14, 18-23, 1989 [23] Lucas T N., Linear system reduction by impulse energy approximation, IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (8), 784-786, 1985 [24] Marshall S ., An approximate method for reducing the order of large systems, Contr Engineering, 10, 642-648, 1966 [25] McFarlane, D & Glover, K (1992) A loop shaping design procedure using H∞ synthesis IEEE Transaction on Automatic Control Vol 37(6), pp 759-769 [26] Mitra D., On the reduction of the complexity of linear dynamic models, Rep AEEW-R520, U K Atomic Energy Authority, 1967 [27] Moore B C., Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction , IEEE Trans Auto Contr., AC-26, 17-32, 1981 [28] Mustafa D and Glover K., Controller reduction by H-balanced truncation, IEEE Trans Auto Contr., 36 (6), 668-682,1991 [29] Nath N G and San N N., An apptoach to linear model reduction, Contr Cyber., 20 (2), 69-89, 1991 [30] Perenbo I, and Silverman L M., Model reduction via balanced state space repre-sentation, IEEE Trans Auto, contr., AC-27, 328-387, 1982 [31] Prakash R and Rao S V., Model reduction by low-frequency approximation of internally balanced representation, Proc IEEE Conf Decision, Contr., Tampa, Florida, USA, 143-150, 1989 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 [32] Rozsa P Sinha N K and Lastman G., On estimating state variable partition for model reduction, Proc 13th Annual Conf Model & Simulation, Pittsburgh, PA, USA, 251-260, 1982 [33] Sannuti P and Kokotovic S., Near Optimum design of liear systems using singular perturbation method, IEEE Trans Auto Contr., AC-14, 15-21, 1969 [34] Sanash Y., Stable reduced-order models using Pade-type approximations, IEEE Trans Auto Contr., AC-14, 27-32, 1969 [35] San N N., State-optimization method for order reduction of linear models and of state estimators, Optimization, 34 (4), 324-357, 1995 [36] San N N and N G Nath, On optimal projection equations for model reduction: Input error approach, Optimization, 31 (3), 263-282, 1994 [37] Sinha N K., El-Nahas I and Alden R T H., Routh approximation of multivariable systems, Prob of Contr and Inf theory, 11 (3), 420-425, 1982 [38] Skelton R E., Cost decomposition of linear systems with application to model reducation, Int J Contr., 32, 1031-1055, 1980 [39] Skelton R E and Yousuff R., Compoment cost analysis of large systems, Int J Contr., 35, 285-297, 1983 [40] Tang, K.S.; Man, K.F & Gu, D.W (1996) Structured genetic algorithm for robust H∞ control systems design IEEE Transaction on Industrial Electronics, Vol 43(5), pp 575-582 [41] Vũ Ngọc Kiên, Thiết kế hệ thống điều khiển theo phương pháp không gian trạng thái có dụng giảm bậc mơ hình, Ln văn thạc sỹ, 2010 [42] Wilson D A., Optimum solution of model-reduction problem, Proc IEE, 117 (6), 1161-1165, 1970 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 [43] Yubai, K.; Okuhara , K & Hirai, J (2008) Gain-scheduling control of a rotary inverted pendulum by weight optimization and H∞ loop shaping procedure Electrical Engineering in Japan, Vol 163(2), pp 130-140 [44] Zhao G and Sinha N K., Model selection in aggregated models, Large Scale Systems, 4, 209-216, 1983 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn