Phương pháp newton cải tiến giải phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn - Tin, Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo kính mến PGS TS Tạ Duy Phượng, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc công việc, gần gũi sống thầy giúp cho tơi có niềm tin, ý thức trách nhiệm tâm cao để hoàn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình bạn bè, người đồng hành, hết lòng động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn thạc sĩ Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa i 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân 1.1.1 Phương pháp Weerakoon Fernando (2000, [42]) 1.1.2 Phương pháp Frontini Sormani (2003, [25]) 1.1.3 Phương pháp Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang (2006, [17]) 1.1.4 Phương pháp Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu (2008, [21]) 10 1.1.5 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [36]) 10 1.1.6 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin (2010, [38]) 12 1.1.7 Phương pháp H H H Homeier (2005, [13]) 14 1.1.8 Phương pháp Rostam K Saeed Fuad W Khthr (2010, [40]) 1.1.9 Phương pháp P Wang (2011, [39]) 20 15 1.1.10 Phương pháp Sanjay K Khattri, Ravi P Agarwal (2010, [44]) 20 1.1.11 Phương pháp V Kanwar, Kapil K Sharma, Ramandeep Behl (2010, [48]) 21 1.1.12 Phương pháp Hadi Taghvafard (2011, [14]) 23 1.2 Phương pháp hai bước, ba bước bốn bước 25 1.2.1 Phương pháp Potra Pták (1984, [11]) 25 i 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC 1.2.2 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [37]) 25 1.3 1.2.3 Phương pháp Sanjay K Khattri, Ioannis K Argyros (2010, [43]) 26 1.2.4 Phương pháp Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) 27 1.2.5 Phương pháp Linke Hou Xiaowu Li (2010, [23]) 27 Phương pháp tham số 28 1.3.1 Phương pháp Mamta, V Kanwar, V K Kukreja, Sukhjit Singh (2005, [28]) 28 1.3.2 Phương pháp Sanjay K Khattri S Abbasbandy (2011, [45]) 29 1.3.3 Phương pháp Yao-tang Li, Ai-quan Jiao (2009, [49]) 29 1.3.4 Phương pháp Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou He Julin (2007, [19]) 33 1.4 1.5 Phương pháp khai triển Taylor 33 1.4.1 Phương pháp Jisheng Kou (2007, [18]) 33 1.4.2 Phương pháp M M Hosseini (2009, [27]) 35 1.4.3 Phương pháp Chebyshev 36 Phương pháp nội suy tuyến tính 37 1.5.1 Phương pháp Manoj Kumar Singh (2009, [29]) 37 1.5.2 Phương pháp Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem (2010, [32]) 38 1.5.3 1.6 Phương pháp Manoj Kumar Singh S R Singh (2011, [30]) 39 Một số phương pháp khác 40 1.6.1 Phương pháp H H H Homeier (2003, [12]) 40 1.6.2 Phương pháp J R Sharma (2005, [15]) 41 1.6.3 Phương pháp B Neta (2008, [2]) 42 1.6.4 Phương pháp J R Sharma (2007, [16]) 43 1.6.5 Phương pháp Tibor Luki´c, Nebojˇsa M Ralevi´c [47] 44 1.6.6 Phương pháp Keyvan Amini (2007, [20]) 44 1.6.7 Phương pháp Mehdi Dehghan Masoud Hajarian (2010, [31]) ii 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến 48 2.1 Phương pháp Newton - Raphson 48 2.2 Phương pháp xấp xỉ 49 2.2.1 Phương pháp D K R Babajee MZ Dauhoo (2007, [9]) 49 2.2.2 Phương pháp N A Mir Naila Rafiq (2007, [33]) 51 2.2.3 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad Raza, Tahira Nawaz (2010, [35]) 52 2.3 Phương pháp tham số 53 2.3.1 Phương pháp Li Shengguo, Li Housen Cheng Lizhi (2009, [22]) 53 2.3.2 Phương pháp M Heydari, S M Hosseini, G B Loghmani (2010, [26]) 54 2.3.3 Phương pháp Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi Mehdi Gholami Porshokouhi (2011, [5]) 55 2.3.4 Phương pháp B Neta, Anthony N Johnson (2008, [4]) 56 2.3.5 Phương pháp Beny Neta (2010, [3]) 57 2.3.6 Phương pháp S G Li, L Z Cheng, B Neta (2010, [41]) 58 2.3.7 Phương pháp Eldon Hansen Merrell Patrick (1977, [10]) 61 2.3.8 Phương pháp Ljiljana D Petkovi´c, Miodrag S Petkovi´c, Dragan ˇ Zivkovi´ c (2003, [24]) 62 2.4 Một số phương pháp khác 64 2.4.1 Phương pháp Naoki Osada (2007, [34]) 64 2.4.2 Phương pháp Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta (2008, [7]) 65 2.4.3 Phương pháp Changbum Chun, Beny Neta (2009, [6]) 67 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iii 70 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Isaac Newton (1642 - 1727) nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên nhà tốn học vĩ đại người Anh Ơng xây dựng cơng thức giải phương trình phi tuyến f (x) = viết năm 1671 công bố lần vào năm 1685 Newton tính tốn chuỗi đa thức sau ơng đưa đến nghiệm xấp xỉ phương trình Joseph Raphson (1648 - 1715) coi phương pháp Newton hoàn toàn phương pháp đại số giới hạn việc sử dụng cho đa thức biến Tuy nhiên Raphson mô tả phương pháp thông qua dãy xấp xỉ xn thay chuỗi đa thức phức tạp Newton Cách giải thích Raphson xem đơn giản Newton ông công bố vào năm 1690 Ngày gọi phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến f (x) = việc xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm phương trình Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trị quan trọng khoa học kĩ thuật, đặc biệt ngành Tốn học nói chung phương pháp số nói riêng Trong thực tế có khả ứng dụng lớn Sau phương pháp Newton – Raphson đời, việc giải phương trình phi tuyến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng nhiều lĩnh vực Giải tốn có ý nghĩa thực tế quan trọng, đặc biệt giai đoạn với hỗ trợ máy tính điện tử việc trở nên có hiệu lực Điều thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu phương pháp Dựa sở phương pháp Newton – Raphson có, nhiều báo đăng tạp chí tiếng giới nói cách xây dựng phương pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, thực máy tính điện tử 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trong luận văn này, tơi trình bày tổng quan phương pháp Newton cải tiến có tốc độ hội tụ cao giải gần phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có nghiệm đơn phương trình có nghiệm bội Do khuôn khổ luận văn, phương pháp Newton mở rộng cho hệ phương trình phi tuyến phương trình khơng gian Banach khơng trình bày Tuy nhiên, phần TÀI LIỆU BỔ SUNG chúng tơi có liệt kê báo phương pháp Newton cho hệ phương trình (trang 77 - 80, tài liệu [95] - [122]) phương trình khơng gian Banach (trang 80 - 82, tài liệu [123] - [145]) Luận văn gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương trình bày phương pháp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Đồng thời đưa định lý hội tụ phương pháp minh họa số ví dụ Chương nhắc lại khái niệm nghiệm bội phương trình f (x) = đưa phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến số ví dụ minh họa Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Giải phương trình phi tuyến tốn quan trọng giải tích số Trước hết, xét phương trình f (x) = (1.1) Giải gần phương trình f (x) = thực theo hai bước: Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm Mỗi phương trình nói chung có nhiều nghiệm Chúng ta cần tìm khoảng chứa nghiệm (a, b), phương trình có nghiệm (có nghiệm) tiêu chuẩn sau Định lí (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f (x) liên tục đoạn [a, b] thỏa mãn điều kiện f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) Định lí (Hệ Định lí 1) Giả sử f (x) hàm liên tục đơn điệu ngặt đoạn [a, b] Khi f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) Định lí (Hệ Định lí 2) Giả sử f (x) có đạo hàm f (x) đạo hàm f (x) khơng đổi dấu đoạn [a, b] Khi f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Bước 2: Giải gần phương trình Sau sử dụng ba định lí để xác định khoảng chứa nghiệm phương trình f (x) = 0, xét phương pháp giải gần phương trình phi tuyến f (x) = trường hợp nghiệm đơn Ở f : R → R hàm phi tuyến trơn có nghiệm đơn x∗ , tức f (x∗ ) = f (x∗ ) 6= Xuất phát từ giá trị ban đầu x0 thuộc khoảng phân li nghiệm phương trình (1.1), xấp xỉ xác định công thức xn+1 = ϕ(xn ), n = 0, 1, 2, Phương pháp Newton - Raphson tìm nghiệm x∗ phương trình (1.1) sử dụng sơ đồ lặp f (xn ) f (xn ) xn+1 = xn − (1.2) Phương pháp lặp có tốc độ hội tụ bậc hai tốt f (x∗ ) 6= Người ta cải tiến phương pháp trở nên tốt cách nâng tốc độ hội tụ lên cao Trong chương này, trình bày lại nội dung số báo cải tiến phương pháp Newton giải gần phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao cho trường hợp nghiệm đơn minh họa qua số ví dụ tính tốn cụ thể Trường hợp nghiệm bội phương trình xét Chương 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân Xét biểu diễn hàm f (x) dạng Z x f (x) = f (xn ) + f (t)dt (1.3) xn Nhiều nhà toán học cải tiến phương pháp Newton việc xấp xỉ tích phân cơng thức (1.3) quy tắc khác thu khơng phương pháp lặp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao Dưới chúng tơi trình bày phương pháp giải phương trình f (x) = có tốc độ hội tụ bậc cao số báo 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến Chúng ta cải tiến phương pháp lặp (2.5) thành phương pháp    f xk − 2β u(xk )  u(xk ) 1+β−β xk+1 = xk − M f (xk ) (2.6) hội tụ bậc hai thỏa mãn phương trình sai số: ek+1 2.2.2   η m+1 m−1η m+1  βδ m−1  m + = − ηδ + − η ek + η− M m m2 m m m2 δ m Phương pháp N A Mir Naila Rafiq (2007, [33]) Năm 2005, Mamta et al [28] đưa phương pháp hội tụ bậc ba giải phương trình f (x) = cho trường hợp nghiệm đơn trình bày mục 1.3.1 (trang 28) Mir Rafiq [33] tổng quát hóa phương pháp [28] trường hợp nghiệm bội phương trình phi tuyến sau Xét phương pháp Mamta et al [28] xn+1 = xn − h(xn ), h(xn ) = f (x 2f (xn ) p f 02 (xn ) + 4f (xn ) n) + Chú ý f (xn ) h(xn ) = f (xn ) − h2 (xn ) Vì phương pháp Mamta cải tiến cho cơng thức tìm nghiệm bội m phương trình phi tuyến xn+1 = xn − m h(xn ) , − h2 (xn ) hay   m h(x )  m h(xn )  n ≈ x exp − xn+1 = xn − n 2 xn − h (xn ) xn − h (xn ) Kết hợp phương pháp lặp với cải tiến phương pháp Chen - Li [68] nghiệm bội,  f (xn )  xn+1 = xn exp − m xn f (xn ) Thuật toán sau gọi phương pháp Chen - Li - Mamta tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến: Bước 1: Cho giá trị ban đầu x0 , sai số ε > 0, bước lặp n giả sử k = 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến Bước 2: Tính   zk  xk+1   k) , = xk exp − m xkff(x0 (x k)   h(zk ) = zk exp − zmk 1−h (z ) k (2.7) Bước 3: Nếu |xk+1 − xk | < ε k > n dừng lại Bước 4: Nếu k → k + quay bước Thuật toán hội tụ bậc ba 2.2.3 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad Raza, Tahira Nawaz (2010, [35]) Cũng với tư tưởng tổng quát hóa phương pháp Mamta et al [28] cho trường hợp nghiệm bội, tác giả [35] xây dựng phương pháp giải phương trình phi tuyến hội tụ bậc cao Xét phương pháp Mamta et al [28] xn+1 = xn − h(xn ), h(xn ) = f (x f (xn ) , n ) + pf (xn ) p chọn dấu âm dương cho mẫu số lớn xn+1 f (xn ) h(xn ) h(xn ) = ⇒ xn+1 = xn − m , f (xn ) − ph(xn ) − ph(xn )     h(xn ) h(xn ) = xn − m ≈ xn exp − m xn [1 − ph(xn )] xn [1 − ph(xn )] Chúng ta có phương pháp Chen - Li - Mamta sau: Bước 1: Cho x0 giá trị ban đầu, sai số ε > 0, k = 0, bước lặp n Bước 2: Tính   zk  xk+1 với h(zk ) =  k) m xkff(x0 (x k)  = xk exp − ,   h(zk ) = zk exp − zmk 1−ph(z k) (2.8) f (zk ) f (zk )+pf (zk ) Bước 3: Nếu |xk+1 − xk | < ε k > n dừng lại Bước 4: Nếu k → k + quay bước Phương pháp lặp hội tụ bậc bốn 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến 2.3 Phương pháp tham số 2.3.1 Phương pháp Li Shengguo, Li Housen Cheng Lizhi (2009, [22]) Phương pháp Halley hội tụ bậc ba trường hợp nghiệm đơn phương trình f (x) = xn+1 = xn − f (xn ) , − Lf (xn ) f (xn ) Lf (xn ) = f (xn )f 00 (xn ) f 02 (xn ) Đối với trường hợp nghiệm đơn, Ezquerro Hernandez [66, 67] đưa phương pháp lặp   yn = xn − θun ,  xn+1 θ ∈ (0, 1] un = = xn − (2.9) 2θf (xn ) , (2θ−1)f (xn )+f (yn ) f (xn ) f (xn ) Chúng ta tổng qt hóa cơng thức (2.9) trường hợp nghiệm bội Xét hàm lặp   y n = xn − θun ,  xn+1 = xn − βf (xn ) , γf (xn )+f (yn ) β, γ, θ tham số xác định cho phương pháp hội tụ bậc ba cho trường hợp nghiệm bội m Nếu β=− (mθ + θ − 2m)mθ m (m − θ)2 − mθ + mθ2 m m−θ µ , γ = − µ , µ= 2 (m − θ) (m − θ) m xn+1 = xn − − (mθ+θ−2m)mθ µm f (x) (m−θ)2 2 −mθ+mθ − (m−θ)(m−θ) µm f (xn ) + f (yn ) = xn −  mθ(mθ + θ − 2m)µm f (xn )  (m − θ)2 − mθ + mθ2 µm f (xn ) − (m − θ)2 f (yn ) 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến Chúng ta thu phương pháp lặp phụ thuộc tham số cho nghiệm bội là:     = xn − θun , yn  xn+1    = xn −  m f (x ) mθ(mθ+θ−2m)µ n  , (2.10) (m−θ)2 −mθ+mθ2 µm f (xn )−(m−θ)2 f (yn ) 2m Công thức lặp (2.10) hội tụ bậc ba θ ∈ R, θ 6= 0, m, m+1 2.3.2 Phương pháp M Heydari, S M Hosseini, G B Loghmani (2010, [26]) Trong [26] đưa phương pháp hội tụ bậc ba nghiệm bội sau   y n = xn − θun ,  xn+1 un = f (xn ) f (xn ) (2.11) λf (xn )+βf (yn ) , f (xn ) = xn − β, λ, θ tham số Chọn λ= m(µθ − θ + µ) , θ(µ − 1)   y n = xn − θun , β=− mµ1−m , θ(µ − 1) (2.11) trở thành = xn −  xn+1 với µ = 1−m m(µθ−θ+µ) f (xn )− mµ f (yn ) θ(µ−1) θ(µ−1) f (xn ) (2.12) , m−θ m Chọn giá trị θ khác nhau, có phương pháp lặp khác từ (2.12) + Cho θ = −1 µ = m+1 m  +1+ m+1 m − m+1 m m  − xn+1 = xn − = xn −    m f (xn ) − m+1 m  m+1 −1 m − m+1 m  f (yn ) m+1 −1 m f (xn )  −m −m2 f (xn ) + m2 m+1 m 1−m f (yn ) f (xn ) −m f (xn ) + m(m + 1) = xn − f (xn ) 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54  m+1 m −m f (yn ) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến Phương pháp có tốc độ hội tụ bậc ba nghiệm bội:    = xn + un , yn −m  m+1  f (yn ) −m f (xn )+m(m+1) m  x = xn − n+1 f (xn ) + Cho θ = 2m m+2 µ = m m+2  m m 2m 2m m − m+2 + m+2 m+2 m+2 2m m+2 xn+1 = xn −  m = xn −     f (xn ) − m −1 m+2 m 2m2 − m+2 (m+2)2 2m − m+2 m+2 2m m+2 f (xn )   m m+2 m f (xn ) − = xn −  1−m  f (yn ) m −1 m+2 −m f (yn ) −2 m+2 f (xn ) = xn − m m+2 m −2m −m m 4m f (xn ) + 41 m(m + 2)  m m+2 −m f (yn ) f (xn ) − 14 m(m − 2)f (xn ) + 41 m(m + 2)  m m+2 f (xn ) −m f (yn ) Ta có phương pháp có tốc độ hội tụ bậc ba khác cho trường hợp nghiệm bội:   2m  = xn − m+2 un , y n −m  1 m  − m(m−2)f (x )+ m(m+2) f (yn ) n 4 m+2  x = x − n+1 n f (xn ) 2.3.3 Phương pháp Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi Mehdi Gholami Porshokouhi (2011, [5]) Năm 1987, C C Dong [57] đưa phương pháp hội tụ bậc ba cho nghiệm bội phương trình phi tuyến sau:   zn  xn+1 √ n) m ff0(x , (xn )  1−m f (zn ) = zn − − √1m f (xn ) = xn − (2.13) Dựa phương pháp Dong, [5] xây dựng phương pháp bậc ba cách xét sơ đồ lặp   y n n) , = xn − θ ff0(x (xn )  xn+1 = xn − (2.14) af (xn )+bf (yn ) f (yn ) , cf (xn )+df (yn ) f (xn ) 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến với a, b, c, d, θ tham số xác định cho phương pháp (2.14) hội tụ bậc ba Nếu a= √  −m + √m 1−m m, b = m , c = 0, d = 1, θ = m m cơng thức (2.14) trở thành (2.13) Nếu (2θ2 + θ − m)c2 µ−m + (3θ2 + 2θ − 2m)cd + (θ2 + θ − m)d2 µm , θ2 (c + dµm ) (θ2 + 2θ − 2m)cdµ−m + (θ − m)d2 + (θ2 + θ − m)c2 µ−2m b = −m , θ2 (c + dµm ) m−θ µ= , m a=m phương pháp lặp (2.14) hội tụ bậc ba tới x∗ 2.3.4 Phương pháp B Neta, Anthony N Johnson (2008, [4]) Chúng ta bắt đầu với phương pháp lặp Jarratt (1966, [82]) xn+1 = xn − a1 f (x f (xn ) , 0 n ) + a2 f (yn ) + a3 f (ηn ) (2.15) un = f (xn ) , f (xn ) yn = xn − aun , = f (xn ) , f (yn ) ηn = xn − bun − cvn Jarratt phương pháp (đối với nghiệm đơn) hội tụ bậc năm a = 1, b = 81 , c = 38 , a1 = a2 = 61 , a3 = 32 Chúng ta tìm sáu tham số a, b, c, a1 , a2 , a3 cho phương pháp có tốc độ hội tụ lớn tới nghiệm x∗ bội m, tham số phụ thuộc vào m Trong [4] chứng minh phương pháp (2.15) hội tụ bậc bốn với sai số: en+1 = C11 en + C21 B1 e2n + (C31 B12 + C32 B2 )e3n + (C41 B13 + C42 B1 B2 + C43 B3 )e4n + (2.16) hệ số Cij phụ thuộc tham số b, c, a1 , a2 , a3 , chọn a = m m!f (i) (x∗ ) Bi−m = , i > m i!f (m) (x∗ ) 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến m Với m = ta chọn b = a = Giá trị tham số trường hợp m = 2, 3, 4, 5, cho bảng sau: m 2 a 3 2 b tự tự tự c tự 1−b 0.06478279184 0.0217372041 0.0082119760 a1 - 12 -0.4374579865 -0.4303454005 -0.3681491853 a2 3(b-1) 7.90412890309 18.8154365391 39.6876826792 a3 -5.9128176652 -15.8940830499 -35.6993794378 r1 − 21 − 13 -0.2362609294 -0.1647909926 -0.1201790024 r2 8 − b 0.1546752539 0.1013867224 0.07303104907 r3 0.08352683535 0.06967247928 0.05702535018 −b − 25 b 108 b − 43 72 25 b 72 4− − 125 72 b 1296 25 81 − − 37 108 b 972 25 Bảng Sai số en+1 = (r1 B1 B2 + r2 B13 + r3 B3 )e4n , r1 , r2 , r3 cho bảng với m 2.3.5 Phương pháp Beny Neta (2010, [3]) Phương pháp Murakami [46] giải phương trình f (x) = xn+1 = xn − a1 un − a2 ω2 (xn ) − a3 ω3 (xn ) − ψ(xn ), (2.17) un = f (xn ) , f (xn ) ω2 (xn ) = f (xn ) , f (yn ) ω3 (xn ) = yn = xn − aun , f (xn ) , f (zn ) ψ(xn ) = f (xn ) , b1 f (xn ) + b2 f (yn ) zn = xn − bun − cω2 (xn ) Murakami phương pháp (2.17) (đối với nghiệm đơn) hội tụ bậc năm a = 1, b= − c, c = c = 12 , a1 = 0.3879870, a2 = −1.420700, a3 = 32 , b1 = −0.1186015, b2 = 0.8506410 (xem [46]) Trong [3] tìm tham số a, b, c, a1 , a2 , a3 , b1 b2 cho phương pháp có tốc độ hội tụ cao tới nghiệm x∗ bội m phương trình f (x) = Các tham số phụ thuộc vào bội m Trong [3] chứng minh phương pháp lặp (2.17) hội tụ bậc bốn cách chọn a = m , b2 = − 2m−1 b1 b = c = với sai số (2.16) Với m = 2, m = 3, m = ta có tham số sau: 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến m 2 3 a 1 3 2 b tự 0.9415780151 c tự 0.2353945038 1.9640446368 b1 1 tự tự 0.05 b2 -1 -1 − 4b1 − 4b1 0.0268934369 a1 -6 -6 −2.5128989321 − 16b1 −10.571320917 − 16b1 -7.49156894 a2 3 −1.8238807632 + 4b1 0.1907247330 + 4b1 -0.91067191 a3 0 4.1469082443 4.1469082443 -0.92646960 C41 15 32 15 32 -6.1027059066 -6.1836740792 -1.35078537 C42 − 12 − 12 9.4693139272 9.5300400567 2.141639816 C43 8 -3.4826758270 -3.4826758270 -0.822966731 Bảng 2.3.6 Phương pháp S G Li, L Z Cheng, B Neta (2010, [41]) Chúng ta lại xét phương trình lặp Jarratt [82] xn+1 = xn − a1 f (x f (xn ) , 0 n ) + a2 f (yn ) + a3 f (ηn )     yn         η n = xn − aun , = un = f (xn ) , f (xn ) f (xn ) , f (yn ) = xn − bun − cvn Bằng cách chọn sáu tham số a, b, c, a1 , a2 , a3 người ta đưa sáu phương pháp hội tụ bậc bốn tới nghiệm bội m phương trình f (x) = - Phương pháp thứ     xn+1    yn      η n = xn − f (xn ) , a1 f (xn )+a2 f (yn )+a3 f (ηn ) = xn − 2m u , m+2 n = xn − 2m u m+2 n 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 +2 (2.18)  m m+2 m , http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến với 3m4 + 16m3 + 40m2 − 176 , 16 m(m + 8) m4 + 3m3 + 10m2 − 4m +  m a2 = , m m(m + 8) a1 = − m+2 a3 = m + 6m4 + 8m3 − 16m2 − 48m − 32 16 m2 (m + 8) - Phương pháp thứ hai     xn+1    yn      η n = xn − f (xn ) , a1 f (xn )+a2 f (yn )+a3 f (ηn ) = xn − 2m u , m+2 n (2.19)  m m = xn − m+2 , m6 − m5 − 14m4 + 12m3 + 48m2 − 80m + 32 , m(m3 + 2m2 − 8m + 4) m 3m4 − 6m3 − 20m2 + 40m − 16  m a2 = − , m 16 (m3 + 2m2 − 8m + 4) a1 = m+2 a3 =  16 m3 (m2 − 4) m m+2 m (m3 + 2m2 − 8m + 4) - Phương pháp thứ ba     xn+1    yn      ηn n) = xn − a1 un − a2 − a3 ff0(x , (ηn ) = xn − = xn − (2.20) 2m u , m+2 n 2m u m+2 n +2  m m+2 m , a1 = m m4 + 4m3 − 8m + 48 , + 2m + 8 m  a2 = m m+2 m m(m3 + 12m2 + 36m + 32) m2 + 2m + m (m + 6m2 + 12m + 8) a3 = − m2 + 2m + 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 , http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến - Phương pháp thứ tư     xn+1    yn      ηn n) , = xn − a1 un − a2 − a3 ff0(x (ηn ) = xn − (2.21) 2m u , m+2 n m  m = xn − m+2 , a1 = − a2 = m(2m4 − m3 − 12m2 + 20m − 8) , m2 − 4m +   m m+2 m m(5m4 + 10m3 − 16m2 − 24m + 16)  m −m4m + m m (m + 2) m+2 a3 = − m2 − 4m + - Phương pháp thứ năm b = a   xn+1 = xn − a3 f0(xn ) − f (yn )  yn = xn − , f (xn ) , b1 f (xn )+b2 f (yn ) (2.22) 2m u , m+2 n  m m+2 m m(m − 2)(m + 2)3 a3 = − , m3 − 4m + (m3 − 4m + 8)2 b1 = − , m(m2 + 2m − 4)3 m2 (m3 − 4m + 8)  m b2 = m + 2m − 4)3 (m m+2 - Phương pháp thứ sáu b =   xn+1 = xn − a3 f0(xn ) − f (yn )  y n = xn − f (xn ) , b1 f (xn )+b2 f (yn ) (2.23) 2m u , m+2 n a= 2m 1 m , a3 = − m2 + m, b1 = − , b2 =  m m+2 m m m+2 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến 2.3.7 Phương pháp Eldon Hansen Merrell Patrick (1977, [10]) Tác giả xây dựng phương pháp lặp bậc ba nghiệm đơn phương trình f (x) = sau xn+1 = xn − (α + 1)f (xn ) h i1/2 , 02 00 αf (xn ) ± f (xn ) − (α + 1)f (xn )f (xn ) với α 6= −1 tham số cố định Trong [10] áp dụng phương pháp cho trường hợp nghiệm bội m để sơ đồ lặp m(mα + 1)f xn+1 = xn − mαf h ± m(mα − α + 1)f 02 − m(mα + 1)f f 00 (2.24) i1/2 với số xác định α, phương pháp (2.24) hội tụ bậc ba tới nghiệm bội m Cho α = − m1 , từ phương trình (2.24) ta có m(mα + 1)f xn+1 = xn − mαf h 1)f 02 1)f f 00 i1/2 + m(mα − α + − m(mα +  1/2   02 00 m(mα + 1)f mαf − m(mα − α + 1)f − m(mα + 1)f f = xn − m2 α2 f 02 − m(mα − α + 1)f 02 + m(mα + 1)f f 00   02 m(mα + 1)f mαf − m(mα − α + 1)f − m(mα + 1)f f = xn − = xn − 00 1/2  (m2 α2 − m2 α + mα − m)f 02 + m(mα + 1)f f 00   1/2  02 00 m(mα + 1)f mαf − m(mα − α + 1)f − m(mα + 1)f f m(mα + 1)(α − 1)f 02 + m(mα + 1)f f 00   1/2  02 00 f mαf − m(mα − α + 1)f − m(mα + 1)f f = xn − (α − 1)f 02 + f f 00  02 00 1/2 f − f − [f − m(−1 + 1)f f ]   = xn − , − m1 − f 02 + f f 00  = xn − −2f f = xn − − m+1 f 02 + f f 00 m f − m+1 f 2m 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 f f 00 2f (α = − ) m http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến Khi phương trình (2.24) trở thành phương pháp Halley hội tụ bậc ba tới nghiệm bội m f (xn ) xn+1 = xn − Cho α = n−m m+1 f (xn ) 2m − f (xn )f 00 (xn ) 2f (xn ) (n tham số), (2.24) trở thành phương pháp Laguerre [59] m(mα + 1)f h i1/2 mαf ± m(mα − α + 1)f 02 − m(mα + 1)f f 00   m m n−m + f = xn −   1/2    m m m f ± m n−m − n−m + f 02 − m n−m + f f 00 n−m xn+1 = xn − mn f n−m = xn − m f0 n−m ±  m2 n−m − m n−m  + m f 02 − mn f f 00 n−m 1/2 mn f n−m = xn − m f0 n−m  ± m(n−1) 02 f n−m − mn f f 00 n−m 1/2 nf = xn − f0 ± h (n−m)(n−1) 02 f m − n(n−m) f f 00 m i1/2 nf = xn −  f0 ± (n−m) m  (n − 1)f 02 − nf f 00 1/2 nf (xn ) xn+1 = xn −  f (xn ) ± n−m m  1/2 (n − 1)f 02 (xn ) − nf (xn )f 00 (xn ) Cho α → ∞ (2.24) trở thành phương pháp Newton xn+1 = xn − m 2.3.8 f (xn ) f (xn ) Phương pháp Ljiljana D Petkovi´ c, Miodrag S Petkovi´ c, ˇ Dragan Zivkovi´ c (2003, [24]) Như trình bày mục 2.3.7, phương pháp lặp Hansen Patrick [10] cho nghiệm đơn (α + 1)f (xn ) h i1/2 , 02 00 αf (xn ) ± f (xn ) − (α + 1)f (xn )f (xn ) 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xn+1 = xn − 62 Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến với α 6= −1 tham số Sơ đồ lặp Laguerre [24] viết lại sau xn+1 = L(f, υ; xn ) = xn − f (x υf (xn ) p , 02 (υ − 1) f (xn ) − υ(υ − 1)f (xn )f 00 (xn ) n) ± (2.25) υ 6= 0, tham số Giả sử hàm số F (x) = f m (x) ta có 1 −1 F f fm f = , m mf f 02 (1 − m) + mf f 00 F 00 = F m2 f F0 = Áp dụng sơ đồ (2.25) vào hàm F ta υF p F ± (υ − 1)2 F 02 − υ(υ − 1)F F 00 υF q = xn − 02 00 02 Ff F f − υ(υ − 1)F f (1−m)+mf f (υ − 1) ± 2 2 mf m f m f xn+1 = xn − Sau rút gọn nhận lớp phương pháp lặp Laguerre [59] tìm nghiệm bội hàm f , cho công thức xn+1 = Lm (f, υ; xn ) = xn − mυf p f ± (mυ − 1)(υ − 1)f 02 − mυ(υ − 1)f f 00 (2.26) Thay mυ = λ ta λf xn+1 = xn − r f0 ± λ−m m h (λ − 1)f 02 − λf f 00 i Các trường hợp đặc biệt: + Lấy υ = 1, phương trình (2.26) trở thành phương pháp Newton xn+1 = Lm (f, 1; xn ) = xn − m f (xn ) f (xn ) + Lấy υ = 2, từ (2.26) ta phương pháp Euler hội tụ bậc ba xn+1 = Lm (f, 2; xn ) = xn − 2mf (xn ) p f (xn ) ± (2m − 1)f (xn )2 − 2mf (xn )f 00 (xn ) + Phương trình (2.26) tương đương với p f ± (mυ − 1)(υ − 1)f 02 − mυ(υ − 1)f f 00 xn+1 = xn − mf (m + − mυ)f 02 + m(υ − 1)f f 00 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến Cho υ = người ta thu f (xn ) ± |f (xn )| mf (xn ) (m + 1)f 02 (xn ) − mf (xn )f 00 (xn ) 2mf (xn )f (xn ) = xn − (m + 1)f 02 (xn ) − mf (xn )f 00 (xn ) f (xn ) = xn − m+1 00 (x ) − f (xn )f (xn ) f n 2m 2f (xn ) xn+1 = Lm (f, 0; xn ) = xn − Đây phương pháp Halley nghiệm bội có tốc độ hội tụ bậc ba + Cho υ → ∞ (2.26) ta phương pháp Ostrowski bậc ba √ mf (xn ) xn+1 = Lm (f, ∞; xn ) = xn − p f 02 (xn ) − f (xn )f 00 (xn ) + Lấy υ = α + (2.25) trở thành xn+1 = Lm (f, + 1; xn ) = xn − α αf ± r m(α + 1)f  m(α + 1) − α f 02 − m(α + 1)f f 00 Cho α → mα ta có phương pháp Hansen-Patrick nghiệm bội: xn+1 = xn − 2.4 2.4.1 m(mα + 1)f r   mαf ± m α(m − 1) + f 02 − m(mα + 1)f f 00 Một số phương pháp khác Phương pháp Naoki Osada (2007, [34]) Phương pháp Chebyshev - Halley nghiệm đơn xác định công thức:   f (xn )f 00 (xn ) f (xn ) f 02 (xn )  , α ∈ R 1+  xn+1 = xn − 00 (x ) n f (xn ) − αf (xf 02n )f (xn ) Đặt uf (xn ) = f (xn ) f (xn ) Lf (xn ) = f (xn )f 00 (xn ) f 02 (xn ) Hàm lặp Cheybyshev - Halley là:   Lf (xn )  , α∈R φα (xn ) = xn − uf (xn ) +  − αLf (xn ) (2.27) hội tụ bậc ba tới nghiệm đơn Giả sử f (x) có nghiệm bội m Đặt h(x) = p m f (x), đó: h(xn ) = muf (xn ), h0 (xn ) h(xn )h00 (xn ) = − m + mLf (xn ) Lh (xn ) = h02 (xn ) 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn uh (xn ) = 64 Chương Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến Áp dụng (2.27) h(x) ta có   Lh (xn )  , α∈R φα,m (xn ) = xn − uh (xn ) +  − αLh (xn )   − m + mLf (xn )  = xn − muf (xn ) +  − α[1 − m + mLf (xn )] h   i − 2α − m + mLf (xn ) + − m + mLf (xn ) muf (xn ) = xn − − 2α(1 − m) − 2mLf (xn ) h i − m − 2α(1 − m) + (−2α + 1)mLf (xn ) muf (xn ) = xn − , − 2α(1 − m) − 2mαLf (xn ) h i − m − 2α(1 − m) + m(1 − 2α)Lf (xn ) muf (xn ) φα,m (xn ) = xn − − 2α(1 − m) − 2mαLf (xn ) (2.28) Với φα,1 (xn ) = φα (xn ), sơ đồ lặp xn+1 = φα,m (xn ) gọi phương pháp Chebyshev - Halley cải tiến Khi α = 12 , (2.28) phương pháp Halley Nếu α = (2.28) phương pháp Euler - Chebyshev hội tụ bậc ba: xn+1 = xn − Khi m > α = φ 1−m ,m 1−m mf (xn )  mf (xn )f 00 (xn )  − m + 2f (xn ) f 02 (xn ) (2.28) trở thành (m − 1)2 uf (xn ) (xn ) = xn − m(m + 1)uf (xn ) + 2Lf (xn ) Nếu cho α → ±∞ (2.28) ta lại phương pháp Newton xn+1 = xn − m f (xn ) f (xn ) Phương pháp Chebyshev - Halley cải tiến (2.28) hội tụ bậc ba tới nghiệm bội m > phương trình f (x) = 2.4.2 Phương pháp Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta (2008, [7]) Chúng ta xây dựng hai phương pháp có tốc độ hội tụ bậc ba trường hợp nghiệm bội Phương pháp thứ dựa phương pháp có tốc độ hội tụ bậc ba 71Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65