Luận văn Phương pháp newton cải tiến giải phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao11781

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2012 1S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2012 2S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn - Tin, Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo kính mến PGS TS Tạ Duy Phượng, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc công việc, gần gũi sống thầy giúp cho tơi có niềm tin, ý thức trách nhiệm tâm cao để hoàn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình bạn bè, người đồng hành, hết lịng động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn thạc sĩ Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa 3S hóa b i Trung tâm H c li u – i i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân 1.1.1 Phương pháp Weerakoon Fernando (2000, [42]) 1.1.2 Phương pháp Frontini Sormani (2003, [25]) 1.1.3 Phương pháp Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang (2006, [17]) 1.1.4 Phương pháp Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu (2008, [21]) 10 1.1.5 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [36]) 10 1.1.6 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin (2010, [38]) 12 1.1.7 Phương pháp H H H Homeier (2005, [13]) 14 1.1.8 Phương pháp Rostam K Saeed Fuad W Khthr (2010, [40]) 1.1.9 Phương pháp P Wang (2011, [39]) 20 15 1.1.10 Phương pháp Sanjay K Khattri, Ravi P Agarwal (2010, [44]) 20 1.1.11 Phương pháp V Kanwar, Kapil K Sharma, Ramandeep Behl (2010, [48]) 21 1.1.12 Phương pháp Hadi Taghvafard (2011, [14]) 23 1.2 Phương pháp hai bước, ba bước bốn bước 25 1.2.1 Phương pháp Potra Pták (1984, [11]) 25 4S hóa b i Trung tâm H c li u – i i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC 1.2.2 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [37]) 25 1.3 1.2.3 Phương pháp Sanjay K Khattri, Ioannis K Argyros (2010, [43]) 26 1.2.4 Phương pháp Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) 27 1.2.5 Phương pháp Linke Hou Xiaowu Li (2010, [23]) 27 Phương pháp tham số 28 1.3.1 Phương pháp Mamta, V Kanwar, V K Kukreja, Sukhjit Singh (2005, [28]) 28 1.3.2 Phương pháp Sanjay K Khattri S Abbasbandy (2011, [45]) 29 1.3.3 Phương pháp Yao-tang Li, Ai-quan Jiao (2009, [49]) 29 1.3.4 Phương pháp Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou He Julin (2007, [19]) 33 1.4 1.5 Phương pháp khai triển Taylor 33 1.4.1 Phương pháp Jisheng Kou (2007, [18]) 33 1.4.2 Phương pháp M M Hosseini (2009, [27]) 35 1.4.3 Phương pháp Chebyshev 36 Phương pháp nội suy tuyến tính 37 1.5.1 Phương pháp Manoj Kumar Singh (2009, [29]) 37 1.5.2 Phương pháp Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem (2010, [32]) 38 1.5.3 1.6 Phương pháp Manoj Kumar Singh S R Singh (2011, [30]) 39 Một số phương pháp khác 40 1.6.1 Phương pháp H H H Homeier (2003, [12]) 40 1.6.2 Phương pháp J R Sharma (2005, [15]) 41 1.6.3 Phương pháp B Neta (2008, [2]) 42 1.6.4 Phương pháp J R Sharma (2007, [16]) 43 1.6.5 Phương pháp Tibor Luki´c, Nebojˇsa M Ralevi´c [47] 44 1.6.6 Phương pháp Keyvan Amini (2007, [20]) 44 1.6.7 Phương pháp Mehdi Dehghan Masoud Hajarian (2010, [31]) 5S hóa b i Trung tâm H c li u – ii i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Một số phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến 48 2.1 Phương pháp Newton - Raphson 48 2.2 Phương pháp xấp xỉ 49 2.2.1 Phương pháp D K R Babajee MZ Dauhoo (2007, [9]) 49 2.2.2 Phương pháp N A Mir Naila Rafiq (2007, [33]) 51 2.2.3 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad Raza, Tahira Nawaz (2010, [35]) 52 2.3 Phương pháp tham số 53 2.3.1 Phương pháp Li Shengguo, Li Housen Cheng Lizhi (2009, [22]) 53 2.3.2 Phương pháp M Heydari, S M Hosseini, G B Loghmani (2010, [26]) 54 2.3.3 Phương pháp Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi Mehdi Gholami Porshokouhi (2011, [5]) 55 2.3.4 Phương pháp B Neta, Anthony N Johnson (2008, [4]) 56 2.3.5 Phương pháp Beny Neta (2010, [3]) 57 2.3.6 Phương pháp S G Li, L Z Cheng, B Neta (2010, [41]) 58 2.3.7 Phương pháp Eldon Hansen Merrell Patrick (1977, [10]) 61 2.3.8 Phương pháp Ljiljana D Petkovi´c, Miodrag S Petkovi´c, Dragan ˇ Zivkovi´ c (2003, [24]) 62 2.4 Một số phương pháp khác 64 2.4.1 Phương pháp Naoki Osada (2007, [34]) 64 2.4.2 Phương pháp Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta (2008, [7]) 65 2.4.3 Phương pháp Changbum Chun, Beny Neta (2009, [6]) 67 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 6S hóa b i Trung tâm H c li u – 70 i h c Thái Nguyên iii ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Isaac Newton (1642 - 1727) nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên nhà tốn học vĩ đại người Anh Ơng xây dựng cơng thức giải phương trình phi tuyến f (x) = viết năm 1671 cơng bố lần vào năm 1685 Newton tính tốn chuỗi đa thức sau ơng đưa đến nghiệm xấp xỉ phương trình Joseph Raphson (1648 - 1715) coi phương pháp Newton hoàn toàn phương pháp đại số giới hạn việc sử dụng cho đa thức biến Tuy nhiên Raphson mô tả phương pháp thông qua dãy xấp xỉ xn thay chuỗi đa thức phức tạp Newton Cách giải thích Raphson xem đơn giản Newton ông công bố vào năm 1690 Ngày gọi phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến f (x) = việc xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm phương trình Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng khoa học kĩ thuật, đặc biệt ngành Tốn học nói chung phương pháp số nói riêng Trong thực tế có khả ứng dụng lớn Sau phương pháp Newton – Raphson đời, việc giải phương trình phi tuyến phát triển mạnh mẽ có ứng dụng nhiều lĩnh vực Giải tốn có ý nghĩa thực tế quan trọng, đặc biệt giai đoạn với hỗ trợ máy tính điện tử việc trở nên có hiệu lực Điều thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu phương pháp Dựa sở phương pháp Newton – Raphson có, nhiều báo đăng tạp chí tiếng giới nói cách xây dựng phương pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, thực máy tính điện tử 7S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trong luận văn này, tơi trình bày tổng quan phương pháp Newton cải tiến có tốc độ hội tụ cao giải gần phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có nghiệm đơn phương trình có nghiệm bội Do khn khổ luận văn, phương pháp Newton mở rộng cho hệ phương trình phi tuyến phương trình khơng gian Banach khơng trình bày Tuy nhiên, phần TÀI LIỆU BỔ SUNG chúng tơi có liệt kê báo phương pháp Newton cho hệ phương trình (trang 77 - 80, tài liệu [95] - [122]) phương trình không gian Banach (trang 80 - 82, tài liệu [123] - [145]) Luận văn gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương trình bày phương pháp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Đồng thời đưa định lý hội tụ phương pháp minh họa số ví dụ Chương nhắc lại khái niệm nghiệm bội phương trình f (x) = đưa phương pháp tìm nghiệm bội phương trình phi tuyến số ví dụ minh họa Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa 8S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Giải phương trình phi tuyến tốn quan trọng giải tích số Trước hết, xét phương trình (1.1) f (x) = Giải gần phương trình f (x) = thực theo hai bước: Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm Mỗi phương trình nói chung có nhiều nghiệm Chúng ta cần tìm khoảng chứa nghiệm (a, b), phương trình có nghiệm (có nghiệm) tiêu chuẩn sau Định lí (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f (x) liên tục đoạn [a, b] thỏa mãn điều kiện f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) Định lí (Hệ Định lí 1) Giả sử f (x) hàm liên tục đơn điệu ngặt đoạn [a, b] Khi f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) Định lí (Hệ Định lí 2) Giả sử f (x) có đạo hàm f ′ (x) đạo hàm f ′ (x) khơng đổi dấu đoạn [a, b] Khi f (a)f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (a, b) 9S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Bước 2: Giải gần phương trình Sau sử dụng ba định lí để xác định khoảng chứa nghiệm phương trình f (x) = 0, xét phương pháp giải gần phương trình phi tuyến f (x) = trường hợp nghiệm đơn Ở f : R → R hàm phi tuyến trơn có nghiệm đơn x∗ , tức f (x∗ ) = f ′ (x∗ ) = Xuất phát từ giá trị ban đầu x0 thuộc khoảng phân li nghiệm phương trình (1.1), xấp xỉ xác định công thức xn+1 = ϕ(xn ), n = 0, 1, 2, Phương pháp Newton - Raphson tìm nghiệm x∗ phương trình (1.1) sử dụng sơ đồ lặp xn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) (1.2) Phương pháp lặp có tốc độ hội tụ bậc hai tốt f ′ (x∗ ) = Người ta cải tiến phương pháp trở nên tốt cách nâng tốc độ hội tụ lên cao Trong chương này, trình bày lại nội dung số báo cải tiến phương pháp Newton giải gần phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao cho trường hợp nghiệm đơn minh họa qua số ví dụ tính tốn cụ thể Trường hợp nghiệm bội phương trình xét Chương 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân Xét biểu diễn hàm f (x) dạng x f ′ (t)dt f (x) = f (xn ) + (1.3) xn Nhiều nhà toán học cải tiến phương pháp Newton việc xấp xỉ tích phân cơng thức (1.3) quy tắc khác thu khơng phương pháp lặp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao Dưới chúng tơi trình bày phương pháp giải phương trình f (x) = có tốc độ hội tụ bậc cao số báo 10S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến 1.1.1 Phương pháp Weerakoon Fernando (2000, [42]) Ta có x f ′ (t)dt f (x) = f (xn ) + xn Bằng việc xấp xỉ tích phân hình chữ nhật hình thang ta có x f ′ (t)dt ≈ (x − xn )f ′ (xn ); xn x f ′ (t)dt ≈ (x − xn ) xn (1.3a) f ′ (xn ) + f ′ (x) (1.3b) Giả thiết f (x) khả vi liên tục f ′ (x∗) = Khi f ′ (xn ) = với xn đủ gần x∗ Từ (1.3a) ta có f (x) ≈ f (xn ) + (x − xn )f ′ (xn ) x − xn ≈ f (x) − f (xn ) f (x) − f (xn ) ⇒ x ≈ xn + , ′ f (xn ) f ′ (xn ) n) Đây cơng thức lặp Newton - Raphson, kết hợp f (x) = ta x ≈ xn − ff′(x (xn ) có tốc độ hội tụ bậc hai (xem thí dụ, [51]) Từ (1.3b) ta có f ′ (xn ) + f ′ (x) f ′ (xn ) + f ′ (x) f (x) − f (xn ) = (x − xn ) 2 f (x) − f (xn ) 2f (xn ) x − xn = = − f ′ (xn ) + f ′ (x) f ′ (xn ) + f ′ (x) f (x) ≈ f (xn ) + (x − xn ) Cho x = xn+1 ta có xn+1 = xn − f ′ (x 2f (xn ) ′ n ) + f (xn+1 ) Suy công thức lặp 2f (xn ) xn+1 = xn − f ′ (xn ) + f ′ xn − f (xn ) f ′ (xn ) (1.4) Định lý Giả sử f : D ⊂ R → R với D khoảng mở, f có đạo hàm cấp một, cấp hai cấp ba khoảng D Nếu f (x) có nghiệm đơn x∗ ∈ D x0 đủ gần x∗ phương pháp xác định (1.4) có sai số: 11S hóa b i Trung tâm H c li u – en+1 = (C22 + C3 )e3n + O(e4n ), i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến en = xn − x∗ Ci = f (i) (x∗ ) , i! f ′ (x∗ ) i = 1, 2, 3, Chứng minh: Chúng ta sử dụng khai triển Taylor ′′ f (x∗ )e2n + f (3) (x∗ )e3n + O(e4n ) 2! 3! ′′ (3) f (x )e f (x )e 1 ∗ n ∗ n + + O(e4n ) = f ′ (x∗ ) en + 2! f ′ (x∗ ) 3! f ′ (x∗ ) f (xn ) = f (x∗ + en ) = f (x∗ ) + f ′ (x∗ )en + = f ′ (x∗ )[en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n )], f ′ (xn ) = f ′ (x∗ + en ) = f ′ (x∗ ) + f ′′ (x∗ )en + = f ′ (x∗ ) + (3) f (x∗ )e2n + O(e3n ) 2! f (3) (x∗ )e2n f ′′ (x∗ )en + + O(e3n ) f ′ (x∗ ) 2! f ′ (x∗ ) = f ′ (x∗ )[1 + 2C2 en + 3C3 e2n + O(e3n )] Suy f (xn ) en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n ) = f ′ (xn ) + 2C2 en + 3C3 e2n + O(e3n ) = [en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n )] × − [2C2 en + 3C3 e2n + O(e3n )] + [2C2 en + 3C3 e2n + O(e3n )]2 − = [en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n )] − [2C2 en + 3C3 e2n + O(e3n )] + 4C22 e2n + = [en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n )][1 − 2C2 en + (4C22 − 3C3 )e2n + O(e3n )] = en − 2C2 e2n + (4C22 − 3C3 )e3n + C2 e2n − 2C22 e3n + C3 e3n + O(e4n ) = en − C2 e2n + (2C22 − 2C3 )e3n + O(e4n ), x∗n+1 = xn + f (xn ) f ′ (xn ) = x∗ + en − [en − C2 e2n + (2C22 − 2C3 )e3n + O(e4n )] = x∗ + C2 e2n + (2C3 − 2C22 )e3n + O(e4n ) f ′ (x∗n+1 ) = f ′ (x∗ ) + [C2 e2n + (2C3 − 2C22 )e3n + O(e4n )]f ′′ (x∗ ) = f ′ (x∗ ) + [2C2 e2n + 4(C3 − C22 )e3n + O(e4n )] f ′′ (x∗ ) 2f ′ (x∗ ) = f ′ (x∗ )[1 + 2C22 e2n + 4C2 (C3 − C22 )e3n + O(e4n )], 12S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến f ′ (xn ) + f ′ (x∗n+1 ) = 2f ′ (x∗ ) + C2 en + (C22 + C3 )e2n + O(e3n ) Suy 2f (xn ) en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n ) = f ′ (xn ) + f ′ (x∗n+1 ) + C2 en + (C22 + 32 C3 )e2n + O(e3n ) = [en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n )] − [C2 en + (C22 + C3 )e2n + O(e3n )] + [C2 en + (C22 + C3 )e2n + O(e3n )]2 − = [en + C2 e2n + C3 e3n + O(e4n )][1 − C2 en − C3 e2n + O(e3n )] = en − C2 e2n − C3 e3n + C2 e2n − C22 e3n + C3 e3n + O(e4n ) = en − (C22 + C3 )e3n + O(e4n ) Khi 2f (xn ) ′ ∗ n ) + f (xn+1 ) en+1 + x∗ = en + x∗ − [en − (C22 + C3 )e3n + O(e4n )] en+1 = (C22 + C3 )e3n + O(e4n ) xn+1 = xn − f ′ (x Vậy phương pháp lặp (1.4) hội tụ bậc ba Ví dụ Xét hàm số sau: f1 (x) = x3 + 4x2 − 10 f2 (x) = sin2 x − x2 + f3 (x) = x2 − ex − 3x + f4 (x) = cosx − x f5 (x) = x3 − 10 Chúng ta tìm nghiệm xấp xỉ phương trình xác đến 15 chữ số thập phân so sánh số lần lặp phương pháp Newton (PPN) với phương pháp (1.4) (PP(1.4)) (Bảng 1), ta thấy (PP(1.4)) có tốc độ hội tụ cao (PPN) 13S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Hàm x0 PPN PP(1.4) x∗ x3 + 4x2 − 10 1.36523001341448 sin2 x − x2 + 1 1.40449164821621 x2 − ex − 3x + 2 4 0.257530285439771 cosx − x 0.739085133214758 x3 − 10 1.5 2.15443469003367 Bảng 1.1.2 Phương pháp Frontini Sormani (2003, [25]) Chúng ta dùng quy tắc trung điểm để xấp xỉ tích phân x f ′ (t)dt ≈ (x − xn )f ′ ( xn xn x + ) 2 Kết hợp với f (x) = cho x ≈ xn+1 ta f (xn ) xn+1 = xn − f′ xn +xn+1 Thay xn+1 vế phải phương trình phương pháp Newton suy công thức lặp hội tụ bậc ba f (xn ) xn+1 = xn − f ′ xn − f (xn ) 2f ′ (xn ) (1.5) Frontini Sormani tổng quát hóa cách tiếp cận Weerakoon Fernando Xét m Qm (f ) = (x − xn ) ωj f (ηj ) j=1 ηj = xn + τj (x − xn ), τj ∈ [0, 1], m ωj = j=1 Frontini Sormani xấp xỉ tích phân sau: m j=1 ωj τj = 21 x f ′ (t)dt ≈ Qm (f ′ ) xn Khi m x f ′ (t)dt ≈ f (xn ) + (x − xn ) f (x) = f (xn ) + xn 14S hóa b i Trung tâm H c li u – ωj f ′ (ηj ) j=1 i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến m Thay x = xn+1 , ta có f (xn+1 ) = f (xn ) + (xn+1 − xn ) ωj f ′ (ηj ), xn+1 ≈ x∗ nên j=1 f (xn+1 ) ≈ f (x∗ ) = 0, suy xn+1 − xn = − f (xn ) ωj f ′ (η f (xn ) ⇒ xn+1 = xn − m j) ωj j=1 m f ′ (η j) j=1 Theo cách xấp xỉ tích phân hình chữ nhật ta có x ≈ xn − ηj = xn + τj (x − xn ) = xn + τj xn − f (xn ) f ′ (xn ) nên f (xn ) f (xn ) − x n = x n − τj ′ ′ f (xn ) f (xn ) Vậy xn+1 = xn − f (xn ) m ωj f′ xn − j=1 (1.6) n) τj ff′(x (xn ) Trong [25] chứng minh phương pháp (1.6) có tốc độ hội tụ bậc ba 1.1.3 Phương pháp Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang (2006, [17]) Ta có x f ′ (t)dt, f (x) = f (yn ) + yn với yn = xn + f (xn ) f ′ (xn ) Chúng ta sử dụng quy tắc trung điểm để xấp xỉ tích phân cơng thức x f ′ (t)dt ≈ (x − yn )f ′ yn x + yn Vì f (x) = coi xn+1 ≈ x nên f (xn+1 ) ≈ 0, ta f (yn ) xn+1 = yn − f′ Thay f ′ xn+1 +yn = f′ x∗n+1 +yn xn+1 +yn , với x∗n+1 nhận từ phương pháp lặp Newton ta thu f xn + xn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) f ′ (xn ) Công thức lặp (1.7) hội tụ bậc ba (xem [17]) 15S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên ThuVienDeThi.com − f (xn ) (1.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến 1.1.4 Phương pháp Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu (2008, [21]) Xét phương pháp (1.7) f xn + xn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) − f (xn ) f ′ (xn ) Thay f ′ (xn ) = λn f (xn ) + f ′ (xn ) ta có sơ đồ lặp f xn + xn+1 = xn − f (xn ) λn f (xn )+f ′ (xn ) − f (xn ) λn f (xn ) + f ′ (xn ) (1.8) với λn ∈ R, ≤ |λn | ≤ 1, n = 0, 1, 2, tham số chọn cho sign λn f (xn ) = sign f ′ (xn ) , sign(x) hàm dấu x sign(x) =   1, x ≥ 0,  −1, x < Công thức lặp (1.8) hội tụ bậc ba (xem [21]) 1.1.5 Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [36]) Xét phương trình f (x) = Khai triển Taylor hàm f (x) x = α với α đủ gần nghiệm đơn x∗ : f (x) = f (α) + f ′ (α)(x − α) + θ = Khi α đủ gần x∗ phương trình xấp xỉ f (α) + f ′ (α)(x − α) ≈ ⇒ x − α ≈ − f (α) , f ′ (α) = ′ f (α) Ta có phương pháp Newton hội tụ bậc hai: xn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) Để xây dựng phương pháp lặp hội tụ bậc ba, ta viết lại khai triển Taylor đến cấp hai hàm f (x) x = α sau f (x) = f (α) + f ′ (α)(x − α) + f ′′ (α) (x − α)2 + θ Phương trình xấp xỉ f (α) + f ′ (α)(x − α) + (x − α) 16S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên 10 ThuVienDeThi.com f ′′ (α) (x − α) ≈ http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến ta Kết hợp với phương pháp Newton - Raphson, thay x − α = − ff′(α) (α) f (α) + f ′ (α)(x − α) + − f (α) f ′′ (α) (x − α) ≈ f ′ (α) hay f (α) + (x − α) f ′ (α) − f (α)f ′′ (α) ≈ 2f ′ (α) Suy x−α≈− 2f (α)f ′ (α) , 2f ′2 (α) − f (α)f ′′ (α) với điều kiện 2f ′2 (α) − f (α)f ′′ (α) = Vậy x∗ ≈ α − 2f (α)f ′ (α) 2f ′2 (α) − f (α)f ′′ (α) Chúng ta có phương pháp lặp xn+1 = xn − 2f (xn )f ′ (xn ) , n = 0, 1, 2, 2f ′2 (xn ) − f (xn )f ′′ (xn ) Phương pháp gọi phương pháp Halley có tốc độ hội tụ bậc ba Theo công thức (1.3) ta có x f ′ (t)dt f (x) = f (xn ) + xn Xấp xỉ tích phân quy tắc hình chữ nhật điểm λx + (1 − λ)zn x f ′ (t)dt = (x − zn )f ′ λx + (1 − λ)zn zn Khai triển Taylor hàm f ′ λx + (1 − λ)zn Raphson x = zn − f (zn ) f ′ (zn ) điểm zn sử dụng công thức Newton - ta được: f ′ λx + (1 − λ)zn ≈ f ′ (zn ) + λ(x − zn )f ′′ (zn ) = f ′ (zn ) − λ f (zn ) ′′ f (zn ) f ′ (zn ) Thay vào công thức (1.3) kết hợp với f (x) = 0, ta có f (zn ) ′′ f (zn ) f ′ (zn ) f (zn )f ′ (zn ) x = zn − ′2 f (zn ) − λf (zn )f ′′ (zn ) −f (zn ) = (x − zn ) f ′ (zn ) − λ 17S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên 11 ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Từ phương trình ta thấy: λ = có phương pháp Newton λ= ta lại có phương pháp Halley Chúng ta đưa phương pháp lặp sau:    yn = xn −  xn+1 = yn − Người ta chứng minh với λ = f (xn )f ′ (xn ) , f ′2 (xn )−λf (xn )f ′′ (xn ) (1.9) f (yn ) f ′ (yn ) cơng thức lặp (1.9) hội tụ bậc sáu Để tính f ′ (yn ) bước lặp, ta cải tiến phương pháp (1.9) sau Giả sử yn xác định (1.9), ta sử dụng Taylor mở rộng f ′ (yn ): f ′ (yn ) ≈ f ′ (xn ) + f ′′ (xn )(yn − xn ), kết hợp với xấp xỉ Taylor f (yn ): f (yn ) ≈ f (xn ) + f ′ (xn )(yn − xn ) + f ′′ (xn )(yn − xn )2 Suy f (yn ) − f (xn ) 2f ′ (xn ) f (xn ) ≈ − (yn − xn )2 yn − xn ′′ Bằng cách này, ta loại bỏ đạo hàm cấp xấp xỉ f ′ (yn ) sau: f ′ (yn ) ≈ f (yn ) − f (xn ) − f ′ (xn ) yn − xn Khi cơng thức (1.9) viết lại sau:    yn = xn −  xn+1 = yn − f ′2 (x f (xn )f ′ (xn ) , ′′ n )−λf (xn )f (xn ) (1.10) f (yn ) f (y )−f (x ) yn −x n −f ′ (xn ) n n Người ta chứng minh công thức (1.10) hội tụ bậc năm λ = 1.1.6 (xem [36]) Phương pháp Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin (2010, [38]) Ta có x f ′ (t)dt, f (x) = f (zn ) + 18S hóa b i Trung tâm H c li u – zn i h c Thái Nguyên 12 ThuVienDeThi.com http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến xấp xỉ tích phân quy tắc trung điểm x f ′ (t)dt = (x − zn )f ′ ( x + zn ) zn Với f (x) = ta có −f (zn ) = (x − zn )f ′ ( f (zn ) x + zn ) ⇒ x − zn = − f ′ x+zn Coi x∗ ≈ x xn+1 ≈ x, ta có f (zn ) xn+1 = zn − f′ Đặt ωn = x∗ +zn x∗ +zn Tính x∗ theo phương pháp Ostrowski [1] zn , yn theo phương pháp Newton ta (xn − yn )f (yn ) , f (xn ) − 2f (yn ) f (yn ) z n = yn − ′ , f (yn ) f (xn ) yn = xn − ′ f (xn ) x∗ = yn − Từ công thức trên, có sơ đồ lặp sau: f (xn ) , f ′ (xn ) f (yn ) z n = yn − ′ , f (yn ) f (yn ) (xn − yn )f (yn ) , + ′ ωn = yn − f (xn ) − 2f (yn ) f (yn ) f (zn ) xn+1 = zn − ′ f (ωn ) yn = xn − Theo mục 1.1.5, sử dụng khai triển Taylor mở rộng cho hàm f ′ (yn ) kết hợp với xấp xỉ Taylor f (yn ) điểm xn loại bỏ đạo hàm cấp hai xấp xỉ f ′ (yn ) bởi: f ′ (yn ) ≈ f (yn ) − f (xn ) − f ′ (xn ) yn − xn Khi sơ đồ lặp trở thành   n)  , yn = xn − ff′(x  (x  n)   n −yn )f (yn ) + ωn = yn − 21 (x f (xn )−2f (yn )      xn+1 = zn − f′(zn ) , f (ωn ) 19S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên 13 ThuVienDeThi.com f (yn ) f (yn )−f (xn ) −f ′ (xn ) yn −xn , (1.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tổng quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến với zn = yn − f (yn ) f ′ (yn ) Người ta chứng minh công thức lặp (1.11) hội tụ bậc (xem [38]) 1.1.7 Phương pháp H H H Homeier (2005, [13]) Thay sử dụng hàm y = f (x) Newton - Raphson Homeier lại sử dụng hàm ngược nó: y x′ (η)dη, x(y) = x(yn ) + yn m y x′ (η)dη ≈ Rm (x′ ) = (y − yn ) yn ωj x′ (ξj ), j=1 với ξj = yn + τj (y − yn ), τj ∈ [0, 1], m ωj = j=1 m ωj τj = j=1 cho Rm có bậc nhỏ Ta có m ωj x′ (ξj ) x(y) = x(yn ) + (y − yn ) j=1 Kết hợp với y = y∗ = y(x∗ ) = 0, x(y) = x(y∗ ) = x∗ x(yn ) = xn ⇔ yn = f (xn ) ta m ωj x′ (ξj ) x∗ = xn + (y − yn ) j=1 Vì ξj = yn + τj (y − yn ) = (1 − τj )yn nên x∗ = xn − yn y = f (x) ⇒ x = g(y) Lấy đạo hàm hai vế theo x: = m j=1 ′ ′ gy yx ωj x′ (1 − τj )yn Mặt khác, ⇒ gy′ = yx′ hay x′ (y) = f ′ (x) Chúng ta có đánh giá xn,j = x (1 − τj )yn Khai triển Taylor hàm x (1 − τj )yn yn : x (1 − τj )yn ≈ x(yn ) + x′ (yn ) (1 − τj )yn − yn ≈ x(yn ) − τj yn x′ (yn ) ≈ x n − τj f (xn ) f ′ (xn ) Khi xn,j = xn − τj f (xn ) f ′ (xn ) Vậy có sơ đồ lặp m xn+1 = xn − f (xn ) ωj j=1 20S hóa b i Trung tâm H c li u – n) f ′ xn − τj ff′(x (xn ) i h c Thái Nguyên 14 ThuVienDeThi.com , m > (1.12) http://www.lrc-tnu.edu.vn ... cải tiến phương pháp trở nên tốt cách nâng tốc độ hội tụ lên cao Trong chương này, trình bày lại nội dung số báo cải tiến phương pháp Newton giải gần phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao... quan phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến Giải phương trình phi tuyến toán quan trọng giải tích số Trước hết, xét phương trình (1.1) f (x) = Giải gần phương trình. .. MỤC LỤC Trong luận văn này, tơi trình bày tổng quan phương pháp Newton cải tiến có tốc độ hội tụ cao giải gần phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có nghiệm đơn phương trình có nghiệm