THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ TUẦN HỒN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG 2012 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! M CL C Trang M c l c…………………………………………………………… M u…………… …………………………………………… L i c m n………………………………………………………… Ch th ng Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân ng 1.1 Các khái ni m c b n c a ph ng trình vi phân th ng………… 1.2 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng 13 ng Lý thuy t Floquet thang th i gian … 17 Ch 2.1 M t s nh ngh a tính ch t c b n v thang th i gian……… 17 ng l c n tính thang th i gian 27 2.3 Lý thuy t Floquet thang th i gian … 29 2.4 Nhân t Floquet, m Floquet … 42 2.5 Áp d ng c a lý thuy t Floquet… 50 K t lu n…………………………………………………………… 57 Tài li u tham kh o………………………………………………… 58 2.2 H M U Nhi u toán th c t nh h c h c, h th ng i n, h sinh thái, h ng l c,…, th tr ng c a ph hồn ng c mơ t b i ph ng trình vi phân M t l p quan ng trình vi phân l p ph ng trình vi phân v i h s tu n nh lý Floquet m t nh lý c b n nh t lý thuy t ph ng trình vi phân v i h s tu n hồn Nghiên c u ph ng trình vi phân v i h s tu n hồn nói chung lý thuy t Floquet nói riêng m t ch c nhà nghiên c u quan tâm, ây mơ hình hay g p th c t , thí d , h th ng hành tinh h m t tr i, dao ng v t lý, , h tu n hoàn Song hành v i ph ng trình vi phân, lý thuy t ph c nghiên c u phát tri n, Ph ng trình sai phân c ng c bi t nh ng n m g n ây (xem [5]) ng trình sai phân khơng ch m t mơ hình r i r c c a ph phân, mà m t mơ hình tốn h c ng trình vi c l p, r t nhi u toán th c t (trong kinh t , k thu t, ) c ng có th mơ t c b i h ph ng trình sai phân N m 1988, nh!m th ng nh t nghiên c u h r i r c liên t c, Hilger [8] ã a khái ni m thang th i gian Khái ni m thang th i gian c a Hilger khơng nh ng ch có ý ngh a tốn h c, mà cịn có ý ngh a tri t h c sâu s"c Nó cho phép th ng nh t hai b n ch t c a chuy n r c Sau Hilger ng, ó tính liên t c tính r i a khái ni m thang th i gian nghiên c u h ng l c thang th i gian, m t s nhà toán h c ã quan tâm nghiên c u xây d ng lý thuy t Floquet Lu n v n Ph iv ih ng trình vi phân v i h s tu n hồn có m c ích trình bày lý thuy t Floquet cho h ph hồn h ng l c tu n hoàn thang th i gian ng trình vi phân th ng n tính v i h s tu n ng l c n tính tu n hồn thang th i gian tu n hoàn Ngoài ph n m u, k t lu n, lu n v n g#m hai ch ng Ch ng 1: Lý thuy t Floquet cho ph Ch ng trình bày ng trình vi phân th ng nh ngh a tính ch t c b n c a h ph trình vi phân th ng, phát bi u ch ng minh nh lý Floquet trình vi phân th ng Các ki n th c trình bày Ch i v i ph ng ng ng ch y u d a vào tài li u [2], [3], [4] Ch ng 2: Lý thuy t Floquet thang th i gian Ch ng trình bày m t s nh ngh a tính ch t v thang th i gian, h ng l c n tính thang th i gian, lý thuy t Floquet iv ih ng l c n tính tu n hồn thang th i gian tu n hoàn m t s ví d áp d ng N i dung c a Ch ng c trình bày theo tài li u [6], [7], có tham kh o thêm tài li u [1] Do th i gian kh n ng nhi u h n ch nên lu n v n khơng th tránh kh$i nh ng thi u sót R t mong nh n c a th y cô b n #ng nghi p c nh ng ý ki n óng góp q báu L IC M Tác gi trân tr ng c m Tr ng i h c khoa h c, N n Ban Giám hi u, Phòng t o sau i h c, i h c Thái Nguyên ã quan tâm t o i u ki n t t nh t cho tác gi hồn thành khóa h c sau i h c Tác gi xin trân tr ng c m n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Th y th y cô giáo tham gia gi ng d y l p cao h c K4B khóa 2010-2012 ã em h t nhi t tình tâm huy t c a trang b cho tác gi nh ng ki n th c c s Tác gi xin trân tr ng c m n tr Phòng ã t o nhi u i u ki n gi ng d y t i tr ng Ph& thông Hermann Gmeiner, H i tác gi có th i gian v'a hồn thành nhi m v ng, #ng th i hoàn thành t t khóa h c Th c s Lu n v n PGS TS T Duy Ph c hoàn thành d is h ng d(n t n tình c a th y giáo ng, Vi n Toán h c Tác gi xin trân tr ng bày t$ lòng bi t n sâu s"c t i Th y Tác gi c ng xin g i l i c m n chân thành n thành viên l p cao h c K4B ã quan tâm, giúp ) tác gi su t trình h c t p Xin chân thành c m n gia ình, b n bè ã ng h , tác gi su t trình h c cao h c th c hi n ng viên giúp ) tài lu n v n Thái Nguyên, tháng 10 n m 2012 CH NG LÝ THUY T FLOQUET CHO H PH NG TRÌNH VI PHÂN TH 1.1 Các khái ni m c b n c a ph ng trình vi phân th 1.1.1 H ph ng H ph ng trình vi phân th ng trình vi phân th ng h ph NG ng ng trình d ng dxi = f i ( t , x1 , x2 , , xn ) , i = 1, 2, , n, t ∈ I + , dt c l p (ch th i gian), I + = {t : t < t < ∞} v i t ∈ ó t bi n t = −∞ Các hàm s G = I+ × D ⊂ ho c ph c n × (1.1.1) fi : G → n , i = 1, , n cho tr c, xác ho c nh n a hình tr D t p m không gian véc t n chi u th c n Các hàm kh vi x1 , x2 , , xn hàm s c n tìm, Kí hi u f1 ( t , x ) x1 x= x2 = column ( x1 , , xn ) ; f (t , x) = f2 (t, x ) = column ( f1 (t , x), , f n (t , x) ) fn (t, x ) xn Khi ó (1.1.1) c vi t d i d ng ph ng trình vi phân vect : dx = f (t, x ) , t ∈ I + , dt Thông th ng, ta òi h$i nghi m c a ph i u ki n ban (1.1.2) ng trình vi phân (1.1.2) ph i th$a mãn u x(t0 ) = x0 v i ( t0 , x0 ) ∈ G cho tr (1.1.3) c nh ngh a 1.1.1 Hàm véc t th c ho c ph c x = x(t ) thu c l p hàm kh vi C xác nh kho ng ( a, b ) ⊂ I + th$a mãn ph ng trình (1.1.2)-(1.1.3) v i m i a < t < b, ó ( t0 , x0 ) ∈ ( a, b ) × D, vi phân (1.1.2), th$a mãn i u ki n ban D i ây nh"c l i Lipschitz ng trình u (1.1.3) nh lý c b n v t#n t i nh t nghi m, c s nghiên c u tính ch t &n Hàm s c g i nghi m c a ph nh nghi m c a h ph Lipschitz Cho t p G ⊂ iv i x × n ng trình vi phân th f :G → Hàm s u theo t n u t#n t i s th c d ng c g i n ng L cho f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i (t , x1 ) ∈ G, (t , x2 ) ∈ G Hàm f : G → iv i x n , G = ( a, b ) × D ⊂ × n c g i hàm Lipschitz a ph ng u theo t n u v i m i i m x ∈ D t#n t i m t lân c n V ( x) ⊂ D c a x cho f Lipschitz iv i x u theo t lân c n y, t c f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i x1 , x2 ∈V ( x) t ∈ ( a, b ) nh lý 1.1.1 ( ph nh lý Picard-Lindelöp v s t#n t i nh t nghi m c a ng trình vi phân) Gi s hàm f : G → n xác i u ki n Lipschitz theo x nh liên t c t p m G⊂ × n , th a mãn u theo t G : f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i (t , x1 ) ∈ G, (t , x2 ) ∈ G Khi (t y v i m i (t0 , x0 ) ∈ G tìm − d , t0 + d ) , nghi m c a ph c m t s d > cho kho ng ng trình vi phân (1.1.2) tho mãn i u ki n ban u (1.1.3) t n t i nh t Chúng ta có khái ni m &n nh nghi m Lyapunov a n m 1892 d i ây nh ngh a 1.1.2 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a h ph ng ε cho nh theo Lyapunov t → +∞, n u v i m i s d c g i n tr ng trình (1.1.2)-(1.1.3) c v i m i t0 ∈ ( t ; +∞ ) , t#n t i s d M i nghi m x(t ) c a ph ng δ = δ (ε , t0 ) > cho ng trình (1.1.2)-(1.1.3), k c nghi m η (t ), th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < δ , ph i kéo dài mãn (1.1.4) (1.1.4) c t i vô cùng, t c m i nghi m x(t ) có i u ki n ban u xác u th$a nh kho ng t0 ≤ t < +∞, hay x(t ) ∈ D v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) Các nghi m ó th$a mãn b t *ng th c: x(t ) − η (t ) < ε v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) (1.1.5) i u ki n (1.1.5) nói r!ng, nghi m có i u ki n ban t i i m t0 ph i mãi (v i m i t ≥ t0 ) d nh g n η ( t0 ) ε − ng có tr c η ( t ) nh ngh a 1.1.3 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph n u x ( t0 ) u theo t0 t → +∞ n u v i m i s d ng trình (1.1.2) ng ε cho tr cg i c, t#n t i s ng δ = δ ( ε ) không ph thu c vào t0 , cho v i m i t0 ∈ ( a; +∞ ) , m i nghi m x(t ) c a ph x(t0 ) − η ( t0 ) < δ ng trình (1.1.2) th$a mãn u kéo dài c t i vô (xác i u ki n ban u nh kho ng t0 ≤ t < +∞ ) th$a mãn i u ki n (1.1.5) nh ngh a 1.1.4 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph không n ng trình (1.1.2) cg i nh theo Lyapunov t → +∞ n u t#n t i m t s ε > m t th i i m t0 ∈ I + cho, v i m i s δ > 0, t#n t i nh t m t nghi m x(t ) c a ph ng trình (1.1.2) t#n t i m t th i i m t1 > t0 cho x(t0 ) − η ( t0 ) < δ nh ng x(t1 ) − η ( t1 ) ≥ ε i u có ngh a là, t#n t i m t th i i m t1 > t0 nghi m x(t ) v t kh$i ε − ng có tr c η ( t ) nh ngh a 1.1.5 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph n ng trình (1.1.2) nh ti m c n t → +∞ n u: Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) &n nh theo Lyapunov t → +∞ V i m+i t0 ∈ I + t#n t i ∆ = ∆ (t0 ) > cho t t c x(t ), (t0 ≤ t < +∞) th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < ∆ lim x(t ) − η (t ) = (1.1.6) B!ng phép &i bi n y (t ) = x(t ) − η (t ), ta có th a h ph ng trình (1.1.2) v ng trình d ng y (t ) = f ( t , y ) , v i f (t ,0) ≡ Do ó ta có th gi thi t f (t ,0) ≡ Khi y (1.1.2) có nghi m t m th Các nghi m u có tính ch t: t →+∞ ph cg i ng (nghi m cân b!ng) η (t ) ≡ nh ngh a (1.1.2)-(1.1.5) có th phát bi u g n gàng h n cho nghi m η (t ) ≡ Thí d , ta nói nghi m t m th f (t ,0) ≡ n ng η (t ) ≡ c a ph nh ti m c n n u &n ng trình (1.1.2) v i nh theo Lyapunov v i m+i t0 ∈ I + t#n t i ∆ = ∆ (t0 ) > cho t t c nghi m x(t ),(t0 ≤ t < +∞) th$a mãn i u ki n x(t0 ) < ∆ ta u có lim x(t ) = V i m+i t0 cho tr c, hình c u x(t0 ) < ∆ t →+∞ c g i mi n hút v v trí cân b!ng η (t ) ≡ c a h (1.1.2) nh ngh a 1.1.6 Gi s ph G = I+ × n ng trình (1.1.2) xác nh n a khơng gian Khi ó n u nghi m η (t ), ( t < t < +∞ ) c a ph ng trình (1.1.2) &n nh ti m c n t → +∞ m i nghi m x(t ), (t0 ≤ t < +∞) ki n lim x(t ) − η (t ) = η (t ) c g i n t →+∞ Nh v y nghi m η (t ) &n u th$a mãn i u nh ti m c n toàn th nh ti m c n toàn th n u t i th i i m ban t0 tùy ý, mi n hút c a nghi m ó tồn th khơng gian Cùng v i h (1.1.2) ta xét h có nhi%u tác ng th n u ng xuyên: dx = f ( t , x ) + ϕ (t , x), dt (1.1.7) ó ta gi thi t f (t , x) ∈ C 0,1 ( G ) , ϕ (t , x) ∈ C 0,1 ( G ) hàm liên t c theo bi n t kh vi theo bi n x nh ngh a 1.1.7 Nghi m η (t ), ( t < t < +∞ ) c a ph n nh v i nhi u tác m i t ∈ I + , t #n t i s ng th ng trình (1.1.2) cg i ng xuyên ϕ (t , x), n u v i m i ε > v i δ = δ ( t0 , ε ) > cho ϕ ( t , x ) < δ , m i nghi m x(t ) c a h (1.1.7) th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < δ c ng u xác nh kho ng ( t0 ≤ t < +∞ ) th$a mãn i u ki n x(t ) − η (t ) < ε v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) 1.1.2 H ph Xét h ph ng trình vi phân th ng trình vi phân th dxi = dt n k =1 ng n tính ng n tính d ng aik ( t )xk + f i ( t ) , i = 1, n, (1.1.8) ó aik (.) , f i (.) ∈ C ( I + ), t c h s aik (.) c a xk s h ng t f i (.) c a h (1.1.8) hàm s liên t c kho ng I + = ( t ; +∞ ) N u khơng có thích khác, ta ln gi thi t hàm s aik ( t ) , f i ( t ) nh n giá tr th c xi (t ), i = 1, , n ,n hàm c n tìm c ng nh n giá tr th c N u a vào kí hi u: 44 S d ng, m t m t d ng Floquet Φ A ( t , t0 ) = Ψ1 ( t0 ) Ψ1−1 ( t0 ) = L ( t ) eR ( t , t0 ) L−1 ( t0 ) c a ma tr n chuy n c a h (2.3.1), m t khác, s d ng phép bi u di%n toán t n o M ( x ) = Φ A ( t0 + p, t0 ) x0 = Ψ1 ( t0 + p ) Ψ −1 ( t0 ) x0 ta có Φ A ( t0 + p, t0 ) = Ψ1 ( t0 + p ) Ψ1−1 ( t0 ) = L ( t ) eR ( t0 + p, t0 ) L−1 ( t0 ) Do ó, nhân t c a h giá tr riêng c a ma tr n eR ( t0 + p, t0 ) S γ ∈ m t m (m t c tr ng) Floquet c a (2.3.1) n u ) m t nhân t Floquet eγ (t0 + p, t0 ) = λ 2.4.1 Cho A m t n × n ma tr n h#ng T n × n ma tr n khơng suy B bi n Khi ó eTAT −1 (t , t0 ) = TeA (t , t0 )T −1 Ch ng minh Theo thu t toán Putzer, gi s λ1 , λ2 , λn giá tr riêng c a A , ó eA (t , t0 ) = toán giá tr ban n −1 i =0 r (t ) Pi , ó r ( t ) := ( r1 ( t ) , r2 ( t ) , , rn ( t ) ) nghi m c a i +1 u λ1 r (t ) = λ2 0 λ3 ∆ 0 , r (t0 ) = 0 Và P − ma tr n P0 , P1 , , Pn c λn nh ngh a m t cách quy b i công th c P0 = I Pk +1 = ( A − λk +1 I ) Pk v i ≤ k ≤ n − Vì ma tr n A TAT −1 có giá tr riêng t h ng) ri (t ) #ng nh t Gi s ng ng, nên hàm (vô 45 eA (t , t0 ) = n −1 i =0 r (t ) Pi , i +1 eTAT (t , t0 ) = n −1 −1 i =0 r (t )Qi i +1 k t thúc ch ng minh, ta ch r!ng TPk +1T −1 = Qk +1 v i m i ≤ k ≤ n − Cho b t kì ≤ k ≤ n − 1, ta có TPk +1T −1 = T ( A − λk +1 )( A − λk I ) ( A − λ1 I )T −1 = T ( A − λk +1 I )T −1T ( A − λk I )T −1 T ( A − λ1 I )T −1 = (TA − λk +1T )T −1T ( A − λk I )T −1 T ( At −1 − λ1T −1 ) = (TAT −1 − λk +1 I )(TAT −1 − λk I ) (TAT −1 − λ1 I ) = Qk +1 Vì th , TeA (t , t0 )T −1 = T = n −1 n −1 i =0 ri +1 (t ) Pi T −1 = n −1 i =0 −1 ri +1 (t )TPT i ri +1 (t )Qi = eTAT (t , t0 ) −1 i =0 K t qu ti p theo nh lý ánh x ph& cho thang th i gian Kí hi u spec ( A ) ph& c a A , t c t p t t c λ ∈ cho λ I − A suy bi n Khi ó, tính h u h n chi u c a ma tr n A , ph& c a A trùng v i t p h p t t c giá tr riêng c a A T' nh lý 2.4.2 ( Gi s nh lý 2.4.2 d i ây suy espec( A) = spec ( eA ) nh lý ánh x ph& cho thang th i gian) A ma tr n n × n v i giá tr riêng λ1 , λ2 , , λn c tính l p l i theo b i Khi ó λ1k , λ2k , , λnk giá tr riêng c a Ak giá tr riêng c a eA eλ , eλ , , eλ n Ch ng minh B!ng phép quy n p theo s chi u n c a ma tr n, tr ta nh n xét r!ng nh lý úng cho ma tr n × c tiên chúng 46 i u ó úng cho m i ma tr n ( n − 1) × ( n − 1) L y λ1 gi s v ≠ Gi s véc t riêng t ng ng cho Aν = λ1v L y e1 , en c s n T#n t i m t ma tr n không suy bi n S cho Sv = e1 Nh v y có SAS −1e1 = λ1e1 , ma tr n SAS −1 có d ng kh i SAS −1 = λ1 * A ng chéo kh i thay cho λ1 Ma tr n SAk S −1 có d ng kh i, v i ph n t A λ1k Ak Rõ ràng, giá tr riêng c a kh i λ1k v i giá tr riêng c a Ak Theo quy n p, giá tr riêng c a Ak l y th'a b c k c a giá tr riêng c a A Kh*ng nh th hai c a Ta l u ý r!ng, c u trúc m+i Pi B& nh lý 2.4.1 ph thu c vào hai ma tr n A I T' ó l a ch n ma tr n S cho SAS −1 kh i cách xây d ng, ma tr n eSAS c ng kh i ng chéo Theo ng chéo, v i ph n t −1 kh i eλ eA c ch ng minh ng chéo i u ó có th th l i b!ng thu t tốn Putzer phép l y tích phân t'ng ph n thang th i gian Dùng phép quy n p, ta có giá tr riêng c a eA eλ , , eλ Do ó, giá tr riêng c a eSAS eλ , eλ , , eλ n −1 n Chúng ta bi t r!ng giá tr riêng c a ma tr n eR ( t0 + p, t0 ) nhân t Floquet nh lý 2.4.2 c ng giúp tr l i kh*ng nh câu h$i: giá tr riêng c a ma tr n R phân tích Floquet Φ A ( t , t0 ) = L ( t ) eR ( t , t0 ) có ph i m Floquet hay khơng Tuy nhiên, nh lý 2.4.3, s th y m c dù giá tr riêng c a ma tr n R m Floquet nh ng chúng không nh t u tiên a vào nh ngh a s thu n o Hilger nh sau 47 − nh ngh a 2.4.2 Gi s ngh a b i công th c ιω = Cho z ∈ h π
Ngày đăng: 18/10/2023, 11:27
Xem thêm: