Giáo trình phương trình vi phân sai phân

LÊ HẢI TRUNG GIÁO TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – SAI PHÂN Đà Nẵng, 12/2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990021522341000000 Mục lục Lời nói đầu Một 1.1 1.2 1.3 1.4 số khái niệm mở đầu Mở đầu Một số toán đưa phương trình vi phân thường (NDE) Khái niệm không gian Metric Nguyên lý co ánh xạ 10 Định lý tồn nghiệm NDE bậc 13 Phương trình vi phân cấp 2.1 Phân loại nghiệm phương trình vi phân cấp 2.2 Phương trình với biến số phân ly 2.3 Phương trình vi phân 2.4 Phương trình đưa dạng 2.5 Phương trình vi phân toàn phần 2.6 Thừa số tích phân 2.7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.8 Phương trình Bernoulli 2.9 Phương trình Darboux 2.10 Phương trình Riccati 2.11 Phương trình dạng y = f (y ) 2.12 Phương trình dạng x = f (y ) 2.13 Phương trình dạng y = f (x, y ) 2.14 Phương trình dạng x = f (y, y ) 2.15 Phương trình Lagrange 2.16 Phương trình Clairaut (1713–1765) 17 17 18 20 21 22 24 26 27 29 29 30 32 33 34 34 36 2.17 Bài tập chương 2.18 Đáp số gợi ý tập chương 37 40 Phương trình vi phân tuyến tính 3.1 Định nghĩa tính chất 3.2 Phương trình vi phân (DE) tuyến tính cấp n hệ số biến thiên 3.2.1 Tính chất tốn tử vi phân tuyến tính 3.2.2 Tính chất nghiệm cho DE 3.2.3 Công thức Ostragradxki – Luyvilia 3.2.4 Nghiệm tổng qt phương trình khơng 3.2.5 Phương pháp biến thiên số 3.3 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số 3.4 Một vài khái niệm giải tích phức 3.5 Phương trình tuyến tính cấp cao hệ số 3.6 Nghiệm riêng phương trình khơng 3.7 Bài tập chương 3.8 Đáp số gợi ý tập chương 43 43 44 44 45 51 53 54 56 59 61 63 66 67 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực Các niệm phương trình sai phân 4.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực 4.2 Các khái niệm phương trình sai phân 4.3 Bài tập 4.4 Gợi ý trả lời khái 69 69 71 74 75 Phương trình sai phân cấp 5.1 Phân loại phương trình sai phân cấp 5.2 Bài tập 5.3 Đáp số gợi ý 76 76 81 81 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 6.1 Hàm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định thức Casorati 6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n 83 83 85 6.3 6.4 6.5 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số Phương trình sai phân tuyến tính khơng Phương trình sai phân tuyến tính khơng hệ số với vế phải đặc thù Tài liệu tham khảo 87 93 97 102 Lời nói đầu Giáo trình viết với mục đích trình bày kiến thức tảng sở mơn "Phương trình vi phân – sai phân" cho sinh viên Cử nhân Hoá Sinh viên Cử nhân Tốn dùng làm tài liệu tham khảo phần chương trình đào tạo Giáo trình chia làm chương: Chương nhằm giới thiệu khái niệm mở đầu mơn Phương trình vi phân Chương tiến hành phân loại dạng phương trình vi phân cấp giải tương ứng đạo hàm (phương trình cấp dạng y = f (x, y)) Chương trình bày phương trình vi phân cấp cao với hệ số biến hệ số hằng, chương giới thiệu kiến thức phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Trong Chương giới thiệu khái niệm Phương trình sai phân nội dung Chương giới thiệu phân loại phương trình sai phân cấp một, kèm phương pháp giải Chương phục vụ cho việc trình bày phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Nội dung giáo trình viết theo Đề cương chi tiết mơn "Phương trình vi phân – sai phân" dành cho sinh viên thuộc khối Cử nhân Hố Các định lý giáo trình chứng minh cách "tự nhiên" đơn giản nhất, đồng thời lồng vào ví dụ mang tính đặc thù Cuối chương hệ thống tập lời giải để người đọc áp dụng cho phần lý thuyết nêu Trong trình giảng dạy giáo viên lược bớt phần chứng minh định lý cần đưa vào nhiều ví dụ minh hoạ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy bạn đồng nghiệp Khoa Tốn - Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng có ý kiến lời khuyên quý báu việc hồn thành giáo trình Đà Nẵng, tháng 12 năm 2018 Tác giả Chương Một số khái niệm mở đầu 1.1 Mở đầu Thuật ngữ “aequatio differentialis” hay “phương trình vi phân” Lep-nit sử dụng vào năm 1676 để kí hiệu tính phụ thuộc vi phân dx dy biến x y tương ứng Tính phụ thuộc có chứa biến x y với kí hiệu khác a, b, c Sự hạn chế sử dụng thuật ngữ thay đổi với phát triển toán học Ngày nay, khái niệm phương trình vi phân hiểu đẳng thức đại số siêu việt có chứa vi phân đạo hàm Phương trình vi phân chia làm loại sau: - Phương trình vi phân thường: biểu diễn tính phụ thuộc biến độc lập (argument), biến phụ thuộc (hàm số) nhiều đạo hàm hàm số - Phương trình vi phân đạo hàm riêng - Phương trình vi phân đầy đủ Trong giáo trình đề cập chủ yếu tới phương trình vi phân thường Định nghĩa 1.1.1 Phương trình có dạng F (x, y, y , y 00 , , y (n) ) = 0, (1.1) gọi phương trình vi phân thường cấp n Trong y = y(x) hàm cần phải tìm Định nghĩa 1.1.2 Hàm y = ϕ(x) gọi nghiệm phương trình vi phân thường (1.1) phương trình (1.1) thay y = ϕ(x), y = ϕ0 (x), , y (n) = ϕ(n) (x) ta nhận được: F (x, ϕ(x), ϕ0 (x), , ϕ(n) (x)) = Bình thường phương trình (1.1) có khơng nghiệm mà có vơ số nghiệm 1.2 Một số tốn đưa phương trình vi phân thường (NDE) Bài tốn 1.2.1 Bài tốn chuyển động thẳng tuyến tính với vận tốc cho trước Giả sử ta phải tìm quy luật chuyển động thẳng tuyến tính chất điểm với vận tốc cho trước v(t) = f (t) thời điểm t Ta gọi x = x(t) quãng đường mà chất điểm di chuyển thời điểm t Từ ý nghĩa học đạo hàm ta suy ra, vận tốc v = v(t) đạo hàm quãng đường theo thời gian thời điểm t, ta nhận được: dx = f (t), dt (1.2) x˙ = f (t) (1.3) ta viết: Như quãng đường x = x(t) nguyên hàm hàm v = f (t), nghiệm phương trình (1.2) viết dạng: Z x(t) = f (t)dt R Để ý rằng, lý thuyết phương trình vi phân kí hiệu f (t)dt thể họ nguyên hàm hàm f (t), nghiệm phương trình (1.2) viết dạng: Z x(t) = f (t)dt + C (1.4) Khi hàm f (t) liên tục họ ngun hàm là: t Z f (ξ)dξ, t0 ta viết lại (1.4) dạng: Z t x(t) = f (ξ)dξ + C (1.5) t0 Để tách (1.5) lấy nghiệm ta cần gán cho C giá trị thực Ta tiến hành lấy nghiệm phương trình (1.2) cách thời điểm t0 ta cho vật thể quãng đường (cho trước) x(t0 ) = x0 Đặt vào phương trình (1.5) ta được: Z t0 x(t0 ) = f (ξ)dξ + C = C t0 nhận được: C = x0 Do nghiệm phương trình (1.2) là: Z t x(t) = f (ξ)dξ + x0 t0 Điều kiện x(t0 ) = x0 gọi điều kiện đầu Bài toán 1.2.2 Bài toán chuyển động thẳng tuyến tính với gia tốc ổn định Giả sử ta phải tìm quy luật biểu diễn chuyển động thẳng tuyến tính chất điểm với gia tốc hằng: a = const Gọi x = x(t) quãng đường với thời gian t, v = v(t) = dx dt vận tốc thời điểm t từ ý nghĩa học đạo hàm cấp hai, ta có gia tốc đạo hàm bậc hai quãng ng: d2 x = a, dt2 (1.6) hay xă = a Như v = dx dt nguyên hàm (1.7) d2 x dt2 , dx = at + C1 , dt suy ra: x(t) = at2 + C1 t + C2 (1.8) Hiển nhiên nghiệm phương trình (1.6) phụ thuộc vào C1 C2 Để từ tách nghiệm ta cần bổ sung thêm điều kiện đầu Đặt thời điểm ban đầu t = t0 = có quãng đường x(t0 ) = x0 vận tốc v(t0 ) = v0 Từ v(t) = at + C1 đặt t = ta nhận v0 = C1 , đó: x(t) = at2 + v0 t + C2 Thay t = vào phương trình trên: x0 = C2 Cuối ta nhận phương trình cho x(t) với điều kiện đầu là: x(t) = at2 + v0 t + x0 1.3 Khái niệm không gian Metric Nguyên lý co ánh xạ Định nghĩa 1.3.1 Tập hợp X gọi không gian Metric, cặp phần tử x, y ∈ X xác định số không âm tương ứng ρ(x, y) ≥ 0, gọi độ dài (hay khoảng cách) hai phần tử x y, thỏa mãn tính chất sau đây: ρ(x, y) = ⇔ x = y ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀ x, y ∈ X ρ(x, y) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀ x, y, z ∈ X Các ví dụ khơng gian Metric: Tập hợp R = (−∞, ∞) số thực với khoảng cách x, y xác định bởi: ρ(x, y) = |x − y| không gian Metric 10 Nhận x0 ∈ (a, b)): W (x0 ) = Như W (x) = (x ∈ (a, b)) Định lý chứng minh! Định lý 3.2.4 Với hệ nghiệm sở y1 (x), y2 (x), , yn (x), phương trình vi phân bậc n: y (n) + p1 (x)y (n−1) + + pn (x)y = 0, (3.12) L[y] = (3.13) hay: định thức Wronxki: y (x) y2 (x) yn (x) y10 (x) y20 (x) yn0 (x) W (x) = (n−1) (n−1) (n−1) y1 (x) y2 (x) yn (x)