Phương trình vi phân đại số chỉ số 1, 2 và phương trình liên hợp của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THÁI SƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NĨ Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS Đào Thị Liên Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NĨ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phương trình vi phân đại số số 1.3 Phân rã phương trình 1.4 Các phép chiếu tắc 10 1.5 Cách giải phương trình vi phân đại số số 14 1.6 Phương trình liên hợp phương trình số 17 1.7 Tính giải phương trình liên hợp 18 1.8 Định nghĩa số cho phương trình liên hợp 26 1.9 Hệ nghiệm 28 1.10 Mối quan hệ hệ nghiệm 36 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ 40 2.1 Đặt vấn đề 40 2.2 Khái niệm 43 2.3 Bài tốn giá trị ban đầu cho phương trình số 50 2.4 Các phép chiếu tắc 56 2.5 Ma trận 57 2.6 Phương trình liên hợp 59 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Đào Thị Liên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến Cơ Cơ không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà Cơ cịn thơng cảm tạo điều kiện động viên tơi suốt q trình làm luận văn Cũng tơi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ tơi thời gian học tập hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo viện Tốn học Việt Nam, thầy giáo khoa sau Đại học khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên dạy bảo em tận tình suốt trình học tập trường Bản luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cơ, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên Phạm Thái Sơn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Trong vài thập kỷ gần đây, vấn đề thời nhiều nhà toán học quan tâm thuộc lĩnh vực phương trình vi phân, kể phương diện lý thuyết áp dụng, phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số xuất phát từ nhu cầu giải toán thực tế kỹ thuật mở rộng phương trình vi phân thường Luận văn tập hợp kết phương trình vi phân đại số số 1, số phương trình liên hợp chúng Trong lý thuyết phương trình vi phân thường, xét phương trình: Ax + Bx = (1) với hệ số liên tục A, B: I ⊆ R −→ L(Cm ), A khơng suy biến, có phương trình liên hợp −(A∗ y) + B∗ y = (2) Để có phương trình (2), ta thực phép biến đổi phương trình (1) 0 dạng x + A−1 Bx = Phương trình liên hợp −z + B∗ A−1∗ z = Cuối ta đặt A−1∗ z = y Mỗi cặp nghiệm phương trình gốc phương trình liên hợp có đồng thức Lagrange z∗ (t)x(t) = z∗ (t0 )x(t0 ) Hoặc ta xét phương trình vi phân tuyến tính dx = A(t)x dt Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (3) http://www.lrc-tnu.edu.vn với A ∈ C(I, L(Cm , Cm )), I = [t0 , +∞) Phương trình dạng dy = −A∗ (t)y dt (4) với A∗ (t) = A−T (t) gọi phương trình vi phân liên hợp phương trình (3) Trong trường hợp A suy biến ta có phương trình vi phân đại số Khi người ta đạt nhiều kết quan trọng tồn nghiệm phương trình liên hợp mối quan hệ nghiệm bản, đặc biệt đáng ý đồng thức Lagrange Trong báo [2] [3], K.Balla chứng minh rằng: phương trình vi phân đại số tuyến tính số với hệ số khả vi, tồn phương trình vi phân đại số mà ta gọi phương trình vi phân đại số liên hợp nó, cho với cặp nghiệm phương trình vi phân đại số gốc phương trình vi phân đại số liên hợp thỏa mãn đồng thức mà xem tương tự hóa đồng thức Lagrange Bài báo [1] K.Balla R.Marz phát triển tiếp kết đạt hai báo Bằng cách giảm nhẹ tính khả vi hệ số, tác giả phương trình liên hợp phương trình vi phân đại số số giải tính trơn xuất định nghĩa - điều kiện yếu tính khả vi hệ số Đồng thời tác giả chứng minh đồng thức tương tự đồng thức Lagrange, với phép chiếu khả vi tùy ý, kết trình bày không gian phức Thay cho ma trận xảy thiết lập tiêu chuẩn, thuật ngữ phương trình vi phân tuyến tính xuất cặp ma trận Khi khái niệm số đưa cho hệ phương trình Các hệ số giả thiết liên tục vài khơng gian có số chiều phải khả vi liên tục Cách giải tốn có số cao Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn chứng minh nhờ vào phương trình có số thấp Nghiệm đại diện phải dựa nghiệm số phương trình vi phân thường qui xác định kiện toán Các giả thiết cho cách giải phải thống phương trình gốc phương trình liên hợp Cả hai phương trình có số giống đồng thời triệt tiêu Ma trận nghiệm thỏa mãn mối ràng buộc tổng quát hóa đồng thức Lagrange Bản luận văn chia làm chương: Chương 1: Phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp Chương trình bày kiến thức sở, khái niệm phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp nó; chứng minh tính chất quan trọng phép chiếu tắc, chứng minh tồn nghiệm toán giá trị ban đầu phương trình liên hợp Chương 2: Phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp Chương nêu khái niệm phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp nó; đưa cách giải toán giá trị ban đầu phương trình vi phân đại số số 2; trình bày mối quan hệ hệ nghiệm phương trình số phương trình liên hợp Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NĨ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Phương trình A(t)x (t) + B(t)x(t) = q(t) (1.1.1) + A, B ∈ C(I, L(Cm , Cm )), detA(t) = 0, ∀t ∈ I + x = colon(x1 , , xm ), q(t) = colon(q1 (t), , qm (t)), gọi phương trình vi phân đại số tuyến tính Phương trình vi phân đại số tuyến tính gọi có dạng chuẩn có dạng (1.1.1) 1.1.2 Định nghĩa Ma trận hàm Q ∈ C(I, L(Cm , Cm )) gọi phép chiếu Q2 = Q, ∀t ∈ I Kí hiệu P = I − Q với I ma trận đơn vị cấp m, P phép chiếu, PQ = Nếu Q phép chiếu imQ ⊕ kerQ = Cm Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Định nghĩa Số tự nhiên k gọi số ma trận A số bé thỏa mãn kerAk = kerAk+1 Kí hiệu số ma trận A ind(A), n o k k+1 ind(A) = k : kerA = kerA 1.1.4 Định nghĩa Cặp ma trận {A, B} gọi quy det(zA + B) không đồng thời triệt tiêu với z, tức tồn z0 ∈ C cho det(z0 A + B) 6= 1.1.5 Định nghĩa Nếu cặp {A, B} quy det(cA + B) 6= với  −1 c ∈ C ind (cA + B) A gọi số cặp {A, B} Như  ind {A, B} = ind (cA + B)−1 A với c ∈ C 1.2 Phương trình vi phân đại số số 1.2.1 Định nghĩa Phương trình 0 A(Px) + (B − AP )x = q (1.2.1) A, B : I −→ L(Cm , Cm ), f : I −→ Cm ma trận hàm thỏa mãn giả thiết sau: (T1 ) dimimA(t) = r < m, ∀t ∈ I (T2 ) Cặp ma trận (A(t), B(t)) quy số với ∀t ∈ I (T3 ) Tồn phép chiếu Q ∈ C1 (I, L(Cm , Cm )) lên kerA, gọi phương trình vi phân đại số tuyến tính số chuyển (index-1 tractable) 1.2.2 Ví dụ Xét phương trình 0 A(Px) + (B − AP )x = q (1.2.2) ! A(t) = t ; t B(t) = ! ; ! q= t t +1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn m = 2, Q phép chiếu lên kerA, P = I − Q Ta có (T1 ) dimimA(t) = < 2, ∀t (T2 ) {A(t), B(t)} quy, tồn ∈ C thỏa mãn det(0A(t) + B(t)) = −1 6= 0, ∀t Khi đó,   kerA(t) = x ∈ C2 : A(t)x = = (−tx2 , x2 )T : x2 ∈ C ,   imA(t) = z ∈ C2 : z = A(t)x = (z1 , z1 )T : z1 ∈ C Giả sử x ∈ S(t) ∩ kerA(t), S(t) = {z ∈ Cm : B(t)z ∈ imA(t)} , ∀t ∈ I ⇒ x ∈ kerA(t) : Bx ∈ imA(t), ∀t ∈ I ⇔ x = (−tx2 , x2 )T x = (z1 , z1 )T ⇔ −tx2 = x2 , ∀t ∈ I ⇔ x2 = ⇔ x = ⇒ S(t) ⊕ kerA(t) = C2 ⇔ ind(A(t), B(t)) = ∀t ∈ I (T3 ) Tồn Q= ! −t −t(t + 1) ∈ C1 (I, L(C2 , C2 )) −1 1−t phép chiếu lên kerA Thậy vậy, rõ ràng Q ∈ C1 (I, L(C2 , C2 )) ∀x ∈ kerA : x = (−tz, z)T ! ! ! −t −t(t + 1) −tz −tz Qx = = = x, ∀t ∈ I −1 1−t z z Vậy (1.2.2) phương trình vi phân đại số số 1.2.3 Định nghĩa Giả sử A, B ∈ C(I, L(Cm , Cm )), q ∈ C(I, Cm ) Một hàm x ∈ C1A (I, Cm ) gọi nghiệm phương trình (1.2.1) biến (1.2.1) thành đồng thức Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Phân rã phương trình 0 i Xét phương trình (1.2.1) A(Px) + (B − AP )x = q Đặt B0 = B − AP , A1 = A + B0 Q Theo [8] Định lý 13 phụ lục A ta có A1 −1 khả nghịch Nhân hai vế (1.2.1) với PA−1 QA1 ta  L Px = PA−1 q s (1.3.1) Qs x = QA−1 q với 0 Ls z = z + (PA−1 B0 − P )z, Qs z = Qz + QA−1 BPz (1.3.2) Khi ta nói, phương trình (1.2.1) phân rã thành hai phương trình hệ (1.3.1) phương trình thứ phương trình vi phân thường, phương trình thứ hai phương trình đại số 0 m ii Ta có Ls z = z + (PA−1 B0 − P )z với z ∈ C (I, C ) hồn tồn xác định tốn giá trị ban đầu  L z = g s z(t0 ) = z0 g ∈ C(I, Cm ) t0 ∈ I, z0 ∈ Cm (1.3.3) có nghiệm C1 (I, Cm ) Hơn nữa, nghiệm z ∈ imP(t) z0 ∈ imP(t0 ) g(t) ∈ imP(t) Thật vậy, phương trình (1.2.1) khơng phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P nên Ls không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P Với g ∈ imP(t), ∃h : I → Cm cho g = Ph −1 −1 Xét  q = A1 h ⇒ h = A1 q ⇒ g = PA1 q Ta có toán giá trị ban L z = PA−1 q s đầu có nghiệm z ∈ C1 (I, Cm ) Lại theo phương z(t0 ) = z0  L Px = PA−1 q s trình thứ hệ (1.3.1), toán giá trị ban đầu Px(t0 ) = z0 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thuộc vào cách chọn P0 Do đó, phương trình vi phân thường qui khơng phụ thuộc vào cách chọn P0 Cho P0 cố định Khi biểu thức Q1 G−1 độc lập với cách chọn P1 hay Q1 Kết hợp với DQ1 G−1 độc lập với cách chọn đặc biệt P0 P1 khơng gian hàm  Chúng xuất phương trình C−1 −1 = x ∈ C : DQ1 G−1 x ∈ C DQ1 G2 ràng buộc ẩn chứng minh định lý Để tìm ràng buộc ẩn ta nhân (2.1.7) với DQˆ D− A− ta 0 (DQˆ x) − (DQˆ D− ) Dx + DQˆ D− A− Bx = DQˆ D− A− q Lấy phương trình (2.4.5) từ trình biến đổi, ta phương trình ràng buộc ẩn ˆ − ˆ − − ˆ − − (DQˆ G−1 q) − (DQ1 D ) Dx + DQ1 D A Bx = DQ1 D A q (2.3.9) Ta nhấn mạnh phương trình (2.3.9) độc lập với cách chọn đặc biệt phép chiếu P0 (Q0 ) W0 Thật vậy, nhờ (2.3.5) (2.3.6) nên Dx = DPˆ1 x + DQˆ x độc lập A− (Bx − q) = −R(Dx) = A˜ − (Bx − q) AA˜ − = I − W˜ Trở lại (2.3.7) ta Πcan = KD− DPˆ1 = KP0 Pˆ1 (2.3.10) phép chiếu với kerΠcan = kerD− DPˆ1 = N1 ⊕ N0 = P0 N1 ⊕ N0 DΠcan = DPˆ1 , imDΠcan = DS1 Trong định lý ta chứng minh khơng gian hình học Sind chứa tất nghiệm phương trình nhất, ảnh Πcan , tức Sind = imΠcan Với phương trình số chuyển ta chứng minh Sind = S0 khơng gian nghiệm hình học tương ứng 53 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Πcan = P0c = (I − Q0 G−1 BP0 )P0 chiếu lên Sind Với phương trình số qui mà khơng gian nghiệm hình học có số chiều nhỏ hơn; tức Sind ⊂ Sind 2.3.3 Định lý Cho phương trình (2.1.7) phương trình số chuyển i) Với q ∈ C1 DQ1 G−1 , d ∈ D(t0 )S1 (t0 ), t0 ∈ I tốn giá trị ban đầu A(Dx) + Bx = q, D(t0 )Pˆ1 (t0 )x(t0 ) = d (2.3.11) có nghiệm C1D ii) (2.1.7) có nhiễu số ( has perturbation index-2) iii) Có nghiệm phương trình qua điểm (t0 , x0 ), t0 ∈ I, x0 ∈ Sind (t0 ) Chứng minh i) Đầu tiên ta giải toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân gốc (2.3.8) với điều kiện ban đầu: u(t0 ) = d DS1 không gian bất biến phương trình này, u = DPˆ1 D− u với u hàm liên tục ˆ1 Gˆ −1 q+Q0 Qˆ D− (DQˆ Gˆ −1 q)0 (2.3.12) P q+Q x = KD− u+D− DQˆ Gˆ −1 2 thỏa mãn phương trình (2.1.7), Dx = Ru + DQ1 G−1 q ∈ C Hơn D(t0 )Pˆ1 (t0 )x(t0 ) = D(t0 )Pˆ1 (t0 )[D(t0 )]− D(t0 )x(t0 ) = D(t0 )Pˆ1 (t0 )[D(t0 )]− u(t0 ) = d Giả sử x˜ ∈ C1D nghiệm toán (2.3.11) khác nghiệm tốn (2.3.12), xˆ = x˜ − x thỏa mãn phương trình (2.3.11) với q = d = Phương trình (2.3.7) sinh xˆ = KD− DPˆ1 x ˆ Nghiệm phương trình vi phân thường qui DPˆ1 xˆ = đồng khơng Tức xˆ = Chú ý rằng, công thức (2.3.11), kí hiệu ˆ khơng bỏ qua ii) Cho I khoảng compact Ta so sánh nghiệm x xq phương 54 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trình khơng có điều kiện ban đầu tức D(t0 )P1 (t0 )(x(t0 ) − xq (t0 )) = Với số K1 , K2 bất đẳng thức ˆ1 D− )0 DQˆ Gˆ −1 qk∞ ≤ K2 kqk∞ kuq − uk∞ ≤ K1 kDPˆ1 Gˆ −1 q + (D P 2 cho cặp phương trình vi phân thường qui, có số K3 cho kxq − xk∞ ≤ K3 (kqk∞ + k(DQ1 G−1 q) k∞ ) iii) Nếu x0 ∈ Sind (t0 ) x0 = Πcan (t0 )x0 Phương trình với điều kiện ban đầu D(t0 )Pˆ1 (t0 )x(t0 ) = D(t0 )Pˆ1 (t0 )x0 có nghiệm x = KD− u = KD− DPˆ1 Du Điều chứng tỏ x(t0 ) = Πcan (t0 )[D(t0 )]− u(t0 ) = Πcan (t0 )[D(t0 )]− D(t0 )Pˆ1 (t0 )x0 = Πcan (t0 )x0 = x0 2.3.4 Chú ý Điều kiện ban đầu D(t0 )Pˆ1 (t0 )x(t0 ) = d, d ∈ D(t0 )x(t0 ) thay D(t0 )Pˆ1 x(t0 ) = D(t0 )Pˆ1 (t0 )x0 , x0 ∈ Cm ta tốn biến phân cho X = xx0 có dạng A(DX) + BX = 0, D(t0 )Pˆ1 (t0 )(X(t0 ) − I) = 2.3.5 Chú ý Trường hợp phương trình số chuyển xem số chuyển với dimN0 ∩ S0 = {0} Do N1 = {0} , P1 = I, G2 = G1 55 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong trường hợp này, phát biểu định lý 2.3.3 xác nhận kết biểu thức Định lý 1.5.2 lần Đặc biệt, phương trình vi phân thường qui (2.3.8) (1.5.5) trùng khơng gian nghiệm hình học Sind Sind trùng 2.4 Các phép chiếu tắc Ta có biểu thức (2.3.10) phức tạp cho phép chiếu lên khơng gian nghiệm hình học Sind phương trình số Bổ đề cho ta biết làm để đơn giản phép xây dựng phù hợp 2.4.1 Bổ đề Với phương trình (2.1.7) số chuyển được, có phép chiếu tắc Q0c lên N0 cho πcan = P0c P1c Chứng minh Ta xây dựng dãy (2.2.4) bắt đầu với Q0 tùy ý nghịch đảo phản xạ tổng quát tương ứng D− D Ta kiểm tra ˆ D− (DQˆ )0 D B + Q Q Q0c = Q0 Pˆ1 Gˆ −1 (2.4.1) phép chiếu imQ0c = N0 Dãy (2.2.4) bắt đầu xây dựng với Q0c Ta kí hiệu thành phần dãy nghịch đảo phản xạ tổng quát D số c Q0c phép chiếu tùy ý xuất phát biểu Nói cách khác, biểu thức  − − − A0 = Q0c P1c G−1 BP + Q Q D (DQ D ) D P0c P1c 0c 0c 1c c 1c c 2c xác định triệt tiêu Kiểm tra lại điều đòi hỏi kết hợp chặt chẽ ma trận liên quan, xem [2] Với phương trình số 1, phép chiếu P0c xác định công thức (1.5.6) phép chiếu P0c = I − Q0c thu cơng thức (2.4.1) phép chiếu lên S0 Với phương trình số ta giả sử imP0c = S0 Từ 56 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 2.4.1 ta có nghiệm thức đại diện đẹp với D− = D− c Đặc biệt, ta có định lý: 2.4.2 Định lý Với phương trình số µ chuyển (µ = 1, 2), tồn phép chiếu tùy ý Q0c lên N0 cho: Πcan = P0c , chiếu lên Sind , Πcan = P0c P1c , chiếu lên Sind Nghịch đảo phản xạ tổng quát D− D chọn cho D− D = P0c nghiệm phương trình x = D− u, hàm u thỏa mãn phương trình vi phân thường qui 2.5 Ma trận Song song với phương trình (2.1.7), ta xét phương trình ma trận A(DX) + BX = (2.5.1) với ma trận X : I −→ L(Ck , Cm ), k tùy ý, ≤ k ≤ m, hệ số mục Ta liên kết số khái niệm với phương trình (2.5.1) thể tầm quan trọng 2.5.1 Định nghĩa Ma trận hàm X : I −→ L(Ck , Cm ) gọi nghiệm phương trình (2.5.1) dịng nghiệm (2.1.7) với q = Nếu hàm ma trận liên tục X : I −→ L(Ck , Cm ) mà tích DX khả vi liên tục thỏa mãn phương trình (2.5.1) gọi nghiệm (2.5.1) Không gian hàm ký hiệu CD1,k , n o 1,k k m k m CD = X ∈ C(I, L(C , C )) : DX ∈ C (I, L(C , C ) 2.5.2 Định nghĩa Một nghiệm X ∈ C1,k D phương trình (2.3.1) số i (i = 1, 2) gọi nghiệm phương trình (2.1.7) imX = Sind i 57 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.5.2 phân tích (2.2.5) đảm bảo m1 = dimSind = r Tương tự, Định lý 2.3.3 phân tích (2.2.8) cho ta m2 = dimSind = r1 − (m − r) Kể từ trở đi, cho phương trình số i, (i = 1, 2), ma trận không tồn với k < mi 2.5.3 Định lý Cho phương trình (2.1.7) số i, (i = 1, 2) Với k ≥ mi P¯i ∈ L(Ck , Cm ), hàm Xi : I −→ L(Ck , Cm ) định nghĩa Xi (t) = Πcan i (t)D− (t)Ui (t)D(t0 )P¯i ma trận cho imP¯1 = imP0 (t0 ), (i = 1) imP¯2 = imPˆ1 (t0 ), (i = 2), tương ứng Ở đây, Ui , i = 1, ma trận phương trình vi phân thường qui (2.3.5) (2.4.8) với Ui (t0 ) = I Tập ma trận mô tả khẳng định sau đây: ¯ i 2.5.4 Hệ Trong định lý 2.6.3 ma trận P¯i thay Π cho: ¯ i = imΠcan i (t0 ) = Sind i (t0 ), i = 1, imΠ 2.5.5 Chú ý Mặc dù định lý 2.5.3 cho phép tùy ý k ≥ mi , cần giá trị tối thiểu k = mi đủ Tuy nhiên, với k = m hợp lý Trong vài trường hợp, ta xây dựng phép chiếu dễ dàng sở (k = mi ) Sind i bao tuyến tính vectơ Sind i Thường phép chiếu cho rõ ràng dạng phương trình Phát biểu chương I liên quan đến phép biến đổi ma trận khác bao gồm ma trận có số chiều khác 2.5.6 Định nghĩa Một ma trận Xi có số chiều cực đại m phương trình (2.1.7) số i, i = 1, gọi chuẩn hóa t = t0 Πcan i (t0 )(Xi (t0 ) − I) = 58 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.5.7 Định lý Cho phương trình (2.1.7) số i(i = 1, 2) tùy ý t0 ∈ I Khi tồn ma trận Xi chuẩn hóa t = t0 Xi (t0 ) = Πcan i (t0 ) Để ngắn gọn, ta biểu thị ma trận bình thường t = tˆ Xi (., tˆ), ma trận Ui phương trình vi phân thường (1.5.5) (2.3.8) chuẩn hóa Ui (tˆ) = I kí hiệu Ui (., tˆ) Với ma trận Xi (., tˆ) ta đưa nghịch đảo phản xạ tổng quát Xi− (., tˆ) cho Xi (t, tˆ)Xi− (t, tˆ) = Πcan i (t) Xi− (t, tˆ)Xi (t, tˆ) = Πcan i (tˆ) (2.5.2) ∀t ∈ I vài giá trị tˆ cố định ∈ I Phát biểu cuối mục cung cấp cho ta tính chất nhóm 2.5.8 Định lý Cho nghiệm chuẩn hóa Xi Xi− (t2 ,t1 ) = Xi (t1 ,t2 ) Xi (t1 ,t3 ) = Xi (t1 ,t2 )Xi (t2 ,t3 ), ∀t1 ,t2 ,t3 ∈ I, i = 1, 2.6 Phương trình liên hợp Bổ đề 2.2.3 phương trình liên hợp (2.1.8) A∗ (D∗ y) + B∗ y = −p (2.6.1) với A∗ = D∗ , D∗ = A∗ B∗ = −B∗ , cặp ma trận {A∗ , D∗ } cho phép đưa đến Cm tách trơn với điều kiện cặp {A, D} Phép chiếu R∗ thực phân tích thoả mãn điều kiện R∗ = R∗ Cho phương trình (2.7.1) ta đưa khơng gian ma trận ta làm với phương trình (2.1.7) dãy (2.2.4) G∗0 = A∗ D∗ , B∗0 = B∗ = −B∗ , 59 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Q∗i phép chiếu lên kerG∗i , P∗i = I − Q∗i , W∗i phép chiếu, kerW∗i = imG∗i , (2.6.2) G∗i+1 = G∗i + B∗i Q∗i , B∗i+1 := B∗i P∗i , N∗i = kerG∗i = imQ∗i , S∗i = {z ∈ Cm : B∗i z ∈ imG∗i } = kerW∗i B∗i , i = 0, ∗− A− = D∗− với Ta xác định nghịch đảo phản xạ D− ∗ =A ∗ A∗ A∗− = R∗ = R∗ , A∗− A∗ = P∗0 , D∗ D∗− = I −W∗0 , D∗− D∗ = R∗ = R∗ 2.6.1 Chú ý Nói chung, đẳng thức D−∗ = D∗− P0∗ , D∗− = D−∗ (I −W∗0 ), A−∗ = (I −W0∗ )A∗− , A∗− = P∗0 A−∗ giữ nguyên Hơn nữa, ta đặt W0 = Q∗∗0 (W∗0 = Q∗0 ) A∗− = A−∗ (D∗− = D−∗ ) Mục tiêu trình bày tính chất thơng dụng phương trình (2.1.7) (2.1.8) Để đạt mục tiêu ta đưa số khẳng định để hỗ trợ liên kết không gian đặc trưng cặp phương trình Để làm ta cần ma trận phụ trợ: Gi+1 = Gi +Wi Bi Qi G∗i+1 = G∗i +W∗i B∗i Q∗i (i = 0, 1) Ma trận Gi+1 G∗i liên hệ với Gi G∗i công thức Gi = Gi Fi−1 , G∗i = G∗i F∗i−1 , (2.6.3) Trong đó: F0 = I +D− A− BQ0 , F∗0 = I −A∗− D∗− B∗ Q∗0 , F1 = I + G− BP0 Q1 , ∗ F∗1 = I − G− ∗1 B P∗0 Q∗1 60 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ở phản xạ nghịch đảo G1 G∗1 xác định − − − G1 G− = I −W1 , G1 G1 = P1 , G∗1 G∗1 = I −W∗1 , G∗1 G∗1 = P∗1 Tất Fs khơng suy biến, để có nghịch đảo tương ứng thay đổi kí hiệu + − ngược lại cho nhau, khẳng định ta là: Ni ∩ Si = kerGi+1 , N∗i ∩ S∗i = kerG∗i+1 (i = 0, 1) (2.6.4) Nó liên kết dãy ma trận (2.2.4) (2.6.2) điều kiện (2.2.5) (2.2.7) xảy định nghĩa số Kết nối dãy (2.2.4) (2.6.2) hệ thức: kerG1 = kerG∗∗1 , kerG∗1 = kerG∗1 , F0 kerG2 = kerG∗∗2 , F∗0 kerG∗2 = kerG∗2 (2.6.5) Tính chất (2.6.4) (2.6.5) giống DS1 = R(A∗ N∗1 )⊥ , A∗ S∗1 = R∗ (DN1 )⊥ (2.6.6) kiểm tra cách sử dụng lại định nghĩa thức khơng gian Lưu ý không gian xảy yêu cầu (2.6.6) kết hợp với phương trình (2.1.7) (2.1.8) trang bị số Ta liên kết phép chiếu lên không gian Cụ thể phân tích (2.2.2) điều kiện C1 hệ thức (2.2.6) (2.2.7) (DPˆ1 D− )∗ = A∗ Pˆ∗1 A∗− (2.6.7) Điều quan trọng (DN1 ⊕ kerR)⊥ = R∗ (DN1 )⊥ , (A∗ N∗1 ⊕ kerR∗ )⊥ = R(A∗ N∗1 )⊥ Bây ta chứng minh mối quan hệ phương trình gốc với phương trình liên hợp 61 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.6.2 Định lý Phương trình (2.1.8) phương trình số số phương trình (2.1.7) Chứng minh Do Bổ đề 2.2.3, điều kiện C1 giữ nguyên cho phương trình (2.1.7) (2.1.8) Nếu phương trình (2.1.7) thỏa mãn điều kiện đại số (2.2.5) G1 , G1 không suy biến, với N∗0 ∩ S∗0 = {0} Điều minh chứng điều kiện (2.2.5) với phương trình liên hợp (2.1.8) Chiều ngược lại ta chứng minh tương tự Do ta giải xong với trường hợp số Với trường hợp số 2, ta kiểm tra hệ thức đại số (2.2.6) (2.2.7) Cho hệ thức (2.2.2), (2.2.6) (2.2.7) với phương trình (2.1.7) khơng gian kerG1 = N0 ∩ S0 , có số chiều khơng đổi m − r1 Vì m − r1 = dimkerG∗∗1 ; m − r1 = dimkerG∗1 Áp dụng cơng thức (2.6.4) ta có dimN∗0 ∩ S∗0 = m − r1 , tức điều kiện (2.2.6) thỏa mãn phương trình liên hợp (2.1.8) Ta dim(N∗1 ∩ S∗1 ) = dimkerG∗2 = dimkerG∗2 = dimkerG2 = dimkerG2 = dim(N1 ∩ S1 ) Điều kiện (2.2.7) chuyển từ (2.1.7) sang (2.1.8) ngược lại Ta cịn phải kiểm tra tính trơn không gian DS1 DN1 nghĩa A∗ S∗1 A∗ N∗1 Nếu phương trình (2.1.7) số chuyển được, phép chiếu DPˆ1 D− , DQˆ D− I − R khả vi liên tục Bổ đề 2.2.9 Vì ràng buộc (2.6.7), A∗ Pˆ∗1 A∗− A∗ Qˆ ∗1 A∗− = R∗ − A∗ Pˆ∗1 A∗− khả vi liên tục không gian ảnh chúng A∗ S∗1 , A∗ N∗1 Tương tự ta chứng minh ngược lại Như hệ quả, phương trình liên hợp cấu trúc có tính chất tương tự phương trình gốc Ta xây dựng hệ cho phương trình số Nếu số 1, giảm bớt rõ ràng Trong 62 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phát biểu C1A∗ Q  ∗ −1 , = x ∈ C : A Q G x ∈ C ∗1 ∗2 G−1 ∗1 ∗2 với Pˆ∗1 biểu thị phép chiếu đặc biệt thỏa mãn ∗ Pˆ∗1 = I − Q∗1 G−1 ∗2 B P∗0 Π∗can i phép chiếu tắc lên S∗ind i xây dựng Πcan i Để rõ ràng ma trận phương trình liên hợp kí hiệu X∗ thay Y làm mục 2.6.3 Hệ Cho phương trình (2.1.7) số chuyển i) Với p ∈ C1 ∗ A Q∗1 G−1 ∗2 , a ∈ A∗ (t0 )S∗1 (t0 ), t0 ∈ I, tốn giá trị ban đầu với điều kiện ban đầu A∗ (t0 )Pˆ∗1 (t0 )y(t0 ) = a có nghiệm CA1 ∗ ii) (2.1.8) có nhiễu số ( has perturbation index-2) iii) Có nghiệm phương trình qua điểm (t0 , y(t0 )), t0 ∈ I, y(t0 ) ∈ S∗ind (t0 ) 2.6.4 Hệ Với phương trình (2.1.7) số i, (i=1 i=2) Cho phương trình liên hợp (2.1.8) tùy ý t0 ∈ I, tồn ma trận X∗i chuẩn hóa t = t0 có dạng X∗i (t,t0 ) = Π∗can i (t)A∗− (t)U∗i (t)A∗ (t0 )Π∗can i (t0 ), U∗i ma trận chuẩn hóa phương trình vi phân thường qui phương trình liên hợp (2.1.8) Nếu công thức (2.2.1) áp dụng có dạng ma trận nghiệm phương trình (2.1.8) (2.1.7) thì, với cặp ma trận Xi X∗i (thậm chí với số chiều khác nhau) đồng thức Lagrange có dạng X∗i∗ ADXi = const Nếu ma trận chuẩn hóa điểm t = t0 giá trị số tính Thật vậy, X∗i∗ (t,t0 )A(t)D(t)Xi (t,t0 ) = X∗i∗ (t0 ,t0 )A(t0 )D(t0 )Xi (t0 ,t0 ) 63 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = Π∗∗can i (t0 )A(t0 )D(t0 )Πcan i (t0 ) (2.6.8) Tính chất cho phép đưa hệ thức ma trận chuẩn hóa phương trình (2.1.8) (2.1.7) Để thực công việc này, ta sử dụng nghịch đảo phản xạ tổng quát định nghĩa tˆ = t0 Tương tự, X∗i (t,t0 )X∗i− (t,t0 ) = Π∗can i (t) X∗i− (t,t0 )X∗i (t,t0 ) = Π∗can i (t0 ) (2.6.9) Ta nhân vế phải phương trình (2.6.8) với Xi− (t,t0 ) phương trình liên hợp Π∗can i D∗ A∗ X∗i = Xi−∗ D∗ (t0 )A∗ (t0 )Π∗can i (t0 ) (2.6.10) Hơn nữa, đối số t cặp (t,t0 ) bỏ qua Cơng thức rõ ràng bắt nguồn từ trường hợp số 2, bao gồm trường hợp số (xem ý 2.3.5) Ta nhân (2.6.10) với −∗ vào vế phải (cho A∗− = D− ) A∗ (t )P A∗− ˆ∗1 (t0 ) bên vế phải thay c D c ∗c A∗ (t0 )Pˆ∗1 (t0 )A∗− (t0 )A∗ (t0 ) Cả hai vế xuất số hạng mà công ∗ thức (2.6.7) áp dụng (với t t0 tương ứng) Mà A∗− c A = P∗0c P∗0c X∗2 = X∗2 , đưa đến biểu thức cho X∗2 , D−∗ X2−∗ = D∗− X2−∗ Cơng thức cho X2 kết việc tính toán việc sử dụng hệ thức A∗−∗ X2−∗ = A− X2−∗ Việc làm thay đổi A∗−∗ D−∗ A− D∗− Ở làm rõ phát biểu cuối cho độc lập cách chọn đặc biệt P0 , P∗0 W0 , W∗0 2.6.5 Định lý Các ma trận phương trình (2.1.7) (2.1.8) số i (i = 1, 2) chuẩn hóa t = t0 liên hệ với công thức ∗− −∗ ∗ ∗ X∗1 (t) = A∗− c (t)D (t)Xi (t)D (t0 )A (t0 ), − −∗ Xi (t) = D− c (t)A (t)X∗i A(t0 )D(t0 ), với điều kiện nghịch đảo phản xạ tổng quát (2.6.7) (2.6.9) sử ∗− dụng D− c Ac xây dựng theo nghĩa P0c P∗0c Bổ đề 2.4.1 64 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình vi phân thường trường hợp riêng phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp có tính chất tương tự phương trình vi phân đại số số phương trình liên hợp Đặc biệt phương trình gốc phương trình liên hợp cịn có mối quan hệ chúng có số Qua kết ta thấy số tính chất phương trình vi phân thường phương trình liên hợp cịn phương trình vi phân đại số phương trình liên hợp 65 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] E.A Coddington, N Levinson: Theory of ordinary differential equations Mc Graw Hill, New York, 1995 [2] K Balla: Linear subspaces for linear DAEs of index Computers math Applic Vol 32, No 4/5 pp, 81-86 (1996) [3] K Balla: Boundary conditions and their transter differrention - algebraic equations of index Computers math Applic Vol 31, No.10, pp 1-5 (1996) [4] K Balla, R Marz: Transfer of boundary conditions for DAEs of index SIAM J Numer Vol 33, No 6, pp 2318-2332 (1996) [5] K Balla, R Marz: Linear diifferential algebraic equations of index and their adjoit equations Results Math 37 (2000), 13-35 [6] K Balla, R Marz: A unified approach to linear differential algebraic equations and their adjoints Volume (2002), No 3, 1-19 [7] K.Balla, R Marz: Linear spaces for index DAEs Results Math 35 (2002), 7-18 [8] E Griepentrog, R Marz: Differential - Algebraic Equations and their Numerical Treatment Leipzig, Teubner Verlag, 1986 [9] G A Kurina: Singular perturbation of control problems with equation of state not solved for the derivative (A survey) Intern J Computer and Systems Sci 31(1993), 17-45 66 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [10] R Marz: Extra-ordinary differential equations Attempts to an analysis of differential-algebraic systems In: European Congress of Mathematics, Budapest, July 22.26, 1996, Vol Serie "Progress in Mathematics" Vol 168 Birkhauser Verlag, pp 313-334, 1998 [11] R Marz: The index of linear diifferential algebraic equations with properly stated leading terms Preprint Berlin: Humboldt-Univ./Inst Math., Preprint Nr 2001-7, 30pp.; Results Math (to appear) [12] R Marz: The index of linear differential algebraic equations with properly stated leading terms Preprint Berlin: Humboldt-Univ./Inst Math, Preprint Nr 2001-7, 30pp Results (to appear) 67 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn