Nghiệm lặp của phương trình phi tuyến với toán tử accretive mạnh trong không gian banach

Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  DƯƠNG VĂN SÁNG NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ ACCRETIVE MẠNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt q trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu cơng tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Dương Văn Sáng Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Phương trình phi tuyến với toán tử accretive 1.1 1.2 Toán tử accretive, tốn tử khơng giãn Bài toán điểm bất động 1.3 1.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động Phương trình tốn tử accretive 16 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh 18 2.1 Sự hội tụ trường hợp toán tử accretive mạnh liên tục Lipschitz 18 2.2 Sự hội tụ trường hợp toán tử accretive mạnh liên tục 24 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu X X∗ φ x := y ∀x ∃x I A∗ D(A) F ix(T ) xn → x Không gian Banach thực Không gian liên hợp X Tập rỗng x định nghĩa y Với x Tồn x Toán tử đơn vị Toán tử liên hợp toán tử A Miền xác định toán tử A Tập điểm bất động toán tử T Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán chấp nhận lồi, toán cân Cho X không gian Banach thực, C tập X , T : C → X toán tử phi tuyến Phương pháp xấp xỉ nghiệm x∗ phương trình T x = x hướng nghiên cứu quan trọng nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Điểm x∗ thỏa mãn T x∗ = x∗ gọi điểm bất động toán tử T Trong nhiều trường hợp quan trọng, việc tìm nghiệm phương trình tốn tử đưa tốn tìm điểm bất động tốn tử thích hợp Chẳng hạn nghiệm phương trình tốn tử Ax = f , A : X → X toán tử phi tuyến, f phần tử thuộc X , điểm bất động toán tử S xác định Sx = Ax + x − f với x ∈ X Nếu T toán tử khơng giãn A := I − T toán tử accretive, I toán tử đơn vị X Do tốn tìm điểm bất động tốn tử khơng giãn đưa tốn giải phương trình tốn tử accretive Mục đích đề tài luận văn nhằm nghiên cứu phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa giải phương trình tốn tử accretive khơng gian Banach Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức tốn tử accretive đơn trị, tốn tử khơng giãn, tốn điểm bất động phương trình tốn tử accretive Phần cuối chương giới thiệu số dãy lặp cổ điển xấp xỉ điểm bất động, dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa Chúng giới thiệu lịch sử dãy lặp sở mở rộng Deiling, Chidume, Liu, Zhou, Osilike Ding (xem [6], [2], [8], [12], [10], [4], [5]) Trong chương 2, chúng tơi trình bày số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh không gian Banach Sự hội tụ dãy lặp kiểu Mann Ishikawa chứng minh chi tiết Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trường hợp toán tử accretive mạnh đơn trị, liên tục Lipschiz liên tục Đóng góp chúng tơi luận văn đọc, dịch, tổng hợp kiến thức tài liệu [1]-[12] Toàn phần chứng minh định lý chương làm rõ từ kết nghiên cứu có [1], khơng chứng minh tường minh tài liệu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương trình phi tuyến với tốn tử accretive Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết tốn tử accretive, tốn điểm bất động, phương trình toán tử số phương pháp lặp kinh điển tìm điểm bất động tốn tử khơng gian Banach Các kết chương tham khảo tài liệu [1]-[12] 1.1 Toán tử accretive, toán tử không giãn Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho A toán tử với miền xác định D(A) miền giá trị R(A) ∗ Định nghĩa 1.1 Toán tử J : X → 2X (nói chung đa trị) gọi tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc X J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x x∗ , x∗ = x } Trong trường hợp đơn trị ta ký hiệu j Tính đơn trị tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc khơng gian Banach X cho mệnh đề sau Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mệnh đề 1.2 Giả sử X khơng gian Banach Khi đó, i) J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x), với λ > 0; ii) J toán tử đơn trị X ∗ không gian lồi chặt Trong trường hợp X khơng gian Hilbert J ≡ I -toán tử đơn vị X Một bất đẳng thức đơn giản thông dụng thường dùng để thiết lập mối quan hệ toán tử đối ngẫu chuẩn tắc J chuẩn không gian Banach bất đẳng thức Petryshyn [11] Định nghĩa 1.3 Cho X không gian Banach thực, J : X → 2X ∗ toán tử đối ngẫu X Khi x+y ≤ x + y, j(x + y) (1.1) với x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y) Bất đẳng thức (1.1) gọi bất đẳng thức Petryshyn Định nghĩa 1.4 Toán tử đơn trị A : X → X gọi i) accretive Ax − Ay, J(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); ii) accretive chặt dấu bất đẳng thức đạt x = y; iii) accretive tồn hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0, cho Ax − Ay, J(x − y) ≥ γ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A); iv) k -accretive mạnh γ(t) = kt2 , k > số; v) m-accretive R(I + λA) = X , ∀λ > Định nghĩa 1.5 Toán tử T : X → X gọi liên tục Lipschitz tồn số L > thỏa mãn T x − T y ≤ L x − y , ∀x, y ∈ D(T ) (1.2) Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số L gọi số Lipschitz T Nếu L < T tốn tử co L = T tốn tử khơng giãn, nghĩa |T x − T y ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ) (1.3) Tính chất accretive khơng giãn tốn tử T có mối liên hệ sau Cho X không gian Banach C tập X Khi T : C → X tốn tử khơng giãn A := I − T toán tử accretive Hơn nữa, C trùng với X A := I − T toán tử m-accretive Định nghĩa 1.6 Cho T : D(T ) ⊂ X → X toán tử (i) Toán tử T gọi giả co với x, y ∈ D(T ), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y (1.4) (ii) Toán tử T gọi giả co mạnh với x, y ∈ D(T ) tồn j(x − y) ∈ J(x − y) số l ∈ (0, 1) cho T x − T y, j(x − y) ≤ l x − y (1.5) (iii) Toán tử T gọi giả co chặt với x, y ∈ D(T ), tồn số k > j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y − k (Ix − Iy) − (T x − T y) , (1.6) I toán tử đồng X Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.6) viết dạng (I − T )x − (I − T )y, j(x − y) ≥ k (I − T )x − (I − T )y (1.7) Trong không gian Hilbert, bất đẳng thức (1.6) (1.7) tương đương Tx − Ty ≤ x−y + λ (I − T )x − (I − T )y , (1.8) với x, y ∈ D(T ) λ = − k < Khi λ = bất đẳng thức (1.8) có dạng T x − T y ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ) (1.9) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 Bài tốn điểm bất động Định nghĩa 1.7 Phần tử x ∈ D(T ) không gian Banach X gọi điểm bất động toán tử T x = T x Ký hiệu tập điểm bất động toán tử T F ix(T ) Chú ý tập điểm bất động tốn tử khơng giãn T không gian Banach lồi chặt X khác rỗng tập lồi đóng Bài tốn điểm bất động phát biểu sau: Cho C tập lồi không gian Banach X , T : C → X tốn tử Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C cho T x∗ = x∗ (1.10) Việc tìm nghiệm tốn điểm bất động (1.10) tương đương với việc giải phương trình tốn tử T x − x = (1.11) Định lý 1.8 (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → X tốn tử co Khi T có điểm bất động X với x0 ∈ X dãy lặp {T n x0 } hội tụ đến điểm bất động Định lý điểm bất động Banach đưa luận án Banach vào năm 1992, sử dụng để thiết lập tồn nghiệm phương trình tích phân Kể từ đó, đơn giản hữu dụng, trở thành cơng cụ phổ biến việc giải vấn đề tồn nhiều ngành toán học giải tích Chú ý rằng, tốn tử khơng giãn T : X → X có điểm bất động khơng dãy {xn } xác định xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2, khơng hội tụ tới điểm bất động T Ví dụ, cho T : R → R xác định T x = − x Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tác động với j(xn+1 ) ∈ J(xn+1 ) đẳng thức (2.2) ta thu xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) + αn Sxn+1 − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) − αn Sxn+1 − Syn , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn ) xn − x∗ (2.4) xn+1 − x∗ + αn Sxn+1 − Sx∗ , j (xn+1 − x∗ ) + αn Sxn+1 − Syn xn+1 − x∗ Dễ thấy tồn j(xn+1 − x∗ ) ∈ J(xn+1 − x∗ ) cho Sxn+1 − Sx∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − k) xn+1 − x∗ (2.5) Ta thay (2.3) (2.5) vào (2.4) để nhận xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + (1 − k) αn xn+1 − x∗ + Kn αn xn − x∗ (2.6) xn+1 − x∗ Ở đây, ta giả thiết xn+1 − x∗ > 0, nên từ (2.6) suy ra: xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ + (1 − k) αn xn+1 − x∗ + Kn αn xn − x ∗ (2.7) Từ điều kiện i) ii) định lý ta có Kn ≤ k − r với n ≥ 0, nên từ (2.7) ta suy − αn + K n αn xn − x∗ − (1 − k) αn r ≤ 1− αn x n − x ∗ − (1 − k) αn xn+1 − x∗ ≤ ≤ (1 − rαn ) xn − x∗   n   ≤ exp −r αj xn − x∗ → 0, n → ∞   (2.8) j=0 20 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hệ 2.2 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.1 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình T x = f Chứng minh Cho βn = với n ≥ Định lý 2.1 ta nhận điều cần chứng minh Hệ 2.3 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.1 Khi dãy lặp Picard {xn } x0 ∈ X xn+1 = (1 − λ)xn + λSxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình T x = f Định lý 2.4 Cho X không gian Banach thực T : X → X toán tử accretive mạnh liên tục Lipschitz, {αn } {βn } dãy số thực [0; 1] thỏa mãn điều kiện sau: i) αn ≤ k , ii) βn ≤ k(1 − k) , , n ≥ 0, (2 + k)(1 − k) 2L∗ [1 + L∗ (1 + L∗ )] k(1 − k) , n ≥ 0, 2L∗ (1 + L∗ ) ∞ αn = ∞ iii) n=0 Toán tử S : X → X xác định Sx = f + x − T x với x ∈ X f ∈ X Khi dãy lặp Ishikawa    x0 ∈ X (2.9) xn+1 = (1 − αn )xn + αn Syn , n ≥   yn = (1 − βn )xn + βn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình T x = f Hơn 21 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ta có đánh giá xn+1 − x∗ ≤ k   exp −k  n αj   T x0 − f , n ≥  j=0 Chứng minh Vì T : X → X toán tử accretive mạnh liên tục Lipschitz nên theo Bổ đề 1.24 S : X → X toán tử giả co mạnh liên tục Lipschitz với số Lipschitz L∗ = + L Rõ ràng rằng, x∗ nghiệm phương trình T x = f x∗ điểm bất động S Mà theo Định lý 1.11 S có điểm bất động X , nên phương trình T x = f có nghiệm X Bây ta chứng minh dãy lặp Ishikawa {xn } xác định (2.9) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình T x = f , tức điểm bất động x∗ S Thật vậy, S giả co mạnh nên tồn j(x − y) ∈ J(x − y) thỏa mãn: Sx − Sy, j (x − y) ≤ (1 − k) x − y , ∀x, y ∈ X (2.10) Đặt Ln = L∗ [1 + L∗ (1 + L∗ )]αn + L∗ (1 + L∗ )βn Sử dụng Định lý 1.1 (2.10) ta có: xn+1 − x∗ = (1 − αn ) (xn − x∗ ) + αn (Syn − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ 2 + 2αn Syn − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ + 2αn Syn − Sxn+1 , j (xn+1 − x∗ ) (2.11) + 2αn Sxn+1 − Sx∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ + 2αn Syn − Sxn+1 xn+1 − x∗ + 2αn (1 − k) xn+1 − x∗ 22 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ (2.9), ta có Syn − Sxn+1 ≤ L∗ yn − xn+1 = L∗ (αn − βn )(xn − x∗ ) + αn (x∗ − Syn ) + βn (Sxn − x∗ ) ≤ L∗ (αn + βn ) xn − x∗ (2.12) + αn L∗ yn − x∗ + βn L∗ xn − x∗ ≤ L∗ αn [1 + L∗ (1 + L∗ )] xn − x∗ + βn (1 + L∗ ) = Ln xn − x∗ Thay (2.12) vào (2.11) ta nhận xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ + 2αn L∗ xn − x∗ xn+1 − x∗ + 2αn (1 − k) xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn )2 + αn Ln xn − x∗ (2.13) + [2αn (1 − k) + αn Ln ] xn+1 − x∗ Sử dụng điều kiện i) ii) định lý ta có xn+1 − x∗ ≤ [1 − αn (2 + k)] xn − x∗ + [αn (1 − k) (2 + k)] xn+1 − x∗ , (2.14) suy xn+1 − x∗ − αn (2 + k) xn − x∗ − αn (1 − k) (2 + k) k (2 + k) αn = 1− xn − x∗ − αn (1 − k) (2 + k) ≤ (1 − kαn ) xn − x∗ ≤ n ≤ exp −k αj x0 − x∗ 2 → 0, n → ∞, j=0 23 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ∞ αn = ∞ Do vậy, ta có xn → x∗ n → ∞ Hơn nữa: n=0 xn+1 − x∗ ≤ k   exp −k  n αj j=0   x0 − T x0 , ∀n ≥  Hệ 2.5 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.4 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình T x = f Hơn nữa, ta có đánh giá xn+1 − x∗ ≤ k   exp −k  n αj j=0   T x0 − f , n ≥  Chứng minh Kết luận hệ suy trực tiếp từ việc chứng minh Định lý 2.4 cho βn = với n ≥ 2.2 Sự hội tụ trường hợp toán tử accretive mạnh liên tục Trước hết ta nhắc lại định nghĩa chuẩn khả vi Gâteaux Ký hiệu SX := {x ∈ X : x = 1} mặt cầu đơn vị X Định nghĩa 2.6 Khơng gian Banach X gọi i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX 24 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii) có chuẩn khả vi Gâteaux giới hạn đạt với x ∈ SX Mệnh đề 2.7 Cho X khơng gian Banach Khi đó, X có chuẩn khả vi Gâteaux tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị chuẩn X khả vi Gâteaux tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục ∗ yếu tập bị chặn X Bổ đề 2.8 Cho {an }, {bn } {cn } dãy số thực không âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − tn )an + bn + cn , n ≥ n0 n0 số nguyên dương {tn } dãy số đoan [0; 1] cho n → ∞ ∞ n=1 tn = ∞, bn = ◦(tn ) ∞ n=1 cn < ∞ Khi an → Định lý 2.9 Cho X không gian Banach thực T : X → X toán tử accretive mạnh liên tục với miền giá trị R(I − T ) bị chặn, {αn } {βn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn điều kiện sau: i) αn → 0, βn → n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Định nghĩa toán tử Sx = f + x − T x với x ∈ X f ∈ X Khi dãy lặp Ishikawa {xn } xác định bởi:    x0 ∈ X (2.15) xn+1 = (1 − αn )xn + αn Syn , n ≥   yn = (1 − βn )xn + βn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình T x = f Chứng minh Đặt K = co {S(X) ∪ {x0 }} Khi K tập bị chặn lồi đóng khác rỗng X Hơn nữa, theo Bổ đề 1.24 S : K → K toán tử giả co mạnh liên tục Theo Định lý 1.11 S có điểm bất động X , kí hiệu x∗ Ta chứng minh 25 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dãy lặp Ishikawa {xn } xác định (2.15) hội tụ đến điểm bất động x∗ S Thật vậy, {xn }, {Sxn } {Syn } dãy bị chặn K , nên ta có: yn − xn+1 = (αn − βn ) xn + βn Sxn − αn Syn → 0, n → ∞ Từ tính liên tục S suy Sxn+1 − Syn → 0, n → ∞ Điều kéo theo − αn xn − x∗ + ◦(αn ) − (1 − k) αn k = 1− αn xn − x∗ + ◦(αn ) k − (1 − k) αn xn+1 − x∗ ≤ (2.16) ≤ (1 − kαn ) xn − x∗ + ◦(αn ), với n đủ lớn Áp dụng Bổ đề 2.8 suy xn → x∗ n → ∞ Hơn x∗ điểm bất động S nghiệm phương trình T x = f, nên ta có điều phải chứng minh Hệ 2.10 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.9 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình T x = f Chứng minh Từ Định lý 2.9 với βn = với n ≥ ta có kết cần chứng minh Định lý 2.11 Cho X không gian Banach thực T : X → X toán tử m-accretive liên tục với miền giá trị R(T ) bị chặn, {αn } {βn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn điều kiện sau: i) αn → 0, βn → n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 26 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa toán tử Q : X → X với Qx = f − T x, ∀x ∈ X f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Ishikawa {xn } xác định bởi:    x0 ∈ X (2.17) xn+1 = (1 − αn )xn + αn Qyn , n ≥   yn = (1 − βn )xn + βn Qxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình x + T x = f Chứng minh Vì T : X → X tốn tử m-accretive nên thấy phương trình x + T x = f có nghiệm x∗ Q có điểm bất động x∗ Đặt K = co {Q(X) ∪ {x0 }} Khi đó, K tập lồi đóng khác rỗng bị chặn X Hơn Q : K → K toán tử giả co mạnh liên tục nên tồn số k = t−1 t ∈ (0; 1) thỏa mãn: Qx − Qy, j(x − y) ≤ (1 − k) x − y , ∀x, y ∈ K (2.18) Đặt en = j (xn+1 − x∗ ) − j (yn − x∗ ) Khi đó, en → n → ∞ Hiển nhiên {xn }, {Qxn } {Qyn } nằm tập bị chặn K n → ∞ thì: (xn+1 − x∗ ) − (yn − x∗ ) = (βn − αn ) xn + αn Qyn − βn Qxn → Dựa vào tính liên tục j tập bị chặn X , ta có en → n → ∞ Chú ý rằng: xn+1 − x∗ = (1 − αn ) (xn − x∗ ) + αn (Qyn − Qx∗ ) Bằng việc tác động j(xn+1 − x∗ ) lên hai vế đẳng thức ta thu 27 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ được: xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) + αn Qyn − Qx∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + αn Qyn − Qx∗ , j (xn+1 − x∗ ) − j (yn − x∗ ) (2.19) + αn Qyn − Qx∗ , j (yn − x∗ ) ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + (1 − k) αn yn − x∗ + ◦ (αn ) Chú ý rằng: yn − x∗ ≤ xn − x∗ + M βn yn − x∗ ≤ xn − x∗ + M βn (2.20) Vì vậy, (2.20) vào (2.19) ta thu được: xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + (1 − k) αn xn − x∗ + ◦ (αn ) − αn ≤ xn − x∗ + xn+1 − x∗ 2 + (1 − k) αn xn − x∗ + ◦ (αn ) (2.21) Từ (2.21) ta có: xn+1 − x∗ ≤ 1− kαn 1+αn xn − x∗ ≤ (1 − kαn ) xn − x∗ 2 + ◦ (αn ) (2.22) + ◦ (αn ) Do xn → x∗ n → ∞ Ta nhận điều cần chứng minh Hệ 2.12 Cho X , T , Q, {αn } Định lý 2.11 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Qxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình x + T x = f 28 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh Từ Định lý 2.11 với βn = với n ≥ ta có kết cần chứng minh Hệ 2.13 Cho X không gian Banach thực T : X → X toán tử accretive liên tục với miền giá trị bị chặn R(T ) Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Toán tử Q : X → X xác định Qx = f − T x, ∀x ∈ X , f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Qxn , n ≥ hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình x + T x = f Một số kết không gian Banach trơn trình bày hệ Trước hết ta nhắc lại khái niệm không gian Banach trơn Ký hiệu mặt cầu đơn vị không gian Banach X SX , với SX = {x ∈ X : ||x|| = 1} Định nghĩa 2.14 Không gian Banach X gọi trơn với x ∈ SX tồn fx ∈ X ∗ cho x, fx = ||x|| ||x|| = Định nghĩa 2.15 Mô đun trơn không gian Banach X hàm số xác định ρX (τ ) = sup{2−1 (||x + y|| + ||x − y||) − : ||x|| = 1, ||y|| = τ } Định nghĩa 2.16 Không gian Banach X gọi trơn ρX (τ ) = τ →0 τ Hệ 2.17 Cho X không gian Banach thực trơn T : X → X toán tử accretive mạnh với miền giá trị bị chặn R(I −T ) Giả sử phương trình T x = f có nghiệm x∗ Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: lim 29 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Toán tử G : X → X xác định Gx = f + x − T x, ∀x ∈ X Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Gxn , n ≥ hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình x + T x = f Hệ 2.18 Cho X không gian Banach thực trơn T : X → X toán tử m-accretive với miền giá trị bị chặn R(T ) Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Toán tử B : X → X xác định Bx = f − T x, ∀x ∈ X , f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Bxn , n ≥ hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình x + T x = f Hệ 2.19 Cho X không gian Banach thực trơn T : X → X toán tử accretive nửa liên tục với miền giá trị bị chặn R(T ) Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Toán tử Z : X → X xác định Zx = f − T x, ∀x ∈ X , f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Mann {xn } xác định 30 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Zxn , n≥0 hội tụ mạnh tới nghiệm phương trình x + T x = f 31 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ KẾT LUẬN Đề tài luận văn nghiên cứu lịch sử dãy lặp Mann Ishikawa xấp xỉ nghiệm cho toán điểm bất động toán tử, toán giải phương tình tốn tử phi tuyến với tốn tử accretive đơn trị khơng gian Banach Đồng thời, luận văn trình bày số phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục liên tục Lipschitz, chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp tương ứng Hướng nghiên cứu đề tài nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp kiểu Mann Ishikawa xấp xỉ nghiệm phương trình tốn tử accretive mạnh đa trị khơng gian Banach 32 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] S -s Chang, Y J Cho and H Zhou, Iterative methods for nonlinear operator equations in Banach spaces , Nova Science Publishers, Inc, Huntington, New York, 2001 [2] C E Chidume, Iterative approximation of fixed points of Lipschitz strictly pseudo-contractive mappings, Proc Amer Math Soc., 9(2)(1987), 283-288 [3] C E Chidume, Proximation of fixed points of strongly pseudocontractive mappings, Proc Amer Math Soc., 120(2)(1994), 545-551 [4] C E Chidume and M O Osilike, Nonlinear accretive and pseudocontractive operator equations in Banach spaces, Nonlinear Anal TMA, 31(1998), 779-789 [5] X P Ding, Iterative process with errors to nonlinear φ-strongly accretive operator equations in arbitrary Banach spaces, Compt Math Appl., 33(1997), 75-82 [6] K Deimling, Zeros of accretive operators, Manuscripta Math 13(1974), 283-288 [7] S Ishhikawa, Fixed point by a new iteration method, Proc Amer Math Soc., 44(1974), 147-150 [8] L S Liu, Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accreive mappings in Banach spaces, J Math Anal Appl., 194(1995), 114-125 33 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [9] W R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc , 1(1953), 506-510 [10] M O Osilike, Ishikawa and Mann iteration methods for nonlinear equations of the accretive type, J Math Anal Appl., 213(1997), 91105 [11] W V Petryshyn, A characterization of strict convexity of Banach spaces and other uses of dualyty mappings, J Funct Anal., 6(1970), 282-291 [12] H Y Zhou, Iterative solution of nonlinear equations involving strongly accretive operators without the Lipxchitz assumption, J Math Anal Appl., 213(1997), 296-307 34 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... động Phương trình tốn tử accretive 16 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh 18 2.1 Sự hội tụ trường hợp toán tử accretive mạnh liên tục... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương trình phi tuyến với tốn tử accretive Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết toán tử accretive, tốn điểm bất động, phương trình tốn tử số phương pháp lặp kinh điển... liên hệ toán tử accretive giả co sau Bổ đề 1.24 Cho A : D(A) ⊂ X → X tốn tử Khi đó, i) A tốn tử accretive I − A toán tử giả co; ii) A toán tử accretive mạnh I − A toán tử giả co mạnh, I toán tử đơn