1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Chuyên đề sự chia hết của số nguyên

13 4 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 366,33 KB

Nội dung

Chuyên đề 4: SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ Giả sử a, b, c số ngun dương, ta có tính chất sau a b  a c  b  c  Nếu a c  (ma  nb) cm, n  Z  b  c  Nếu a b   a b.c a c (b, c) 1   a b  a [b,c]  Nếu a c ( BCNN)  abc  a c  ( b , c )   Nếu  p  P( songuyento)   ab  p  Nếu Nếu a b  a b n n  Nếu a b  a b(n  Z )  a p  bp  Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n 10 Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích a m   b  m  +) a b m  ab m n +) a m  a m(n  N ) a c  abcd  b  d  +) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết - Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m  A( n)m - Nếu m hợp số, ta phân tích m thành tích thừa số đơi ngun tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho tất số - Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m Bài 1: Chứng minh a a  a 2(a  N ) b a  a 3(a  Z ) c a  a 5; 6;30(a  Z ) d a  a 2(a  Z ) Lời giải: a Ta có : a  a a(a  1)2 b a  a a(a  1)(a  1) (a  1)a(a  1)3 a  a a (a  1) a (a  1)(a  1) (a  1)       2,3 6  5.6 30  2 2 a  a  a ( a  1)( a  1)  a ( a  1)[( a  4)  5)]= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)  n ( n  1)               5 5 c  2 d a  a a(a  1) a(a  1)(a  a 1)(a  a 1) +) Nếu a 7 k (k  Z )  a 7 2 +) Nếu a 7k  1(k  Z )  a  49k  14k 7 +) Tương tự ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 chia hết cho (đpcm) Bài 2: Chứng minh a n(n  1)(2n  1)6 b n  11n 6 2 c mn(m  n )6 d m  5m6 Lời giải: a Ta có: b c d n(n  1)(2n 1) n(n 1)[(n-1)+(n+2)]= n(n+1)(n-1)  n(n  1)( n  2)            2,3 6 6 n3  11n n3  n  12n n(n  1)(n  1)  12  n      6 6 mn(m  n ) mn[(m  1)  ( n  1)]= mn(m-1)(m+1)  mn( n  1)( n  1)             6 6 m3  5m m3  m  6m m(m  1)(m  1)  6 m       6 6 Bài 3: Chứng minh với n lẻ a A n  4n  38 b B n  3n  n  348 12 c C n  n  n  1512 d D n  10n  9384 Lời giải: a Ta có: n  4n  (n  1)(n  3) Vì n số lẻ nên n + n + tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho b n  3n  n  (n  3)(n  1)(n  1) Vì n lẻ, đặt n = 2k +  (n  3)(n  1)(n  1) 2k (2k  2)(2k  4) 8k ( k  1)(k  2)  48(k  N )       6 n12  n8  n  (n8  1)(n  1) (n  1)2 (n  1) (n  1) ( n  1) ( n  1) c 16.[ ( n2  1) ( n4  1)  2 4.2 2.22.2 512  k(k+1)]          2 22 chan  22 chan 2 4 2 d n  10n  (n  n )  (9n  9) n (n 1)( n  1)  9( n  1)( n  1) (n  3)( n  1)(n 1)(n  3) Đặt n = 2k + ( k thuộc Z ) D (2k  2)2k (2k  2)(2k  4) 16 k ( k  1)(k  1)(k  2)  D 384         24 2 Bài 4: Chứng minh số A n (n  7)  36n5040n  N Lời giải: A n3 (n  7)  36n n[n (n  7)  36] n[(n  n)  36] n( n3  n  6)( n3  n  6) n(n  1)(n  2)(n  3)(n  1)(n  2)(n  3) Là tích số nguyên liên tiếp +) Tồn bội bội +) Tồn bội ( chia hết cho 9) +) Tồn bội có bôi nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040 Bài 5: Chứng minh A 3n  14n  21n  10n 24 Lời giải: A 3n  14n3  21n  10n n(3n3  14n  21n  10) n(3n3  3n  11n  11n  1on  10) A n( n  1)(3n  11n  10) n( n  1)(3n  6n  5n  10) n(n  1)( n  2)(3n  5) n( n  1)(n  2)(3n   4) A (3n  9)n(n  2)  4n(n  1)(n  2) 3n(n  1)(n  2)(n  3)  4n(n  1)(n  2)                8 24 6 24 Bài 6: Chứng minh rằng: A n  5n  4n120 2 3.5n  Z Lời giải: A n5  5n3  4n n(n  5n  4) n(n  n3  n3  n  4n  4n  4n  4) n(n  1)(n3  n  4n  4) A n(n 1)(n  1)(n  2)(n  2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120 Bài 7: Chứng minh với n chẵn ta có: a A n  6n  8n 48 b B n  4n  4n  16n348(n 4 , n chẵn ) Lời giải: a A n  6n  8n48 n(n  2)(n  4) Đặt n = 2k  A 2k (2k  2)(2k  4) 8 k (k  1)(k  2)  A48       6 b Đặt n 2k ( k 2)  A 16k  32k  16k  32k 16k (k  2k  k  2) 16 k (k  2)(k  1)( k  1)  B 16.24 384         3,8 24 Bài 8: Chứng minh với n lẻ : A n  n  n  n 1152n  N Lời giải: 1152 = 9.27 = 32.27 A n2 (n6  n  n  1) n2 [(n  n )  (n  1] n (n  1)( n  1) n ( n  1) (n  1) A [ n(n-1)(n+1)]2 (n 1)  A9(1)      3 9 Vì n lẻ nên n – n + số chẵn liên tiếp  có số chia hết cho  tích số chẵn chia hết cho 8, mặt khác n2 + số chẵn  chia hết cho  A8 2 (2) Từ (1)(2)  A2 (dpcm) Bài 9: Cho m, n hai số phương lẻ liên tiếp, CMR: mn – m – n chia hết 192 Lời giải: 2 Đặt m (2k  1) ; n (2k  1) (k  Z )  A (m  1)( n  1) [(2k-1)  1][(2k+1)  1] (4k  k )(4 k  4k ) 16k ( k  1)( k 1) Ta chứng minh A chia hết cho 64 A (k  1).k k (k  1)  A16.2.2 64; A 16k ( k  1) k ( k  1)  A3  A64.3 192            2 2 3 Bài 10: Cho n số tự nhiên, chứng minh rằng: n5 n 7n3 5n n     sô tu nhiên a 120 12 24 12 b B n(n  1)(3n  2)12 Lời giải: a n5 n 7n3 5n n n5  10n  35n3  50n  24n n(n 10n  35n  50n  24) n(n  1)(n  2)(n  3)(n  4)        120 12 24 12 120 120 120 b B n(n  1)(3n  2) n(n  1)(n  1)(3n  2) Lại có: n + + n – = 2n chia hết n + n – tính chẵn lẻ N + 3n + = 4n + chia hết n 3n + tính chẵn lẻ Do A ln có số chẵn Vậy B 3  B 12 Bài 11:[ Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2014 – 2015 ] 5 Cho x, y số nguyên, CMR : A x y  xy 30 Lời giải : 5 4 4 2 Ta có : A x y  xy xy( x   y  1)  xy ( x  1)  xy ( y  1) x( x  1)( x  1)( x  1) y  xy ( y  1)( y  1)( y  1) A  x( x  1)( x  1)[(x  4)  5]  xy ( y  1)( y  1)[(y  4)  5]                     30 30 Bài 12: [ Vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2015 – 2016 ] 4 CMR : Với x, y hai số nguyên ta có : A  xy( x  15 y )  xy ( y  15 y ) 30 Lời giải : A  xy ( x  15 y )  xy ( y  15 y )  x y  15 xy  xy  15 xy  xy ( x  y )  30  xy    Bai 30 Bài 13: Cho n số nguyên dương nguyên tố với 10 CMR : A n  140 Lời giải: Vì (n,10) =  (n, 2) (n,5) 1 Ta có : n  (n  1)(n  1)(n  1)8 tích hai số chẵn liên tiếp Ta chứng minh A chia hết cho 5 +) Xét n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + thỏa mãn chia hết cho n * Bài 14: CMR A (n  1)(n  2) (2n  1).2n 2 n  N Lời giải: 1.2.3 n( n  1)(n  2) 2n (2.4.6 2n)[1.3.5 (2n-1)] 2n (1.2.3 n)[1.3.5 (2n-1)] A   1.2.3 n 1.2.3.4 n 1.2.3 n Cách 1: A 2n [1.3.5 (2n-1)]2 nn  N * Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học +) n =  A(1) 22 k +) Giả sử mệnh đề với n = k, tức ta có: A (k 1)( k  2) 2k 2 +) Ta chứng minh với n = k + A(k  1) (k  2)(k  3) (2k  2) 2(2k  1) A( k ) 2.2 k 2 k 1 ( dpcm) Bài 15: Cho n số x1, x2, …xn số nhận giá trị -1 CMR: Nếu x1x2 + x2x3 + … +xnx1 = n chia hết cho Lời giải: Đặt y1 = x1x2 ; y2 = x2x3 ; … ; yn = xnx1  y1 y2 yn nhận giá trị -1  y1  y2   y n 0 Suy số y1, ….yn số số có giá trị = với số số có giá trị = -1 suy n chẵn suy n = 2k Ta có : y1.y2….yn = (x1.x2…xn)2 = Có k số n số y1 , y2 , … , yn = k số n số y1 ,… yn -1 Vậy k phải chẵn Suy k = 2q n = 4q chia hết cho (đpcm) Bài 16: Có số có chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho có số Lời giải: Ta có: 30000 số có chữ sơ chia hết cho ( 10000 đến 99999 có 90000 số, cách số có số chia hết cho ) Ta đếm số số chia hết cho mà không chứa chữ số Giả sử: abcde(a 0;0 a, b, c, d , e 9.a, b, c, d , e 3) có cách chọn a ; b,c,d chọn cách Ta có: a + b + c + d + e chia hết cho a  b  c  d 3  e 0, 6,9  a  b  c  d 3du1  e 2,5,8(du 2) a  b  c  d 3du  e 1, 4, 7(du1)  Nếu Vậy có cách chọn e suy có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết khơng chứa thừa số Suy có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn toán Dạng 2: Sử dụng công thức sau nâng cao n n a a  b a  ba, b  Z , a b, n  N n n b a  b a  ba, b  Z , a  b, n  N ,(n : le) n n c a  b a  ba, b  Z , a b, n  N , (n : chan) Bài 1: Chứng minh 51 a  17 70 70 b  13 19 17 c 17  19 18 4n d  115n  N Lời giải: 51 17 a Ta có:  (2 )  2  7 c 70 70 35 35 35 35 b  (2 )  (3 ) 4  4  13 1719  1917 (1719 1)  (1917  1)       18 4n n n d  (2 )  2  15n  N 18 Bài 2: Chứng minh n 2 a 11  122 n1 133 n 2 n n 1 b  26.5  59 n n n d 20  16   1323(nlasotunhienchan) 2n n c 7.5  12.6 19 Lời giải: a b c d n n 11n 2  122 n1 112.11n  12.12 n 121.11n  12.144 n (133  12).11n  12.144n 133.11  11n )     12(144       133 133 n 5n 2  26.5n  82 n 1 25.5n  26.5n  8.8 n 51.5n  8.64 n (59  8).5 n  8.64 n 59.5  8(64n  5n )      59 n 7.52 n  12.6 n 7.52 n  (19  7).6 n 19.6  7(25 n  n )     19 19 20n  16 n  3n  (20 n  3n )  (16 n  1) (20 n  1)  (16 n  3n )               20  16 1 20  16 3 59 3 3 Bài 3: Cho A 1     100 B 1    100 Lời giải: Ta có: B 1    100 (1  100).100 : 101.50 Ta chứng minh A chia hết cho 101 50 +) +) A 13  23  33   1003 (13  1003 )  (23  993 )   (503  513 )  A101             101 101 101 A 13  23  33   1003 (13  993 )  (23  983 )   (503 1003 )  A50  A101.50              50 50 50 n Bài 4: Cho A 16  , CMR: A chia hết cho 17 n số tự nhiên chẵn Lời giải: +) Với n số tự nhien chẵn , đặt n = 2k , k thuộc N A 162 k  (162 ) k  1k (162  1) 25517  A17 n +) Với n số tự nhiên lẻ, A 16   n n n Có: 16 1 16 1 16 1 17  A17 du2 n n n n Bài 5: Chứng minh rằng: A 2903  803  464  261 1897(n  N ) Lời giải: +) A (2903n  803n )  (464 n  261n )  A7 A (2903n  464n )  (803n  261n )  A271(2)  A2.271 1897                       2100 2037.29 ; 2439 9.271 2.271 Bài 6: Chứng minh n b B n.28  26n  27 27 n 1 n2 a A 4  13 Lời giải: a b n A 4.16n  9.3n 4.16n  4.3n  9.3n  4.3n 4.(16 n  3n ) 13.3      13 13 B n.28n  n  27n  27 n(28n  1)  27(n  1)        27 27 n 1 n 1 n 1 n 1 Bài 7: Cho an 2   1; bn 2   CMR: Với số tự nhiên n có hai số an bn chia hết cho Lời giải: Ta xét trường hợp +) Nếu an bn chia hết cho  an  bn 5 n 1 n2 Ta có: an  bn 2.2 2 /  an 5 an bn (22 n1  1)  (2n 1 ) 42 n 1  2.22 n1   22 n2 42 n1  1(4  1) 5( n : le)    bn 5 +) Bài [ Khó ] Cho a, b số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh p.a4m + q.b4m chia hết cho p + q chia hết cho ( p, q, m thuộc N ) Lời giải: 4m 4m 4m 4m Ta có: p.a  q.b  p (a  1)  q (b  1)  ( p  q ) 4m m 4 Mà : a  (a )  1a  , ta có : a  (a  1)(a  1)(a  2)(a  2)  5(a  1) (a  1)(a  1)a (a  2)(a  2)5   a/  Mà : a-1, a+1, a-2, a+2 số phỉa chia hết cho 4m  a  15  a  15 4m Tương tự: b  15  p  q 5(dpcm) C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho A( x) 2 x  x  x  13x  b CMR: A( x)6x  Z a Phân tích A(x) thành nhân tử Bài 2: Cho B( x) x  x  13 x  14 x  24( x  Z ) b CMR: B( x)6 a Phân tích B(x) thành nhân tử Bài 3: CMR C ( x) n  4n  6n  4n  n 16n  Z 30 21 Bài 4:Chứng minh : A 21  39 45 634 142 Bài 5: Chứng minh : B 8351  8241 26 Lời giải: Bài 1: a A( x) 2 x  x  x  13x  ( x  3)( x  2)( x 1)(2 x 1) b A( x) ( x  3)( x  2)( x 1)(2 x   3) 3( x  3)( x  2)( x  1)  2( x  3)( x  2)( x  1)( x  1) 6 Bài 2: a B( x) x  x  13x  14 x  24 ( x  3)( x  1)( x  2)( x  4) b B( x) ( x  3)( x  1)( x  2)( x   6) ( x  3)( x  2)( x  1)( x  2)  6( x  3)( x  1)( x  2)                   6 6 4 4 Bài 3: C ( x) n (n  4n  6n  4n 1) n [(n (n  1)  3n (n 1)  3n(n 1)  ( n  1)]-(n+1)n ( n  3n  3n 1) C ( x) n (n  1)(n 1)3 [n(n+1)]4 2 16(dpcm) 213  2130 9 30  130 )  3921  (  1) 21  A45  A9 A 2130  3921 (21  21          39   39     20   40 5 Bài 4: Ta có: ; 8351634 : le  8351634  8241142 : chan  142 Bài 5: Ta có : 8241 : le 8351634  8241142 [(8351) ]317  (8241)142 [(8351) ]317  1317  (8241)142  (  1)142               (8351)2 1    Lại có : 8241 (  1) 824213 13 Dạng : Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n thuộc Z để giá trị biểu thức A n  2n  3n  chia hết cho giá trị biểu thức B n  n Lời giải : 2 Cách : Đặt phép chia ta : n  2n  3n  ( n  3)( n  n)  Để A chia hết cho B 2n(n  1)  n(n  1) U (2)  1; 2  n    1;2 2 Cách 2: A n  2n  3n  n(n  n)  3(n  n)  Lập luận tương tự ta có n    1;2 Bài 2: [ HSG – Yên Phong – 2016 ] Tìm số nguyên dương n để A n  1B n  10 Lời giải: n5  1n3   n (n  1)  ( n  1)n   (n  1)(n  1)( n  1)( n  n  1)  n  1n  n  1(n  0) +) n = ta được: chia hết cho ( ) +) n > n -1 < n (n-1) +  n  1/ n  n  Vậy n = giá trị cần tìm Bài 3: Tìm n thuộc Z cho a 2n  n  7n  12n  4 b n  2n  2n  2n  1n  2 c n  n  2n  7n  d n  2n  411 Lời giải: 2 a 2n  n  n  12n   (n  n  4)(2n  1)  52n   52n   2n  1U (5)  n  4 3 2 2 2 b n  2n  2n  2n  (n  n )  (n  n )  (n  n)  (n  1) (n  1) (n  1); n  (n  1)( n  1) A (n  1) (n  1) n    (n 1) 1   n  1 U (2)  n    3;  2;0 B (n  1)(n  1) n  n 1 2 2 c n  n  2n  (n  1)(n  1)  n   n  8n   (n  8)(n  8)n   65n   n   0, 2,8 Thử lại giá trị thỏa mãn  n  311 n  2n  411  (n  2n  15)  1111  (n  3)(n  5)11    n  511  d  n 11k   n 11h  ( k , h  Z )  Bài 4: Tìm tất số nguyên dương n, cho n  2nn  Lời giải: n  2nn   (n  3n  5n  15 15) ( n  3)  n( n  3)  5( n  3) 15n   15n   n    5;15  n   2;12 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho: n  (n  1)  (n  2)  (n  3) 5 Lời giải: 2 Có: 4n  12n  145  4( n  1)  20n  105  ( n  1) 5  n chia dư hay n = 5k + ( k thuộc N) 2 Bài 6: Tìm số tự nhiên n để: A n  3n  3n  1B n  n  11 Lời giải: 3 2 2 Ta có: A n  3n  3n  n  n  n  4n  4n   n( n  n  1)  4(n  n  1)   n  n  1 AB  3n  n     n  n     n 0  n 1  n   0;1  Dạng 4: Tồn hay khơng tồn chia hết n Bài 6: Tìm n thuộc N cho  17 Lời giải: n 3k k +) Nếu n 3k (k  N )   2  8  17 n 3k 1 3k +) Nếu n 3k  1(k  N )   2  2(2  1)  BS (7)  n 3k 2  4(23k  1)  BS (7)  +) Nếu n 3k  2(k  N )   2 n Vậy  17 n bội số 3, hay n chia hết cho Bài 7: Tìm n thuộc N để: n a  18 n 3  4n1 25 b n n c  9 Lời giải: n 2k k a n 2k ( k  N )   3  9  18 n k 1 k +) n 2k  1(k  N )   3  3(9  1)  BS (8)  n Vậy  18 n = 2k ( k thuộc N ) n 3  24 n1 27.3n  2.24 n (25  2)32 n  2.2 n 25.32 n  2.32 n  2.2 n BS (25)  2(9 n  16 n ) b n n k 1 k 1 +) Nếu n 2k  1(k  N )   16 9  16 25 +) Nếu n = 2k 9n có tận = 1, 16n có tận suy 9n + 16n có tận nên không chia hết không chia hết cho 25 n n 3k 3k 3 c Nếu n 3k (k  N )   5  (5  ) 117  9 n n 3k 3k 3k 3k 3k k k +) n 3k    5.5  2.2 5(5  )  3.2 BS (9)  3.8 BS (9)  3( BS  1) BS  BS  12 +) n = 3k + khơng chia hết cho Vậy n bội số thỏa mãn toán Bài 8: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Lời giải: Gọi số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho 3 a  b  ( a  b )[(a+b)  3ab] Lại có: Vì a + b chia hết (a+b)2 – 3ab chia hết cho 3 a  b  ( a  b )[(a+b)  3ab]9( dpcm) Do Bài 9: Tìm giá trị nguyên x để A 10 x  x  5B 2 x  Lời giải: A 5 x    x  U (7)  x    2;1;2;5 B 2x  13

Ngày đăng: 17/10/2023, 14:24

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w