THÔNG TIN TÀI LIỆU
Chuyên đề 4: SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ Giả sử a, b, c số ngun dương, ta có tính chất sau a b a c b c Nếu a c (ma nb) cm, n Z b c Nếu a b a b.c a c (b, c) 1 a b a [b,c] Nếu a c ( BCNN) abc a c ( b , c ) Nếu p P( songuyento) ab p Nếu Nếu a b a b n n Nếu a b a b(n Z ) a p bp Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n 10 Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích a m b m +) a b m ab m n +) a m a m(n N ) a c abcd b d +) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết - Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m A( n)m - Nếu m hợp số, ta phân tích m thành tích thừa số đơi ngun tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho tất số - Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m Bài 1: Chứng minh a a a 2(a N ) b a a 3(a Z ) c a a 5; 6;30(a Z ) d a a 2(a Z ) Lời giải: a Ta có : a a a(a 1)2 b a a a(a 1)(a 1) (a 1)a(a 1)3 a a a (a 1) a (a 1)(a 1) (a 1) 2,3 6 5.6 30 2 2 a a a ( a 1)( a 1) a ( a 1)[( a 4) 5)]= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) n ( n 1) 5 5 c 2 d a a a(a 1) a(a 1)(a a 1)(a a 1) +) Nếu a 7 k (k Z ) a 7 2 +) Nếu a 7k 1(k Z ) a 49k 14k 7 +) Tương tự ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 chia hết cho (đpcm) Bài 2: Chứng minh a n(n 1)(2n 1)6 b n 11n 6 2 c mn(m n )6 d m 5m6 Lời giải: a Ta có: b c d n(n 1)(2n 1) n(n 1)[(n-1)+(n+2)]= n(n+1)(n-1) n(n 1)( n 2) 2,3 6 6 n3 11n n3 n 12n n(n 1)(n 1) 12 n 6 6 mn(m n ) mn[(m 1) ( n 1)]= mn(m-1)(m+1) mn( n 1)( n 1) 6 6 m3 5m m3 m 6m m(m 1)(m 1) 6 m 6 6 Bài 3: Chứng minh với n lẻ a A n 4n 38 b B n 3n n 348 12 c C n n n 1512 d D n 10n 9384 Lời giải: a Ta có: n 4n (n 1)(n 3) Vì n số lẻ nên n + n + tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho b n 3n n (n 3)(n 1)(n 1) Vì n lẻ, đặt n = 2k + (n 3)(n 1)(n 1) 2k (2k 2)(2k 4) 8k ( k 1)(k 2) 48(k N ) 6 n12 n8 n (n8 1)(n 1) (n 1)2 (n 1) (n 1) ( n 1) ( n 1) c 16.[ ( n2 1) ( n4 1) 2 4.2 2.22.2 512 k(k+1)] 2 22 chan 22 chan 2 4 2 d n 10n (n n ) (9n 9) n (n 1)( n 1) 9( n 1)( n 1) (n 3)( n 1)(n 1)(n 3) Đặt n = 2k + ( k thuộc Z ) D (2k 2)2k (2k 2)(2k 4) 16 k ( k 1)(k 1)(k 2) D 384 24 2 Bài 4: Chứng minh số A n (n 7) 36n5040n N Lời giải: A n3 (n 7) 36n n[n (n 7) 36] n[(n n) 36] n( n3 n 6)( n3 n 6) n(n 1)(n 2)(n 3)(n 1)(n 2)(n 3) Là tích số nguyên liên tiếp +) Tồn bội bội +) Tồn bội ( chia hết cho 9) +) Tồn bội có bôi nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040 Bài 5: Chứng minh A 3n 14n 21n 10n 24 Lời giải: A 3n 14n3 21n 10n n(3n3 14n 21n 10) n(3n3 3n 11n 11n 1on 10) A n( n 1)(3n 11n 10) n( n 1)(3n 6n 5n 10) n(n 1)( n 2)(3n 5) n( n 1)(n 2)(3n 4) A (3n 9)n(n 2) 4n(n 1)(n 2) 3n(n 1)(n 2)(n 3) 4n(n 1)(n 2) 8 24 6 24 Bài 6: Chứng minh rằng: A n 5n 4n120 2 3.5n Z Lời giải: A n5 5n3 4n n(n 5n 4) n(n n3 n3 n 4n 4n 4n 4) n(n 1)(n3 n 4n 4) A n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120 Bài 7: Chứng minh với n chẵn ta có: a A n 6n 8n 48 b B n 4n 4n 16n348(n 4 , n chẵn ) Lời giải: a A n 6n 8n48 n(n 2)(n 4) Đặt n = 2k A 2k (2k 2)(2k 4) 8 k (k 1)(k 2) A48 6 b Đặt n 2k ( k 2) A 16k 32k 16k 32k 16k (k 2k k 2) 16 k (k 2)(k 1)( k 1) B 16.24 384 3,8 24 Bài 8: Chứng minh với n lẻ : A n n n n 1152n N Lời giải: 1152 = 9.27 = 32.27 A n2 (n6 n n 1) n2 [(n n ) (n 1] n (n 1)( n 1) n ( n 1) (n 1) A [ n(n-1)(n+1)]2 (n 1) A9(1) 3 9 Vì n lẻ nên n – n + số chẵn liên tiếp có số chia hết cho tích số chẵn chia hết cho 8, mặt khác n2 + số chẵn chia hết cho A8 2 (2) Từ (1)(2) A2 (dpcm) Bài 9: Cho m, n hai số phương lẻ liên tiếp, CMR: mn – m – n chia hết 192 Lời giải: 2 Đặt m (2k 1) ; n (2k 1) (k Z ) A (m 1)( n 1) [(2k-1) 1][(2k+1) 1] (4k k )(4 k 4k ) 16k ( k 1)( k 1) Ta chứng minh A chia hết cho 64 A (k 1).k k (k 1) A16.2.2 64; A 16k ( k 1) k ( k 1) A3 A64.3 192 2 2 3 Bài 10: Cho n số tự nhiên, chứng minh rằng: n5 n 7n3 5n n sô tu nhiên a 120 12 24 12 b B n(n 1)(3n 2)12 Lời giải: a n5 n 7n3 5n n n5 10n 35n3 50n 24n n(n 10n 35n 50n 24) n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) 120 12 24 12 120 120 120 b B n(n 1)(3n 2) n(n 1)(n 1)(3n 2) Lại có: n + + n – = 2n chia hết n + n – tính chẵn lẻ N + 3n + = 4n + chia hết n 3n + tính chẵn lẻ Do A ln có số chẵn Vậy B 3 B 12 Bài 11:[ Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2014 – 2015 ] 5 Cho x, y số nguyên, CMR : A x y xy 30 Lời giải : 5 4 4 2 Ta có : A x y xy xy( x y 1) xy ( x 1) xy ( y 1) x( x 1)( x 1)( x 1) y xy ( y 1)( y 1)( y 1) A x( x 1)( x 1)[(x 4) 5] xy ( y 1)( y 1)[(y 4) 5] 30 30 Bài 12: [ Vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2015 – 2016 ] 4 CMR : Với x, y hai số nguyên ta có : A xy( x 15 y ) xy ( y 15 y ) 30 Lời giải : A xy ( x 15 y ) xy ( y 15 y ) x y 15 xy xy 15 xy xy ( x y ) 30 xy Bai 30 Bài 13: Cho n số nguyên dương nguyên tố với 10 CMR : A n 140 Lời giải: Vì (n,10) = (n, 2) (n,5) 1 Ta có : n (n 1)(n 1)(n 1)8 tích hai số chẵn liên tiếp Ta chứng minh A chia hết cho 5 +) Xét n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + thỏa mãn chia hết cho n * Bài 14: CMR A (n 1)(n 2) (2n 1).2n 2 n N Lời giải: 1.2.3 n( n 1)(n 2) 2n (2.4.6 2n)[1.3.5 (2n-1)] 2n (1.2.3 n)[1.3.5 (2n-1)] A 1.2.3 n 1.2.3.4 n 1.2.3 n Cách 1: A 2n [1.3.5 (2n-1)]2 nn N * Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học +) n = A(1) 22 k +) Giả sử mệnh đề với n = k, tức ta có: A (k 1)( k 2) 2k 2 +) Ta chứng minh với n = k + A(k 1) (k 2)(k 3) (2k 2) 2(2k 1) A( k ) 2.2 k 2 k 1 ( dpcm) Bài 15: Cho n số x1, x2, …xn số nhận giá trị -1 CMR: Nếu x1x2 + x2x3 + … +xnx1 = n chia hết cho Lời giải: Đặt y1 = x1x2 ; y2 = x2x3 ; … ; yn = xnx1 y1 y2 yn nhận giá trị -1 y1 y2 y n 0 Suy số y1, ….yn số số có giá trị = với số số có giá trị = -1 suy n chẵn suy n = 2k Ta có : y1.y2….yn = (x1.x2…xn)2 = Có k số n số y1 , y2 , … , yn = k số n số y1 ,… yn -1 Vậy k phải chẵn Suy k = 2q n = 4q chia hết cho (đpcm) Bài 16: Có số có chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho có số Lời giải: Ta có: 30000 số có chữ sơ chia hết cho ( 10000 đến 99999 có 90000 số, cách số có số chia hết cho ) Ta đếm số số chia hết cho mà không chứa chữ số Giả sử: abcde(a 0;0 a, b, c, d , e 9.a, b, c, d , e 3) có cách chọn a ; b,c,d chọn cách Ta có: a + b + c + d + e chia hết cho a b c d 3 e 0, 6,9 a b c d 3du1 e 2,5,8(du 2) a b c d 3du e 1, 4, 7(du1) Nếu Vậy có cách chọn e suy có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết khơng chứa thừa số Suy có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn toán Dạng 2: Sử dụng công thức sau nâng cao n n a a b a ba, b Z , a b, n N n n b a b a ba, b Z , a b, n N ,(n : le) n n c a b a ba, b Z , a b, n N , (n : chan) Bài 1: Chứng minh 51 a 17 70 70 b 13 19 17 c 17 19 18 4n d 115n N Lời giải: 51 17 a Ta có: (2 ) 2 7 c 70 70 35 35 35 35 b (2 ) (3 ) 4 4 13 1719 1917 (1719 1) (1917 1) 18 4n n n d (2 ) 2 15n N 18 Bài 2: Chứng minh n 2 a 11 122 n1 133 n 2 n n 1 b 26.5 59 n n n d 20 16 1323(nlasotunhienchan) 2n n c 7.5 12.6 19 Lời giải: a b c d n n 11n 2 122 n1 112.11n 12.12 n 121.11n 12.144 n (133 12).11n 12.144n 133.11 11n ) 12(144 133 133 n 5n 2 26.5n 82 n 1 25.5n 26.5n 8.8 n 51.5n 8.64 n (59 8).5 n 8.64 n 59.5 8(64n 5n ) 59 n 7.52 n 12.6 n 7.52 n (19 7).6 n 19.6 7(25 n n ) 19 19 20n 16 n 3n (20 n 3n ) (16 n 1) (20 n 1) (16 n 3n ) 20 16 1 20 16 3 59 3 3 Bài 3: Cho A 1 100 B 1 100 Lời giải: Ta có: B 1 100 (1 100).100 : 101.50 Ta chứng minh A chia hết cho 101 50 +) +) A 13 23 33 1003 (13 1003 ) (23 993 ) (503 513 ) A101 101 101 101 A 13 23 33 1003 (13 993 ) (23 983 ) (503 1003 ) A50 A101.50 50 50 50 n Bài 4: Cho A 16 , CMR: A chia hết cho 17 n số tự nhiên chẵn Lời giải: +) Với n số tự nhien chẵn , đặt n = 2k , k thuộc N A 162 k (162 ) k 1k (162 1) 25517 A17 n +) Với n số tự nhiên lẻ, A 16 n n n Có: 16 1 16 1 16 1 17 A17 du2 n n n n Bài 5: Chứng minh rằng: A 2903 803 464 261 1897(n N ) Lời giải: +) A (2903n 803n ) (464 n 261n ) A7 A (2903n 464n ) (803n 261n ) A271(2) A2.271 1897 2100 2037.29 ; 2439 9.271 2.271 Bài 6: Chứng minh n b B n.28 26n 27 27 n 1 n2 a A 4 13 Lời giải: a b n A 4.16n 9.3n 4.16n 4.3n 9.3n 4.3n 4.(16 n 3n ) 13.3 13 13 B n.28n n 27n 27 n(28n 1) 27(n 1) 27 27 n 1 n 1 n 1 n 1 Bài 7: Cho an 2 1; bn 2 CMR: Với số tự nhiên n có hai số an bn chia hết cho Lời giải: Ta xét trường hợp +) Nếu an bn chia hết cho an bn 5 n 1 n2 Ta có: an bn 2.2 2 / an 5 an bn (22 n1 1) (2n 1 ) 42 n 1 2.22 n1 22 n2 42 n1 1(4 1) 5( n : le) bn 5 +) Bài [ Khó ] Cho a, b số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh p.a4m + q.b4m chia hết cho p + q chia hết cho ( p, q, m thuộc N ) Lời giải: 4m 4m 4m 4m Ta có: p.a q.b p (a 1) q (b 1) ( p q ) 4m m 4 Mà : a (a ) 1a , ta có : a (a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 5(a 1) (a 1)(a 1)a (a 2)(a 2)5 a/ Mà : a-1, a+1, a-2, a+2 số phỉa chia hết cho 4m a 15 a 15 4m Tương tự: b 15 p q 5(dpcm) C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho A( x) 2 x x x 13x b CMR: A( x)6x Z a Phân tích A(x) thành nhân tử Bài 2: Cho B( x) x x 13 x 14 x 24( x Z ) b CMR: B( x)6 a Phân tích B(x) thành nhân tử Bài 3: CMR C ( x) n 4n 6n 4n n 16n Z 30 21 Bài 4:Chứng minh : A 21 39 45 634 142 Bài 5: Chứng minh : B 8351 8241 26 Lời giải: Bài 1: a A( x) 2 x x x 13x ( x 3)( x 2)( x 1)(2 x 1) b A( x) ( x 3)( x 2)( x 1)(2 x 3) 3( x 3)( x 2)( x 1) 2( x 3)( x 2)( x 1)( x 1) 6 Bài 2: a B( x) x x 13x 14 x 24 ( x 3)( x 1)( x 2)( x 4) b B( x) ( x 3)( x 1)( x 2)( x 6) ( x 3)( x 2)( x 1)( x 2) 6( x 3)( x 1)( x 2) 6 6 4 4 Bài 3: C ( x) n (n 4n 6n 4n 1) n [(n (n 1) 3n (n 1) 3n(n 1) ( n 1)]-(n+1)n ( n 3n 3n 1) C ( x) n (n 1)(n 1)3 [n(n+1)]4 2 16(dpcm) 213 2130 9 30 130 ) 3921 ( 1) 21 A45 A9 A 2130 3921 (21 21 39 39 20 40 5 Bài 4: Ta có: ; 8351634 : le 8351634 8241142 : chan 142 Bài 5: Ta có : 8241 : le 8351634 8241142 [(8351) ]317 (8241)142 [(8351) ]317 1317 (8241)142 ( 1)142 (8351)2 1 Lại có : 8241 ( 1) 824213 13 Dạng : Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết Bài 1: Tìm n thuộc Z để giá trị biểu thức A n 2n 3n chia hết cho giá trị biểu thức B n n Lời giải : 2 Cách : Đặt phép chia ta : n 2n 3n ( n 3)( n n) Để A chia hết cho B 2n(n 1) n(n 1) U (2) 1; 2 n 1;2 2 Cách 2: A n 2n 3n n(n n) 3(n n) Lập luận tương tự ta có n 1;2 Bài 2: [ HSG – Yên Phong – 2016 ] Tìm số nguyên dương n để A n 1B n 10 Lời giải: n5 1n3 n (n 1) ( n 1)n (n 1)(n 1)( n 1)( n n 1) n 1n n 1(n 0) +) n = ta được: chia hết cho ( ) +) n > n -1 < n (n-1) + n 1/ n n Vậy n = giá trị cần tìm Bài 3: Tìm n thuộc Z cho a 2n n 7n 12n 4 b n 2n 2n 2n 1n 2 c n n 2n 7n d n 2n 411 Lời giải: 2 a 2n n n 12n (n n 4)(2n 1) 52n 52n 2n 1U (5) n 4 3 2 2 2 b n 2n 2n 2n (n n ) (n n ) (n n) (n 1) (n 1) (n 1); n (n 1)( n 1) A (n 1) (n 1) n (n 1) 1 n 1 U (2) n 3; 2;0 B (n 1)(n 1) n n 1 2 2 c n n 2n (n 1)(n 1) n n 8n (n 8)(n 8)n 65n n 0, 2,8 Thử lại giá trị thỏa mãn n 311 n 2n 411 (n 2n 15) 1111 (n 3)(n 5)11 n 511 d n 11k n 11h ( k , h Z ) Bài 4: Tìm tất số nguyên dương n, cho n 2nn Lời giải: n 2nn (n 3n 5n 15 15) ( n 3) n( n 3) 5( n 3) 15n 15n n 5;15 n 2;12 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho: n (n 1) (n 2) (n 3) 5 Lời giải: 2 Có: 4n 12n 145 4( n 1) 20n 105 ( n 1) 5 n chia dư hay n = 5k + ( k thuộc N) 2 Bài 6: Tìm số tự nhiên n để: A n 3n 3n 1B n n 11 Lời giải: 3 2 2 Ta có: A n 3n 3n n n n 4n 4n n( n n 1) 4(n n 1) n n 1 AB 3n n n n n 0 n 1 n 0;1 Dạng 4: Tồn hay khơng tồn chia hết n Bài 6: Tìm n thuộc N cho 17 Lời giải: n 3k k +) Nếu n 3k (k N ) 2 8 17 n 3k 1 3k +) Nếu n 3k 1(k N ) 2 2(2 1) BS (7) n 3k 2 4(23k 1) BS (7) +) Nếu n 3k 2(k N ) 2 n Vậy 17 n bội số 3, hay n chia hết cho Bài 7: Tìm n thuộc N để: n a 18 n 3 4n1 25 b n n c 9 Lời giải: n 2k k a n 2k ( k N ) 3 9 18 n k 1 k +) n 2k 1(k N ) 3 3(9 1) BS (8) n Vậy 18 n = 2k ( k thuộc N ) n 3 24 n1 27.3n 2.24 n (25 2)32 n 2.2 n 25.32 n 2.32 n 2.2 n BS (25) 2(9 n 16 n ) b n n k 1 k 1 +) Nếu n 2k 1(k N ) 16 9 16 25 +) Nếu n = 2k 9n có tận = 1, 16n có tận suy 9n + 16n có tận nên không chia hết không chia hết cho 25 n n 3k 3k 3 c Nếu n 3k (k N ) 5 (5 ) 117 9 n n 3k 3k 3k 3k 3k k k +) n 3k 5.5 2.2 5(5 ) 3.2 BS (9) 3.8 BS (9) 3( BS 1) BS BS 12 +) n = 3k + khơng chia hết cho Vậy n bội số thỏa mãn toán Bài 8: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Lời giải: Gọi số phải tìm a b, ta có a + b chia hết cho 3 a b ( a b )[(a+b) 3ab] Lại có: Vì a + b chia hết (a+b)2 – 3ab chia hết cho 3 a b ( a b )[(a+b) 3ab]9( dpcm) Do Bài 9: Tìm giá trị nguyên x để A 10 x x 5B 2 x Lời giải: A 5 x x U (7) x 2;1;2;5 B 2x 13
Ngày đăng: 17/10/2023, 14:24
Xem thêm: