Tổ 24 đợt 9 chuyên đề max min

SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM CHUYÊN ĐỀ MAX - MIN TỔNG HỢP TỔ 24 A MAX – MIN TRONG ĐẠI SỐ Câu [Mức độ 3] Giá trị nhỏ biểu thức A 12 B -6 x  72  x  3 với x  là: C Lời giải D 10 FB tác giả: Quý Nguyễn Phản biện: Nguyễn Quang Hoàng x  72  x  3  x  18  81 x  27    2  x  3  x  3 x Ta có: x  27  6 x Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có: x  72 8 x  3 Do đó:  x  27   x 12 x  Dấu “=” xảy Câu Vậy giá trị nhỏ biểu thức 2 [Mức độ 3] Cho x, y số thực thỏa mãn x  y  xy 5 Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  x  y  Giá trị m  M A B  C Lời giải D FB tác giả: Ha Dang GV phản biện: Quý Nguyễn – Thúy Hồng Ta có x  y  xy 5   x  y   y 5 Khi  x  y 2   x  y   y   12  22    x  y   y  25   Suy  x  y 5 ,  x  y  14 x y y  x  3; y   2    x  y   y 5  x 3; y 2 "  " Dấu xảy   x   x 3   Vì m  xảy  y  M 4 xảy  y 2 Vậy P m  M  SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM Câu [Mức độ 4] Cho a, b hai số thực không âm thỏa mãn: biểu thức P 4a  b  Giá trị nhỏ 2a b  3b  12a  bằng: 3 A 17 B 30 C D FB tác giả: Thuy Hoang GV phản biện: Ha Dang – Nguyễn Thành Trung Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: Cho số thực x thỏa mãn  x 1 , ta có: x(1  x )  3 (1) x3 , Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm x3  3  3 x 3 3 3 x  x3  3  x  x  x3  , 3 3 ta được: 3  x(1  x2 )  Dấu xảy Tiếp tục ta biến đổi tương đương bất đẳng thức (1), ta lại được: 2x x 3   x 1 x 3 3 2 Do cho số không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c 1 ta có: x(1  x )   x (1  x )  a 3  a 1 a b 3  b 1 b c 3  c 1 c Cộng vế bất đẳng thức ta được: a b c 3 2    (a  b  c ) 2 1 a 1 b 1 c a b c 3     (*) 2 1 a 1 b 1 c a b c  Dấu " " xảy 2   4a  b   (2a )  b    1 3   Xét toán ban đầu, từ giả thiết 2a b P  3b  12a  Ta có biểu thức : 3 SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM 2a b P   1 4a  b 2 b  4a  3 2a b P    4a  b  2a b 3 P    2  4a  b  Đến áp dụng bất dẳng thức (*) ta   a   b  2a b  hay  Dấu " " xảy Câu   a   3 b   Vậy P đạt giá trị nhỏ  [Mức độ 3] Cho a, b, c số thực dương Giá trị nhỏ Pmin biểu thức a  bc b  ca c  ab    a b c 5 bc ca a b P 3 A Pmin 0 B Pmin 5 C Pmin  D Lời giải FB tác giả: Nguyễn Thành Trung FB Phản biện : Thuy Hoang – Đoàn Nhật Thịnh 2 a  bc a  bc  ab  ac  a  b   a  c  a   bc b c Ta có b  c P a  bc  a  b   a  c   a bc Suy b  c Tương tự ta có: b  ca  b  c   b  a   b ca ca c  ab  a  c   c  b   c a b a b  a  b  a  c   b  c  b  a    c  a   c  b  a  b  c  a  b  c  P   b c ca a b Do Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có  a  b   a  c    b  c   b  a  2 a  b   b c ca  SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM  b  c   b  a    c  a   c  b  2  ca a b  b  c  c  a   c  b    a  b   a  c  2  c  a a b b c  Cộng bất đẳng thức theo vế ta   a  b  a  c  b  c  b  a   c  a   c  b  2    4  a  b  c  b  c c  a a  b   (Đẳng thức xảy a b c ) Suy P a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c  t  6t   t  3   4, t Đặt t  a  b  c  Suy P  Vậy giá trị nhỏ P  Câu t  a  b  c 3  a b c 3  a b c 1    [Mức độ 4] Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn: 2a  2b  2c  Gọi 1 m P   Pmin  3a  3b  3c  Biết giá trị nhỏ biểu thức P n m , n m   n phân số tối giản Giá trị biểu thức T m  2n A 121 B 66 C 123 D 134 Lời giải FB tác giả: Đoàn Nhật Thịnh GV phản biện:Nguyễn Thành Trung- Văn Nguyễn Trong trình giải tốn trên, ta có sử dụng bất đẳng thức sau: Với số thực dương a , 1    b , c ta có a b c a  b  c (*) Dấu đẳng thức xảy a b c Thật vậy, theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a  b  c 3 abc    1 1   (a  b  c)     9 1 1 1 a b c   3      a b c abc  a b c a b c a b c   1   a b c    Dấu đẳng thức xảy a b c  Đặt x 1 1  x, y , z  y z xyz  2a  , 2b  , 2c  Khi ta có SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM 1 2x     5x 3a  (2a  3)   2 2x Ta có 10 x 10 x          2    5x  x   5x   5x Tương tự ta có: 6     3b   y ; 3c   z nên  x,  y,  z  Vì 6 1  P       5x  y  z  Ta có: Áp dụng cơng thức (*) cho ba số dương  x,  y,  z ta có:  x, y , z  1 9 12       x  y  z  x   y   z  5( x  y  z ) Dấu đẳng thức xảy khi:  x 3  y 3  z     x  y z  x yz   1 a b c  x  y z  Với 12 6 P   7 Do ta có: m a b c  Pmin   n  m 6, n 7  T 134 Vậy B MAX – MIN TRONG GIẢI TÍCH Câu 2 [Mức độ 3] Giá trị nhỏ hàm số y  x  x  10  x  12 x  13 A 10  13 D Fb tác giả: Văn Nguyễn Fb phản biện: Tiến Thuận Đặng, Đoàn Nhật Thịnh Lời giải   2 y  x  x  10  x  12 x  13   x  1  32   x    22  a  b Ta có   a (2 x  1;3), b   x;  Với     a  b  a  b  41 Mặt khác B 41 C SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM     Suy y  41 , đẳng thức xảy a hướng b k  cho a kb    x 10  x  2 x  k   x  10 k     k    Câu Vậy giá trị nhỏ hàm số cho [Mức độ 3] Cho biểu thức P  x  y   x  4  y  2   x 41 10  x  y   x    y  3  25  y  y    , với x, y hai số thực tùy ý Gọi m giá trị nhỏ biểu thức P , đạt x  x0 y  y0 Tính giá trị T m  x0  y0 A T B T 13 C T 0 Lời giải D T  FB tác giả: Tiến Thuận Đặng GV phản biện: Văn Nguyễn – Nguyễn Chinh 2 2 Biểu thức P viết lại thành P  x  y  x  y  20  x  y  x  16 y  73  y  y  Hay P  x  2 2   y  4   x  3 2   y     y    13 (1) A 2;   , B   3;8  M  x; y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi điểm   2 AM  x  2; y    AM   x     y   Khi ta có ,   2 BM  x  3; y    BM   x  3   y   AB   5;12   AB      122 13 Theo bất đẳng thức tam giác ta có AM  BM  AB , tức  x  2 2   y  4   x  3 2   y   13 (2)  x  k  x  3  k  :     y  k  y   (3) Đẳng thức xảy AM BM ngược hướng, hay Mặt khác  y  2  13  13 y   (4), đẳng thức xảy y 2 (5) Từ (1), (2), (4) suy P 13  13 0   x    y 2 Từ (3) (5) ta đẳng thức xảy x  x0  y  y0 2 Vậy giá trị nhỏ P m 0 , đạt  1 T m  x0  y0 0      0  2 Do SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM Câu 2 [Mức độ 4] Cho x, y , z  , thỏa mãn điều kiện x  y  z 32  3x z 16  y Giá trị a  16 b nhỏ biểu thức P xy  yz  zx có dạng Khi giá trị a  b bằng: A 37 B 35 C 36 D 38 Lời giải FB tác giả: Nguyễn Chinh GV phản biện: Tiến Thuận Đặng 16  z 2 32  z y2  ;x  Từ giả thiết ta có : 16  z z  z 16   z  (1) Do 32  z 48  z z  16 x2  y2    12 Ta có : (2) y z   y z  2 2 Do z 16 , nên từ (2) suy ra: x  y 0  x 3 y  x  y (do x  0, y  )  xy  y ,(3)   x2  x  xz   z     z    y  z  ,   yz   y  z  ,       Ta có: Từ (3), (4), (5) ta có: P  3y2   3 1 1 y  z    y  z   P     y  z  2 2  (6) 16  z y2  Do , nên từ (6) ta có: P 3   16  z  1 3 z  P 2 3   z , (7)      Do (1), nên từ (7) ta có: Câu   P 2 3     16 32  16  P (8) 5   z  x      y z    x  y z      z  Dấu xảy Suy a  b 37 x  y  y   x  y   0 [Mức độ 4] Cho số thực x, y thỏa mãn Biết giá trị lớn biểu thức x  x  y  y  10  3a.b.c , x  18 x  y  y  97 có dạng * a, b, c, d   Đặt J 2a  3b  c  Khẳng định đúng? J    13;  8 J    8;  3 J    1;5  A B C Lời giải D J   5;10  SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM FB tác giả: Trần Xuân Thành GV phản biện: Anh Thư 3 x3  y  y   x  y   0   x    x    y  1   y  1 0 (*) Đặt a 2 x, b  y  Phương trình (*) trở thành: a  3a  b3  3b 0   a  b   a  ab  b    a  b  0 b  3b  2 a  ab  b   a    a , b      a  b   a  ab  b  3 0  a b    x  y   x  y  0 Đặt K  x  x  y  y  10   ( x  3)  ( y  1)2  x  18 x  y  y  97 ( x  9)  ( y  4) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy A  3;1 B   9;   d  : x  y 1 0 Gọi M  x; y   (d ) Ta có: Xét , đường thẳng AM  ( x  3)  ( y  1) BM  ( x  9)  ( y  4) K  AM  BM Khi tốn trở thành tìm giá trị lớn  2.3   1       1  126  nên A , B nằm khác phía đường thẳng Ta có d d Gọi H hình chiếu A lên Phương trình đường thẳng AH qua điểm A  3;1 nhận  n  ;  làm vec tơ pháp x    y  1 0  x  y  0 tuyến H  AH   d  nên tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  x   x  y  0     x  y  0  y 11  H  ; 11    5 Gọi A đối xứng với A qua Ta có d  17  A  ;  Khi H trung điểm AA nên  5  K  AM  BM  AM  BM  AB  ' Đẳng thức xảy  M (d )  A B   36  AB   ;   5  ' B   9;  Phương trình A B qua nhận x   12  y   0  x  12 y  39 0 1305  k  ; 12  làm vec tơ pháp tuyến: SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM M (d )  A' B nên tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: 27  x   x  12 y  39 0   27 79  25   M ;    25 25   x  y  0  y  79  25 Vậy, K lớn 1305 1305 32.5.29  5 Ta có: Khi a 2, b 5, c 29  J 2a  3b  c   Câu 10 Chú Nam dùng 60 m lưới B40 rào thành ao hình chữ nhật để ni tơm Biết cạnh chiều dài ao hình chữ nhật lối nên cần rào cạnh lại ao Theo em, Nam nên tính tốn chiều rộng chiều dài ao để diện tích ni lớn nhất? A 15;30 B 10;20 C 8; 22 D 12;18 Lời giải FB tác giả: Anh Thư FB phản biện: Trần Xuân Thành Gọi chiều rộng ao x , x  (m) Do rào cạnh ao nên ta có chiều dài 60  2x (m) ( x  30) x  60  x  Khi đó, diện tích f  x  x  60  x   x  60 x  x  30 Đặt , f  x   x  60 f  x  0  x 15 Max f  x   f  15  450  0;30 x 15 Vậy để diện tích ao lớn chiều rộng ao 15 m, chiều dài 30 m C MAX – MIN TRONG LƯỢNG GIÁC y Câu 11 Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số A B C D Lời giải TXD: D  m sin x 1 cos x  nhỏ SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM Ta có:  * y m sin x 1  y cos x  y m sin x   m sin x  y cos x 2 y   * cos x  2 có nghiệm m  y  y  1  y  y   m2 0   3m 2   3m  y  3   3m    3m   m   m    2;  1;0; 2;1 Do m   Vậy có giá trị m thỏa ycbt  ymax  y    1 x   ;0    Kết luận sau  cos x  cos x với Câu 12 [Mức độ 3] Cho hàm số đúng? y      x    ;0  A   y      x   k 2 , k     ;0  C   y  B      ;0    y  D Lời giải      ;0    x    x   k , k   T FB: Đoàn Ánh Dương FB phản biện Van Kiếm Sầu, Tuân Canh    1  cos x  0, x    ;0    Suy  cos x  cos x Ta thấy  cos x  0, x  R hai số dương Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta có 1    cos x  cos x   cos x    cos x  Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng  cos x   cos x  y     cos x    cos x   2 thức AM-GM   cos x    cos x   ta có dấu   cos x 1  cos x  cos x   x  xảy Câu 13 [Mức độ 3] Tìm giá trị tham số m để hàm số y tan x  m tan x  đạt giá trị lớn đoạn      ;   A m  5; m 9 B m  C m 9 Lời giải D m  FB tác giả: Tuan Canh FB phản biện: Đoàn Ánh Dương – Nga Nga Nguyễn SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM  x 0 '   f '  x   x  x  m  x3  x 0   x  4   x 2 Khi : x 0   0; 2  f   m x 2   0; 2  f   m  x    0; 2 Với : , , - A max f  x   f   m  0;2 a min f  x   f   m   0;2   m 3    m  m   m 3 max y max  m , m   3     0;2  0;2  m 1   m  3     m   m Vậy có giá trị thỏa mãn f  x   x  x3  x  a Câu 23 [Mức độ 4] Cho hàm số Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn a    20; 20 A 20 cho M 4m ? B 21  0;4 Có giá trị nguyên tham số C 22 Lời giải D 23 FB tác giả: Thanh Nam GV phản biện: Phí Mạnh Tiến t  x  x3  x  a  t   x3  x  12 x Ta có Xét hàm số BBT:  45  t   a ;  a   Suy g t t Ta có  1 Trường hợp 1: a 0  x 0   0; 4  t  0   x 3   0;    x 4   0; 4 SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM 45 45 a  a m  a a 4 Khi ; 45 15 M 4m   a 4a  a   4 Với M 15  1   suy a Từ 45 45  a 0  a   3 Trường hợp 2: Khi M  a  a 45 45  a  a 4 45   a    a  45  4a  a  15  4  m ;  M 4m   a 4    Với Từ     suy a  15 32 a 0  a  Trường hợp 3: a  32   a0  32    a  5  45  M max  a ; a    Khi m 0 ; M  a  a i) Với , ta có M 4m   a 0  a 0 (so với   : loại) 45 45 45 45 M  a  a M 4m   a 0  a  4 4 (so với   : loại) ii) Với , ta có  32   a  32 45 45 32 a 0  a    a 4 0  45  a  6  Trường hợp 4: SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM  32 45  M max   a ; a    Khi m 0 ; 32 32 32 32 M   a  a M 4m    a 0   a 3 3 i) Với , ta có ( so với   : loại) 45 45 45 45 M  a  a M 4m   a 0  a  4 4 (so với   : loại) ii) Với , ta có  15  a   a  15  a    20; 20  a a    20;  19; ;  15; 4;5; ; 20 Ta có  , suy Vậy có 23 giá trị nguyên a thoả mãn yêu cầu toán y Câu 24 [Mức độ 3] Cho hàm số y  3max y   0;1 A  0;1 m   0;1 x  m2 x  ( m tham số thực dương) thỏa mãn điều kiện sau đây: Mệnh đề đúng? B m   1; 2 C Lời giải m   2;3 D m   3; 4 FB tác giả: Vương Quang Minh GV phản biện: Vũ Nguyễn y    m2  x  2  x   0;1  Ta có: min y  y  1  m2    0;1   m2 max y  y      0;1  y  max y   0;1  0;1 2 3m    m  1   2  m 3 hàm số nghịch biến  0;1  m  (vì m  ) Câu 25 [Mức độ 4] Cho hàm số f ( x)  max f ( x) 8 [0;2] [0;2] f ( x)  2x  m x  Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn SP ĐỢT TỔ 24-STRONG TEAM T TỔ 24-STRONG TEAM 24-STRONG TEAM B A C Vô số Lời giải D.2 FB tác giả: Vũ Nguyễn FB giáo viên phản biện: 2x  m 4m f ( x)  f (2)  0;   f (0)  m x  liên tục đoạn đồ thị Xét hàm số Ta có , x  m hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2x  f ( x)  2, x   0; 2 f ( x)  max f ( x) 2  4 [0;2] x 1 Nếu m 2 Do [0;2] (Loại)  f ( x) 0 [0;2]   4m  f ( x)  m;   max  [0;2]   Trường hợp 1: Nếu m(4  m) 0   m 0    m 8  m     4;0   4 m   8  m  28    4;0 Suy   4m  4m m max f ( x) m; f ( x) m; 0 m0   [0;2]  ; [0;2]    Trường hợp 2: Nếu 4m 4m f ( x)  max f ( x)  max f ( x) m [0;2] [0;2] , ngược lại Dễ thấy [0;2] f ( x) m [0;2] Do : f ( x)  max f ( x) 8  m  [0;2] [0;2] 4m 8  m 5 ( Nhận) 4m 4m   m max f ( x)  m;  f ( x)  m;  2 m4   [0;2]  ; [0;2]    Trường hợp 3: Nếu 4m f ( x)  max f ( x) 8   m  8  m  [0;2] [0;2] Do ( Nhận) Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn đề Câu 26 [Mức độ 3] Tìm m để hàm số 52 A m 2 y x  m  2m x 3 có tổng giá trị lớn giá trị nhỏ   1; 2 B m  m 3 C m  m  D m  Lời giải FB tác giả : Hoàng Thị Minh Huệ FB Phản biện : Trịnh Quang Thiện – Bùi Đoàn Tiến  m 1 m  2m 3  m  2m  0    y 1 m   Nếu ( Khơng thỏa mãn u cầu tốn)