Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
CHUYỀN ĐỀ MIN MAX MODUN SỐ PHỨC Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số Lý thuyết cần nhớ: Số phức z a bi biểu diễn điểm M mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b Tính chất z a b zz OM z 0, z , z z z.z ' z z ' z z , z ' 0 z z ' z z ' z z ' z' z' kz k z , k 2 Chú ý: z a b 2abi ( a2 b )2 4a b2 a b z z z.z Lưu ý: z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z z z z 2 z Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Cần nhớ: Giả sử z x yi , x, y , điểm M x; y ta gọi điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Đặt z1 a bi , z2 c di , a, b, c, d ,và A a; b , B c; d điểm biểu diễn z1 , z2 Khi ta có z OM z a bi z z1 OM OA AM MA Tương tự z c di BM MB , z1 z2 BA AB , z1 z2 OA OB 2OI , ( I trung điểm AB ) 1.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x , y ax by c Quỹ tích điểm M Đường thẳng :ax by c Đường trung trực đoạn AB với A a , b , B c , d z a bi z c di x a y b R Đường tròn tâm I a; b , bán kính R R2 Hình trịn tâm I a; b , bán kính R z a bi R x a y b z a bi R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I a; b , bán kính r , R r x a y b R r z a bi R Parabol y ax bx c c 0 x ay by c x a y c 1 Elip 1 b2 d2 z a1 b1i z a2 b2 i 2a x a y c Elip 2a AB , A a , b , B a , b 1 2 Đoạn AB 2a AB Hypebol 1 b2 d2 2.Một số dạng đặc biệt cần lưu ý Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Min Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b 1 2 z Min z0 a b z a b i 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z Ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a; b ,B c;d z Min d O , AB a2 b2 c d2 2 a c b d Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi z a bi z c di z a bi z c di Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Khi ta biến đổi iz a bi iz c di z a bi c di z z b z d ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z z R Tìm z , z Min Ta có Max Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trịn tâm I a; b bán kính R 2 z Max OI R a b R z0 R 2 z Min OI R a b R z0 R Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z z1 R Tìm z z Max z Min z1 R z0 z0 z1 R z0 z0 Max , z Min Ta có Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R i i z b R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện c di z a bi R z cadibi Hay viết gọn z z z1 R z R R c di c d2 z1 R z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi ta có y2 x2 Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z Elip: 1 a a c2 z Max a 2 z Min a c TQ2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z 2a Thỏa mãn 2a z1 z Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z1 z z 2a , z1 z 2a z1 , z c, ci ) Tìm Max, Min P z z z1 z 2c Đặt 2 b a c Nếu z z1 z 0 PMax a PMin b z1 z a z0 Nếu z z k z z z1 z a PMax z P z z z a Min z1 z a z0 Nếu z z k z z Nếu z z1 z z PMax z z1 z a PMin z z1 z b Ngoài toán max ta kết hợp linh hoạt với nhiều kiến thức khác bđt hình học, cơng thức hệ thức lượng tam giác, tốn max hình học… Câu 1: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? A z 2i B z i 5 i 5 Hướng dẫn giải C z D z 1 2i Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x , y 2 z 3i z i x y i x y i x y x y y 4x y x y x y x y 2 z x y y 1 y y y y 5 5 Gv cần file word xin liên hệ fb: https://www.facebook.com/ThayHuyDHSP/ 2 2 Suy z y x 5 i 5 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x , y Vậy z 2 z 3i z i x y i x y i x y x y y 4x y x y x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z i đường thẳng d : x 2y Phương án A: z 2i có điểm biểu diễn 1; d nên loại A 2 Phương án B: z i có điểm biểu diễn ; d nên loại B 5 5 Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; d nên loại B 1 2 i có điểm biểu diễn ; d 5 5 5 Cách 3: Tính nhanh Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình : x y Phương án C: z Vậy z d O , 1 5 12 2 Cách 4: Cơng thức tính nhanh BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z Tìm z ? 1 2 z Min z0 a b z a b i 2 BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z ? z Min a2 b2 c d2 2 a c b d Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z z Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M m A B C Hướng dẫn giải D Cách : Đại số Gọi z x yi với x; y Ta có z z z z z z Do M max z Mà z z x yi x yi x 3 y2 x 3 y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có x 3 y x 3 y2 1 2 12 x y x y 2 x y 18 2 x y 18 64 x2 y x2 y z Do M z Vậy M m Cách 2: Hình học F1 3; , F2 0, x2 y Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip a 16 b a c z a4 Max Do M m 4 z Min b Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn z c z c a , a c ta có y2 x2 Tập hợp điểm biểu diễn z Elip 2 a a c z Max a 2 z Min a c Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z 3i Giá trị lớn z i 13 B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi ta có z 3i x yi 3i x y i A 13 Theo giả thiết x y nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I 2; bán kính R M2 Ta có z i x yi i x y i Gọi M x; y H 1;1 HM 2 x y 1 x y 1 M1 I H Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn x 3t Phương trình HI : , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: y t 9t 4t t nên M ;3 ;3 ,M2 13 13 13 13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z c z đường thẳng : x y Ta có: z m i x m y 1 i 2 x m y 1 Mà ta có MI d I , MI với I m; 1 Nên MI d I , 2 m 2m 10 2 m 10 m 3 2 m 10 m Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn A 20 z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P z i z i z 3i B 10 C 12 Lời giải Gọi z x yi , x , y D z 1 z z 3i z 3i x2 y 4x y Ta có x 1 Lại có P z i z i x y 1 2 y x2 y x 4 y 7 2 x y 4 x y 72 Mặt khác x y 4 x y 72 5.80 x y 4 x y 72 20 Suy P 20 Câu 66: Cho số phức z a bi ( a , b số thực) thỏa mãn z z 4i có mơđun nhỏ giá trị P a.b là? A B C D Lời giải Ta có: 2 a bi a bi 4i a b2 a b 6a 8b 25 a 25 8b Mô đun số phức z là: 100 b 225 15 25 8b z a b b2 36 2 Số phức z b a P3 Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z 1 i B z 2 2i C z 2i Lời giải Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z 4i z 2i a b 4 i a b i 2 a b a2 b a 4a b2 8b 16 a b 4b a 4b 16 ab D 2i Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 16 a b 12 12 a 2 b2 z a2 b2 z 2 a b Dấu xảy 1 a b z 2i a b Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Số phức z có mơ đun bé B A C 2 D Lời giải Đặt z x yi x , y Khi z 4i z 2i x yi 4i x yi 2i 2 x y x y 4 x y 16 x y Số phức có mô đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng : x y z d O; 2 Câu 69: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Giá trị lớn biểu thức P z1 z2 là: A 26 B 26 C D Lời giải Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2 41 Từ giả thiết : z1 z2 OM ON OI với I trung điểm đoạn thẳng MN z1 z2 OM ON MN Ta có 2 2 MN OM ON MN OM ON 2OI 13 P z1 z2 OM ON P 12 12 OM ON 26 Vậy Pmax 26 OI Câu 70: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 Khi mơ đun số phức M m.i : A 76 Lời giải C 10 B 76 D 11 Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2 Từ giả thiết : z1 z2 OM ON OI với I trung điểm đoạn thẳng MN z1 z2 OM ON MN Ta có OI MN OM ON MN OM ON 2OI 20 2 2 P z1 z2 OM ON P OM ON 40 Vậy max P 10 M P z1 z2 OM ON OM ON Vậy P m Suy M m.i 40 36 76 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn i.z A Giá trị lớn biểu thức P 2z 4i z 5i là: B C D Lời giải Ta gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z i.z 5 x y 3 Suy M ( x; y ) C I (0;3); R 2 Khi đó: 42 ... tích điểm biểu diễn số phức đường tròn TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z z R Tìm z , z Min Ta có Max Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường tròn... Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi ta có y2 x2 Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z Elip: 1 a a c2 z Max a 2 z Min a c TQ2: Cho số phức. .. Mô đun số phức z là: 100 b 225 15 25 8b z a b b2 36 2 Số phức z b a P3 Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Tìm số phức z có