CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM a Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax + bx + c = (*) x ẩn; a, b, c hệ số cho trước với ( a 0) Cách giải: x = + Nếu c = , ta có phương trình: ax + bx = x ( ax + b ) = x = − b a + Nếu b = , ta có phương trình: ax + c = x = − Khi − c c x = − a a Khi − c phương trình vơ nghiệm a c a x = + Nếu b 0; c , biến đổi phương trình dạng: a ( x − )( x − ) = x = b Công thức nghiệm phương trình bậc hai Để giải phương trình bậc hai: ax + bx + c = ( a 0) * Biệt thức Delta: = b2 − 4ac - Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + −b − ; x2 = 2a 2a - Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b ; 2a * Lưu ý: a.c (a, c trái dấu) phương trình ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu c Cơng thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a 0) b = 2b Tính biệt thức: = b2 − ac Nếu phương trình có nghiệm phân biệt x1 = −b + −b − ; x2 = a a Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b a Nếu phương trình vơ nghiệm d Hệ thức Viet ứng dụng + Định lý Viet: x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: ax + bx + c = ( a 0) tổng tích b S = x1 + x2 = − a hai nghiệm là: P = x x = c a + Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X − SX + P = (Điều kiện để có hai số là: S − P ) e Cách nhẩm nghiệm phương trình: + Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = , x2 = c a c + Nếu a − b + c = phương trình có nghiệm x1 = −1 , x2 = − a + Nếu nhẩm được: x1 + x2 = m + n ; x1 x2 = mn phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n f Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a 0) a a = b = Phương trình vơ nghiệm c a Phương trình có nghiệm kép = a Phương trình có nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm dấu a.c a Phương trình có nghiệm dấu P a Phương trình có nghiệm dương P S a Phương trình có nghiệm phân biệt dương P S a Phương trình có nghiệm âm P S a Phương trình có nghiệm phân biệt dương P S a 10 Phương trình có nghiệm đối P S = a 11 Phương trình có nghiệm phân biệt thỏa x1 x2 a f ( ) a 12 Phương trình có nghiệm phân biệt thỏa x1 x2 a f ( ) S a 13 Phương trình có nghiệm phân biệt thoả x1 x2 a f ( ) S g Các biểu thức thường gặp việc giải toán phương trình bậc hai chứa tham số ( 0) : • x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S − p • ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S − p 2 • x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3Sp • x14 + x2 = ( x12 + x2 ) − x12 x2 = ( S − p ) − p 2 • 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1 x2 p x1 x2 x12 + x22 S − p • + = = x2 x1 x1 x2 p Đây số biểu thức nhất, thường xuất tốn phương trình bậc hai có thức tham số, nằm cấu trúc đề thi vào 10 Do đó, em cần nắm vững kiến thức này, để vận dụng thục, giúp biến đổi loại biểu thức khác để giải toán cách đơn giản CÁC DẠNG TOÁN Dạng Phương trình bậc hai khơng có tham số Phương trình bậc hai ax + c = x = − ( a 0) dạng khuyết hạng tử bậc ( b = 0) , ta có phương trình: c a Khi − c c x = − a a Khi − c phương trình vơ nghiệm a Phương trình bậc hai dạng khuyết hạng tử tự ( c = 0) , ta có phương trình: x = ax + bx = x ( ax + b ) = x = − b a Phương trình bậc hai có đầy đủ hạng tử ( b 0; c 0) : x = Ta biến đổi phương trình dạng: a ( x − )( x − ) = x = Ví dụ minh hoạ 1: Chỉ hệ số a, b, c phương trình, sau giải phương trình: a 3x + x = b x − 16 = Hướng dẫn giải: a Phương trình 3x + x = , có hệ số a = 3; b = c = x = x = 3x + x = x ( 3x + ) = x = − x + = Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = ; x = − b Phương trình x − 16 = , có hệ số a = 1; b = c = −16 x2 − 16 = x = 4 Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = −4 ; x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Đưa phương trình sau dạng ax + bx + c = ( a 0) Rồi hệ số a, b, c? x − x − = 3x + a 3x2 + 3x + = 5x + b c − x + x − = x + d x2 − 3( k − 2) x − = − k Bài 2: Giải phương trình sau: a x − 5x = b x − 32 = c 3x + = d x + x = Bài 3: Đưa phương trình sau cách chuyển dạng f ( x ) = m với m số: a x − 10 x + = b x2 + x − = c x2 + x + = d x2 − x + = Hướng dẫn giải: Bài 1: Đưa phương trình sau dạng ax + bx + c = ( a 0) Rồi hệ số a, b, c? a Phương trình 3x2 + 3x + = 5x + 3x2 − x + = có hệ số a = ; b = −2 ; c = b Phương trình 3 10 10 x − x − = 3x + x − x − = có hệ số a = ; b = −7 ; c = − 4 3 ( ) c Phương trình − x + x − = x + − x + − x − = có hệ số a = − ; b = − ; c = −4 d Phương trình x2 − 3( k − 2) x − = − k x2 − 3( k − 2) x + k − = có hệ số a = 1; b = k − ; c = k2 −9 Bài 2: Giải phương trình sau: x = a Phương trình x − 5x = x ( x − 5) = x = Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = , x = x = b Phương trình x − 32 = x ( x − 16 ) = x = 16 Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = , x = 16 c Phương trình 3x + = 3x = −4 VT = 3x2 với x, VP = −4 Do đó, phương trình 3x = −4 vơ nghiệm d Phương trình x + x = x ( x = 2x +1 = x = − ) Vậy, phương trình có hai nghiệm: x = , x = − Bài 3: Giải phương trình sau cách chuyển dạng: f ( x ) = m với m số: a Phương trình x2 − 10 x + = x − 10 x + 25 − 16 = x2 − 10 x + 25 = 16 ( x − 5) = 16 ( x − 5) = 42 2 x − = x = x − = −4 x = Vậy, nghiệm phương trình x = , x = b Phương trình x2 + x − = x2 + x + − = x2 + x + − = ( x + 1) = ( x + 1) = 22 2 x +1 = x = x + = −2 x = −3 Vậy, nghiệm phương trình x = , x = −3 c Phương trình x2 + x + = x2 + x + + = x2 + x + = −6 ( x + 1) = −6 khơng có giá trị x thoả mãn Vậy, phương trình vơ nghiệm d Phương trình x − x + = x − x + 49 − =0 16 16 49 7 7 1 4x − 7x + = 2x − = 2x − = 16 16 16 4 4 2 x − = 2 x = x = 4 2x = x= 2 x − = − 4 Vậy, nghiệm phương trình x = , x = Dạng Giải phương trình cơng thức nghiệm Giải phương trình bậc hai cơng thức nghiệm: Để giải phương trình bậc hai: ax + bx + c = ( a 0) * Biệt thức Delta: = b2 − 4ac - Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + −b − ; x2 = 2a 2a - Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b ; 2a - Nếu phương trình vơ nghiệm * Lưu ý: a.c (a, c trái dấu) phương trình ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu Giải phương trình cơng thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a 0) b = 2b Tính biệt thức: = b2 − ac Nếu phương trình có nghiệm phân biệt x1 = Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − −b '− −b '+ ; x2 = a a b a Nếu phương trình vơ nghiệm Ví dụ minh hoạ 1: Khơng giải phương trình, xác định hệ số a, b, c, tính biệt thức delta ( ) xác định số nghiệm phương trình sau: a 3x + x + = b x − 5x + = Hướng dẫn giải: a Phương trình 3x + x + = , có hệ số a = ; b = c = = b2 − 4ac = 52 − 4.3.2 = 25 − 24 = Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt b Phương trình x − 5x + = , có hệ số a = ; b = −5 c = = b2 − 4ac = ( −5) − 4.1.9 = 25 − 36 = −11 Vậy, phương trình vơ nghiệm Ví dụ minh hoạ 2: Giải phương trình sau cơng thức nghiệm b x − 3x − = a 3x − x + = Hướng dẫn giải: a Phương trình 3x − x + = , có hệ số a = ; b = −5 c = = b2 − 4ac = ( −5) − 4.3.8 = 25 − 96 = −71 Vậy, phương trình vơ nghiệm b Phương trình x − 3x − = , có hệ số a = ; b = −3 c = −2 = b2 − 4ac = ( −3) − 4.5 ( −2) = + 40 = 49 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b − − ( −3) − −b + − ( − ) + = = = − ; x2 = =1 2a 2a 2.5 2.5 Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − ; x2 = Ví dụ minh hoạ 3: Với giá trị m thì: a Phương trình 3x2 + ( m + 1) x + = có nghiệm x = b Phương trình mx2 − x − = có nghiệm kép? Tìm nghiệm Hướng dẫn giải: a Phương trình 3x2 + ( m + 1) x + = có nghiệm x = Thay x = vào phương trình cho: 3.12 + ( m +1) + = + m +1 + = m + = m = −9 Vậy, với m = −9 phương trình có nghiệm x = b Phương trình mx2 − x − = Với hệ số a = m , = ( −4) − 4.m ( −3) = 16 + 12m a Để phương trình có nghiệm kép = m m m=− m=− 16 + 12m = Với m = − ( −4) = − b phương trình có nghiệm kép, x1 = x2 = − =− 2a 2.m ( −4) 4 − 3 =− Ví dụ minh hoạ 4: Chứng minh phương trình ax + bx + c = ( a 0) ln có hai nghiệm phân biệt a, c trái dấu Áp dụng: Khơng giải phương trình, cho biết phương trình sau có nghiệm: ( ) a + x − x − = b 5x − 3mx − − m2 = Hướng dẫn giải: a Phương trình ax + bx + c = ( a 0) có = b2 − 4ac Khi a, c trái dấu ac , suy −ac , −4ac Mặt khác: b2 với b Vì vậy, = b2 − 4ac Vậy, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt a, c trái dấu Điều chứng minh với ( ) Áp dụng: ( ) a Phương trình + x − x − = có hệ số a = + , hệ số c = − Do đó, a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt b Phương trình 5x − 3mx − − m2 = có hệ số a = , hệ số c = −1 − m2 với m Do đó, a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ minh họa 5: Giải phương trình sau cơng thức nghiệm thu gọn b x − 3x − = a 3x − x + = Hướng dẫn giải: a Phương trình 3x − x + = , có hệ số a = ; b = −5 b = − 25 71 5 = ( b ) − ac = − − 3.8 = − 24 = − 4 2 Vậy, phương trình vơ nghiệm c = b Phương trình x − 3x − = , có hệ số a = ; b = −3 b = − c = −2 2 49 3 = ( b ) − ac = − − ( −2 ) = + 10 = = 4 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 3 −− − −b − −b + 2 x1 = = = − ; x2 = = a 5 a 3 −− + =1 Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − ; x2 = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Khơng giải phương trình, xác định hệ số a, b, c phương trình Tính biệt thức delta a cho biết số nghiệm phương trình: a x − 5x + = b x − x + 10 = c x2 + x + = d − x2 + x − = Bài 2: Giải phương trình sau cơng thức nghiệm: x − 5x − = a x − 8x + 17 = b c − x + x − = d x + x − = Bài 3: Giải phương trình sau công thức nghiệm: a 3x + x − + = ( b x − x + ) d x − c x − − x − = ( =0 ) 3− x− =0 Bài 4: Với giá trị k phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm kép a x2 − 10 x + k + = b x + kx − = c x2 + 2kx + − k = d x2 − ( k + 1) x −1 = Hướng dẫn giải:: Bài 1: Không giải phương trình, xác định hệ số a, b, c phương trình Tính biệt thức delta A cho biết số nghiệm phương trình: a Phương trình x − 5x + = có hệ số a = ; b = −5 c = = ( −5) − 4.1.1 = 25 − = 21 Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Bằng phương pháp cộng đại số, tốn có hai hướng làm: Để hệ số x ta nhân hai vế (1) với 2, nhân hai vế (2) với Để hệ số y đối ta nhân hai vế (2) với Ở này, làm theo hướng 2: 3x − y = 3x − y = 2 x + y = 4 x + y = 16 Cộng vế tương ứng hai phương trình ta có: x = 21 x = Thay vào phương trình (2) ta được: + y = y = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = ( 3;2) Cách 2: Giải phương pháp Nhận xét: Ta nên rút y theo x phương trình hai hệ, hệ số y Ta có: (2) y = − x Thay y = − x vào (1) ta được: 3x − (8 − 2x ) = x −16 = x = 21 x = Với x = y = − 2.3 = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = ( 3;2) 3x − ( y − 1) = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 3x + y = ( − x ) Giải chi tiết Nhận xét: Hệ phương trình chưa có dạng bậc hai ẩn nên bước rút gọn phương trình hệ đưa phương trình bậc hai ẩn 3x − ( y − 1) = 3x − y = −2 3x − y = −2 3 x − y = −2 3x + y + x = 14 5 x + y = 14 10 x + y = 28 3x + y = ( − x ) Cộng vế tương ứng hai phương trình ta có: 13x = 26 x = Thay x = vào phương trình thứ hai: 5.2 + y = 14 y = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = ( 2;2) * Ta dùng phương pháp để giải hệ phương trình ( ) − x − y = (1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x + + y = (2) ( ) Giải chi tiết Nhân hai vế (1) với ( ) ( ( ) + ta được: )( ) ( −1 x − y = + −1 x − x + +1 y = x + +1 y = ( ) ( ) ) +1 y = ( ) x − ( x + ( Cộng vế tương ứng hai phương trình ta có: x = + x = Thay x = 3+ vào (1): 3+ ( 3+ − − y = y = ) ( Giải chi tiết ( x + y ) + ( x + y ) = −2 x + x + y + y = −2 2 x + y = −2 (1) (2) 3 x + x + y − y = 4 x + y = 3 ( x + y ) + ( x − y ) = (2) y = − x 1 y = − = −1 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ; −1 2 x ( y + ) + y = xy + Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: ( x + 1)( y − 1) = xy Giải chi tiết x ( y + ) + y = xy + xy + x + y = xy + 5 x + y = (1) 6 xy − 3x + y − = xy −3x + y = (2) ( x + 1)( y − 1) = xy Trừ vế tương ứng hai phương trình ta có: 8x = x = Thay x = vào phương trình thứ nhất: 5.1 + y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;2) 3+ ) ( x + y ) + ( x + y ) = −2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 3 ( x + y ) + ( x − y ) = Thay y = − x vào (1) ta được: x + (1 − x ) = −2 10 x = x = +1 y = + 2 −1 − = − 3+ ; − Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = 2 Với x = ) + 1) y = +1 * Hệ phương trình chưa có dạng bậc hai ẩn nên bước rút gọn phương trình hệ đưa phương trình bậc hai ẩn Rút gọn xy hai vế hai phương trình 4 x − y + = Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: (I) x + y + = (Đề thi vào lớp 10 Thành phố Hà Nội năm 2018 – 2019) Giải chi tiết Đặt t = y + (điều kiện: t ) 4 x − t = 8x − 2t = 9 x = x = Ta có hệ: (thỏa mãn) x + 2t = x + 2t = x + 2t = t = y + =1 y = −1 Với t = y + = y + = −1 y = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −1) , (1; −3) * Vì hai phương trình có y + nên ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình có trị tuyệt đối nên ta chia hai trường hợp dể phá dấu trị tuyệt đối để hệ phương trình bậc hai ẩn (nhưng cách dài cách đặt ẩn phụ) x −1 − y + = Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: x − + y + = 15 Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 1; y −2 Đặt a = x −1; b = y + ( a 0; b 0) a − 3b = 2a − 6b = 11b = 11 b = Ta có hệ: (thỏa mãn) 2a + 5b = 15 2a + 5b = 15 a − 3b = a = a = x − = x − = 25 x = 26 b = y = −1 y + = y + = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 26; −1) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: 11 + = x+3 y −2 11 − = x+3 y −2 Giải chi tiết Điều kiện xác định: x −3; y 2 Đặt a = ; b= ( a 0; b ) x+3 y −2 11 11 11 1 2 + 2b = a + 2b = 11a = a = a = Ta có hệ: (thỏa mãn) 11 11 11 22 5a − b = 10a − 2b = a + 2b = 2b = − b = 6 6 a= x + = x = −1 x+3 = x + = −2 x = −5 b= y = y −2=3 y =5 y = −5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( −1;5) , ( −1; −5) , ( −5;5) , ( −5; −5) 21 2x − y − x + y = Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: 7−x− y + =1 x + y x − y (Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS&THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 – 2019) Giải chi tiết Nhận xét: Cả hai phương trình có Ta biến đổi: nên đặt ẩn phụ 2x − y − x − y − ( x + y) 7 = = − Vậy đặt = b, x+ y x+ y x+ y x+ y =a 2x − y Điều kiện xác định: 2x y x − y 21 21 21 21 − = − = − = − = 2x − y x + y 2x − y x + y 2x − y x + y 2x − y x + y − ( x + y) 7−x− y 7 + =1 + −1 = + =2 + =1 2x − y x+ y x+ y 2x − y 2x − y x + y 2x − y x + y Đặt a = ; b= , ( a 0) x+ y 2x − y 1 1 13 a= a= 4a − 3b = 4a − 3b = 13a = 2 Ta có hệ: (thỏa mãn) 2 2 3a + b = 9a + 3b = 3a + b = +b = b = 1 = a = 2 x − y = 3x = 18 x = 2x − y (thỏa mãn) x + y = 14 y = 14 − x y = b = = x + y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 6;8) Dạng 2: Hệ phương trình chứa tham số Phương pháp giải ax + by = c ax + by = c Cách 1: Tìm ( x; y ) theo m, tìm điều kiện m Cách 2: + Hệ có nghiệm + Hệ vơ nghiệm a b a b a b c = a b c + Hệ có vơ số nghiệm a b c = = a b c Bài tập mẫu x − my = Ví dụ 1: Cho hệ phương trình Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm mx + y = Giải chi tiết x = Với m = hệ , hệ có nghiệm y = Với m Hệ có nghiệm −m −m2 m2 −2 (ln đúng) m Vậy phương trình ln có nghiệm với m * Khi lập tỉ số a b a b có tham số m ta phải xét thêm trường hợp a = b = a b mx − y = 2m Ví dụ 2: Cho hệ phương trình Tìm điều kiện m để phương trình có −2 x + y = m + nghiệm tìm nghiệm Giải chi tiết mx − y = 2m (1) Hệ −2 x + y = m + (2) Hệ có nghiệm m −2 m −2 Từ phương trình (2) ta có: y = x + m + Thay vào phương trình (1) ta được: mx − ( x + m + 1) = 2m ( m − ) x = 4m + x = 4m + , ( m 4) m−4 m + 5m 4m + y = + m +1 = m−4 m−4 4m + m2 + 5m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ; m−4 m−4 3x − y = 2m + Ví dụ 3: Cho hệ phương trình (m tham số) x + y = 3m + a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x + y = Giải chi tiết a) Với m = , ta có hệ: 3x − y = 6 x − y = 14 7 x = 21 x = x + y = x + y = 3x − y = y = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm ( 3; ) b) Vì −1 nên hệ phương trình ln có nghiệm ( x; y ) 3x − y = 2m + 6 x − y = 4m + 7 x = m + x = m +1 x + y = 3m + x + y = 3m + 3x − y = 2m + y = ( m + 1) − 2m − = m Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( m +1; m) Theo đề bài, ta có: x + y = m = ( m + 1) + m2 = 2m2 + 2m − = ( m − 1)( m + ) = m = −2 Vậy m = m = −2 phương trình có nghiệm thỏa mãn đề x + ay = 3a Ví dụ 4: Cho hệ phương trình (I) (a tham số) −ax + y = − a a) Giải hệ phương trình với a = b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn 2y số nguyên x +3 (Đề thi vào lớp 10 mơn Tốn tỉnh Lào Cao năm 2018 – 2019) Giải chi tiết x + y = 2 y = y = a) Với a = , ta có hệ: − x + y = x = − y x = Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm (1;2) x = b) Với a = hệ , hệ có nghiệm y = Với a Hệ có nghiệm a −a a −1 (luôn đúng) −a Hệ phương trình ln có nghiệm với a x = 3a − ay x + ay = 3a y = x = 3a − ay 2 2 −a ( 3a − ay ) + y = − a x = a −ax + y = − a ( a + 1) y = 2a + (Vì a + nên rút gọn ta có y = ) Hệ phương trình ln có nghiệm ( x; y ) = ( a;2) Xét: A = 2y = x +3 a +3 Ta có: a + 3, a Mà theo đề để A 4 , a A a +3 3 a = A = a + = a = a = −1 Vậy a = a = −1 thỏa mãn đề Lưu ý: Đối với tốn tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên ta tìm khoảng giá trị biểu thức A, tìm giá trị nguyên A khoảng thay vào tìm a Phân biệt với tốn tìm a số ngun để A nhận giá trị ngun có a + Ư (4) mx − y = − m Ví dụ 5: Cho hệ phương trình (m tham số) Tìm m để hệ phương trình có x − my = 2m nghiệm Khi đó, hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải chi tiết y = −3 Với m = , ta có hệ: Hệ có nghiệm x = Với m , hệ phương trình có nghiệm m −1 m2 m 1 −m Vậy với m 1 hệ phương trình có nghiệm m x = − y = mx + m − y = mx + m − mx − y = − m m +1 2 x − m ( mx + m − 3) = 2m x − my = 2m (1 − m ) x = m − m y = −m + m − m +1 m x = − m + x = −1 + m + y = −2 m − y = −2 − m +1 m +1 Cộng hai vế hai phương trình ta khử tham số m Hệ thức cần tìm x + y = −3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Giải hệ phương trình sau: x + y = 1) 2 x + y = 13 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm 2018 – 2019) 9 x + y = 11 2) 5 x + y = (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Dương năm 2018 – 2019) Câu 2: Giải hệ phương trình sau: x + y −1 = 1) 4 x − y − = (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2017 – 2018) 3x + y + = 11 2) 5 x − y + = 13 (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2017 – 2018) x = Câu 3: Cho hệ phương trình (m tham số) Tìm m để x + y nhỏ mx + y = m + (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lào Cai năm 2017 – 2018) Gợi ý giải Câu 1: 1) Nghiệm hệ phương trình ( 4;1) 2) Nghiệm hệ phương trình (1;2) Câu 2: 1) Điều kiện: x 0; y Đặt a = x ; b = y −1 ( a 0; b 0) a + 2b = a = x = Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện) 4a − b = b = y = 2) Điều kiện: y −6 Đặt b = y + ( b 0) 3x + b = 11 x = x = Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện) 5x − b = 13 b = y = −2 Nghiệm hệ phương trình là: (3; −2) Câu 3: x = x = x = 2 mx + y = m + 2m + y = m + y = m − 2m + Hệ phương trình có nghiệm với m Ta có: A = x + y = m2 − 2m + = ( m − 1) + A 4, m Giá trị nhỏ x + y đạt m = CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ BẬC NHẤT Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trị ẩn x y hệ phương trình khơng thay đổi f ( x, y ) = Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng , g ( x, y ) = Bước 1: Đặt S = x + y; P = xy Điều kiện: S 4P f ( x, y ) = f ( y, x ) g ( x, y ) = g ( y, x ) Bước 2: Biến đổi hệ phương trình có hai ẩn S, P giải S P (sử dụng phương pháp cộng đại số) Bước 3: Tìm S P, x y nghiệm phương trình bậc hai: X − SX + P = Giải phương trình bậc hai theo ẩn X Bước 4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Chú ý: Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ phương trình Bài tập mẫu x + y + xy = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x + y = Giải chi tiết Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) tổng tích x y 2 x + y + xy = ( x + y ) − xy + xy = ( x + y ) − xy = x + y = x + y = x + y = Đặt S = x + y; P = xy Điều kiện: S 4P S − P = S = S = Ta có hệ: (thỏa mãn) 4 − P = P = S = x y nghiệm phương trình bậc hai: X − X + = ( X − 1) = X = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1) 2 x + y = 10 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x + y + = ( )( ) Giải chi tiết ( x + y )2 − xy = 10 x + y = 10 ( x + 1)( y + 1) = xy + x + y + = Đặt S = x + y; P = xy Điều kiện: S 4P S − P = 10 S − P = 10 S + 2S − 24 = S − ( − S ) = 10 Ta có hệ: P + S + = P = − S P = − S P = − S S = S = −6 P = P = 13 Mà S P S = 4, P = thỏa mãn Khi đó, x y nghiệm phương trình bậc hai X =1 X − X + = ( X − 1)( X − 3) = X = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;3) , ( 3;1) x + y + xy = 16 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x + y = 10 Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 0; y Đặt S = x + y ; P = xy Điều kiện: S 4P S 0; P S + P = 16 S + P = 16 S + P = 16 Ta có hệ: S − P = 10 2S − P = 20 2S + S − 36 = S =− S = (thỏa mãn ) (loại) P = P = 41 Khi x y nghiệm phương trình bậc hai X =1 X − X + = ( X − 1)( X − 3) = X = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;9) , (9;1) Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại II Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trị ẩn x y hai phương trình hệ hốn đổi cho f ( x, y ) = Hệ phương trình đối xứng loại II có dạng f ( y, x ) = Bước 1: Cộng trừ hai vế hai hệ phương trình thu phương trình Biến đổi phương trình phương trình tích, tìm biểu thức liên hệ x y đơn giản Bước 2: Thế x theo y (hoặc y theo x) vào hai phương trình hệ ban đầu Bước 3: Giải tìm nghiệm x (hoặc y) Từ suy nghiệm cịn lại Bước 4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Bài tập mẫu x − 3x = −2 y (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình y − y = −2 x (2) Giải chi tiết Trừ vế hai phương trình ta được: x2 − y2 − 3x + y = −2 y + 2x ( x − y )( x + y ) − ( x − y ) = ( x − y )( x + y − 5) = x = y x = − y y = x = Với x = y thay vào (1) ta được: y − y = y ( y − 1) = y =1 x =1 Với x = − y thay vào (1) ta được: y − y = −2 ( − y ) y − y = −10 + y y − y + 10 = Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) ( 0;0) , (1;1) x3 + x = y (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình y + y = x (2) Giải chi tiết Trừ vế hai phương trình ta được: x3 − y + 3x − y = ( x − y ) ( x + y + xy + = ) y 3y2 ( x − y ) x + + + 3 = y = x 2 Với y = x thay vào (1) ta được: x3 + x = x = Vậy nghiệm hệ phương trình ( 0;0 ) x2 + x = y2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 3 y = y + x2 Giải chi tiết x Vì vế phải phương trình dương nên ta có y (vô nghiệm) x2 + x = 2 y2 3xy = x + (1) Ta có: 2 3 yx = y + (2) 3 y = y + x2 Trừ vế hai phương trình (1) (2) ta được: 3xy2 − yx2 = x2 − y2 3xy ( y − x ) = ( x − y )( x + y ) ( x − y )(3xy + x + y ) = Vì x 0, y 3xy + x + y x= y Với x = y thay vào (1) ta được: 3x3 − x2 − = ( x − 1) ( 3x2 + x + ) = x = y = Vậy nghiệm hệ phương trình (1;1) Dạng 3: Một số hệ phương trình khác Bài tập mẫu x + y = m Ví dụ 1: Cho hệ phương trình (m tham số) 2 x + y = −m + Hãy tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) cho biểu thức A = xy + ( x + y ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ (Trích đề thi vào 10 tỉnh Cao Bằng năm 2017 – 2018) Giải chi tiết x + y = m Nhận xét: hệ phương trình đối xứng loại 2 x + y = −m + Đặt S = x + y; P = xy Điều kiện: S 4P x2 + y = ( x + y ) − xy = S − 2P S = m S = m Ta có hệ: 2 S − P = −m + P = m − Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) S 4P m2 4m2 − 12 3m2 12 m2 −2 m Ta có: A = xy + ( x + y ) = m2 − + 2m = m2 + 2m + − = ( m + 1) − Vì −2 m −1 m + ( m + 1) −4 A Giá trị nhỏ A −4 đạt m +1 = m = −1 3a b + b3 = 2 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức M = a + b biết a, b thỏa mãn: 3b + = a a (Trích đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ninh năm 2017 – 2018) Giải chi tiết Điều kiện xác định: a 0; b 3a 2 + =1 3 b b3 3a b + = b b − 3a b = ( b − 3a b ) = Ta có: 3 2 b ab + = a a − ab = a − ab ( ) =4 + =1 a a3 Cộng vế hai phương trình ta được: (b − 6a2b4 + 9a4b2 ) + ( a6 − 6a4b2 + 9a2b4 ) = b6 + 3a 2b4 + 3a 4b2 + a6 = ( a + b2 ) = a + b2 = Vậy M = 2 x + y = xy + Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x + y +1 = (Trích đề thi vào 10 tỉnh Nam Định năm 2017 – 2018) Giải chi tiết Điều kiện xác định: x y −1 2 x + y = xy + 2 x + y = xy + xy = x + y − (1) 1 (2) xy = y + y + + x = x ( y + 1) x + y +1 = Trừ vế hai phương trình ta có: x + y − = x = − y Thay x = − y vào phương trình (2) ta được: ( − y ) y = y + y − y + = ( y − 1) = y =1 x=2 Vậy nghiệm hệ phương trình ( 2;1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x + y = x Câu 1: Giải hệ phương trình 2 y + x = y x3 = y + x Câu 2: Giải hệ phương trình y = x + y xy + x + y = Câu 3: Giải hệ phương trình x y + xy = Gợi ý giải Câu 1: Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ vế hai phương trình ta x = y x = 1− y ( x − y )( x + y −1) = 1+ 1− 1− 1+ ; ; Vậy nghiệm hệ phương trình ( 0;0 ) , ( 3;3) , , 2 Câu 2: Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ vế hai phương trình ta ( x − y ) ( x2 + xy + y + 1) = x = y Vậy nghiệm hệ phương trình ( 0;0 ) , ( Câu 3: Hệ phương trình đối xứng loại I Đặt S = x + y; P = xy (điều kiện: S 4P ), ta P + S = S = 1; P = S P = S = 2; P = Kết hợp điều kiện S = 2; P = Vậy nghiệm hệ phương trình (1;1) )( ) 3; , − 3; − ... ĐỀ 2: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ BẬC NHẤT Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trị ẩn x y hệ. .. Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;9) , (9;1) Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại II Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trị ẩn x y hai phương. .. phương trình hệ hoán đổi cho f ( x, y ) = Hệ phương trình đối xứng loại II có dạng f ( y, x ) = Bước 1: Cộng trừ hai vế hai hệ phương trình thu phương trình Biến đổi phương trình phương trình