Tổ 24 đợt 11 chuyên đề hsg hình học không gian

SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 TỔ 24 Câu Trong khơng gian cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M điểm    mặt phẳng chứa AM song di động cạnh SC , M không trùng với S C Gọi    với SB SD Tính giá trị biểu thức song với BD Tìm giao điểm H K SB SD SC   SH SK SM Trong lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh AA1 vng góc với mặt T Câu phẳng Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng Câu Câu ( ABC ) AA1 = a Gọi j góc hai mặt phẳng ( ABC1 ) ( BCA1 ) Tính sinj  ABCD  có độ dài SA 1 a) Xác định thiết diện cắt hình chóp S ABCD mặt phẳng qua A vng góc với SC b) Tính diện tích thiết diện câu a)    Cho hình chóp S ABC có SA SB SC 1 ASB  ASC CSB 30 Mặt phẳng () thay đổi qua A cắt cạnh SB, SC thứ tự M , N Khi chu vi tam giác AMN nhỏ nhất, tính diện tích tam giác AMN Cho hình lập phương ABCD ABC D Trên cạnh AB lấy điểm M khác hai điểm A B Gọi  P Câu  ACD mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng  P a) Xác định thiết diện hình chóp cho với mặt phẳng   k  1 Tính diện tích thiết diện nói theo k Xác định vị trí b) Giả sử AB 1 , AM k , điểm M để thiết diện có diện tích lớn Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có cạnh bên a  1 SM  SB Gọi M điểm nằm SB cho a Gọi Câu  P mặt phẳng chứa CM song song với SA Tính theo a diện tích thiết diện tạo  P  hình chóp S ABCD mặt phẳng b E điểm thay đổi cạnh AC Xác định vị trí E để ME vng góc với CD Cho hình chóp S ABCD Tứ giác đáy có AB CD cắt E ; AD BC cắt F P ; AC BD cắt G   mặt phẳng cắt SA , SB , SC A, B, C  P a) Tìm giao điểm D SD với   P b) Tìm điều kiện   để ABC D hình bình hành STRONG TEAM TỐN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM Câu Câu CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN SA SC  SB SD    c) Khi ABC D hình bình hành, chứng minh rằng: SA SC SB SD   Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi cạnh a , có góc BAC 60 Cạnh bên AA vng góc với mặt phẳng đáy AA a a) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng ( ) qua A vuông góc với DC b) Tính diện tích thiết diện Cho hình chóp S.ABC Từ điểm M thuộc miền tam giác ABC, vẽ tia Mx song song với SA, tia My song song với SB, tia Mz song song với SC Các tia cắt mặt bên hình chóp S.ABC P, Q, R Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SM qua trọng tâm G tam giác PQR SG b) Tỷ số GM không phụ thuộc vào cách chọn điểm M Câu 10 Cho tứ diện ABCD có AB CD a , BC  AD b , AC BD c Gọi E , F trung điểm AB CD Hai điểm M , N cạnh BC AD cho MB  NA a Chứng minh EF cắt MN trung điểm MN b BM  b Tính diện tích tứ giác EMFN biết Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có SD = x, tất cạnh lại a  SBD  SB vng góc với SD a Chứng minh AC vng góc với mặt phẳng  ABCD  góc 30o b Xác định x để SD tạo với mặt phẳng Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy điểm M cho SM k    thay đổi chứa AM cắt cạnh SB, SD SC Một mặt phẳng điểm P , Q khác S SP SQ    , chứng minh SB SD a Cho SP SQ b Tìm giá trị nhỏ tích SB SD theo k k Câu 13 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng  ABC  mặt  OBC  ,  OAC  ,  OAB  a Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b Chứng minh cos   cos   cos   2a Câu 14 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên O tâm đáy  P  thay đổi chứa SO cắt đoạn thẳng AB, AC điểm M , N ( Mặt phẳng M , N khác A ) 1   a Chứng minh AM AN a b Tính độ dài đoạn thẳng AM , AN theo a để góc tạo đường thẳng SA mặt phẳng  P có số đo lớn STRONG TEAM TỐN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN  BC //AD  , BC 2a, AD a , AB b Mặt Câu 15 Cho hình chóp S ABDC có đáy ABCD hình thang    qua điểm M cạnh AB song song với bên SAD tram giác Mặt phẳng AM  x   x  b  cạnh SA, BC cắt CD, SC , SB N , P, Q Đặt Tính giá trị lớn   diện tích tạo hình chóp S ABDC Câu 16 Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình bình hành Gọi A điểm SA cho  1  AA  AS  Mặt phẳng   qua A cắt cạnh SB, SC , SD B, C , D Tính giá trị SB SD SC   SB SD SC  biểu thức Câu 17 Cho hình lập phương ABCD ABC D có độ dài cạnh a Gọi M , N , P trung T  MNP  với điểm đoạn thẳng AD , BB , C D Xác định thiết diện cắt mặt phẳng hình lập phương ABCD ABC D Tính theo a diện tích thiết diện ( AD / / BC ) , BC = 2a, AB = AD = DC = a Mặt Câu 18 Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang cân bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD SD vng góc với AC ( SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD) Tính độ dài SD a) Chứng minh mặt phẳng ( a ) qua M thuộc đoạn OD song song với SD, AC Xác định thiết diện hình b) Mặt phẳng ( a ) biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn chóp S.ABCD cắt mặt phẳng Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang AD / / BC , AD 2a , AB BC CD a ,    B AD 600 , SA vng góc đáy SA a M I hai điểm thỏa mãn 3MB  MS O ,    IS  3ID O Mặt phẳng  AMI  cắt SC N  AMI  a) Chứng minh đường thẳng SD vng góc mặt phẳng 0   b) Chứng minh ANI 90 , AM I 90  AMI  với hình chóp S ABCD c) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng    Câu 20 Cho tứ diện ABCD , gọi G trọng tâm BCD , G trung điểm AG Mặt phẳng AB AC AD      AB , AC , AD B , C , D qua G cắt cạnh Tính AB AC  AD Câu 21 Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD M điểm thuộc miền tam giác BCD Kẻ qua M đường thẳng d song song với AB a Chứng minh (EFG) // (BCD) b Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD c Xác định giao điểm B đường thẳng d mặt phẳng (ACD) d Kẻ qua M đường thẳng song song với AC AD, cắt mặt phẳng (ABD), (ABC) MB MC  MD   1   AC AD theo thứ tự C , D Chứng minh AB e Tìm giá trị nhỏ biểu thức T AB AC AD   MB MC  MD STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 22 Cho hình hộp ABCD ABC D có tất cạnh Điểm M di động cạnh AB , điểm N di động cạnh AD cho AN 2 AM Gọi ( ) mặt phẳng chứa MN song song với AC Dựng thiết diện hình hộp ( ) chứng minh ( ) chứa đường thẳng cố định Câu 23 Cho tứ diện ABCD Chứng minh ( AB+CD)2+( AD+ BC )2 >( AC + BD )2  Câu 24 Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy hình thoi cạnh a , BAD 120 Hình chiếu B lên  ABCD  trung điểm H đoạn thẳng CD tam giác ABB tam giác vuông mặt phẳng cân a Tính độ dài đoạn thẳng AD b Tính cos  với  góc hai đường thẳng BH AC  Câu 25 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a , BC a SA SB SC SD 2a Gọi K hình chiếu vng góc B AC H hình chiếu vng góc K SA a Tính độ dài đoạn HK theo a    di động, qua I b Gọi I giao điểm hai đường thẳng HK SO Mặt phẳng cắt đoạn thẳng SA , SB , SC , SD A, B, C  D Tìm giá trị nhỏ biểu thức P SA.SB.SC .SD Câu 26 Cho tứ diện ABCD có đường cao AH Mặt phẳng ( P ) chứa AH cắt ba cạnh BC , CD, BD M , N , P Gọi  ,  ,  góc hợp AM , AN , AP với mặt phẳng ( BCD) 2 Chứng minh tan   tan   tan  12 Câu 27 Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi G trọng tâm BC D  ABG  Thiết diện a Xác định thiết diện hình hộp ABCD ABC D cắt mặt phẳng hình gì? b Hai điểm M , N thuộc hai đoạn thẳng AD , AC cho MN song song với mặt CN AM  AD phẳng , biết Tính tỉ số CA Câu 28 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a H trung điểm  BC D  AB , SH   ABC  , SH x Gọi M hình chiếu vng góc H lên đường thẳng AC N điểm thỏa mãn MH HN a Khi x a chứng minh SN   SAC   SAC  450 b Tìm x theo để góc đường thẳng góc SB mặt phẳng Câu 29 Trong khơng gian cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thoi cạnh a , SA SB SC a Đặt SD  x , (0  x  a 3) ABCD  a Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng  , biết x a b Tìm x theo a để tích AC.SD đạt giá trị lớn STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN    thay đổi ln qua trọng tâm G Câu 30 Cho tứ diện S ABC có SA SB SC 1 Mặt phẳng tứ diện cắt cạnh SA, SB, SC điểm A, B, C  Chứng minh biểu thức 1   SA SB SC  có giá trị khơng đổi Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một điểm M di động cạnh đáy T BC ( M khác B , C ) Mặt phẳng    qua M đồng thời song song với hai đường thẳng SB    tìm vị trí điểm M để AC Xác định thiết diện hình chóp S ABCD cắt thiết diện có diện tích lớn  S ABCD  có đáy hình vng ABCD cạnh a Cạnh SA a vng góc với Câu 32 Cho hình chóp  ABCD  a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Gọi M điểm di động đoạn BC BM x , K hình chiếu S DM Tính độ dài đoạn SK theo a x Tìm giá trị nhỏ đoạn SK CD  a Câu 33 Cho tứ diện ABCD có ABC cạnh a tam giác BCD cân D với a Chứng minh AD  BC b Gọi G trọng tâm BCD Tính cosin góc hai đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng  ABC   BCD  30 AM  AD Câu 34 Cho hình hộp ABCDABC D Gọi M điểm cạnh AD cho , N điểm đuờng thẳng BD , P điểm đường thẳng CC  cho điểm M , N , P MN thẳng hàng Tính tỉ số MP Câu 35 Trong khơng gian cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi cạnh a, góc BAD 60 , SA SB SC b SD 2b Gọi M trung điểm BC, điểm P SD cho SD 4SP Mặt phẳng phẳng    qua M, P song song với AC Tính theo a, b diện tích thiết diện tạo mặt   hình chóp S.ABCD? Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AD 2a , AB a Gọi O giao điểm AC với BD , SO vng góc với mặt phẳng BC a) Chứng minh SM   SAD   ABCD  SO  a Gọi M trung điểm  SAD  Tính sin  b) Gọi  góc đường thẳng SC mặt phẳng STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O Một mặt phẳng không qua S cắt SB    cạnh SA, SB, SC , SD M , N , P, Q thỏa mãn SA 2SM , SC 3SP Tính tỉ số SN  2  SD   SB  T     4  SN   SQ  đạt giá trị nhỏ biểu thức Câu 38 Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' Một mặt phẳng ( ) thay đổi song song với đáy, cắt đoạn AB ', BC ', CD ', DA ' M , N , P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng (α) sao) cho diện tích MNPQ nhỏ Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a , AD 2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA , BC Biết SA SB SC SD góc MN mặt phẳng  ABCD  60 a Tính diện tích tam giác SBM theo a  SBD  b Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng   M , N     ABCD A B C D a AM  k AC  , Câu 40 Cho hình lâp phương cạnh Lấy hai điểm cho   CN tCD (với t.k 0 ) Tính độ dài MN theo a MN song song với BD Câu 41 Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O độ dài cạnh Gọi M , P hai điểm  1   AM  AA CP  CC   4 cho Mặt phẳng   thay đổi, qua M P đồng thời cắt hai cạnh BB, DD N Q Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ chu vi tứ giác MNPQ  AB // CD  nội tiếp đường trịn tâm O Câu 42 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân   SBA SCA 90 Gọi M trung điểm cạnh SA MO   ABCD  a Chứng minh BC cos   SA b Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh Câu 43 Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông B Biết độ dài cạnh AB a , AC 2a , CC  2a Gọi M , I trung điểm AB BC  Tính góc hai đường thẳng IM AC  Câu 44 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , biết SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết góc hai mặt phẳng  SBC   SAD  45 Gọi E , M trung điểm SC SA Tính khoảng cách hai đường thẳng DM BE Câu 45 Cho hình chóp S.ABC, M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) A’, B’, C’ MA ' SMBC  SA S ABC a) Chứng minh MA ' MB ' MC '   1 SB SC b) Chứng minh SA STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN MA ' MB ' MC ' c) Tìm vị trí M tam giác ABC để SA SB SC đạt giá trị lớn Câu 46 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Các điểm H , K trung điểm AD , C D Điểm M thuộc đoạn BC  , N thuộc đoạn AB Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 45 a Chứng minh AK  BH b Chứng minh  MN    a Câu 47 Cho đoạn AB vng góc với mặt phẳng ( P) điểm B Trong ( P) lấy điểm H thỏa mãn BH BA a ( a  0) Vẽ đường thẳng d nằm ( P ) qua H , d vng góc với BH Hai o điểm M , N di động d thỏa mãn góc MAN 90 Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ( AMN ) cắt ( P) điểm K a) Chứng minh B trực tâm KMN b) Gọi  ,  số đo góc tạo BM với mặt phẳng ( AKN ) , BN với mặt phẳng tìm giá trị nhỏ    Câu 48 Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  Gọi G , G , I trọng tâm tam giác ABC , ABC  ABB Gọi E , F theo thứ tự trung điểm BB CC  Một đường thẳng d ( AKM ) Chứng minh cos   cos   qua G cắt AB H cắt EF K a Chứng minh ( ABG) // ( AGC ) b Chứng minh ( IG) // ( BCC B) c Xác định điểm H , K d Giả sử tất cạnh hình lăng trụ a mặt bên hình vng Tính độ dài đoạn GH theo a Câu 49 Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh Lấy điểm I thuộc cạnh AB , điểm E   x  1 thuộc cạnh DD cho AI DE x a Chứng minh IE  AC b Tìm x để góc hai đường thẳng AC  DI 60 c Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AD Xác định giao điểm K mặt phẳng  CMN  BK với đường thẳng BC  tính tỉ số BC   Câu 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD 120 , SA vng góc với  SAD   SCD  đáy, SC tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 TỔ 24 Câu Trong khơng gian cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M điểm    mặt phẳng chứa AM song di động cạnh SC , M không trùng với S C Gọi    với SB SD Tính giá trị biểu thức song với BD Tìm giao điểm H K T SB SD SC   SH SK SM Lời giải FB tác giả: NguyễnPhan Bảo Khánh Nguyên GV phản biện: S M K I E H D C O A B +) Trong  SAC  , gọi +) Ta có:  BD / /( )  ( SBD)  BD  ( SBD )  ( ) Ix / / BD  I  ( SBD)  ( )  I SO  AM , suy I   SBD      +) Trong ( SBD) , gọi H Ix  SB , K Ix  SD    với SB SD +) Khi : H K giao điểm S M E I A O C SB SD SO SB SD SO   2   ( SBD ) SH SK SI , (1) +) Trong , ta có : HK / / BD nên SH SK SI +) Trong SAC , dựng OE / / AM , E  MC Khi E trung điểm CM  EM EC SO SE SC  EC SC EC SC EM       SM SM SM SM SM +) Ta có: SI SM STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN SO SC OI SC SO  SI SC SO       1 SI SM SI SM SI SM SI SO SC   1 SI SM (2) SB SD SC   1 +) Thay (2) vào (1) ta SH SK SM  SB SD SC   1 SH SK SM Vậy : Trong lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh AA1 vng góc với mặt T Câu phẳng ( ABC ) AA1 = a Gọi j góc hai mặt phẳng ( ABC1 ) ( BCA1 ) Tính sinj Lời giải FB tác giả: Nguyễn Quang Hoàng GV phản biện: NguyễnPhan Bảo Khánh Nguyên - Tuan Anh B1 C1 A1 A1 K O O H H B C M B A I C Phần dựng: (tính góc hai mặt phẳng dựa vào khoảng cách.) ( ABC1 ) Ç ( BCA1 ) = BO Gọi O = AC1 Ç A1C , Trong tam giác A1 BC kẻ CH ^ BO Gọi M trung điểm AB , tam giác C1CM kẻ CK ^ C1M , CK = d ( C ; ( ABC1 ) ) sin j = sin ( ( ABC1 ) , ( BCA1 ) ) = Do Phần tính tốn: CK CH Trong tam giác BCA1 ta có: A1 B = A1C = a 2; BC = a Áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có: BO = ( BA12 + BC ) - A1C = ( 2a + a ) - 2a = a Þ BO = a 4 Trong tam giác BCA1 kẻ A1 I vng góc với BC I , ta có: A1 I = A1 B - BI = 2a - a2 a = STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1 1 a a2 SDBOC = SD A1BC = A1 I.BC = a = 2 2 2 Ta có: 2S SDBOC = CH BO Þ CH = DBOC = CH Mặt khác: Trong tam giác C1CM ta có CC1 = a; CM = a2 =a a a nên 3a 2 a CM CC1 a 21 CK = = = 2 3a CM + CC1 +a Câu a 21 CK sin j = = = CH a Vậy Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  có độ dài SA 1 a) Xác định thiết diện cắt hình chóp S ABCD mặt phẳng qua A vng góc với SC b) Tính diện tích thiết diện câu a) Lời giải FB tác giả: Tuan Anh GV phản biện: Nguyễn Quang Hoàng – Nguyễn Duy Tân  SAC  kẻ AH  SC  H     a) Trong mặt phẳng Gọi M , N hình chiếu A lên hai cạnh SB, SC  M , N trung điểm SB, SC (vì SAB, SAC vng cân S )  BC  SA  BC   SAB   AM  BC  1  Ta có  BC  AB AM  SB   Mặt khác STRONG TEAM TOÁN VD-VDC - Nơi hội tụ đam mê toán THPT Trang 10