Cd10 ds10 kntt c1 b2 ung dung he pt bac nhat 3 an 2022 equa

2 ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN ❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Thị Thủy Thuật ngữ  Hàm cung  Hàm cầu  Cân cung – cầu FB: Thủy Nguyễn Kiến thức, kĩ  Vận dụng hệ phương trình bậc ba ẩn vào giải số tốn vật lí, hóa học sinh học  Vận dụng hệ phương trình bậc ba ẩn để giải số vấn đề thực tiễn sống Hệ phương trình bậc ba ẩn vận dụng để giải nhiều toán khác Trong này, ta gặp số ví dụ vận dụng lĩnh vực vật lí, hóa học, sinh học, kinh tế học, … Chúng ta làm quen với số dạng tốn giải cách lập hệ phương trình bậc ba ẩn GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ, HĨA HỌC VÀ SINH HỌC ỨNG DỤNG TRONG SINH HỌC Trong sinh học có nhiều tốn dẫn đến việc giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn Dưới giới thiệu hai ví dụ đơn giản ngành chăn ni ngành sinh thái Bài tốn sản xuất gà giống Trong trang trại sản xuất gà giống, việc lựa chọn tỉ lệ gà trống gà mái quan trọng Nếu q nhiều gà trống khơng hiệu kinh tế, gà trống q ảnh hưởng đến hiệu sản xuất gà giống Các nghiên cứu tỉ lệ gà trống gà mái để sản xuất gà giống hiệu 1:10,5 Một đàn gà trưởng thành có tổng số 3000 Trong tỉ lệ gà trống gà mái 5:3 Cần chuyển gà trống cho mục đích ni lấy thịt để hiệu cao nhất? Trang trại sản xuất gà giống HĐ1: Gọi số gà trống đàn gà x, số gà mái đàn gà y, số gà trống cần chuyển sang mục đích ni lấy thịt z a) Điều kiện x, y z gì? b) Từ giả thiết tốn Hãy tìm ba phương trình bậc ràng buộc x, y z, từ có hệ phương trình bậc ba ẩn c) Giải hệ phương trình bậc ba ẩn thu Từ đưa câu trả lời cho toán Để giải toán cách lập hệ phương trình, ta tiến hành theo ba bước sau: Bước Lập hệ phương trình: - Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Việc giải nhiều toán thực tiễn dẫn đến phải đặt ẩn giải hệ phương trình Cách làm gọi giải tốn cách lập hệ phương trình Bước Giải hệ phương trình nói Bước Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thích hợp với tốn kết luận Ví dụ Một khu rừng ngập mặn có diện tích 1ha Bằng kĩ thuật viễn thám, người ta ước lượng sinh khối mặt đất rừng 87,2 tấn/ha Người ta đếm ô tiêu chuẩn 100 m2 có tổng số 161 cây, số bần 15% tổng số mắm đước Khối lượng trung bình bần 10kg, đước 5kg mắm 1kg Hãy tính sinh khối lồi rừng Giải Đổi: 87,2 = 87 200 kg; 1ha = 10 000m2 Gọi x , y , z theo thứ tự số bần, đước mắm rừng ngập mặn nói 100 m2 có tổng số 161 nên 10 000 m2 có số 10000 161 =16100 100 Do x + y + z=16100 Số bần 15 %tổng số mắm đước nên ta có 15 x= ( y + z ) hay 20 x−3 y−3 z=0 100 Khối lượng trung bình bần 10kg, đước 5kg mắm 1kg nên ta có 10 x+5 y + z=87200 Vậy theo ta có hệ phương trình x+ y + z=16100 20 x−3 y−3 z=0 10 x +5 y + z=87200 Sinh khối (cịn gọi sinh khối lồi) tổng trọng lượng sinh vật sống sinh số lượng sinh vật sống đơn vị diện tích Theo SGK sinh học 12 Nhà xuất Giáo dục Việt Nam , 2017 { Dùng máy tính cầm tay ta giải x=2100, y=13050, z=950 Vậy sinh khối bần 10 x=21000 kg /ha=21tấn/ha; sinh khối đước y=65250 kg /ha=65,25tấn/ ha; sinh khối mắm z=950 kg/ha=0,95tấn/ha ỨNG DỤNG TRONG HÓA HỌC Ứng dụng đơn giản hệ phương trình bậc mơn Hóa học để cân phương trình phản ứng hóa học Các hệ phương trình trường hợp thường có vơ số nghiệm người ta thường chọn nghiệm nguyên dương nhỏ Đầu tiên xét phản ứng khí hydrogen tác dụng với oxygen nhiệt độ cao để tạo thành nước Ví dụ Cân phương trình phản ứng hóa học H +O2 t→ H O Giải Giả sử x , y , z ba số nguyên dương thỏa mãn cân phản ứng x H + y O2 t z H O → Vì số nguyên tử hydrogen oxygen hai vế phải nên ta có hệ z ⇔ x=z=2 y {22x=2 y=z Về mặt tốn học, hệ có vô số nghiệm, nhiên người ta thường chọn nghiệm nguyên dương nhỏ Cụ thể chọn y=1 ta x=z=2 Từ ta phương trình cân H 2+O t H O → Ta xét phản ứng quan trọng hóa sinh phản ứng quang hợp, tức q trình thu nhận chuyển hóa lượng ánh sáng mặt trời thực vật tạo hợp chất hữu (glucose) làm nguồn thức ăn cho hầu hết sinh vật Trái Đất Ví dụ Cân phương trình phản ứng quang hợp (dưới điều kiện ánh sáng chất diệp lục): C O2 + H O → C6 H 12 O6 +O2 Giải Giả sử x , y , z , t bốn số nguyên dương thỏa mãn cân phản ứng x C O 2+ y H O → z C H 12 O +t O Vì số nguyên tử carbon, hydrogen oxygen hai vế phải nên ta có hệ x z =6 t t x=6 z y z =6 y=12 z ⇔ t t x + y=6 z+2 t x y z + =6 +2 t t t x y z Đặt X = ,Y = , Z= ta hệ phương trình bậc ba ẩn t t t X =6 Z X−6 Z=0 Y =6 Z Y −6 Z=0 hay X+ Y =6 Z+ 2 X+ Y −6 Z=2 { { { { Quang hợp q trình thu nhận chuyển hóa lượng ánh sáng mặt trời thực vật, tảo số vi khuẩn để tạo hợp chất hữu (đường glucose) phục vụ thân làm nguồn thức ăn cho hầu hết sinh vật Trái Đất Theo SGK sinh học 11 Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2017 Dùng máy tính cầm tay giải hệ sau ta X =1,Y =1, Z= , từ suy x= y =t=6 z Chọn z=1 ta x= y =t =6 Từ ta phương trình cân C O +6 H O a s C H 12 O +6 O → ÚNG DỤNG TRONG VẬT LÍ Nhiều tốn tính điện trở, cường độ dịng điện Điện học; tính vận tốc, gia tốc Cơ học dẫn đến giải hệ phương trình bậc Ví dụ (Bài tốn tính cường độ dịng điện) Cho đoạn mạnh Hình 1.1 Biết R1=25 Ω, R2=36 Ω, R3=45 Ω hiệu điện hai đầu đoạn mạch U =60V Gọi I cường độ dịng điện mạch chính, I I cường độ dịng điện mạch rẽ Tính I 1, I I Giải Từ sơ đồ mạch điện, ta thấy I 1, I I nghiệm hệ phương trình I 1−I 2−I 3=0 I 1−I 2−I 3=0 R1 I + R2 I 2=U hay 25 I +36 I 2=60 R2 I 2−R3 I 3=0 36 I 2−45 I 3=0 ¿ { { 20 16 Dùng máy tính cầm tay giải hệ ta I 1= A , I 2= A , I 3= A 27 27 Hình 1.1 Luyện tập Cân phương trình phản ứng hóa học đốt cháy octane oxygen C O18 +O2 → C O2 + H O Giải Giả sử x , y , z , t bốn số nguyên dương thỏa mãn cân phản ứng x C H 18+ y O → z C O 2+t H O Vì số nguyên tử carbon, hydrogen oxygen hai vế phải nên ta có hệ z =8 x z=8 x t =9 18 x =2t ⇔ x y =2 z +t y z t =2 +2 x x x { { z y t Đặt Z= ,Y = ,T = ta hệ phương trình bậc ba ẩn x x x Z=8 Z=8 T =9 T =9 hay 25 Y= 2Y =2 Z +T { { Chọn x=2 ta y=25, z=16, t=18 Từ ta phương trình cân C8 H 18+ 25O2 →16 C O2 +18 H O ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN ❶ Giáo viên Soạn: Quách Đăng Thăng FB: Thang Quach ❷ Giáo viên phản biện:………Trương Văn Tâm… …… FB:……Van Tam Truong….……… GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CUNG-CẦU Các nhà kinh tế học rằng, giá mặt hàng bán thị trường phụ thuộc vào ba yếu tố Thứ nhất, phụ thuộc vào giá trị thân hàng hố Thứ hai, phụ thuộc vào giá trị đồng tiền Thứ ba, phụ thuộc vào quan hệ cung cầu mặt hàng Trong thị trường nhiều mặt hàng, giá mặt hàng có ảnh hưởng tới giá mặt hàng khác giá hàng hố có ảnh hưởng đến lượng cung lượng cầu thị trường Khi phân tích hoạt động thị trường hàng hoá, nhà kinh tế học sử dụng hàm cung hàm cầu để biểu thị phụ thuộc lượng cung lượng cầu vào giá hàng hoá Người ta thường phải giải toán cân cung cầu Bài tốn thường dẫn đến việc giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn Để đơn giản, ta xét thị trường thực phẩm gồm ba loại mặt hàng thịt lợn, thịt bò thịt gà Khi thịt lợn đắt, thịt bị thịt gà rẻ người tiêu dùng có xu hướng giảm mua thịt lợn, tăng mua thịt bị thịt gà HĐ2: Kí hiệu x , y , z giá kg thịt lợn, kg thịt bò kg thịt gà, x , y , z> đơn vị nghìn đồng Kí hiệu: Q S lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x Q S lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y Q S lượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá z Q D lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá x Q D lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá y Q D lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá z a) Mức giá thịt lợn x, thịt bò y thịt gà z phải thỏa mãn điều kiện để người bán người mua hài lịng, tức mức giá hợp lí nhất? b) Viết hệ phương trình ràng buộc x , y , z để người bán người mua hài lòng Trong kinh tế học người ta gọi:  Các hàm Q S , Q S Q S phụ thuộc vào ba biến giá x , y , z hàm cung (supply function);  Các hàm Q D , Q D Q D phụ thuộc vào ba biến giá x , y , z hàm cầu (demand funtion);  QS =Q D Hệ phương trình QS =Q D gọi hệ phương trình cân cung – cầu QS =Q D Ví dụ { 1 2 3 Cho biết Hàm cung thịt lợn Q S =−120+2 x Hàm cung thịt bò Q S =−200+2 y Hàm cung thịt gà Q S =−210+3 z Hãy giải hệ phương trình cân cung – cầu Hàm cầu thịt lợn Q D =190−3 x + y −z Hàm cầu thịt bò Q D =440+2 x − y−z Hàm cầu thịt gà Q D =260−x−2 y+ z Giải −120+2 x =190−3 x + y−z Hệ phương trình cân cung – cầu −200+2 y=440+2 x − y−z −210+3 z=260−x−2 y+ z { x− y + z=310 Thu gọn ta hệ phương trình x−3 y −z=−640 x+2 y−z =470 { Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta x=90, y=240, z=100 Vậy giá thịt lợn 90 nghìn đồng/kg, thịt bị 240 nghìn/kg thịt gà 100 nghìn/kg giá bán hợp lí Chú ý Trong thực tế, thị trường hàng hóa phức tạp có nhiều mặt hàng Khi đó, hệ phương trình cân cung – cầu hệ phương trình nhiều ẩn, nhiều phương trình khó giải Ngồi ra, giá hàng hóa cịn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nữa, quan hệ cung – cầu Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng cua, tơm cá Kí hiệu x , y , z giá kg cua, kg tơm kg cá (đơn vị nghìn đồng) Kí hiệu Q S , Q S Q S lượng cua, tôm cá mà người bán lịng bán với giá x , y z Kí hiệu Q D , Q D Q D tương ứng lượng cua, tôm cá mà người mua lòng mua với giá x , y z Cụ thể hàm cho Luyện tập 1 2 3 Q S =−300+ x ; Q D =1300−3 x + y−z 1 Q S =−450+ y; Q D =1150+ x−5 y −z 2 Q S =−400+ z ; Q D =900−2 x−3 y+ z 3 Tìm mức giá cua, tơm cá mà người bán người mua hài lòng Giải −300+ x =1300−3 x +4 y −z Hệ phương trình cân cung – cầu −450+3 y=1150 +2 x−5 y −z −400+2 z=900−2 x−3 y +4 z { x−4 y+ z=1600 Thu gọn ta hệ phương trình x−8 y−z=−1600 x+ y−2 z =1300 { Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta x=600, y=300, z=400 Vậy giá cua 600 nghìn đồng/kg, tơm 300 nghìn/kg cá 400 nghìn/kg giá bán hợp lí BÀI TẬP 1.7 Cho hàm cung hàm cầu ba mặt hàng sau: Q S =−4 + x ; Q D =70−x−2 y−6 z 1 Q S =−3+ y ; Q D =76−3 x− y−4 z 2 Q S =−6+3 z ; Q D =70−2 x −3 y + z 3 Hãy xác định giá cân cung – cầu ba mặt hàng Giải −4 + x=70−x−2 y−6 z Hệ phương trình cân cung – cầu −3+ y=76−3 x − y−4 z −6+3 z=70−2 x −3 y+ z { x+2 y +6 z=74 Thu gọn ta hệ phương trình x +2 y +4 z=79 x +3 y−z =76 { Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta x=10, y= 39 , z= 2 Vậy giá ba mặt hàng x=10, y= 39 , z= 2 1.8 Em Hà so sánh tuổi với chị Mai anh Nam Hiện tại, tuổi anh Nam gấp ba lần tuổi em Hà Bảy năm trước, tuổi chị Mai nửa số tuổi anh Nam Ba năm sau, tuổi anh Nam tổng số tuổi chị Mai em Hà Hỏi tuổi người bao nhiêu? Giải Gọi x , y , z số tuổi anh Nam, chị Mai em Hà x=3 z x−3 z=0 x=39 1 −7 y−7= ( x−7 ) ⇔ ⇔ x− y= y =23 Ta có hệ 2 z =13 x+3=( y +3 ) + ( z +3 ) x− y −z=3 { { { Vậy số tuổi anh Nam 39 tuổi, chị Mai 23 tuổi em Hà 13 tuổi 1.9 Bác Việt có 330 740 nghìn đồng, bác chia số tiền thành ba phần đem đầu tư vào ba hình thức: Phần thứ bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu 4% năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% năm phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lãi suất 6% năm Sau năm, kể gốc lãi bác thu ba tiền Hỏi tổng số tiền gốc lãi bác thu sau năm bao nhiêu? Giải Gọi x , y , z số tiền Bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng gửi tiết kiệm Sau năm, số tiền gốc lẫn lãi đầu tư chứng khoán x + Sau năm số tiền gốc lẫn lãi mua vàng y + x 100 y 100 Sau năm số tiền gốc lẫn lãi gửi tiết kiệm z + z 100 x + y + z=330740 x + y + z=330740 26 21 x=111300 x+ x= y+ y x− y =0 ⇔ y=110240 100 100 ⇔ 25 20 Theo ta có 26 53 z=109200 x+ x=z+ z x− z=0 100 100 25 50 { { { Vậy số tiền gốc lẫn lãi thu sau năm Bác Việt 26 111300=347256 nghìn đồng 25 1.10 Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé lên giá 250 nghìn đồng; vé xuống giá 200 nghìn đồng vé hai chiều giá 400 nghìn đồng Một ngày nhà ga cáp treo thu tồng số tiền 251 triệu đồng Tìm số vé bán loại, biết nhân viên quản lí cáp treo đếm 680 lượt người lên 520 lượt người xuống Giải Gọi x , y , z số vé lên, xuống hai chiều cáp treo 250 x +200 y + 400 z=251000 x=220 ⇔ y=60 x + z=680 Ta có y+ z =520 z=460 { { Vậy có 220 vé lên, 60 vé xuống 460 vé hai chiều 1.11 Ba lớp 10A, 10B, 10C trường trung học phổ thông gồm 128 em tham gia lao động trồng Tính trung bình, em lớp 10A trồng xoan bạch đàn; em lớp 10B trồng xoan bạch đàn; em lớp 10C trồng xoan Cả ba lớp trồng tổng cộng 476 xoan 375 bạch đàn Hỏi lớp có em? Giải Gọi x , y , z số học sinh lớp 10A, 10B 10C x+ y+ z =128 x=40 Ta có x +2 y +6 z=476 ⇔ y =43 x+5 y=375 z =45 { { Vậy lớp 10A có 40 học sinh, lớp 10B có 43 học sinh lớp 10C có 45 học sinh 1.12 Cân phương trình phản ứng hố học đốt cháy methane oxygen C H + O → C O 2+ H O Giải Giả sử x , y , z , t thỏa mãn phương trình cân xC H + y O2 → zC O2+ t H O Vì số nguyên tử carbon, hydrogen oxygen hai vế phải nên ta có hệ x z = t t x=z x =2 x=2 t ⇔ t y =2 z +t y z =2 +1 t t { { X= X−Z=0 x y z X =2 ⇔ Y =1 Đặt X = ,Y = , Z= ta có hệ t t t 2Y −2 Z=1 Z= { { Suy x= y=2 z=t Chọn x=1 ⇒ y=2 ; z=1 ; t=2 Vậy C H 4+ 2O2 →C O2 +2 H O 1.13 Cho đoạn mạch Hình 1.2 Gọi I cường độ dịng điện mạch chính, I 1, I I cường độ dòng điện mạch rẽ Cho biết R1=6 Ω, R2=8 Ω , I =3 A I 3=2 A Tính điện trở R3 hiệu điện U hai đầu đoạn mạch Hình 1.2 Giải Từ sơ đồ mạch điện, ta thấy I 1, I I nghiệm hệ phương trình I 1=I I 1=I I 1=1 I + I 3=I ⇔ I 1+ I 3=3 ⇔ I 2=1 I 3=2 I =2 I 3=2 { { { U =14 R1 I + R2 I 2=U U=1.6 +1.8=14 U =14 ⇔ ⇔ 14 ⇔ Lại có I R3=14 R3 = R 3=7 I R3 =U I { { { { Vậy U =14 ; R3=7 1.14 Mỗi giai đoạn phát triển thực vật cần phân bón với tỉ lệ N : P: K định Bác An làm vườn muốn bón phân cho cảnh có tỉ lệ N : P: K cân Bác An có ba bao phân bón, bao gồm: Bao có tỉ lệ N : P: K 12:7:12 Bao có tỉ lệ N : P: K 6:30:25 Bao có tỉ lệ N : P: K 30:16:11 Hỏi phải trộn ba loại phân bón với tỉ lệ để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P: K 15:15:15? Chú ý bao phân bón người ta thường viết tỉ lệ N : P: K định Chẳng hạn bao phân ghi tỉ lệ N : P: K 12:7:12 nghĩa hàm lượng đạm N (nitơ) chiếm 12 %, lân P (tức P2 O5 ) chiếm % kali K (tức K O) chiếm 12 %, loại khác chiếm 100 %−( 12 %+7 % +12 % )=69 % Giải Gọi x : y : z tỉ lệ phải trộn ba loại phân bón để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P: K 15:15:15 12 x+ y+30 z=15 Ta có hệ x+ 30 y+16 z =15 ⇔ y= 12 x +25 y +11 z=15 z= { { x= 10 Vậy phải trộn ba loại phân bón với tỉ lệ 1 : : hay :1:1 4 Em có biết? Wassily Leontief (1906 - 1999) nhà kinh tế học người Mĩ, gốc Nga Ông đóng góp số lí thuyết sâu sắc cho kinh tế học, mơ hình kinh tế Leontief đưa ông đến với giải thưởng Nobel năm 1973 Mô hình kinh tế Leontief biểu thị phụ thuộc ngành sản xuất kinh tế hệ phương trình bậc nhất: Xét kinh tế gồm n ngành sản xuất hàng hoá N , N , … , N n Để sản xuất, ngành cần tiêu thụ hàng hoá thân ngành ngành khác kinh tế Giả sử để sản xuất đơn vị hàng hoá, ngành N j cần tiêu thụ a ij đơn vị hàng hoá ngành N i (i , j∈ {1,2, … , n}) Vấn đề đặt tính số đơn vị hàng hố mà ngành cần sản xuất để sau tiêu Wassily Leontief (1906 - 1999) thụ sản xuất, ngành N i (i∈ {1, … , n }) xuất ngồi kinh tế nói b i đơn vị hàng hố Gọi x , … , x n tương ứng số đơn vị hàng hoá mà ngành N , … , N n cần sản xuất Để sản xuất x j đơn vị hàng hoá, ngành N j cần tiêu thụ a ij x j đơn vị hàng hố ngành N i Do đó, sau tiêu thụ sản xuất, số đơn vị hàng hoá ngành N i lại x i−a i1 x 1−⋯−a ¿ xn Sau tiêu thụ sản xuất, ngành N i cịn b i đơn vị hàng hố nên ta có hệ phương trình (với n ẩn x , … , x n ): { x 1−a11 x 1−a 12 x 2−⋯−a 1n x n=b ( 1−a 11 ) x1−a12 x 2−⋯−a1 n x n =b1 ……………………… ……………………… x n−an x1 −an x2 −⋯−a nn x n=b n −an x1 −an x 2−⋯+ ( 1−a nn) x n=b n { Trong trường hợp n=3, hệ trở thành hệ phương trình bậc ba ẩn Trong Bài 1, em học phương pháp Gauss để giải hệ ba phương trình bậc ba ẩn Phương pháp Gauss cịn áp dụng cho hệ phương trình bậc n ẩn, hệ phương trình gắn với mơ hình kinh tế Leontief hồn tồn giải (Theo sách: Wassily Leontief (1986), Input-output Economics, Oxford University Press) 11