Cd10 ds10 kntt c1 b1 hpt bac nhat 3 an 2022 equa

1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN ❶ Giáo viên Soạn: NGUYỄN THỊ KIM LIÊN FB: KIM LIÊN ❷ Giáo viên phản biện: NGUYỄN THỊ HẰNG FB: NGUYỄN HẰNG    Thuật ngữ Hệ phương trình bậc ba ẩn Nghiệm hệ phương trình bậc Phương pháp Gauss    Kiến thức, kĩ Nhận biết hệ phương trình bậc ba ẩn Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay Tình mở đầu: Ơng An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: phần quỹ thị trường tiền tệ (là quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào sản phẩm tài ngắn hạn tín phiếu kho bạc, trái phiếu ngắn hạn, chứng tiền gửi,…) với tiền lãi nhận % năm, phần trái phiếu phủ với tiền lãi nhận % năm phần lại ngân hàng với tiền lãi nhận % năm Số tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều vào trái phiếu Chính phủ 80 triệu đồng tổng số tiền lãi thu sau năm ba quỹ 13,4 triệu đồng Hỏi ông An đầu tư tiền vào loại quỹ? KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc ba ẩn Xét hệ phương trình với ba ẩn x , y , z sau: x + y + z=2 x+ y +3 z=1 x + y +3 z=−1 { a) Mỗi phương trình hệ có bậc ẩn x , y , z? b) Thử lại ba số ( x ; y ; z )=( ; ;−2 ) thỏa mãn ba phương trình hệ c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, kiểm tra ba số ( ; 1; ) có thỏa mãn hệ phương trình cho khơng    Phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát là: ax +by +cz =d, x , y , z ba ẩn; a , b , c , d hệ số a , b , c không đồng thời Mỗi ba số ( x ; y ; z ) thoả mãn a x +b y +c z 0=d gọi nghiệm phương trình bậc ba ẩn cho Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ gồm số phương trình bậc ba ẩn Mỗi nghiệm chung phương trình gọi nghiệm hệ phương trình cho Nói riêng, hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát a1 x+ b1 y+ c z=d a2 x+ b2 y+ c z=d a3 x+ b3 y+ c z=d3 { x , y , z ba ẩn; chữ số lại hệ số Ở đây, phương trình, hệ số a i, b i, c i, ( i=1,2,3 ) phải khác Chú ý: Trong sách ta xét hệ phương trình có số phương trình số ẩn, nên từ sau ta gọi tắt hệ phương trình bậc ba ẩn (hay hệ bậc ba ẩn) thay cho hệ ba phương trình bậc ba ẩn Ví dụ Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra số ( ; 2;−3 ) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng a) x+3 y −5 z =13 x−2 y−3 z=3 −x+ y + z =−1 ; −2 x + y + z=−3 b) x + y −3 z =16 x +2 y=5 { { Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc phương trình thứ ba chứa z 2 Hệ phương trình câu b) hệ phương trình bậc ba ẩn Thay x=1, y=2, z=−3 vào phương trình hệ ta −3=−3 16=16 5=5 { Bộ ba số ( ; 2;−3 ) nghiệm ba phương trình hệ Do ( ; 2;−3 ) nghiệm hệ Luyện tập Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra số (−3 ; ;−1 ) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng a) x +2 y−3 z=1 x−3 y +7 z=15 x −4 y + z=−3; −x + y + z=4 b) x + y−3 z=−1 x−2 z=−7 { { Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc phương trình thứ ba chứa x Hệ phương trình câu b) hệ phương trình bậc ba ẩn Thay x=−3, y=2, z=−1 vào phương trình hệ ta 4=4 −1=−1 −7=−7 { Bộ ba số (−3 ; ;−1 ) nghiệm ba phương trình hệ Do (−3 ; ;−1 ) nghiệm hệ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS HĐ2: Hệ bậc ba ẩn có dạng tam giác Cho hệ phương trình { x+ y−2 z =3 y+ z=7 z=4 Hệ có đầy đủ ba ẩn x , y , z; phương trình thứ hai có hai ẩn y , z, khuyết ẩn x; phương trình thứ ba có ẩn z, khuyết hai ẩn x , y Ta nói hệ bậc ba ẩn có dạng tam giác Từ phương trình cuối tính z, sau thay vào phương trình thứ hai để tìm y, cuối thay y z tìm vào phương trình đầu để tìm x a ẩn, sau thay giá trị tìm ẩn vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị ẩn thứ hai, cuối thay Ví dụ Giải hệ phương trình { x+ y−2 z =4 y + z=2 −z=1 Lời giải Từ phương trình thứ ba ta có z=−1 Thay z=−1 vào phương trình thứ hai ta có y−1=2 hay y=1 Với y, z tìm được, thay vào phương trình thứ ta x +1+ 2=4 hay x=1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x ; y ; z )=( ; 1;−1 ) Luyện tập Giải hệ phương trình x=3 x + y=2 x−2 y + z=−1 { Lời giải 3 Từ phương trình thứ ta có x= Thay x= vào phương trình thứ hai ta có y + =2 hay y= Với 2 2 x , y tìm được, thay vào phương trình thứ ba ta −2 + z=−1 hay z=−3 2 Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x ; y ; z )= ( 32 ; 12 ;−3) HĐ2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss Cho hệ phương trình x+ y −2 z =3 −x+ y+ z =13 x + y−9 z =−5 { a) Khử ẩn x phương trình thứ hai cách cộng phương trình với phương trình thứ Viết phương trình nhận (phương trình khơng cịn chứa ẩn x phương trình thứ hai hệ mới, tương đương với hệ ban đầu) b) Khử ẩn x phương trình thứ ba cách nhân phương trình thứ với −2 cộng với phương trình thứ ba Viết phương trình thứ ba nhận Từ viết hệ nhận sau hai bước (đã khử ẩn x hai phương trình cuối) c) Làm tương tự hệ nhận câu b), từ phương trình thứ hai thứ ba khử ẩn y phương trình thứ ba Viết hệ dạng tam giác nhận d) Giải hệ dạng tam giác nhận câu c) Từ suy nghiệm hệ cho Johann Carl Friedrich Gauss (1977-1855), nhà tốn học vật lí người Đức, nhà toán học vĩ đại lịch sử hương trình bậc ba ẩn, ta đưa hệ hệ đơn giản (thường có dạng tam giác), cách sử dụng phép b phương trình hệ với số khác ; ơng trình hệ; phương trình (sau nhân với số khác ) với vế tương ứng phương trình khác để phương trình c i hệ cho Phương pháp gọi phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x+ y + z =2 x +3 y + z=4 −5 x+7 y −2 z =5 { Lời giải Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−7 )rồi cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình thứ hai) x+ y + z =2 −4 y−6 z=−10 −5 x+7 y −2 z =5 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x phương trình cuối) x+ y + z=2 −4 y−6 z=−10 12 y +3 z=15 { Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình tương đương dạng tam giác x+ y + z=2 −4 y−6 z=−10 −15 z=−15 { Từ phương trình thứ ba ta có z=1 Thay vào phương trình thứ hai ta có y=1.Cuối ta có x=2−1−1=0 Vậy nghiệm hệ phương trình là( x ; y ; z )=( ; ; ) Ví dụ Giải hệ phương trình x + y−z =5 x+ y + z=3 x + y +2 z =10 { Lời giải Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai hệ ta hệ phương trình x+ y + z=3 x + y−z =5 x + y +2 z =10 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2 ) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn xở hai phương trình thứ hai) x+ y + z=3 − y−3 z=−1 x + y +2 z =10 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−5 ) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn xở hai phương trình cuối) x + y + z=3 − y−3 z=−1 − y−3 z=−5 { Từ hai phương trình cuối, suy −1=−5, điều vơ lí Vậy hệ ban đầu vơ nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình sau x + y−4 z=2 x− y−z=−1 x+3 y−2 z=4 { Lời giải Trước hết ta đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai: x− y−z=−1 x + y−4 z=2 x+3 y−2 z=4 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−5 ) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình thứ hai) x− y−z=−1 y+ z =7 x+3 y−2 z=4 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−3 ) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình cuối) { x− y−z=−1 y + z=7 y + z=7 Nhận thấy phương trình thứ hai phương trình thứ ba giống Như ta hệ tương đương dạng hình thang {x−6 yy−z=−1 + z=7 Rút ztheo ytừ phương trình thứ hai hệ ta z=7−6 y Thế vào phương trình thứ ta x− y −7+6 y=−1 hay x=−5 y +6 Vậy hệ cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ S= { (−5 y+ ; y ; 7−6 y )| y ∈ R } Nhận xét Hệ phương trình bậc ba ẩn có nghiệm nhất, vơ nghiệm có vơ số nghiệm ❶ Giáo viên Soạn: Tịng Văn Kim, FB: Tòng Văn Kim ❷ Giáo viên phản biện: Nguyễn Thị Hằng, FB: Nguyễn Hằng Giải hệ phương trình sau: x+ y−3 z=3 x + y +3 z=2 x −2 y + z=−1; { a) b) x + y +3 z=−3 x+ y−z=1 x +2 y=1 ; { c) x+2 z=−2 x+ y −z=1 x + y +3 z=−3 { Luyện tập Lời giải a) x + y−3 z=3 x+ y+ z =2 x−2 y + z=−1 { Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai ta hệ phương trình x+ y+ z =2 x + y−3 z=3 x−2 y + z=−1 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2 ) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x+ y+ z =2 − y −9 z=−1 x−2 y + z=−1 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−3 ) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x + y +3 z=2 − y−9 z=−1 −5 y−8 z=−7 { Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với (−5 ) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x + y +3 z=2 − y−9 z=−1 37 z =−2 { Từ phương trình thứ ba ta có z= ta có x=2− −2 −2 55 Thế vào phương trình thứ hai ta y=1−9 = Cuối 37 37 37 ( ) 55 −2 25 −3 = 37 37 37 ( ) Vậy nghiệm hệ phương trình cho ( x ; y ; z )= b) ( 3725 ; 5537 ;− 372 ) x + y +3 z=−3 x+ y−z=1 x+2 y=1 { Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai ta hệ phương trình x+ y−z=1 x + y +3 z=−3 x+2 y=1 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2 ) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x+ y −z=1 − y +5 z=−5 x +2 y=1 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−5 ) , nhân hai vế phương trình thứ ba hệ với cộng phương trình thứ hệ với phương trình thứ ba theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x + y −z=1 − y +5 z=−5 − y +5 z=−3 { Từ hai phương trình cuối, suy −5=−3, điều vơ lí 10 Vậy hệ ban đầu vơ nghiệm c) x+2 z=−2 x+ y −z=1 x + y +3 z=−3 { Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai ta hệ phương trình x+ y −z=1 x+2 z=−2 x + y +3 z=−3 { Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với (−2 ) cộng với phương trình thứ theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x+ y −z=1 y−5 z=5 x + y +3 z=−3 { Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2 ) , cộng phương trình thứ hệ với phương trình thứ ba theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x + y −z=1 y−5 z=5 − y +5 z=−5 { Nhân hai vế phương trình thứ ba hệ với (−1 ) , ta hệ phương trình x + y−z =1 y −5 z=5 y−5 z=5 { Nhận thấy phương trình thứ hai phương trình thứ ba hệ giống Như ta hệ phương trình dạng hình thang + y−z =1 {2 xy−5 z=5 Hệ phương trình có vơ số nghiệm Rút ztheo y từ phương trình thứ hai hệ ta z= x+ y − y−5 Thế vào phương trình thứ ta y−5 −2 y =1 hay x= Vậy hệ cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ 5 11 S= {( } −2 y y−5 ;y; y ∈R 5 )| Ví dụ Giải tình mở đầu Ơng An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: phần quỹ thị trường tiền tệ (là quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào sản phẩm tài ngắn hạn tín phiếu kho bạc, trái phiếu ngắn hạn, chứng tiền gửi,…) với tiền lãi nhận % năm, phần trái phiếu phủ với tiền lãi nhận % năm phần lại ngân hàng với tiền lãi nhận % năm Số tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều vào trái phiếu Chính phủ 80 triệu đồng tổng số tiền lãi thu sau năm ba quỹ 13,4 triệu đồng Hỏi ông An đầu tư tiền vào loại quỹ? Lời giải Gọi x , y , z (triệu đồng) ( 0< x , y , z