Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Thuật ngữ Hệ phương trình bậc ba ẩn Nghiệm hệ phương trình bậc Phương pháp Gauss Kiến thức, kĩ Nhận biết hệ phương trình bậc ba ẩn Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay Tình mở đầu: Ơng An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ khác nhau: phần quỹ thị trường tiền tệ (là quỹ đầu tư thị trường, tập trung vào sản phẩm tài ngắn hạn tín phiếu kho bạc, trái phiếu ngắn hạn, chứng tiền gửi,…) với tiền lãi nhận 3% năm, phần trái phiếu phủ với tiền lãi nhận 4% năm phần lại ngân hàng với tiền lãi nhận 7% năm Số tiền ông An đầu tư vào ngân hàng nhiều vào trái phiếu Chính phủ 80 triệu đồng tổng số tiền lãi thu sau năm ba quỹ 13, triệu đồng Hỏi ông An đầu tư tiền vào loại quỹ? KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN HĐ1: Khái niệm hệ phương trình bậc ba ẩn Xét hệ phương trình với ba ẩn x, y, z sau: x y z 2 x y z 1 x y 3z a) Mỗi phương trình hệ có bậc ẩn x, y, z ? b) Thử lại ba số x; y; z 1;3; thỏa mãn ba phương trình hệ c) Bằng cách thay trực tiếp vào hệ, kiểm tra ba số 1;1; có thỏa mãn hệ phương trình cho khơng Phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát là: ax by cz d , x, y, z ba ẩn; a, b, c, d hệ số a, b, c không đồng thời x ; y ;z ax by0 cz0 d gọi nghiệm phương trình Mỗi ba số 0 thoả mãn bậc ba ẩn cho Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ gồm số phương trình bậc ba ẩn Mỗi nghiệm chung phương trình gọi nghiệm hệ phương trình cho Nói riêng, hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 x , y , z ba ẩn; chữ số lại hệ số Ở đây, phương trình, hệ số , bi , ci , i 1, 2,3 phải khác Chú ý: Trong sách ta xét hệ phương trình có số phương trình số ẩn, nên từ sau ta gọi tắt hệ phương trình bậc ba ẩn (hay hệ bậc ba ẩn) thay cho hệ ba phương trình bậc ba ẩn Ví dụ Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra số nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng a) 2 x y z 13 4 x y z 3 x y z 1; b) x y z 5 x y 3z 16 x y 5 1; 2; 3 có phải Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc phương trình thứ ba chứa z Hệ phương trình câu b) hệ phương trình bậc ba ẩn Thay x 1 , y 2 , z vào phương trình hệ ta 16 16 5 Bộ ba số Do 1; 2; 3 1; 2; 3 nghiệm ba phương trình hệ nghiệm hệ Luyện tập Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra số phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng x y z 1 2 x y z 15 3 x y z 3; a) b) 3; 2; 1 có x y z 4 2 x y 3z 3 x z Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc phương trình thứ ba chứa x Hệ phương trình câu b) hệ phương trình bậc ba ẩn Thay x , y 2 , z vào phương trình hệ ta 4 Bộ ba số Do 3; 2; 1 3; 2; 1 nghiệm ba phương trình hệ nghiệm hệ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS HĐ2: Hệ bậc ba ẩn có dạng tam giác Cho hệ phương trình x y z 3 y z 7 z 4 Hệ có đầy đủ ba ẩn x, y , z ; phương trình thứ hai có hai ẩn y, z , khuyết ẩn x ; phương trình thứ ba có ẩn z , khuyết hai ẩn x, y Ta nói hệ bậc ba ẩn có dạng tam giác Từ phương trình cuối tính z , sau thay vào phương trình thứ hai để tìm y , cuối thay y z tìm vào phương trình đầu để tìm x Để giải phương trình dạng tam giác, trước hết ta giải từ phương trình chứa ẩn, sau thay giá trị tìm ẩn vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị ẩn thứ hai, cuối thay giá trị tìm vào phương trình cịn lại để tìm giá trị ẩn thứ ba Ví dụ Giải hệ phương trình x y z 4 y z 2 z 1 Lời giải Từ phương trình thứ ba ta có z Thay z vào phương trình thứ hai ta có y 2 hay y 1 Với y , z tìm được, thay vào phương trình thứ ta x 4 hay x 1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho Luyện tập x; y; z 1;1; 1 Giải hệ phương trình 3 2 x 2 x y 2 x y z Lời giải 3 x y 2 y Thay vào phương trình thứ hai ta có 2 Từ phương trình thứ ta có hay z x , y Với tìm được, thay vào phương trình thứ ba ta hay z x Vậy nghiệm hệ phương trình cho ; ; 3 2 x; y; z HĐ2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss Cho hệ phương trình x y z 3 x y z 13 2 x y z a) Khử ẩn x phương trình thứ hai cách cộng phương trình với phương trình thứ Viết phương trình nhận (phương trình khơng cịn chứa ẩn x phương trình thứ hai hệ mới, tương đương với hệ ban đầu) b) Khử ẩn x phương trình thứ ba cách nhân phương trình thứ với cộng với phương trình thứ ba Viết phương trình thứ ba nhận Từ viết hệ nhận sau hai bước (đã khử ẩn x hai phương trình cuối) c) Làm tương tự hệ nhận câu b), từ phương trình thứ hai thứ ba khử ẩn y phương trình thứ ba Viết hệ dạng tam giác nhận d) Giải hệ dạng tam giác nhận câu c) Từ suy nghiệm hệ cho Johann Carl Friedrich Gauss (1977-1855), nhà tốn học vật lí người Đức, nhà toán học vĩ đại lịch sử Để giải hệ phương trình bậc ba ẩn, ta đưa hệ hệ đơn giản (thường có dạng tam giác), cách sử dụng phép biến đổi sau đây: - Nhân hai vế phương trình hệ với số khác ; - Đổi vị trí hai phương trình hệ; - Cộng vế phương trình (sau nhân với số khác ) với vế tương ứng phương trình khác để phương trình có số ẩn Từ giải hệ cho Phương pháp gọi phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x y z 2 x y z 4 x y z 5 Lời giải cộng với phương trình thứ hai theo vế Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình thứ hai) x y z 2 y z 10 x y z 5 Nhân hai vế phương trình thứ hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x phương trình cuối) x y z 2 y z 10 12 y z 15 Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình tương đương dạng tam giác x y z 2 y z 10 15 z 15 Từ phương trình thứ ba ta có z 1 Thay vào phương trình thứ hai ta có y 1 Cuối ta có x 2 0 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y; z 0;1;1 Ví dụ Giải hệ phương trình x y z 5 x y z 3 5 x y z 10 Lời giải Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai hệ ta hệ phương trình x y z 3 x y z 5 5 x y z 10 cộng với phương trình thứ hai theo vế Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình thứ hai) x y z 3 y z 5 x y z 10 5 cộng với phương trình thứ ba theo vế Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình cuối) x y z 3 y z y z Từ hai phương trình cuối, suy , điều vơ lí Vậy hệ ban đầu vơ nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình sau 5 x y z 2 x y z 3x y z 4 Lời giải Trước hết ta đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai: x y z 5 x y z 2 3x y z 4 5 cộng với phương trình thứ hai theo vế Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình thứ hai) x y z y z 7 3 x y z 4 3 cộng với phương trình thứ ba theo vế Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x hai phương trình cuối) x y z y z 7 y z 7 Nhận thấy phương trình thứ hai phương trình thứ ba giống Như ta hệ tương đương dạng hình thang x y z y z 7 Rút z theo y từ phương trình thứ hai hệ ta z 7 y Thế vào phương trình thứ ta x y y hay x y Vậy hệ cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ S y 6; y;7 y y Nhận xét Hệ phương trình bậc ba ẩn có nghiệm nhất, vơ nghiệm có vơ số nghiệm ❶ Giáo viên Soạn: Tịng Văn Kim, FB: Tòng Văn Kim ❷ Giáo viên phản biện: Nguyễn Thị Hằng, FB: Nguyễn Hằng Giải hệ phương trình sau: a) 2 x y z 3 x y z 2 3x y z 1; b) x y z x y z 1 5 x y 1; c) x z 2 x y z 1 4 x y z Luyện tập Lời giải a) 2 x y 3z 3 x y z 2 3 x y z Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai ta hệ phương trình x y z 2 2 x y z 3 3 x y z Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 2 cộng với phương trình thứ hai theo vế x y z 2 y z 3 x y z Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 3 cộng với phương trình thứ ba theo vế x y 3z 2 y z y z Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 5 cộng với phương trình thứ ba theo vế x y 3z 2 y z 37 z z 55 y 1 37 37 37 Thế vào phương trình thứ hai ta Từ phương trình thứ ba ta có 55 25 x 2 37 37 37 Cuối ta có Vậy nghiệm hệ phương trình cho b) 25 55 2 ; ; 37 37 37 x; y; z x y z x y z 1 5 x y 1 Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai ta hệ phương trình x y z 1 x y z 5 x y 1 Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 2 10 cộng với phương trình thứ hai theo vế x y z 240 Vì số tiền đầu tư vào quỹ ngân hàng nhiều quỹ trái phiếu Chính phủ 80 triệu đồng nên ta có z y 80 , hay y z 80 Do tổng số tiền lãi năm 13, triệu đồng nên ta có 0, 03 x 0,04 y 0, 07 z 13, Từ đó, ta có hệ phương trình bậc ba ẩn x y z 240 y z 80 0, 03 x 0, 04 y 0, 07 z 13, Ta giải hệ phương pháp Gauss Nhân hai vế phương trình thứ hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 0, 03 cộng với phương trình thứ ba theo vế x y z 240 y z 80 0, 01 y 0, 04 z 6, Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với 0, 01 cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng, ta hệ phương trình dạng tam giác x y z 240 y z 80 0, 05 z 7 Từ phương trình thứ ba ta có z 140 Thế vào phương trình thứ hai ta y 60 Cuối ta có x 240 140 60 40 Vậy số tiền ông An đầu tư vào ba quỹ: thị trường tiền tệ, trái phiếu Chính phủ ngân hàng 40 triệu đồng, 60 triệu đồng, 140 triệu đồng Vận dụng Hà mua văn phịng phẩm cho nhóm bạn lớp gồm Hà, Lan Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng Hà qn khơng lưu hóa đơn bạn, nhớ số tiền trả cho Lan nửa số tiền trả cho Hà nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều số tiền trả cho Lan 210 nghìn đồng Hỏi bạn Lan Minh phải trả cho Hà tiền? Lời giải Gọi x, y, z số tiền mua văn phòng phẩm cho Hà, Lan Minh (tính theo đơn vị nghìn đồng) x, y, z 820 13 Ta có: x y z 820 Số tiền trả cho Lan nửa số tiền trả cho Hà nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều số tiền trả cho Lan 210 nghìn đồng, ta có: y x 5; z y 210 Giải hệ phương trình x y z 820 y x z y 210 x 310 y 150 z 360 Vậy bạn Lan Minh phải trả cho Hà số tiền 150 nghìn đồng 360 nghìn đồng TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY HĐ1 Dùng máy tính cầm tay Casio fx-570 để tìm nghiệm hệ: x y z 5 2 x y z x y 3z 2 Ta dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hệ Sau mở máy, ta ấn liên tiếp phím sau đây: 14 Tức x Ấn tiếp phím ta thấy hình sau: 11 y Tức Ấn tiếp phím ta thấy hình sau: 12 z Tức Vậy nghiệm hệ phương trình cho x; y; z 4; 11 12 ; 7 Ta dùng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình bậc ba ẩn Sau mở máy, ta thực thao tác sau: + Vào chương trình giải phương trình, ấn Màn hình máy tính hiển thị sau: + Chọn hệ phương trình bậc ba ẩn, ấn Màn hình máy tính hiển thị sau: + Nhập hệ số để giải hệ phương trình Ví dụ Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm hệ sau: 15 a) x y z 7 3 x y z 5 x y z 10; b) x y z 9 2 x y 3z 9 5 x y z 36 Lời giải a) Ta ấn liên tiếp phím Thấy hình dịng chữ “No-Solution” sau: Tức hệ phương trình cho vơ nghiệm b) Ta ấn liên tiếp phím Thấy hình dòng chữ “Infinite Sol” sau: Tức hệ phương trình cho có vơ số nghiệm Luyện tập Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm hệ phương trình Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5, Luyện tập Vận dụng Tại quốc gia, có khoảng 400 lồi động vật nằm danh sách lồi có nguy tuyệt 16 chủng Các nhóm động vật có vú, chim cá chiếm 55% lồi có nguy tuyệt chủng Nhóm chim chiếm nhiều 0, 7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều 1, 5% so với động vật có vú Hỏi nhóm động vật có vú, chim cá chiếm phần trăm lồi có nguy tuyệt chủng? Lời giải x, y, z 55 Gọi x, y, z tuyệt chủng số phần trăm nhóm động vật có vú, chim cá có nguy Ta có: x y z 55 Do nhóm chim chiếm nhiều 0, 7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều 1,5% so với động vật có vú nên ta có: x z 1,5; y z 0, Giải hệ phương trình x y z 55 x z 1, y z 0, z 1, z 0, z 55 x z 1, y z 0, 3z 55 1,5 0, z 18, x 17,1 x z 1, y z 0, y 19, Vậy số phần trăm nhóm động vật có vú, chim cá có nguy tuyệt chủng 17,1%; 19,3%; 18, 6% BÀI TẬP 1.1 Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem số hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? a) 4 x 2z x y z 5 x y 6; b) 2;0; 1 có phải nghiệm x y 3z 7 2 x y z 2 x y Giải a) 4 x 2z x y z 5 x y Thay số hệ phương trình bậc ba ẩn 2; 0; 1 x; y; z vào phương trình hệ 17 4 x 2z x y z 5 x y ta kết 4 2 1 2.2 1 5 3.2 2.0 Vậy số thỏa mãn nghiệm hệ 2;0; 1 nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn cho 1.2 Giải hệ phương trình sau: a) x y z 20 x y x 10; x y 3z 20 z 3 x x 3z b) Giải a) 2 x y z 20 x y x 10 Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 1 cộng với phương trình thứ ba theo vế x y z 20 15 y x 10 z 2.10 15 20 15 Từ phương trình thứ hai ta có y 15 Cuối ta có Vậy nghiệm hệ phương trình cho b x y 3z 7 2 x y z 2 x y x; y; z 10; 15;15 khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ hai có y 1.2 Giải hệ phương trình sau: a) x y z 20 x y x 10; b) x y z 20 z 3 x x z Giải a) 2 x y z 20 x y x 10 Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 1 18 cộng với phương trình thứ ba theo vế x y z 20 15 y x 10 z 2.10 15 20 15 Từ phương trình thứ hai ta có y 15 Cuối ta có Vậy nghiệm hệ phương trình cho b) x; y; z 10; 15;15 x y 3z 20 z 3 x x z Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng, ta hệ phương trình x y z 20 4 x 2 x 3z Nhân hai vế phương trình thứ ba hệ với tương ứng, ta hệ phương trình 4 cộng với phương trình thứ hai theo vế x y z 20 4 x 2 12 z 30 30 x z Từ phương trình thứ ba ta có 12 Cuối ta có Từ phương trình thứ hai ta có 5 y 20 12 2 Vậy nghiệm hệ phương trình cho 5 ; 12; 2 2 x; y; z 1.3 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: a) 2 x y z 2 x y 3 x y z 2; d) x y z 2 x y z 6 x y 3; b) 3 x y z 2 x y z 5 x y 2; e) 3 x y z 2 x y z 11 x y z 22; Giải 19 c) x y z 2 x y z 6 4 x y 6; f) 2 x y z x y z 3 7 x y z 1 a) 2 x y z 2 x y 3 x y z 2 Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với 2 cộng với phương trình thứ theo vế cộng với phương trình thứ theo tương ứng, nhân hai vế phương trình thứ ba hệ với vế tương ứng ta hệ phương trình 2 x y z 2 y z y 3z Nhân hai vế phương trình thứ ba hệ với cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng, ta hệ phương trình 2 x y z 2 y z 10 z 10 Từ phương trình thứ ba ta có z 1 Thế vào phương trình thứ hai ta 1 1 x 2 Vậy nghiệm hệ phương trình cho b) y 1 1 3 Cuối ta có x; y; z 2;1;1 3 x y z 2 x y z 5 x y 2 Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với 3 cộng với phương trình thứ theo vế tương ứng, nhân hai vế phương trình thứ ba hệ với cộng với phương trình thứ theo vế tương ứng ta hệ phương trình 3x y z 2 y z 13 y z 8 Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với , nhân hai vế phương trình thứ ba hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình 3x y z 2 y z 13 15 z 30 20 ... x y 3z 2 y z ? ?37 z z 55 y 1 37 37 37 Thế vào phương trình thứ hai ta Từ phương trình thứ ba ta có 55 25 x 2 37 37 37 Cuối ta... trình bậc ba ẩn khơng x y z 1 2 x y z 15 ? ?3 x y z 3; a) b) 3; 2; 1 có x y z 4 2 x y 3z ? ?3 x z Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải... số tiền lãi năm 13, triệu đồng nên ta có 0, 03 x 0,04 y 0, 07 z 13, Từ đó, ta có hệ phương trình bậc ba ẩn x y z 240 y z 80 0, 03 x 0, 04 y 0, 07 z 13, Ta giải hệ