A PHƯƠNG PHÁP Nhắc lại BĐT Cô-si cho n số không âm ∀ a1 ; a2 ; ; an ≥ 0, ta có: a 1+ a2+ + an ≥ n √n a1 a2 an Dấu = xảy a 1=a2= =an BĐT Cô-si ngược dấu cho n số không âm a1 +a2 + +a n n ∀ a1 ; a2 ; ; an ≥ 0, ta có: a a an ≤ n Dấu = xảy a 1=a2= =an Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Cho hàm số y=f ( x ) xác định tập D ( ) M giá trị lớn (GTLN) hàm số y=f ( x ) tập D ¿ f ( x )≤ M (∀ x ∈ D) ¿ ∃ x o ∈ D : f ( x o ) =M { ¿ f ( x )≥ m ( ∀ x ∈ D) ¿ ∃ x o ∈ D : f ( x o ) =m { m giá trị nhỏ GTNN hàm số y=f ( x ) tập D B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ ( ;+ ∞ ) x Lời giải Câu (Nhận biết) Tìm GTNN hàm số y=2 x + x >0 2 ∀ x ∈ ( 0; +∞ ), Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: x+ ≥ 2 x =4 >0 x x x 2 Dấu “=” xảy x= ⇔ x =1⇒ x =1∈(0 ;+ ∞) x Vậy GTNN hàm số cho x=1 Câu (Nhận biết) Tìm GTLN hàm số y=(x +1)¿ [-1;5] Lời giải { ∀ x ∈[-1;5] ta có: √ x +1≥ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ngược dấu, ta được: {5−x ≥0 ( x +1) ¿ Dấu “=” xảy x +1=5−x ⇔2 x=4 ⇒ x=2 ∈[-1;5] Vậy GTLN hàm số cho x=2 Câu (Thông hiểu) Tìm GTNN hàm số y= + x ¿ x Lời giải Nhận xét: Nếu áp dụng BĐT Cô-si ngay, ta có: 2 + x ≥ x =2 √2 x x √ 2 Ở dấu “=”khơng xảy x= ⇔ x =2 ⇒ x=√ 2∉ ¿ x Do ta cần chọn điểm rơi cho tốn x=2 Sau giải sau: x ∀ x ∈ ¿ ta có: ≥1 2 x x x x x Khi đó: y= + x= + + ≥ + =2+ ≥ 2+ 1=3 x x 2 x 2 √ x ¿ = x ⇔ x=2∈ ¿ Dấu “=” xảy x ¿ =1 Vậy GTNN hàm số cho x=2 3 Câu 4: (Vận dụng) Tìm GTNN hàm số y=x + ( 0;+ ∞ ) x Lời giải { Ta có: y=x + x x3 1 = + + + + x2 2 x x x x3 >0 ∀ x ∈(0 ;+ ∞) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương, ta > x2 { x3 x 1 x3 x3 1 + + + + ≥5 = 2 x x x 2 x x x √4 3 x x 1 5 = = = = ⇔ x =2⇔ x=√ 2∈(0;+ ∞) Dấu = xảy 2 x x x Vậy GTNN hàm số cho x=√5 √4 x 2−2 x+5 Câu 5: (Vận dụng) Tìm giá trị nhỏ hàm số y= khoảng ( ;+∞ ) x−1 Lời giải √ x 2−2 x+5 Ta có: y= =x−1+ x−1 x−1 x−1> ∀ x ∈(1 ;+∞), ta có >0 x−1 { Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: y=x −1+ 4 ≥ ( x −1 ) =4 x−1 x −1 √ ⇔ ( x−1 )2=4 ⇔ x=3 ∈ ( 1;+ ∞ ) x−1 Câu 6: (Vận dụng cao) Cho ba số thực không âm a , b , c thỏa a+ b+c=3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P= √3 a+ √3 b+ √3 c Lời giải Vậy GTNN hàm số cho x−1= Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm a ; ; ta được: a+ 1+1 ≥ √3 a.1 1=3 √3 a ⇒ √3 a ≤ Tương tự ta có: b+1+1 ≥ √3 b ⇒ √3 b ≤ b+2 (2) a+2 ( 1) c +1+1 ≥3 √3 c ⇒ √3 c ≤ c +2 (3 ) 3 3 Lấy ( ) + ( ) + ( ) vế theo vế ta được: P= √ a+ √ b+ √ c ≤ a+b+ c+ 3+ = =3 3 Dấu = xảy a=b=c=1 Vậy GTLN biểu thức P a=b=c=1 Câu 7: (Vận dụng cao) Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn a+ b+c=1 Tìm GTNN biểu thức: a3 P= ¿ ¿ Lời giải Nhận xét: Ta chọn điểm rơi toán a=b=c= Sau giải sau: Áp dụng BĐT Cơ-si cho số không âm a3 1−a 1−a ; ; ta được: 8 ( 1−a ) a3 ¿¿ Tương tự ta có: b ¿¿ c3 ¿¿ Lấy ( ) + ( ) + ( ) vế theo vế ta được: 6−2 a−2 b−2c P+ ≥ (a+b+ c) 3 ⇔ P+ − ( a+b+ c) ≥ (a+b+ c) 4 3 ⇔ P ≥ ( a+b+ c )− =1− = 4 Dấu “=” xảy ¿ 1 Vậy GTNN biểu thức P a=b=c= Câu 8: (Vận dụng cao) Nhà ơng A có mảnh đất trống, ơng muốn rào mảnh đất nhỏ hình chữ nhật mảnh đất trống để trồng rau 60 m lưới Biết mặt mảnh đất nhỏ tường nhà khơng cần rào, ơng A cần rào mặt lại mảnh đất nhỏ Em tính diện tích lớn mảnh đất nhỏ mà ơng A rào từ 60 m lưới đó? Lời giải y x x Gọi hai cạnh hình chữ nhật có độ dài x , y ( m )(như hình vẽ); 0< x , y< 60 Vì lưới ơng A dài 60 m nên dựa vào hình vẽ ta có: x+ y =60 ⇒ y=60−2 x Diện tích mảnh đất nhỏ hình chữ nhật S= x y=x ( 60−2 x )=2 x (30−x ) x +30−x =2.152=450 Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số x 30−x Ta có: S ≤2 Dấu =xảy x=30−x ⇔ x =15⇒ y=30 Vậy diện tích hình chữ nhật lớn 450 m2, đạt x=15 ; y=30 ( )