E1 0d4 t4 bđt hue tran

LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI CHƯƠNG LỚP BẤT ĐẲNG THỨC 10 ĐẠI SỐ Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài BẤT ĐẲNG THỨC I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC II CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG ĐỊNH NGHĨA III BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN IV BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI V BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC Biến đổi tương đương GTLN (Max) GTNN (Min) CÁC DẠNG TOÁN Dùng BĐT phụ (Côsi, Bunhiaxcopki, trị,…) Chứng minh BĐT LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Định lí Tên Nội dung Bất đẳng thức Bunhiacopxki cặp số thực Với hai cặp số thực ta có Bất đẳngminh: thức Ta có Chứng Bunhiacopxki n số thực Với hai số thực , ta có (ln với ) Dấu xảy 𝑎 𝑏 ⇔ 𝑎𝑦=𝑏𝑥 ⇔ = ( 𝑥𝑦 ≠ ) 𝑥 𝑦 Dấu “=” xảy 𝑎 𝑏 = ( 𝑥𝑦 ≠ ) 𝑥 𝑦 LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 ( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 + + 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 + + 𝒃 ) Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề với A B C D Lời giải Cách 1: (tự luận) Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta được: 2 2 2 ¿ ( 𝑎+ 2.𝑏 ) ≤ ( +2 ) ( 𝑎 + 𝑏 ) ¿ ( 𝑎 +𝑏 ) Vậy 𝑎 𝑏 Dấu xảy ⇔ = Chọn A Cách 2: (trắc nghiệm) Lấy thử vài giá trị vào biểu thức đáp án ta loại trừ dần đáp áp sai Đáp án lại cuối đáp án Đáp án B: > Chọn loại đáp án B,C Đáp án C: Chọn Đáp án D: loại đáp án D Vậy đáp án A LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 ( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 + + 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 + + 𝒃 ) Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề với A B C D Mở rộng Cho 2 ≤ ( 𝑎 +𝑏 ) ⇔ 𝑎 +𝑏 ≥ 2 Dấu xảy 𝑎+ 𝑏=2 𝑎 𝑏 = { 𝑎= ⇔ 𝑏= { Vậy giá trị nhỏ Bài tập 1: Cho Tìm giá trị nhỏ LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 ( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 + + 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 + + 𝒃 ) Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề với A B C D Mở rộng Bài tập 1: Cho Tìm giá trị nhỏ Cho ( 𝑎 +2 𝑏 ) ≤5 ⇔− √ ≤ 𝑎+ 𝑏≤ √5 Dấu xảy 2 𝑎 +𝑏 =1 𝑎 𝑏 = 𝑎 +2 𝑏= √ { ⇔ { √ 𝑎= √5 𝑏= Vậy giá trị lớn Bài tập 2: Cho Tìm giá trị lớn LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 ( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 + + 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 + + 𝒃 ) Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề với A B C D Mở rộng Gợi ý tập Khi 𝑇 =( 𝑎 +3 𝑏+ 𝑐 ) ≤ ( +3 + ) ( 𝑎 + 𝑏 +𝑐 ) ¿ 19 2 2 ⇔− √ 19 ≤ 𝑎+3 𝑏+3 𝑐 ≤ √19 Dấu xảy 𝑎= 2 𝑎 + 𝑏 +𝑐 =1 √ 19 𝑎 𝑏 𝑐 ⇔ 𝑏= = = 3 √ 19 𝑎 +3 𝑏+ 𝑐=√ 19 𝑐= √ 19 { Vậy giá trị lớn { Bài tập 1: Cho Tìm giá trị nhỏ Bài tập 2: Cho Tìm giá trị lớn Bài tập 3: Cho Tìm giá trị lớn LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 ( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 + + 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 + + 𝒃 ) Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề với A B C D Mở rộng Bài tập 1: Cho Tìm giá trị nhỏ Bài tập 2: Cho Tìm giá trị lớn Bài tập 3: Cho Tìm giá trị lớn Bài tập 4: Cho Tìm giá trị lớn Gợi ý tập 𝑇 =( √ 𝑎+𝑏 + √ 𝑏+𝑐 + √ 𝑐 +𝑎 ) ≤ ( +1 +1 ) ( 𝑎 +𝑏+ 𝑏+𝑐 +𝑐 +𝑎 ) ¿ 2 LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝒏 ( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ) ≤ ( 𝒂 + 𝒂 + + 𝒂 )( 𝒃 + 𝒃 + + 𝒃 ) Ví dụ Tìm giá trị lớn hàm số Lời giải Nhận xét: ¿ 𝑥+5 +3 − 𝑥 ¿ Cách 1: (tự luận) Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta được: ≤ ( +1 ) ( 𝑥+ 5+3 − 𝑥 ) ¿ 16 Dấu xảy { √ 𝑥+ = √ − 𝑥 𝑥 +5=3 − 𝑥 ⇔ √ 𝑥 +5+ √ − 𝑥= 1 √ 𝑥 +5+ √ − 𝑥= Vậy giá trị lớn Cách 2: (trắc nghiệm) { ⇔ 𝑥=− LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG Ví dụ Cho Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Lời giải 2 Ta có: 𝑥 + 𝑦 ≤2 𝑥+ 𝑦 Dấu “=” xảy ⇔ 𝑥 −2𝑥+ 𝑦 −4 𝑦 ≤0 2 ⇔ ( 𝑥 − ) +( 𝑦 − ) ≤ Khi đó: 𝐹 =2 𝑥+ 𝑦 ¿ ( 𝑥 −1 ) + ( 𝑦 − ) + ⇒ ( 𝑥 −1 ) + ( 𝑦 −2 ) ¿ 𝐹 − Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số 2 ( 𝐹 − ) =[ ( 𝑥 − ) + ( 𝑦 − ) ] 2 ≤ ( +1 ) [ ( 𝑥 − ) + ( 𝑦 − ) Vậy ⇔− 5≤ 𝐹 − 4≤ ] ≤ 25 𝑥 −1 𝑦 −2 = 𝑥 − 𝑦 =− 2 2 ( 𝑥 − ) + ( 𝑦 − ) =5 ( 𝑥 − ) + ( 𝑦 − ) =5⇔ 𝑥 + 𝑦=− 𝑥+ 𝑦 =− 𝑥 + 𝑦= 𝑥+ 𝑦= { { [ [ 𝑥=−1 ; 𝑦 =1 ⇔ 𝑥=3 ; 𝑦 =3 [ Vậy đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG V BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định lí Một số bất đẳng thức Điều kiện Nội dung Dấu “=” xảy |𝑥|=𝑥   𝑥 ≥ 0,|𝑥|=− 𝑥  𝑥 ≤ |𝑥| ≥ 0,|𝑥|≥ 𝑥 ,|𝑥| ≥− 𝑥 |𝑥| ≤ 𝑎  −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 a >0 |𝑎|−|𝑏|≤|𝑎+𝑏| ≤|𝑎|+|𝑏| Chứng minh: Ta có |𝑎 +𝑏| ≤|𝑎|+|𝑏| 2   𝑎 + 𝑎𝑏+ 𝑏 ≤ 𝑎 +2|𝑎𝑏|+𝑏  𝑎𝑏≤|𝑎𝑏| (bất đẳng thức đúng).  LỚP 10 ĐẠI SỐ Ví dụ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG Chứng minh với số thực Lời giải Áp dụng bđt ta có |5 − 𝑥|+|𝑥 +10| ≥|5 − 𝑥+ 𝑥 +10|=15  LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ Cho số thực thỏa mãn Khẳng định sau đúng? A B C D Lời giải Cách 1: (tự luận) Ta có |𝑎|−|𝑏|≤|𝑎+𝑏| Cộng theo vế ta Chọn B Cách 2: (trắc nghiệm) Lấy thử vài giá trị thỏa mãn vào biểu thức ta loại trừ dần đáp áp sai Đáp án lại cuối đáp án Chọn loại đáp án A,C,D Vậy đáp án B LỚP 10 ĐẠI SỐ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHƯƠNG Ví dụ Cho hai số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải 2 2 Nhận xét ( 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑑 ¿ ¿ ≤ ( 𝑎 +𝑏 ) ( 𝑐 + 𝑑 )  2 2  𝑎 𝑐 +𝑏 𝑑 ≤|𝑎 𝑐+𝑏 𝑑| ≤ √ ( 𝑎 + 𝑏 ) ( 𝑐 + 𝑑 ) Ta có𝑃 ≤|𝑥 +2 𝑦| ≤ Vậy √( 𝑥 2 2 + 𝑦 ) ( +2 ) =√