A GIỚI THIỆU BĐT CƠ-SI I BĐT Cơ –si dạng bản: BĐT cô-si biến: Cho x ; y số thực khơng âm ta có: x+ y x+ y ≥ √ xy ≥ xy Dạng 1: Dạng 2: x + y ≥ √ xy Dạng 3: 2 Dấu xảy x= y BĐT cô-si biến; Cho x ; y ; z số thực khơng âm ta có: x+ y + z x+ y+ z ≥ √ xyz ≥ xyz Dạng 1: Dạng 2: x + y + z ≥ √ xyz Dạng 3: 3 ( ) ( ) Ý nghĩa hình học : Trong hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Trong hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn BĐT Cô-si cho n số không âm ∀ a1 ; a2 ; ; an ≥ 0, ta có: a 1+ a2+ + an ≥ n √n a1 a2 an Dấu = xảy a 1=a2= =an BĐT Cô-si ngược dấu cho n số không âm ∀ a1 ; a2 ; ; an ≥ 0, ta có: a a an ≤ ( a1 +a2 + +a n n n ) Dấu = xảy a 1=a2= =an B Bài tập Câu (Nhận biết) Bất đẳng thức Côsi cho hai số a , b không âm có dạng dạng cho đây? a+b a−b a+b a+b ≥ √ a+ b ≥ √ ab ≥ √ ab D ≥ √ ab A B C 2 2 Bài giải Cách Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a+b ≥ √ ab Chọn đáp án C Cách Trắc nghiệm Câu (Nhận biết) Cho ba số không âm a , b , c Khẳng định sau đúng? A a+ b+c ≥3 √3 abc B abc ≥3 √3 a+ b+c C a+ b+c ≥3 √ abc D a+ b+c ≥ √3 abc Bài giải Cách Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: a+ b+c ≥3 √3 abc Chọn đáp án A Cách Trắc nghiệm Câu (Thông hiểu) Cho a , b , c số thực dương , bất đẳng thức sau A b +c c +a a+b + + ≥6 a b c C b+c c + a a+ b b+c c +a a+ b + + ≥4 D + + ≥8 a b c a b c B b+ c c+ a a+ b + + ≥3 a b c Bài giải Ta có : b c c a a b a b c b c c a a b a a b b c c b a c a c b a b a c b c 6 Câu Cho a số dương lớn 1,b số dương lớn a, bất đẳng thức sau đúng: b A b B b C b D 2 a 1 b a 4 a 1 b a a 1 b a a 1 b a 3 1 Bài giải b a 1 b a a 1 b a 3 a 1 b a a 1 b a a 1 b a 1 4 Đáp án B Câu (Thông hiểu) Chứng minh rằng: a) ( x + y ) ( 1x + 1y )≥ ( x ; y >0 ) b) ( x + y + z ) ( 1x + 1y + 1z )≥ 9(x ; y ; z >0) Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: x y 2 xy Và 1 2 x y xy 1 1 4 x y x y Do b : chứng minh tương tự câu a Câu (Thông hiểu) Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a b Chứng minh rằng: a 3 b a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta a 1 b a b b a b b a b 3 b a b 3 b a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b b a 2 b a b b 1 Câu (Vận dụng ) Cho ba số thực dương a , b , c thoả mãn {a>c b>c Chứng minh rằng: √ c ( a−c )+ √c ( b−c ) ≤ √ ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si, ta có: c a c c b c ab c a c c b c b a a b 1 c a c 1 c b c 2 b a 2 a b 1 c c 1 c c 1 2 b a 2 a b c a c c b c ab (đpcm) Câu (Vận dụng cao) Cho ba số thực dương a , b , c Chứng minh rằng: 1+ √3 abc ≤ √3 ( 1+ a ) ( 1+b ) ( 1+c ) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: abc 1 a 1 b 1 c 3 1 a b c 3 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 1 a b c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 3 1 a 1 b 1 c abc a b c (đpcm)