Tiết 4: Bài giảng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki bất đẳng thức trị tuyệt đối IV Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Lí thuyết 1) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cặp số thực Với hai cặp số thực ( a , b ) ( x , y ) ta có ( ax +by )2 ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2+ y ) với ∀ a , b , x , y ∈ R a b Dấu “=” xảy ⇔ = ( xy ≠ ) x y - Nêu qua cách chứng minh ( ax +by )2 ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2+ y ) ⇔ a2 x +2 ax by +b y ≤ a x 2+ a2 y 2+ b2 x +b2 y ⇔ a2 y −2 ay bx +b2 x2 ≥ ⇔ ( ay−bx ) ≥ (luôn với ∀ a , b , x , y ∈ R) a b Dấu xảy ay −bx=0 ⇔ ay=bx ⇔ = ( xy ≠ ) x y - Nêu cách dễ nhớ 2) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki số thực Với hai ba số thực ( a , a , a3 ), ( b , b2 , b3 ) ( a b 1+ a2 b2+ + an bn ) ≤ ( a21 +a 22+ + a2n )( b 21+ b22 + +b2n ) Dấu “=” xảy ⇔ a a2 a = = = n b b2 bn Ví dụ Ví dụ (Mức nhận biết) Trong mệnh đề sau, mệnh đề với ∀ a , b A ( a+ 2b )2 ≤ ( a2 +b 2) B ( a+ 2b )2>5 ( a2 +b2 ) C ( a+ 2b )2 ≤ ( a+b ) D a+ 2b ≤ ( a2 +b ) Lời giải Chọn A Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ( 1,2 ) ( a , b )ta được: ( a+ 2b )2=( a+2 b )2 ≤ ( 12 +22 ) ( a2 +b )=5 ( a 2+ b2 ) 2 Vậy ( a+ 2b ) ≤ ( a +b ) a b Dấu xảy ⇔ = Sau hướng dẫn xong toán ta nên hướng cho học sinh tư từ tốn ta nhìn nhiều tốn khác: 1) Cho a+ 2b=2 Tìm giá trị nhỏ T =a 2+ b2 2 2 Khi a+ 2b=2, ta thu được: ≤5 ( a + b ) ⇔a + b ≥ ¿ a= ¿ a+2 b=2 a b ⇔ Dấu xảy ¿ = ¿ b= { { Vậy giá trị nhỏ T =a 2+ b2 2) Cho a 2+ b2=1 Tìm giá trị lớn T =a+ 2b Khi a 2+ b2=1, ta thu được: ( a+ 2b )2 ≤ 5⇒ a+2 b ≤ √ ¿ a2 +b2 =1 ¿ a= √ a b ⇔ ¿ = Dấu xảy 2√ ¿ b= ¿ a+2 b=√ 5 { { Vậy giá trị lớn T =a+ 2b √ 3) Cho a 2+ b2+ c 2=1 Tìm giá trị lớn T =a+ b+3 c Khi a 2+ b2+ c 2=1, ta thu được: T 2=( a+3 b +3 c )2 ≤ ( 12+ 32+ 32 )( a2 +b2 + c2 ) =19 ⇒ a+3 b+3 c ≤ √ 19 ¿ a + b +c =1 √ 19 a b c ⇔ ¿ b= ¿ = = Dấu xảy 3 √ 19 ¿ a+3 b+3 c=√ 19 ¿c= √ 19 { 2 ¿ a= { Vậy giá trị lớn T =a+ b+3 c √ 19 4) Cho a+ b+c=4 Tìm giá trị lớn T =√ a+b + √ b+c + √ c +a Khi a+ b+c=4 , ta thu được: T 2=( √ a+b + √ b+c + √ c+ a )2 ≤ ( 12+12 +12 ) ( a+b+ b+c +c +a )=12 ⇒ √ a+ b+ √ b+c + √ c +a ≤ √3 ¿ a+b+c =4 Dấu xảy √ a+ b √ b +c √c +a ⇔a=b=c= ¿ = = 1 { Vậy giá trị lớn T =√ a+b + √ b+c + √ c +a √ Ví dụ (Mức thơng hiểu) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x )= √ x +5+ √ 3−x [ −5 ;3 ] Cách 1: Tự luận Nhận xét: ( √ x+ )2 + ( √ 3−x )2=x +5+3−x=8 Ta Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ( 1,1 ) ( √ x+ , √ 3−x ) ta được: ( √ x+ 5+ √ 3−x ) ≤ ( 12 +12 ) ( x+5+3−x )=16 ⇒ √ x +5+ √ 3−x ≤ x+ √ 3−x = ¿ x +5=3−x ⇔ x=−1 ⇔ Dấu xảy 1 ¿ √ x +5+ √ 3−x=4 ¿ √ x +5+ √ 3−x=4 { ¿√ { Vậy giá trị lớn f ( x )= √ x +5+ √ 3−x Cách 2: Máy tính Ví dụ (Mức vận dụng) Cho x 2+ y ≤ x + y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ F=2 x+ y 2 2 Ta có: x + y ≤ x + y ⇔ x −2 x + y −4 y ≤0 ⇔ ( x−1 )2+ ( y −2 )2 ≤ Khi đó: F=2 x+ y =2 ( x−1 )+ ( y−2 ) +4 ⇒ ( x −1 )+ ( y−2 )=F−4 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho số ( 2,1 ) ( x−1 , y−2 ) 2 2 ( F−4 ) =[ ( x−1 ) + ( y−2 ) ] ≤ ( 22+12 ) [ ( x−1 ) + ( y−2 ) ] ≤ 25 Vậy ( F−4 )2 ≤ 25 ⇔−5 ≤ F−4 ≤ ⇔−1≤ F ≤ x −1 y −2 = ¿ x−2 y=−3 2 ¿ ( x−1 ) + ( y−2 ) =5 ⇔ ¿ x=−1 ; y=1 2 Dấu “=” xảy ¿ ( x−1 ) + ( y−2 ) =5 ⇔ ¿ x =3 ; y=3 ¿ ¿ x+ y=−1 ¿ x + y =−1 ¿ ¿ x + y =9 ¿ x + y=9 { ¿ {[ [ [ Vậy F=2 x+ y đạt giá trị nhỏ −1 x=−1 , y=1, F=2 x+ y đạt giá trị lớn x=3 , y=3 Từ tốn ta theo kiểu trắc nghiệm V Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Điều kiện Dấu “=” xảy Nội dung x = x Û x ³ 0, x ³ - x Û x £ x ³ 0, x ³ x, x ³ - x x £ a Û - a£ x£ a a >0 x ³ aÛ x£ - a x ³ a a - b £ a +b £ a + b a b a b a.b 0 a +b £ a + b Ta chứng minh bất đẳng thức CHỨNG MINH: 2 Ta có a b a b a b a b a 2ab b a ab b ab ab bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh Lời dẫn: Các bất đẳng thức lại em xem tập nhà Một số kết liên quan 2 ab cd ab cd a c b d ab cd a c2 b2 d Kết 1: ab cd ab cd a c2 b2 d Kết 2: Lời dẫn: Sau phần ứng dụng bất đảng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Cũng bất đẳng thức khác bất đẳng thức trị thường sử dụng để chứng minh bất đẳng thức hổ trợ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Chúng ta xét số ví dụ Cho ví dụ thơi: Ví dụ 1: (TH) Chứng minh x x 10 15 với số thực x Lời giải a b a b Áp dụng bđt ta có x x 10 x x 10 15 x x 10 0 Dấu ‘=’ xảy x 10;5 a b c 2025 P a b c Ví dụ 2: (VD) Cho số thực a, b, c thõa mãn ; Khẳng định đúng? A P B P 2019 C P 3 D P 2019 Lời giải Cách 1: (tự luận) Ta có P a b c a 1 b c a b c 2025 2019 Chọn B Cách 2: (trắc nghiệm) a b c 2025, Lấy thử vài giá trị a, b, c thỏa mãn án lại cuối đáp án vào biểu thức P ta loại trừ dần đáp áp sai Đáp Chọn a 1, b 2, c 2024 P 2021 loại đáp án A,C,D Vậy đáp án B 2 Ví dụ 3: (VD) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P x y Lời giải P x 2y Vậy x y 12 22 x y 0 MaxP 2 x y x y 1 x y 2