22 BA ĐƯỜNG CONIC ❶ Giáo viên Soạn:Phan Văn Trọng FB:Trong Phan ❷ Giáo viên phản biện : Đỗ Văn Nhân FB: Đỗ Văn Nhân Bằng quan sát phân tích thiên văn, Johannes Kepler (1571 - 1630) đưa định luật nói rằng, hành tinh hệ Mặt Trời chuyển độngtheo quỹ đạo đường elip nhận tâm Mặt Trời tiêu điểm Vận dụng Gương elip máy tán sổi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình tắc x2 y2 + =1 (theo đơn vị cm).Tính khoảng cách từ vị 4000 76 trí đầu phát sóng máy đến vị trí sỏi thận cần tán Giải x2 y2 + =1⇒ ¿ a =4000 Ta có: 4000 76 ¿ b 2=76 { Mặt khác c 2=a2−b 2=4000−76=3924 ⇒ c=± √ 109 Vị trí đầu phát sóng máy đến vị trí sỏi thận cần tán tương ứng với tiêu cự elip nên khoảng cách F F 2=2 c=12 √ 109 BÀI TẬP 7.19 Cho elip có phương trình x2 y2 + =1.Tìm tiêu điểm tiêu cự elip 36 Giải x2 y2 ¿ a2=36 Ta có: + =1 ⇒ 36 ¿ b 2=9 { Mặt khác c 2=a2−b 2=36−9=27 ⇒ c=± √27 Vậy ta có hai tiêu điểm F (−√ 27 ; ) F ( √ 27 ; ),có tiêu cự c=2 √ 27 7.20 Cho hypebol có phương trình: x2 y − =1 Tìm tiêu điểm tiêu cự hypebol Giải Ta có: x2 y − =1⇒ ¿ a 2=7 ¿ b =9 { Mặt khác c 2=a2+ b2=49+81=130 ⇒ c=± √ 130 Vậy ta có hai tiêu điểm F (−√ 130 ; ) F ( √ 130 ; ); có tiêu cự c=2 √ 130 7.21 Cho parabol có phương trình: y 2=8 x Tìm tiêu điểm đường chuẩn parabol Giải Ta có : p=8 ⇔ p=4 nên tiêu điểm parabol F 7.22 ( 2p ; )=F (2,0) đường chuẩn :Δ: x= −2p = −42 =−2 Lập phương trình tắc elip qua điềm A(5; 0) có tiêu điềm F2(3; 0) Giải Ta có:Phương trình elip có dạng( E) : x2 y2 + =1 a2 b2 25 + =1 ⇒ a 2=25 a b Mặc khác: tiêu điểm F ( ; ) nên ⇒ c =3=¿ c2=9=a2+ b2 Do (E) qua A ( ; )nên: (1) (2) x y + =1 25 16 Lập phương trình tắc parabol qua điểm M (2,4) Từ (1) (2)=> b 2=16nên ( E) : 7.23 Giải Giả sử (P): y 2=2 px( p> 0) Vì (P) qua M (2,4) nên:16=2 p 2=¿ p=4.Vậy y 2=8 x 7.24 Có hai trạm phát tín hiệu vơ tuyến đặt hai vị trí A, B cách 300 km Tại thời điểm, hai trạm phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để tàu thuỷ thu đo độ lệch thời gian Tín hiệu từ A đến sớm tín hiệu từ B 0,0005 s Từ thơng tin trên, ta xác định tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình tắc hypebol theo đơn vị kilơmét Giải Ta có: Do tín hiệu A đến sớm tín hiệu từ B nên tàu thuỷ thuộc đường hepebol nhánh A Gọi vị trí tàu thuỷ điểm M Phương trình hyperbol có dạng: ( H ): x2 y2 − =1 a b2 |MA−MB|=2 a=292000 x 0,0005=146 km⇒ a=73(km) AB=300 km=2 c ⇒c=150(km) Từ đó, b 2=c 2−a 2=17171(km) Vậy phương trình hyperbol ( H ): 7.25 x2 y2 − =1 32 1717 12 Khúc cua đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua A điểm cuối B, khoảng cách AB=400m Đỉnh parabol (P) khúc cua cách đường thẳng AB khoảng 20 m cách A, B (H.7.34) a).Lập phương trình tắc (P), với đơn vị đo mặt phẳng toạ độ tương ứng m thực tế b) Lập phương trình tắc cùa (P), với đơn vị đo mặt phẳng toạ độ tương ứng km thực tế Giải a) Phương trình tắc ( P): y =2 px Theo đề ta có A(−200,20) , B (200,20), O(0,0) Do (P) qua A(−200,20) nên suy 02=2 p(−200)=−400 ⇒ p=−1 Vậy ( P): y =−2 x b) Phương trình tắc ( P): y =2 px Theo đề ta có A(−0,2; 0,02), B(0,2; 0,02),O( 0,0) Do (P) qua A(−0,2; 0,02) nên suy 0,0 22=2 p(−0,2)=−0,4 ⇒ p=−0,001 Vậy ( P): y =−0,002 x Em có biết? • Hệ thống định vị mặt đất LORAN (Long Range Navigation) hoạt động dựa nguyên lí đo chênh lệch thời gian tiếp nhận tín hiệu sử dụng tính chất hypebol đề xác định vị trí nơi nhận tín hiệu Ta có thề hình dung tình đơn giản sau: Hai trạm phát sóng radio đặt hai vị trí xác định A B, lúc phát tín hiệu tàu thuỷ thu đo độ lệch thời gian tiếp nhận Từ vận tốc truyền sóng, xác đính hiệu khoảng cách từ tàu thuỷ đến vị trí A Như tàu thuỷ nằm nhánh hypebol hoàn toàn xác định Tương tự, có trạm phát sóng thứ ba C (hoặc cặp trạm C, D), cặp trạm phát sóng A, C (hay C, D), cho phép ta xác định nhánh hypebol qua vị trí tàu thuỷ Do đó, vị trí tàu thuỷ xác định giao điểm hai nhánh hypebol (H.7.35a) Nền tảng toán học cho ứng dụng biết đến từ 000 năm trước Bài tốn xác định đường trịn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước đặt nghiên cứu Apollonius (khoảng 262-190, TCN) Trong Hình 7.35c, với ba đường trịn màu đen cho trước, đơi ngồi nhau, có tám đường trịn tiếp xúc với ba đường trịn mà ta đếm hình vẽ Nói chung, tốn Apollonius có tám nghiệm hình, vậy, số trường hợp đặc biệt, số nghiệm có thề khác Trong Hình 7.35b, với ba đường trịn đơi tiếp xúc ngồi với cho trước (ba hình trịn tơ màu), có hai đường tròn tiếp xúc với chúng Gọi rv r2, r3 bán kính ba đường trịn cho trước Hình 7.35b r, R (r< R) bán kính hai đường tròn nghiệm Năm 1643, thư gửi công chúa Elisabeth (1618 - 1680), Descartes (15961650) đưa công thức sau, cho phép tỉnh bán kính đường trịn nghiệm theo đường trịn cho Định lí Descartes cịn phát cách độc lập Steiner năm 1826, Beecroft năm 1842, Soddy năm 1936 Soddy công bố phát tạp chí Nature dạng thơ với tên “The Kiss Precise” Các thông tin đề cập báo Coxter tạp chí American Mathematical Monthly, số 75, năm 1968 Bài tốn Apollonius cịn hiểu theo nghĩa rộng hơn, đó, ba đường cho trước có thề đường trịn, đường thẳng, hay điềm Đề đường tròn tiếp xúc ngồi (tiếp xúc trong) với hai đường trịn cho trước, tâm phải thuộc nhánh hypebol (hoặc elip) Do việc xác định tâm đường trịn nghiệm tốn Apollonius có thề chuyền thành toán xác định giao hai đường conic Ta hồn tồn có thề nhìn mốl liên hệ tốn Apollonius với Ví dụ 3, Vận dụng Bài 22, toán định vị hệ thống LORAN