❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Thị Kiên ❷ Giáo viên phản biện :Đỗ Văn Nhân 22 FB: Đỗ Nhân BA ĐƯỜNG CONIC THUẬT NGỮ Conic, Elip, Hypebol, Parabol Tiêu điểm Tiêu cự Phương trình chuẩn tắc Đường chuẩn, tham số liệu a) FB: Nguyễn Thị Kiên KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết ba đường conic hình học Nhận biết phương trình tắc ba đường conic Giải số vấn đề thực tiễn gắn với ba đường conic b) c) Hình 7.17 Trong thực tế, em bắt gặp nhiều hình ảnh ứng với đường elip (ellipse), hypebol (hyperbola), parabol (parabola), gọi chung ba đường conic Được phát nghiên cứu từ thời Hy Lạp cổ đại, ứng dụng phong phú quang trọng đường coniic phát kỉ gần đây, khởi đầu định luật tiếng Kepler (Johnnes Kepler, 1571 – 1630) quỹ đạo hành tinh hệ Mặt Trời Để tiếp tục câu chuyện thú vị này, ta cần tìm hiểu kĩ hơn, đặc biệt tìm phương trình đại số mơ ta đường conic ELIP Đính hai đầu sợi dây khơng đàn hồi vào hai vị trí cố định F1 , F2 mặt bàn (độ dài sợi dây lớn khoảng cách hai điểm F1 , F2 ) Kéo căng sợi dây điểm M HĐ1: đầu bút (hoặc phấn) Di chuyển đầu bút để vẽ mặt bàn đường khép kín (H.7.18) a) Đường vừa nhận có liên hệ với hình ảnh Hình 7.17? b) Trong trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng khoảng cách từ tới vị trí F1 , F2 có thay đổi khơng? Vì sao? Giải a) Đường vừa nhận có liên hệ với hình ảnh b Hình 7.17 b) Trong trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng khoảng cách từ tới vị trí F1 , F2 khơng thay đổi Vì độ dài sợi dây không đổi Cho hai điểm cố định phân biệt F1 , F2 Đặt F1 F2 2c Cho số thực a lớn c Tập hợp điểm M cho MF1 MF2 2a gọi đường elip (hay elip) Hai điểm F1 , F2 gọi hai tiêu điểm F1F2 2c gọi tiêu cự elip Tại định nghĩa elip cần điều kiện a c ? Ví dụ Cho lục giác ABCDEF Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc elip có hai tiêu điểm A D Giải Lục giác ABCDEF có cạnh góc có số đo (H.7.19) Do đó, tam giác ABC , BCD , DEF , EFA (c.g.c) Suy AC BD DF AE Từ ta có: BA BD CA CD EA ED FA FD AD Vậy B, C, E, F thuộc elip có hai tiêu điểm A D Luyện tập Trên bàn bida hình elip có lỗ thu bi tiêu điểm (H.7.20) Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào bi đặt tiêu điểm cịn lại bàn, sau va vào thành bàn, bi bật lại chạy lỗ thu (bỏ qua tác động phụ) Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường bi hay khơng? Vì sao? Giải Độ dài qng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường bi Vì tổng khoảng cách từ điểm bi va vào thành bàn đến hai tiêu điểm không đổi HĐ2 Xét elip (E) với kí hiệu định nghĩa Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O trung điểm F1F2 , tia Ox trùng tia OF2 (H.7.21) a) Nêu tọa độ tiêu điểm F1 , F2 x c b) Giải thích điểm thuộc elip y2 x c y 2a 1 x2 y2 1 2 b Chú ý: Người ta biến đổi dạng a , với b a c Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , elip có hai tiêu điểm thuộc trục hồnh cho O trung điểm x2 y 1 2 b đọan thẳng nối hai tiêu điểm có phương trình a , với a b Ngược lại, phương trình có dạng F1 a b ;0 , F a b ;0 2 phương trình elip có hai tiêu điểm , tiêu cự 2c 2 a b tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip tới hai tiêu điểm 2a Phương trình 2 gọi phương trình tắc elip tương ứng x2 y 1 Ví dụ Cho elip có phương trình tắc 25 16 Tìm tiêu điểm tiêu cự elip Tính tổng khoảng cách từ điểm elip tới hai tiêu điểm Giải 2 2 F 3;0 F2 3;0 Ta có: a 25 , b 16 Do c a b 3 Vậy elip có hai tiêu điểm ; tiêu cự F1F2 2c 6 Ta có: a 25 5 , nên tổng khoảng cách từ điểm elip tới hai tiêu điểm 2a 10 Luyện tập x2 y 1 Cho elip có phương trình tắc 100 64 Tìm tiêu điểm tiêu cự elip Giải 2 2 Ta có: a 100 , b 64 Do c a b 6 Vậy elip có hai tiêu điểm F1 6;0 F2 6;0 ; tiêu cự F1 F2 2c 12 Vận dụng Trong vẽ thiết kế, vịm thống hình 7.22 nửa nằm phía trục x2 y 1 hồnh elip có phương trình 16 Biết đơn vị mặt phẳng tọa độ vẽ thiết kế ứng với 30 cm thực tế Tính chiều cao h thống điểm cách điểm đế thống 75 cm Giải 2 2 Ta có: a 16 , b 4 nên c a b 16 2 Vì a 4 nên khoảng cách từ O đến vị trí ngồi 4.30 120 cm Vì b 2 nên khoảng cách từ O đến vị trí đỉnh phía 2.30 60 cm h 120 75 45.60 h 36 75 75 Ta có tỉ lệ 60 cm HYPEBOL Trên mặt phẳng, hai thiết bị đặt vị trí F1 , F2 nhận tín hiệu âm lúc vị trí phát tín hiệu cách hai điểm F1 , F2 , đó, nằm đường trung trực đoạn thẳng F1 F2 HĐ3 Giả sử thiết bị F2 nhận tín hiệu âm sớm thiết bị F1 giây vận tốc âm 343 m/s a) Tìm mối liên hệ khoảng cách từ nơi phát tín hiệu âm tới F1 , F2 b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát tín hiệu âm liên quan đến tốn tìm tập hợp MF1 MF2 686 m điểm M thỏa mãn hay không? Giải a) Gọi M điểm phát tín hiệu âm Đặt Khi đó, ta có: MF1 MF2 686 m MF2 x m MF1 x 2.343 x 686 m b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát tín hiệu âm liên quan đến tốn tìm tập hợp MF1 MF2 686 m điểm M thỏa mãn Cho hai điểm phân biệt cố định F1 , F2 Đặt F1F2 2c Cho số thực dương a nhỏ c Tập hợp MF1 MF2 2a điểm M cho gọi đường hypebol (hay hypebol) Hai điểm F1 , F2 gọi hai tiêu điểm F1F2 2c gọi tiêu cự hypebol Tại định nghĩa hypebol cần điều kiện a c ? Chú ý Hypebol có hai nhánh (H.7.23), nhánh gồm điểm M thỏa mãn MF1 MF2 2a nhánh lại gồm điểm M thỏa mãn MF1 MF2 2a (hay MF2 MF1 2a ) Ví dụ Trên biển có hai đảo trịn với bán kính khác Tại vùng biển hai đảo đó, người ta xác định ranh giới cách hai đảo, tức là, đường mà khoảng cách từ vị trí đến hai đảo Hỏi đường ranh giới có thuộc nhánh hypebol hay không? Chú ý Khoảng cách từ vị trí biển đến đảo hình trịn hiệu khoảng cách từ vị trí đến tâm đảo bán kính đảo Giải Giả sử đảo thứ có tâm O1 bán kính R1 , đảo thứ hai có tâm O2 bán kính R2 (H.7.24) Do O ,R O ,R hai đường tròn 1 , 2 nằm nên O1O2 R1 R2 Gọi M điểm thuộc đường ranh giới Vì M cách hai đảo nên MO1 R1 MO2 R2 MO1 MO2 R1 R2 Vậy đường ranh giới thuộc nhánh hypebol với tiêu điểm F1 trùng O1 , F2 trùng O2 , 2c O1O2 , 2a R1 R2 Luyện tập Cho hình chữ nhật ABCD M , N tương ứng trung điểm cạnh AB , CD (H.7.25) Chứng minh bốn điểm A , B , C , D thuộc hypebol có hai tiêu điểm M N Giải BM BN CM CN DM DN AM AN 2a MN 2c Ta có: nên bốn điểm A , B , C , D thuộc hypebol có hai tiêu điểm M N HĐ4 Xét hypebol (H) với kí hiệu định nghĩa Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O trung điểm F1F2 , tia Ox trùng tia OF2 (H.7.26) Nêu tọa độ tiêu điểm F1 , F2 Giải thích điểm M x; y thuộc (H) x c y2 x c y 2a (3) x2 y2 1 2 Chú ý Người ta biến đổi (3) dạng a b , với b c a Giải Giả sử Vì M x; y H M x; y H , ta có: nên F1 c; F2 c;0 MF1 , , MF1 MF2 2a hay x c x c y2 y2 x c , MF2 y 2a x c y2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hồnh cho O trung điểm x2 y2 1 đoạn thẳng nối hai tiêu điểm có phương trình a b , với a, b (4) Ngược lại, phương trình có dạng F1 a b ;0 , F a b ;0 4 phương trình hypebol có hai tiêu điểm , tiêu cự x 2 a b giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm 2a Phương trình (4) gọi phương trình tắc hypebol tương ứng ... có số đo (H.7.19) Do đó, tam giác ABC , BCD , DEF , EFA (c.g.c) Suy AC BD DF AE Từ ta có: BA BD CA CD EA ED FA FD AD Vậy B, C, E, F thuộc elip có hai tiêu điểm A D Luyện tập