Cđ-Bài 1. Pp Quy Nạp Toán Học.docx

VnTeach Com; Tiết 81,82,83,84,93 BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Thời gian thực hiện 5 tiết I MỤC TIÊU 1 Kiến thức Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học dùng để chứng minh một mệnh đề[.]

Tiết 81,82,83,84,93 BÀI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Thời gian thực hiện: tiết I MỤC TIÊU Kiến thức - Hiểu nội dung phương pháp qui nạp toán học dùng để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên Năng lực Năng lực YCCĐ NĂNG LỰC ĐẶC THÙ Năng lực tư – Mô tả bước chứng minh tính đắn mệnh đề tốn học phương pháp quy nạp lập luận toán học - Biết chưng minh mệnh đề với số tự nhiên Năng lực giải n ≥ phương pháp quy nạp toán học vấn đề toán học - Chứng minh tính đắn mệnh đề tốn học phương pháp quy nạp toán học – Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải Năng lực mơ hình số vấn đề thực tiễn: Tìm quy luật hóa tốn học tốn chọn hình làm tốn tính lãi suất ngân hàng NĂNG LỰC CHUNG Năng lực tự chủ Tự giải tập trắc nghiệm phần luyện tập tự học tập nhà Năng lực giao tiếp Tương tác tích cực thành viên nhóm thực hợp tác nhiệm vụ hợp tác Phẩm chất: Có ý thức hỗ trợ, hợp tác với thành viên nhóm để Trách nhiệm hồn thành nhiệm vụ Có ý thức tơn trọng ý kiến thành viên nhóm Nhân hợp tác II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU - Kiến thức số phép toán liên quan tới số tự nhiên - Máy chiếu - Bảng phụ - Phiếu học tập III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : HOẠT ĐỘNG 1: XÁC ĐỊNH VẤN ĐỀ a) Mục tiêu: - Biết phối hợp hoạt động nhóm - Tạo hứng thú vào b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tìm tịi quy luật tốn quy nạp Chia hình vng cạnh thành bốn hình vng nhỏ nhau, lấy hình vng nhỏ thứ (ở góc bên trái, Hình (màu đỏ), cạnh hình vng Chia hình vng nhỏ góc bên phải thành bốn hinh vuông nhau, lấy hình vng nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh hinh vng Tiếp tục q trình ta dãy hình vng nhỏ (màu đỏ) Hinh Cạnh hình vng nhỏ thứ n (màu đỏ) bao nhiêu? Vì sao? c) Sản phẩm: Câu trả lời HS: Cạnh hình vng thứ n 2n d) Tổ chức thực hiện: Giao nhiệm vụ GV giao câu hỏi cho nhóm hồn thành trước nhà, làm thành file trình chiếu, cử đại diện thuyết trình Thực nhiệm vụ Báo cáo, thảo luận Kết luận, nhận định HS chia nhóm học tập phân cơng thực - GV gọi nhóm học sinh ( bốc thăm), nhóm cử đại diện lên bảng trình bày câu trả lời - Các nhóm học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời - GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận tổng hợp kết - Phương pháp đánh giá (PP đánh giá làm nhóm.) - Dẫn dắt vào 2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI 2.1 Phương pháp quy nạp toán học a) Mục tiêu: Phát biểu giải thích bước để chứngminh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n mà kiểm tra trực tiếp b)Nội dung: H1: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 1+3+5+ …+(2 n−1)=n2 " với n số nguyên dương a) Chứng tỏ P(1) mệnh đề b) Với k số nguyên dương tuỳ ý mà P( k) mệnh đề đúng, cho biết 1+3+5+ …+(2 k −1) c) Với k số nguyên dương tuỳ ý mà P( k) mệnh đề đúng, chứng tỏ P( k+ 1) mệnh đề cách k 2+[2(k +1)−1]=¿ H2: Vi dụ 1: Chứng minh n3 −n chia hết cho với n ∈ N ¿ 1 n H3: Vi dụ Chứng minh với n ∈ N ¿, ta có: 1.2 + 2.3 + …+ n(n+1) = n+ c) Sản phẩm: H1 Ta chứng tỏ rằng:  P(1) mệnh đề đúng, -Với k số nguyên dương tuỳ ý, P( k) mệnh đề P( k+ 1) mệnh đề Khi P(n) mệnh đề với n ∈ N ¿ theo nguyên lí mà ta gọi nguyên lí quy nạp toán học Phương pháp chứng minh (để khẳng định tinh đẳn mệnh đề toán học) gọi phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ phương pháp quy nạp toán học, ta làm sau: Bước Chứng tỏ mệnh đề với n=1 Bước Với k số nguyên dương tuỳ ý mà P( k) mệnh đề (gọi giả thiết quy nạp), ta phải chứng tỏ P( k+ 1) mệnh đề Nhận xét: Để chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n , n ≥ m ( m∈ N ¿ ) phương pháp quy nạp toán học, Bước cách làm trên, ta phải chứng tỏ mệnh đề với n=m H2: Vi dụ 1: Chứng minh n3 −n chia hết cho với n ∈ N ¿ Buớc Khi n=1, ta có: 13−1=0 chia hết cho Bước Với k số nguyên dương tuỳ ý mà k −k chia hết cho , ta phải chứng minh ¿ chia hết cho Thật vậy, ta có: ¿ Theo giả thiết quy nạp, k −k :3, mà ( k + k ) : Suy k −k +3 ( k 2+ k ) ⋮3 , tức ¿ Do đó, theo ngun lí quy nạp tốn học, n3 −n chia hết cho với n ∈ N ¿ 1 H3: Bước Khi n=1, ta có: 1⋅(1+1) = 1+1 , đẳng thức với n=1 Bước Với k số nguyên dương tuỳ ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng 1 k +1 minh đẳng thức với k +1, tức 1.2 + 2⋅3 +…+ (k +1)[(k +1)+1] = (k + 1)+1 1 k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1.2 + 2.3 + …+ k (k +1) = k +1 Suy 1 1 + +…+ + 1.2 2⋅3 k (k +1) ( k +1) [(k +1)+ 1] k ¿ + k +1 (k +1)(k +2) ¿ * với n  N d) Tổ chức thực HĐTP1 Chuyển giao nhiệm vụ Thực nhiệm vụ Báo cáo thảo luận Trình chiếu nội dung câu hỏi 1, chia lớp thành nhóm HS: Nghe, quan sát nhận nhiệm vụ, phân cơng thành viên nhóm GV: Cho học sinh thảo luận phút HS: Đọc yêu cầu, trình bày nội dung câu trả lời bảng phụ Nhóm đại diện báo cáo sản phẩm, nhóm cịn lại kiểm tra chéo theo sơ đồ 1-2-3-4 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết đạt nhóm ; đặt vấn đề chứng minh mệnh đề Q(n) n  N Hướng dẫn Đánh giá, nhận học sinh thực hiện.Cho học sinh phát biểu nội dung phương xét, tổng hợp pháp quy nạp * - Phương pháp đánh giá (PP đánh giá làm nhóm.) HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP a) Mục tiêu: HS biết áp dụng kiến thức phương pháp quy nạp toán học vào tập cụ thể sách giáo khoa tập trắc nghiệm cụ thể b) Nội dung: PHIẾU HỌC TẬP TỰ LUẬN * Câu Chứng minh với n   , ta có: a)     3n   n  3n  1 b) n  11n chia hết cho 1 Sn     1.2 2.3 n(n  1) với n  * Câu Cho tổng a) Tính S1 , S2 , S3 b) Dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh qui nạp TRẮC NGHIỆM Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A  n  với số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên) Ở bước (bước sở) chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A n  p B n 1 C n  p D n  p Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên (là số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề với Khẳng định sau đúng? A k  p B k  p C k  p D k  p Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A  n  với số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề A  n  với n  p  Bước 2, giả thiết mệnh đề A  n  với số tự nhiên n k  p phải chứng minh với n k  Trong hai bước trên: A Chỉ có bước C Cả hai bước Câu Cho 1 1 Sn      12 3 4 n  n  1 B Chỉ có bước D Cả hai bước sai * với n  N Mệnh đề sau đúng? S3  12 A Câu Cho A A C n n B Sn  n 2n  n n 1 B Sn  S2  D S3  * với n  N Mệnh đề sau đúng? 1 Sn     3 5  2n  1  2n  1 Sn  Sn  1 1 Sn      12 3 4 n  n  1 Sn  Câu Cho B S2  C Sn  n 1 n2 Sn  D n2 n 3 * với n  N Mệnh đề sau đúng? n 2n  Sn  C n 3n  D n2 2n   1    Pn               n  với n 2 n   Mệnh đề sau Câu Cho đúng? A P n 1 n2 B P n 2n C P n 1 n D P n 1 2n * Câu 10 Với n   , hệ thức sau sai? A    n  C n  n  1      2n  1 n 2 22  42  62     2n   B 12  22   n  n  n  1  2n  1 D 2n  n  1  2n  1 c) Sản phẩm: Học sinh thể bảng nhóm kết làm ĐÁP ÁN TỰ LUẬN Câu a) + Với n 1 VT = = VP Vậy hệ thức với n 1 + Giả sử (a) n k (k 1) , tức     3k   Ta CM với n k  (a) đúng, nghĩa Ta có:      k  1  k  3k  1      k  1    k  1  3k   2      3k  1   3k    k  3k  1 3k  k   k  1  3k     3k     2 Do (a) với n k  * Vậy (a) với n   b) Đặt P(n) n 11n - Khi n 1 , ta có P(1) 126 Suy mệnh đề với n 1 - Giả sử mệnh đề n k 1 , tức là: P(k ) k 11k 6 - Ta cần chứng minh mệnh đề n k  , tức chứng minh: P (k  1) ( k  1)3  11( k  1) 6 Thật vậy: P (k  1) k  3k  3k   11k  11 k  3k  14k  12  k  11k   3( k  k )  12 P (k )  3k (k  1)  12 Mà P(k )6 , 3k (k 1)6 (do k k  số tự nhiên liên tiếp nên k (k 1)2 ) 126 nên P(k 1)6  Mệnh đề n k  * Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n   Câu a) HS tính S1 , S2 , S3 b) CM: Sn  n n  với n  * (*) * Với n 1 VT = = VP Vậy hệ thức với n 1 1 k     k (k  1) k  * Giả sử (*) n k (k 1) , tức 1.2 2.3 Ta CM với n k  (*) đúng, 1 1 k 1      1.2 2.3 k ( k  1) ( k 1)  k   k  Ta có: 1 1 k k 1        1.2 2.3 k (k  1) ( k  1)  k   k  (k  1)  k   k  * Do (*) với n k  Vậy (*) với n   nghĩa là: d) Tổ chức thực Chuyển giao GV: Chia lớp thành nhóm Phát phiếu học tập HS: Nhận nhiệm vụ, GV: Điều hành, quan sát, hỗ trợ Thực Báo cáo thảo luận HS: nhóm tự phân cơng nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực nhiệm vụ Ghi kết vào bảng nhóm Đại diện nhóm trình bày kết thảo luận Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ý kiến phản biện để làm rõ vấn đề GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời nhóm học sinh, ghi nhận tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời Đánh giá, nhận tốt xét, tổng hợp Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ - Phương pháp đánh giá (PP đánh giá làm nhóm.) HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG a) Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tế sống, toán thực tế… b) Nội dung PHIẾU HỌC TẬP Vận dụng 1: Em dự đoán xem, tâm đường trịn nằm vị trí nào, bán kính bao nhiêu? Kết 1: Bán kính đường trịn số Fibonacci( Quy nạp kiểu Fibonacci) Vận dụng 2: Tìm quy luật Kết 2: Đáp án có chữ số đầu chữ số cuối 1, xếp số tịnh tiến, mang tính đối xứng Vận dụng 3: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi Cn  n  n  3 , n 4 Kết 3: Khẳng định với n 4 tứ giác có hai đường chéo Ck  k  k  3 Giả sử khẳng định với n k 4 , tức Ta cần chứng minh khẳng định n k  , có nghĩa phải chứng minh Ck 1   k  1  k   Thật Khi ta vẽ thêm đỉnh Ak 1 cạnh Ak A1 trở thành đường chéo Ngoài từ đỉnh Ak 1 ta kẻ tới k  đỉnh cịn lại để tạo thành đường chéo Nên số đường chéo tạo thành ta thêm đỉnh Ak 1 k  1 k  Vậy ta có Ck 1 Ck  k   k  k  3  k  1  k   k  1 2 c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày nhóm học sinh d) Tổ chức thực Chuyển giao Thực Báo cáo thảo luận GV: Chia lớp thành nhóm Phát phiếu học tập HS: Nhận nhiệm vụ Các nhóm HS thực tìm tịi, nghiên cứu làm nhà HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ý kiến phản biện để làm rõ vấn đề GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời nhóm học sinh, ghi nhận tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt Đánh giá, nhận - Chốt kiến thức tổng thể học xét, tổng hợp - Hướng dẫn HS nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức học sơ đồ tư - Phương pháp đánh giá (PP đánh giá làm nhóm.)