TOÁN 11 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 1D3-1 PHẦN A CÂU HỎI Câu Câu A( n) Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự n≥ p p nhiên ( số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: A( n) n = p • Bước 1, kiểm tra mệnh đề với A( n) n=k≥ p • Bước 2, giả thiết mệnh đề với số tự nhiên phải chứng minh n = k + với Trogn hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai Một học sinh chứng minh mệnh đề chia hết cho sau: k ( *) +1 n=k • Giả sử với , tức chia hết cho 8k +1 + = 8k + − 8k + • Ta có: , kết hợp với giả thiết chia hết suy k +1 * ( *) +1 n∈¥ chia hết cho Vậy đẳng thức với Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp ( Sn = Câu Cho S3 = A Cho A Câu B B với n ∈ N* Mệnh đề sau đúng? S2 = S3 = C D S2 = 1 1 + + + + ×2 ×3 ×4 n ( n + 1) n −1 Sn = n Cho ) 1 1 + + + + ×2 ×3 ×4 n ( n + 1) 12 Sn = Câu 7, ∀n ∈ ¥ * '' ( *) ''8n + với n ∈ N* n Sn = n +1 1 Pn = 1 − ÷ − ÷ 1 − ÷ n với n≥2 Mệnh đề sau đúng? n +1 n+2 Sn = Sn = n+2 n+3 C D n ∈ ¥ Mệnh đề sau đúng? P= A Câu n +1 n+2 Với A B C P= B n −1 2n P= C P= D n +1 2n n ∈ ¥* , hệ thức sau sai? n ( n + 1) + + + n = + + + + ( n − 1) = n2 n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + + n = 2 + 42 + 62 + L + ( 2n ) = D 2n ( n + 1) ( 2n + 1) S = + + + n n Câu Với mối số nguyên dương , đặt n(n + 1)( n + 2) n(n + 1)(2n + 1) S= S= A B n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) S= S= C D Câu Đặt Câu n +1 n Tn = + + + + (có Mệnh đề đúng? n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? π π Tn = cos n +1 Tn = cos n +1 Tn = Tn = 2 A B C D 1 Sn = + + + 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) n∈¥* Đặt ,với Mệnh đề đúng? n +1 3n − n n+2 Sn = Sn = Sn = Sn = 2(2n + 1) 4n + 2n + 6n + A B C D n 2n +1 > n2 + 3n Câu 10 Tìm tất số nguyên dương cho n≥6 n≥3 n≥5 A B C S n n≥3 Câu 11 Tổng góc đa giác lồi cạnh, , là: S = ( n − ) 180° S = n.180° A B S = ( n − 1) 180° S = ( n − 3) 180° C D Câu 12 Với n∈¥* , rút gọn biểu thức S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n ( 3n + 1) D n≥4 A S = n ( n + 1) B k ! = k ( k − 1) 2.1, ∀k ∈ ¥ * Câu 13 Kí hiệu đúng? S n = 2.n ! A n∈¥* Câu 14 Với , đặt đúng? Tn 4n + = M n 2n + A S = 2n ( n + 1) D Sn = 1.1!+ 2.2!+ + n.n ! n∈¥* Với , đặt Mệnh đề S = n ( n + 2) B Sn = ( n + 1) !− C Tn = 12 + 2 + 32 + + ( 2n ) B Tn 4n + = M n 2n + C S = n ( n + 1) S n = ( n + 1) ! D Sn = ( n + 1) !+ M n = 22 + 42 + 62 + + ( 2n ) Tn 8n + = Mn n +1 Mệnh đề Tn 2n + = Mn n +1 C D p n≥ p > 2n + Câu 15 Tìm số nguyên dương nhỏ để với số nguyên p=5 p=3 p=4 p=2 A B C D n∈¥* 2n > n Câu 16 Tìm tất giá trị cho n≥5 n =1 n≥6 n≥7 n =1 n≥5 A B C D 1 an + b + + + = ( ) ( ) a , b, c 2.5 5.8 3n − 3n + cn + n Câu 17 Với số nguyên dương , ta có: , 2 T = ab + bc + ca số nguyên Tính giá trị biểu thức T =3 T =6 T = 43 T = 42 A B C D an + − ÷ − ÷ 1 − ÷ = a, b n bn + n≥2 Câu 18 Với số nguyên dương , ta có: , số T = a + b2 nguyên Tính giá trị biểu thức P=5 P=9 P = 20 P = 36 A B C D 3 * + + + n = an + bn + cn + dn + e, ∀n ∈ ¥ Câu 19 Biết Tính giá trị biểu thức M = a +b+c +d +e 1 M= M= M =4 M =1 A B C D 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = a1n + b1n + c1n + d1 n Câu 20 Biết số nguyên dương , ta có ( ) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n 3n − = a2 n + b2n + c2n + d Tính giá trị biểu thức T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d n A T =2 B + + + n k Câu 21 Biết k n ( n + 1) S1 = T =1 M = k , n ( n + 1) ( 2n + 1) S2 = C n, k T= D số nguyên dương Xét mệnh đề sau: n ( n − 1) S3 = , , Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B C n∈¥* P :"7 n + n ( n + 1) ( 2n + 1) ( 3n + 3n − 1) S4 = 30 D n 3" 2" Q :"7 + chia hết cho ; chia hết cho Câu 22 Với , ta xét mệnh đề n Q :"7 + 6" chia hết cho Số mệnh đề mệnh đề : A B C D n n ≥ 2n −1 Câu 23 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương bất đẳng thức ” Một học sinh trình bày lời giải toán bước sau: n =1 n ! = 1! = n ! ≥ 2n −1 2n−1 = 21−1 = 20 = Bước 1: Với , ta có: Vậy k −1 n = k ≥1 k!≥ Bước : Giả sử bất đẳng thức với , tức ta có ( k + 1) ! ≥ 2k n = k +1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với , nghĩa phải chứng minh ( k + 1) ! = ( k + 1) k ! ≥ 2.2 k −1 = 2k n! ≥ 2n−1 Bước : Ta có Vậy Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước 1 1 an + bn + + + = 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) cn + dn + 16 với số nguyên dương n D Sai từ bước Câu 24 Biết nguyên dương Tính giá trị biểu thức : T = 75 T = 364 A B T = ( a + c) ( b + d ) C T = 300 , a, b, c, d n số D T = 256 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu Câu Câu Chọn C n =1 81 + = Chọn D Thiếu bước kiểm tra với , ta có khơng chi hết cho 1 → = n ( n + 1) 2 + × Sn ( ) n=2 Nhìn vào cho , ta 1 S2 = + = n=2 1×2 ×3 Do với , ta có Chọn C Câu Câu Câu Câu Đáp án S1 = , S2 = , S3 = Cách trắc nghiệm: Ta tính Từ ta thấy quy luật từ nhỏ mẫu đơn vị Chọn B n S1 = , S = , S3 = → Sn = n +1 Cách tự luận Ta có dự đốn 1 S1 = = n =1 1.2 + • Với , ta : 1 k + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + n = k ( k ≥ 1) • Giả sử mệnh đề , tức 1 k + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + • Ta có 1 1 k ⇔ + + + + = + 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + ( k + 1) ( k + ) ⇔ 1 1 k + 2k + + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) ⇔ 1 1 k +1 + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + Suy mệnh đề với n = k +1 → P2 = 1 − ÷ = n = 1 n = → P3 = 1 − ÷ 1 − ÷ = n≥2 Vì nên ta cho Kiểm tra đáp án cho D thỏa Chọn D n =1 n = n = Bẳng cách thử với , , ta kết luận Chọn D n∈ ¥* C Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học , ta có n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + + n = đẳng thức 1(1 + 1)(2.1 + 1) =1 n =1 =1 - Bước 1: Với vế trái , vế phải n =1 Vậy đẳng thức với n = k ≥1 -Bước 2: Giả sử đẳng thức với , tức chứng minh (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1) = = 6 n = k +1 Ta phải chứng minh đẳng thức với , tức chứng minh (k + 1) [ (k + 1) + 1] [ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1) = = 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k + 1)(k + 1)(2k + 1) 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = + ( k + 1) Mà (k + 1)( k + 1)(2k + 1) k ( k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) ( k + 1)( k + 2)(2 k + 3) + (k + 1) = = 6 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = Suy (k + 1)( k + 2)(2k + 3) n = k +1 Do đẳng thức với Suy có điều phải chứng minh Vậy phương án C Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thông qua số giá trị cụ thể n S = 12 = n =1 + Với (loại phương án B D); 2 S =1 + = n=2 + Với (loại phương án A) Vậy phương án C Câu Tn = cos Đáp án B Ta chứng minh π 2n +1 phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: π π cos 1+1 = cos = n =1 2 Bước 1: Với vế trái , cịn vế phải n =1 Vậy đẳng thức với π Tk = cos k +1 n = k ≥1 Bước 2: Giả sử đẳng thức với , nghĩa Ta phải chứng minh đẳng thức với Thật vậy, n = k +1 Tk +1 = cos , tức chứng minh Tk +1 = + Tk = + cos Tk +1 = + Tk π 2k +2 π 2k +1 nên theo giả thiết quy nạp ta có π π π π π + cos k +1 = + cos k + ÷ = cos k + Tk +1 = 2.2 cos k + = cos k + 2 2 Mặt khác, nên Vậy phương án B Câu Đáp án C Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện 1 1 = − ÷ (2k − 1)(2k + 1) 2k − 2k + k Với số nguyên dương , ta có 1 1 1 1 n S n = − + − + + − ÷ = 1 − ÷= 2 3 n − 2n + 2n + 2n + Do đó: Vậy phương án phương án C Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n 1 S1 = = n =1 1.3 Với (chưa loại phương án nào); 1 S2 = + = n=2 1.3 3.5 Với (loại phương án A,B D Vậy phương án phương án C Câu 10 n = 1, 2,3, 4, D Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp ta dự đoán n +1 2 > n + 3n, n ≥ với Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: 24+1 = 25 = 32, 42 + 3.4 = 28 n=4 -Bước 1: Với vế trái vế phải 32 > 28 n = Do nên bất đẳng thức với n = k ≥ 4, 2k +1 > k + 3k -Bước 2: Giả sử đẳng thức với nghĩa n = k + 1, Ta phải chứng minh bất đẳng thức với tức phải chứng minh ( k +1) +1 > ( k + 1) + ( k + 1) 2k + > k + 5k + hay 2k +1 > k + 3k Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2.2k +1 > ( k + 3k ) k + > 2k + 6k Suy hay 2 2k + 6k − ( k + 5k + ) = k + k − ≥ + − = 16 k ≥ Mặt khác với 2k + > ( k + 3k ) > k + 5k + n = k + Do hay bất đẳng thức với Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D Câu 11 Đáp án B 180° 360° Cách 1: Từ tổng góc tam giác tổng góc từ giác , S = ( n − ) 180° dự đoán Đáp án Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ cơng thức Cụ n=3 S = 180° n=4 S = 360° thể với (loại ln phương án A, C D); với (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) Đáp án A S Để chọn đúng, dựa vào ba cách sau đây: n Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n =1 S = 1.4 = n=2 S = 1.4 + 2.7 = 18 Với (loại phương án B C); với (loại phương án D) n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 S Cách 2: Bằng cách tính trường hợp ta dự S = n ( n + 1) đoán công thức n ( n + 1) + + + n = S Cách 3: Ta tính dựa vào tổng biết kết n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + + n = S = ( 12 + 2 + + n ) + ( + + + n ) = n ( n + 1) Ta có: Đáp án B Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: n Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể S1 = 1.1! = n =1 Với (Loại phương án A, C, D) Sn Cách 2: Rút gọn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k k ! = ( k + − 1) k ! = ( k + 1) k !− k ! = ( k + 1) !− k ! Suy ra: Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + + ( ( n + 1) !− n!) = ( n + 1) !− Đáp án A Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: n Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể T1 = 2 T1 = + = 5; M = = M1 n =1 Với nên (loại phương án B, C, D) Tn , M n Cách 2: Chúng ta tính dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: Tn 4n + 2n ( 2n + 1) ( 4n + 1) 2n ( n + 1) ( 2n + 1) = Tn = ;Mn = M n 2n + Suy Đáp án B p=2 p > p +1 Dễ thấy bất đẳng thức sai nên loại phương án D Xét với p=3 ta thấy p > p +1 bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học p=3 > 2n + n≥3 chứng minh với Vậy số nguyên dương nhỏ cần tìm Câu 16 Đáp án D n =1 Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C n =1 Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học n > n , ∀n ≥ chứng minh Câu 17 Đáp án B 1 1 = − ( 3k − 1) ( 3k + ) 3k − 3k + ÷ Cách 1: Với ý , có: 1 11 1 1 + + + = − + − + + − ÷ ( 3n − 1) ( 3n + ) 5 2.5 5.8 3n − 3n + n = 3n n = ( ) 3n + 6n + Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: T = ab + bc + ca = Suy Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = a = 1, b = 0, c = a + b 2a + b x + b = ; = ; = c = 10 2c + 3c + 22 ta được: 2 a = 1, b = 0, c = T = ab + bc + ca = Giải hệ phương trình ta Suy Câu 18 Đáp án C k −1 k +1 1− = k k k Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: Suy 1 n − n + n + 2n + = = − ÷ − ÷ 1 − ÷ = n 2 3 n 2n 2n 4n a = 2, b = P = a + b = 20 Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: Suy a + 3a + 2 = ; = n = 2, n = b 3b Cách 2: Cho ta Giải hệ phương trình trren ta 2 a = 2; b = P = a + b = 20 Suy Câu 19 Đáp án B 13 + 23 + + n3 = n ( n + 1) n + 2n + n = 4 Cách 1: Sử dụng kết biết: So sánh cách hệ số, 1 a = ;b = ;c = ; d = e = 4 ta n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = a , b , c, d , e Cách 2: Cho , ta hệ phương trình ẩn Giải hệ 1 a = ;b = ;c = ; d = e = M = a +b+c + d + e =1 4 phương trình đó, ta tìm Suy Câu 20 Đáp án C Cách 1: Sử dụng tổng lũy thừa bậc bậc ta có: 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = ( 12 + 22 + + n ) + ( + + + n ) = n3 + n + n 3 +) a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 3 Suy 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) = ( 12 + 2 + + n ) − ( + + + n ) = n3 + n +) a2 = b2 = 1; c2 = d = Suy T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Do n = 1, n = 2, n = 3, n = Cách 2: Cho sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = a2 = b2 = 1; c2 = d = 3 ; T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Do Câu 21 Đáp án D n ( n − 1) S3 = thấy có sai Câu 22 Đáp án A 7n + Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh chia hết cho n =1 + = 12M6 Thật vậy: Với n = k ≥1 7k + Giả sử mệnh đề với , nghĩa chia hết ccho n = k +1 k +1 + Ta chứng minh mệnh đề với , nghĩa phỉa chứng minh chia hết cho k +1 k + = ( + ) − 30 Ta có: k k +1 + = ( k + ) − 30 +5 Theo giả thiết quy nạp chia hết chia hết cho 10 7n + Câu 23 Câu 24 Vậy Đáp án Đáp án chia hết cho với A C n ≥1 Do mệnh đề P Q 1 1 = − k ( k + 1) ( k + ) k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) Phân tích phần tử đại diện, ta có: 1 + + + 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) Suy ra: 1 1 1 1 = − + − + + − 1.2 2.3 2.3 3.4 n ( n + 1) ( n + 1) ( n + ) = 1 − ( ) ( ) n + n + n + 3n 2n + 6n = 4n + 12n + 8n + 24n + 16 = a = 2; b = 6; c = 8; d = 24 Đối chiếu với hệ số, ta được: T = ( a + c ) ( b + d ) = 300 Suy ra: 11 ... Bằng phương pháp quy nạp toán học n > n , ∀n ≥ chứng minh Câu 17 Đáp án B 1? ?? 1 = − ( 3k − 1) ( 3k + ) 3k − 3k + ÷ Cách 1: Với ý , có: 1 1? ?1 1 1 + + + = − + − + + − ÷ ( 3n − 1) (... a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = a2 = b2 = 1; c2 = d = 3 ; T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Do Câu 21 Đáp án D n ( n − 1) S3 = thấy có sai Câu 22 Đáp án A 7n + Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng... phương pháp quy nạp tốn học , ta có n(n + 1) (2n + 1) 12 + 22 + 32 + + n = đẳng thức 1( 1 + 1) (2 .1 + 1) =1 n =1 =1 - Bước 1: Với vế trái , vế phải n =1 Vậy đẳng thức với n = k ? ?1 -Bước 2: Giả sử