Bµi 2 : Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát... để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì.[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I Kiến thức A n Để chứng minh mệnh đề chứa biến là mệnh đề đúng với giá trị nguyên n ≥ p( p ∈ N❑ ) , ta thực hai bước sau: dương A n Bước Chứng minh là mệnh đề đúng n = p Bước Với k là số nguyên dương tùy ý lớn p, xuất phát từ giả thiết A n A n là mệnh đề đúng n k , ta phải chứng minh là mệnh đề đúng n k II Các bài toán n Bµi Cho A(n) = 23 +1 Chøng minh A(n) chia hÕt cho 3n+1 & kh«ng chia hÕt cho 3n+2 Gi¶i Ta cã: +Víi n=1 th× 23+1= dÔ thÊy A(1) chia hÕt cho 32 mµ kh«ng chia hÕt cho 33 Trong trêng hîp này mệnh đề đúng +Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên k, tức là: A(k) chia hết cho k+1 & không chia hết cho 3k+2 +Ta chứng minh mệnh đề dúng với n= k+1 k+ k ThËt vËy: ta cã Ak+1= 23 +1 =( 23 +1− )3+1= (Ak-1)3+1 =Ak.[(Ak-1)2-(Ak-1)+1)] =3Ak.(Ak2/3-Ak+1) Ta thÊy (Ak2/3-Ak+1) lµ sè tù nhiªn kh«ng chia hÕt cho 3, mµ A k chia hÕt cho 3k+1 & kh«ng chia hÕt cho 3k+2 nªn 3.Ak chia hÕt cho 3k+2 & kh«ng chia hÕt cho 3k+3 VËy Ak+1 chia hÕt cho 3k+2 & kh«ng chia hÕt cho 3k+3 Theo nguyªn lý quy n¹p ta cã §PCM Bµi : Chứng minh bất đẳng thức Côsi trường hợp tổng quát Với thì Giải: Dùng phương pháp quy nạp: + Với n = đúng tøc lµ a1 +a2 ≥ √ a1 a2 đúng + Gi¶ sö với n = k đúng tøc lµ a1 +a2 + + ak k ≥ √ a1 a2 a k k (2) +Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n= k+1 tức là a1 +a2 + + ak+1 k ≥ √ a1 a2 ak+ k +1 (để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì ) III Bµi tËp tù gi¶i: Bài Chứng minh với số nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức sau: 1.2 2.5 n 3n 1 n n 1 Bài Chứng minh với số nguyên dương n 2 1 1 n n Bài Giả sử x Chứng minh với số nguyên dương n ta có: sin nx n sin x Bài Chứng minh 1.1! 2.2! n.n ! n 1 ! với số nguyên đương n n n 1 n n 3 1.2.3 2.3.4 n n 1 n Bài Chứng minh với số nguyên dương n n 1 2n Bài Chứng minh chia hết cho 21 với số nguyên dương n 1 1 n 1 2 n Bài Chứng minh với số nguyên dương n Bài Chứng minh với số tự nhiên n 1 và với x k 2 , k ta có: n 1 x nx sin x sin x sin nx sin x sin n 1 sin x nx cos x cos2x cosnx cos x sin 2 Bài Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương x1, x2, …, xn thỏa mãn điều kiện x1 x2 xn 1 Chứng minh x1 x2 xn n sin 1.3.5 2n 1 , n * N ❑ 2.4.6 2n 3n Bài 10 Chứng minh bất đẳng thức (3)