phương pháp quy nạp toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA: TOÁN – TIN HỌC Môn: Số Học Logic Bài Tiểu Luận PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC MỤC LỤC I II III IV V VI VII Lời dẫn Trang Giới thiệu phương pháp Trang Các ví dụ áp dụng Trang Các nhận xét, ý áp dụng Trang 10 Bài tập tự luyện Trang 11 Hướng dẫn, bình luận cho tập .Trang 12 Tài liệu tham khảo Trang 22 I LỜI DẪN Phương pháp quy nạp tốn học hình thức suy luận, nữa, phương pháp chứng minh cổ điển toán học (một số sử gia cho phương pháp sử dụng từ trước công nguyên Plato, Aristotle) Có thể nói phương pháp chứng minh hiệu quả, việc đưa vào chương trình Tốn trung học phổ thơng tất yếu Bên cạnh đó, việc thực bước chứng minh quy nạp giúp học sinh phát triển lực trí tuệ (tổng hợp, khái qt hóa) Nhà tốn học lớn , GS TSKH nguyễn Cảnh Toàn khẳng định : “Tốn học mơn học thuận lợi việc rèn luyện tư logic, cách dạy lại ý rèn luyện khả suy diễn coi nhẹ khả quy nạp “Phương pháp suy diễn giúp bao quát nhanh lĩnh vực rộng ,song phương pháp xây dựng từ riêng đến chung dẫn tới tư độc lập sáng tao cách vững Học sinh giỏi biết phương pháp quy nạp tốn học từ học lớp trung học sở, nói chung phải đợi đến năm học lớp 11 em làm quen lần đầu với phương pháp (qua sách giáo khoa Đại số Giải tích) Và với thời lượng khiêm tốn chương trình tốn lớp 11 (lượng tập ỏi), nói chung kiến thức kỹ chứng minh quy nạp học sinh thường hạn chế Vai trò quy nạp vơ quan trọng việc xây dựng khái niệm mới, chọn lọc tiên đề trước chứng minh định lý , nói lúc nhà tốn học dùng phương pháp quy nạp la lúc quan trọng nghiệp phát triển toán học Phương pháp quy nạp toán học phương pháp hay hữu dụng Mặc dù thực tế dạy học , trọng đến suy diễn , suy luận chứng minh, chưa ý đến quy nạp , đến khả tư độc lập sáng tạo , phát học sinh II GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP, VẤN ĐỀ, CƠ SỞ LÝ THUYẾT, CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Theo từ điển tốn học thơng dụng , phương pháp quy nạp phương pháp quy luận dựa quan sát thí nghiệm , xuất phát từ trường hợp riêng lẽ, mở rộng kết có tính chất quy luật cho trường hợp tổng quát Các loại suy luận quy nạp : Quy nạp toán học phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất suy diễn, chứa yếu tố quy nạp, cụ thể bước thử trực tiếp mệnh đề đứng với n = (hoặc n = p) Phương pháp quy nạp toán học phương pháp chứng minh quan trọng tốn học, sở ngun lý quy nạp tốn học Quy nạp hồn tồn : suy luận kết luận chung, khái quát rút sở nghiên cứu tất đối tượng lớp đó, đặc trưng nghiên cứu toàn đối tượng thuộc phạm vi xem xét để rút kết luận chung vè chúng Ta có sơ đồ khái quát sau: là … là Tức đối tượng lớp S có tính chất P lớp có tính chất P Phương pháp đưa vào chương trình tốn phổ thơng dạng ẩn tàng Ví dụ: Trong chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí: Trong đường tròn , số đo góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn cung Quy nạp khơng hồn tồn Quy nạp khơng hồn tồn suy luận mà kết luận khái quát chung lớp đôi tượng định rút sở nghiên cứu không đầy đủ đối tượng lớp Thực chất việc nghiên cứu tiến hành cho só đối tượng lớp đối tượng lớp song kết luận lại rút chung cho lớp Chúng ta dự đoán kết tổng quát sau xem xét số trường hợp riêng mà Quy nạp khơng hồn tồn khơng thể xem phương pháp chứng minh tốn học Nó phương pháp có hiệu lực để phát chân lý mới, đưa đến kết luận Chẳng hạn , để tìm cơng thức tổng n số lẻ , ta xét trường hợp riêng: Các kết cho phép dự đoán , tức tổng n số lẻ Đây kết luận chứng m inh quy nạp toán học Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp khơng hồn tồn đưa đến kết sai Ví dụ xét số dạng (số Fermat) Cho n giá trị 1,2, ta số tương ứng 3, 17, 137 số nguyên tố Do ta có thẻ nghĩ tất số Fermat la số nguyên tố Song kết luận không Với n = , Euler chia hết cho 641 Nói tóm lại , kết tìm phương pháp quy nạp khơng hồn tồn giả thuyết , chừng chưa chứng minh Trong toán học, phương pháp quy nạp hồn tồn nói chung , cỉ dử dụng cách có giới hạn đa số mệnh đề tốn học sử dụng cách có giới hạn đa số mênh đề tốn học bao gồm vơ số trường hợp riêng Do nói chung khơng thể sử dụng phương pháp quy nạp hồn tồn Còn phương pháp quy nạp khơng hồn tồn, kết luận sai lại có ý nghĩa to lớn việc tìm tòi , dự đốn, tìm tri thức Polya khẳng định : Suy luận quy nạp trường hợp riêng suy luận có lý Phương pháp quy nạp mà em học trung học phổ thông thường phương pháp có dạng cổ điển tính đắn nguyên lý quy nạp toán học dựa vào trực quan, trở thành tiên đề hệ tiên đề peano để xây dựng số học Định lý “ Nguyên lý quy nạp toán học “ Nguyên lý quy nạp: Cho A tập tập N thỏa mãn A với số tự nhiên n n A số tự nhiên m số tiếp sau n A Khi A=N Nguyên lý cực tiểu Mọi tập khác rỗng N chứa số nhỏ nhất, tức số nhỏ số tập hợp Chứng minh nguyên lý cực tiểu Giả sử tồn tập A định sau: n B N khác rỗng mà khơng có phần tử nhỏ nhất, tập B xác với số tự nhiên m, m nhỏ n m khơng thuộc A Rõ ràng B nều khơng A trở thành số nhỏ A Giả sử n B, theo định nghĩa tập B, số từ đến n khơng thuộc A Vậy n+1 thuộc A n+1 số nhỏ A nên n+1 thuộc B Theo nguyên lý quy nạp ta có B=N Một phần tử k thuộc A nghĩa phải số tự nhiên, số tự nhiên liền sau k+1 thuộc B, số k7.A(k) 19 19 19 => 19.3.82k+1 19 => A(k+1) 19 Vậy A(n) = 7k+2 + 82k+1 19 n nguyên dương +Kết luận:Vậy A(n) với số nguyên dương • Dạng 2:Chứng minh đẳng thức  Bài 1:Chứng minh với số nguyên dương n thì: Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1) Giải: +Với n=1,ta có : 1=1 VT=VP.Vậy (1) với n=1 +Giả sử (1) với n=k tức : S(k)= 13 + 23 + 33 + … + k3 = +Ta chứng minh (1) với n = k+1 Tức là: S(k+1)= 13 + 23 + 33 + … + (k+1)3 = =S(k)+(k+1)3 Do đó: S(k+1)= == == S(k+1)= đúng.Vậy (1) với n=k+1 +Kết luận:Mệnh đề (1) số nguyên dương n • Dạng 3:Chứng minh bất đẳng thức  Bài 1:Chứng minh với số nguyên dương n3 thì: 2n>2n+1 (1) Giải: +Với n = VT=8,VP=7=>VT>VP Vậy (1) với n=3 +Giả sử (1) với n=k (kN,k≠3),tức 2k>2k + +Ta phải chứng minh (1) với n = k + 1,tức 2k+1>2k+3 (2) Thật vậy: 2k+1=2k.2.Theo giả thiết quy nạp 2k>2k+1 Do đó: 2k+1>2( 2k + )=( 2k + ).( 2k-1 )>2k + ( 2k-1 > với k3 ) +Kết luận: 2n > 2n+1 với số nguyên dương n Bài 2:Tìm số nguyên dương n cho 2n > 5n Giải: +Với n=1,2,3,4 vế trái nhỏ vế phải +Với n=5 25=32>25=5.5.Vậy bất đẳng thức n=5 +Giả sử bất đẳng thức với n=k tức 2k > 5k +Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n=k+1,tức 2(k+1) > 5(k+1) Thật vậy: 2k+1=2k.2 mà 2k > 5k Nên 2k.2 > 2.5k = 10k = 5k + 5k theo điều kiện k nên 5k > Vì 2k+1 > 5k + = 5(k+1) + Kết luận: Vậy với số nguyên dương n, n ta có 2n > 5n Dạng 4:Chứng minh hình học  Bài 1: Tính tổng góc củamột n-giác khơng tự cắt Giải: Ta thấy ngay: Tổng góc tam giác 180o Nhận xét: Mọi tứ giác chia thành hai tam giác nên tổng góc tứ giác hai lần tổng góc tam giác Với k < n, giả sử chứng minh tổng góc k-giác (k-2).180o Bây ta xét với n-giác A1A2…An Trước hết ta chứng minh đa giác ta tìm đường chéo x chia đa giác thành đa giác có số cạnh Gọi A, B, C ba đỉnh liên tiếp đa giác Ta vẽ tia lấp 10 Giải: Ta có : r2 = ; R2 = Giả sử AB cạnh đa giác 2n, cạnh chu vi p nội tiếp đường tròn O; C trung điểm cung AB; M N trung điểm đoạn thẳng AC BC ; P Q giao điểm AB MN với OC Bởi MN =AB nên MN cạnh đa giác n+1 chu vi p cho trước với tâm O rõ ràng rn+1 = Bởi OMQ OCM nên OM = tức Rn+1 = (ĐPCM) IV CÁC NHẬN XÉT, CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG: Đối với giáo viên: - Trước hết người giáo viên phải xây dựng sở lí thuyết phương pháp quy nạp tốn học việc vận dụng để giải dạng toán cụ thể Nội dung phải chuyển tải đến học sinh, với dạng toán giáo viên đưa ví dụ mẫu, hướng dẫn học sinh dựa sở lý thuyết để tìm cách giải, giáo viên chốt lại giải mẫu Sau yêu cầu học sinh giải tập áp dụng - Phân loại tập từ dễ đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, tạo điều kiện cho đối tượng học sinh làm việc, chủ động nắm kiến thức sở phương pháp giải - Rèn luyện nâng cao khả tư sáng tạo học sinh thơng qua qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo kiến thức nghiên cứu, giải tốn 12 - Trong q trình giảng dạy, phải ý tìm vướng mắc, sai sót mà học sinh hay mắc phải làm tập phải có biện pháp hướng dẫn sửa sai kịp thời Động viên, khuyến khích học sinh nghiên cứu tìm cách giải cho tốn Qua giúp học sinh nhớ lâu, nắm toán giải Đối với học sinh: - Đây dạng toán liên quan đến hầu hết kiến thức cấp học, học sinh cần phải trang bị cho kiến thức bản, tồn diện chương trình THCS Đồng thời nắm sở lý thuyết dạng toán mà giáo viên cung cấp để hiểu chất phương pháp quy nạp toán học Từ vận dụng để giải dạng toán chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức - Với tập cần nhận dạng dạng tốn để từ vận dụng phương pháp hợp lý dạng vào giải toán - Phát huy khả tư sáng tạo giải toán, biết suy luận từ dễ đên khó với cách giải hay hơn, tìm nhiều cách giải cho toán V BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phát quy luật chứng minh quy luật đó: • • Bài Tính tổng Bài Tính tổng : Vận dụng vào giải tốn chia hết: • Bài Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: a b • Bài Chứng minh với số ngun dương n, ta có: • Bài Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: Vận dụng vào việc chứng minh đẳng thức: • Bài Chứng minh rằng: 13 • (1) với giá trị Bài Chứng minh với tất giá trị có x, đẳng thức sau ln đúng: (1) • Bài Chứng minh : (1) Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức: • Bài Chứng minh • Bài 10 Chứng minh bất đẳng thức sau: • Bài 11 Chứng minh với bất đẳng thức sau với : (1) (vế trái bất đẳng thức (1) tổng phân số mà mẫu số tăng liên tiếp từ n+1 đến 3n+1; ví dụ với n = bất đẳng thức (1) có dạng: n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 = 3.3+1 = 10) Vận dụng vào giải tốn hình học: • Bài 12 Chứng minh n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chia mặt phẳng 2n phần • Bài 13 Cho n hình vng Chứng minh ta cắt chúng thành số phần để từ phần ghép lại thành hình vng • Bài 14 Trong mặt phẳng cho n điểm, tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối điểm điểm cho tạo số đường thẳng không nhỏ n 14 • Bài 15 Chứng minh tổng góc n-giác lồi VI HƯỚNG DẪN GIẢI: Phát quy luật chứng minh quy luật đó: • Bài * Tìm tòi : Xét * Dự đoán : * Chứng minh dự đoán : Với n = ta có => dự đốn Giả sử với n = k ta có Ta phải chứng minh với n = k+1 Thật vậy, ta có 15 Từ theo ngun lý quy nạp tốn học ta có tức dự đốn • Bài * Tìm tòi: với n = ta có với n = ta có với n = ta có với n = ta có * Dự đốn : với * Chứng minh dự đoán : Với n = mệnh đề Giả sử với n = k ( ) ta có: ta phải chứng minh với n = k+1 thì: Thật vật, ta có: + Với k lẻ thì: 16 với + Với k chẵn thì: Từ với ta có Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học thì: với tức dự đoán Vận dụng vào giải toán chia hết: • Bài a) Đặt + Với n = => => với n = 1, mệnh đề + Giả sử mệnh đề với n = k ( hay => ) nghĩa ta có (*) với n = k+1 ta có : 17 Tức với n = k+1 mệnh đề Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có: b) Đặt + Với n = => => mệnh đề + Giả sử với n = k ta có tức Xét : Nghĩa với n = k +1, mệnh đề Vậy • theo nguyên lý quy nạp tốn học ta được: k+1 thì: Bài Khi n = mệnh đề Giả sử với n = k ta có : Ta chứng minh với n (*) Vì 18 = Nên chứng minh ta có *Xét với k = ta có => Giả sử với k = m ta có ta chứng minh với k = m+1 S m +1 6 Thật vậy, ; ; ( số m m+1 số tự nhiên liên tiếp phải có số chẵn nên ) Từ Theo ngun lý quy nạp tốn học Vậy • với , tức theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có : Bài Với n = 1, ta có chia hết cho Giả sử với n = k, ta có: Ta chứng minh với n = k + Thật vậy: 19 Ta thấy chia hết cho , suy chia hết cho Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có dương chia hết cho với số nguyên Vận dụng vào chứng minh đẳng thức: • Bài Ta có với Do đẳng thức (1) với n = Giả sử ta có (2) Ta chứng minh : (3) Thật vậy, ta có Do theo ngun lý quy nạp đẳng thức (1) ln với ; • Bài Ta phải chứng minh (1) với 20 , Với n = => => với n=1 (1) Giả sử với n = k (1) đúng, nghĩa là: Ta chứng minh đó: Thật ta có: => Tức (1) với n = k+1 Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học đồng thức (1) ln với , • Bài Với n = ta có => Cơng thức (1) với n = Giả sử (2) 21 Ta có (2) Do theo ngun lý quy nạp tốn học ta có: Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức: • Bài Khi n = bất đẳng thức (1) Giả sử với ta có (2) Ta phải chứng minh (3) Thật ta có (áp dụng (2)) (vì với => Bất đẳng thức (3) 22 ) Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học thì: • với Bài 10 Với n = 2, ta có: (đúng với n = 2) Giả sử với n = k: Ta chứng minh với n = k + Thật vậy: ta có: (đpcm) • Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có Bài 11 Khi n = ta có bất đẳng thức : Giả sử với n = k ta có: Ta chứng minh với n = k+1 có: (3) 23 (2) Thật ta có : Do theo (2) : => (3) Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì: với Vận dụng vào tốn hình học: • Bài 12 Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đường thẳng chia mặt phẳng phần Giả sử mệnh đề với n = k đó, nghĩa với k đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k phần Để chứng minh mệnh đề với k + đường thẳng, ta nhận xét dựng đường thẳng thứ k + 1, qua điểm cho không trùng với đường thẳng tạo thêm phần mặt phẳng; số phần mặt phẳng tạo k + đường thẳng khác • • qua điểm Theo ngun lý quy nạp tốn học mệnh đề với số tự nhiên n khác Bài 13 * Với n = mệnh đề hiển nhiên * Với n = ta chứng minh mệnh đề * Giả sử mệnh đề với n = k, nghĩa từ k hình vng, ta cắt ghép thành hình vng Xét k + hình vng: V 1, V2, …, Vk-1, Vk, Vk+1 Ta lấy hình vng số k + hình vng này, chẳng hạn Vk, Vk+1 Theo ta cắt ghép thành hình vng V’; ta có k hình vng V 1, V2, …, Vk-1, V’ Theo giả thiết quy nạp, từ k hình vng ta cắt ghép lại thành hình vuông Vậy mệnh đề với n = k + Theo ngun lý quy nạp tốn học mệnh đề với n hình vng Bài 14 24 * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: với điểm không thẳng hàng, nối đôi lại với tạo đường thẳng khác * Giả sử mệnh đề với n = k điểm Ta chứng minh với k + điểm Ta nhận thấy có đường thẳng chứa điểm Ak Ak+1 chẳng hạn + Nếu điểm A1, A2, ,,,,; Ak+1 , Ak nằm đường thẳng ( đường thẳng d chẳng hạn ) số đường thẳng k + ( k đường thẳng nối Ak+1 với n điểm A1, A2, ….,; Ak-1, Ak đường thẳng d ) + Nếu A1, A2,…; Ak-1, Ak khơng nằm đường thẳng theo giả thiết quy nạp ta có k đường thẳng khác từ k điểm này; Ngồi ta có đường thẳng nối Ak+1 với điểm A1, A2, ; …; Ak-1, Ak , đường thẳng AkAk+1 không chứa điểm điểm A1, A2, ; …; Ak-1 nên đường thẳng AkAk+1 khác đường thẳng nối Ak+1+ với điểm A1, A2, …; Ak-1 Từ số đường thẳng tạo khơng nhỏ k + Vậy mệnh đề với n = k + Theo ngun lý quy nạp • tốn học mệnh đề với n Bài 15 * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: Tổng góc tam giác ( – ).1800 = 1800 * Giả sử mệnh đề tất k-giác, với k < n Ta chứng minh với n – giác.Ta nhận thấy n – giác chia thành đa giác đường chéo, số cạnh đa giác m + số cạnh đa giác n – m + số nhỏ n Do tổng góc đa giác tương ứng ( m – ).180 ( n – m - ) 180 Khi tổng góc n – giác tổng góc đa giác đó, tức bằng: ( m – + n – m - ).1800 = ( n – ) 1800 Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học mệnh đề với n TÀI LIỆU THAM KHẢO: .[Ngày truy cập: 11/10/2014] < http://d.violet.vn/uploads/resources/511/2058550/preview.swf> VIII 25 26 ... trực tiếp mệnh đề đứng với n = (hoặc n = p) Phương pháp quy nạp toán học phương pháp chứng minh quan trọng toán học, sở nguyên lý quy nạp tốn học Quy nạp hồn tồn : suy luận kết luận chung, khái... triển toán học Phương pháp quy nạp toán học phương pháp hay hữu dụng Mặc dù thực tế dạy học , trọng đến suy diễn , suy luận chứng minh, chưa ý đến quy nạp , đến khả tư độc lập sáng tạo , phát học. .. DẪN Phương pháp quy nạp toán học hình thức suy luận, nữa, phương pháp chứng minh cổ điển toán học (một số sử gia cho phương pháp sử dụng từ trước cơng ngun Plato, Aristotle) Có thể nói phương pháp