Truy cập website hoc360 net để tải tài liệu đề thi miễn phí Group https //www facebook com/groups/tailieutieuhocvathcs/ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho 0n là một[.]
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho n0 số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên n n0 Nếu (1) P(n0 ) (2) Nếu P(k) đúng, P(k + 1) với số tự nhiên k n0 ; mệnh đề P(n) với số tự nhiên n n0 Khi ta bắt gặp toán: Chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n n0 , n0 ta sử dụng phương pháp quy nạp sau Bước 1: Kiểm tra P(n0 ) có hay khơng Nếu bước ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với k n0 , giả sử P(k) ta cần chứng minh P(k + 1) Kết luận: P(n) với n n0 Lưu ý: Bước gọi bước quy nạp, mệnh đề P(k) gọi giả thiết quy nạp Vấn đề Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức Bất đẳng thức Phương pháp Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) = Q(n) (hoặc P(n) Q(n) ) với n n0 , n0 ta thực bước sau: Bước 1: Tính P(n0 ), Q(n0 ) chứng minh P(n0 ) = Q(n0 ) Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k); k ,k n0 , ta cần chứng minh P(k + 1) = Q(k + 1) Các ví dụ Ví dụ Chứng với số tự nhiên n ta ln có: + + + + n = n(n + 1) Lời giải Đặt P(n) = + + + + n : tổng n số tự nhiên : Q(n) = Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ,n Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ n(n + 1) Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Bước 1: Với n = ta có P(1) = 1, Q(1) = P(1) = Q(1) (1) với n = Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) với k 1(1 + 1) =1 ,k tức là: k(k + 1) (1) Ta cần chứng minh P(k + 1) = Q(k + 1) , tức là: + + + + k = + + + + k + (k + 1) = Thật vậy: VT(2) = (1 + + + + k) + (k + 1) (k + 1)(k + 2) (2) k(k + 1) (Do đẳng thức (1)) + (k + 1) k (k + 1)(k + 2) = (k + 1)( + 1) = = VP(2) 2 Vậy đẳng thức cho với n = Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: + + + + 2n − = n2 Lời giải • Với n = ta có VT = 1, VP = 12 = Suy VT = VP đẳng thức cho với n = • Giả sử đẳng thức cho với n = k với k ,k tức là: + + + + 2k − = k2 (1) Ta cần chứng minh đẳng thức cho với n = k + , tức là: + + + + (2k − 1) + (2k + 1) = ( k + 1) (2) Thật vậy: VT(2) = (1 + + + + 2k − 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) (Do đẳng thức (1)) = (k + 1) = VP(1.2) Vậy đẳng thức cho với n Ví dụ Chứng minh với n , ta có bất đẳng thức: 1.3.5 ( 2n − 1) 2.4.6.2n Lời giải * Với n = ta có đẳng thức cho trở thành : 1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 2n + Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí đẳng thức cho với n = * Giả sử đẳng thức cho với n = k , tức : 1.3.5 ( 2k − 1) (1) 2.4.6 2k 2k + Ta phải chứng minh đẳng thức cho với n = k + , tức : 1.3.5 ( 2k − 1)( 2k + 1) (2) 2.4.6 2k ( 2k + ) 2k + Thật vậy, ta có : VT(2) = 1.3.5 (2k − 1) 2k + 1 2k + 2k + = 2.4.6 2k 2k + 2k + 2k +2 2k + 2k + 1 (2k + 1)(2k + 3) (2k + 2)2 2k + 2k + (luôn đúng) Vậy đẳng thức cho với số tự nhiên n Ta chứng minh: Ví dụ Chứng minh với n 1, x ta có bất đẳng thức: xn (xn +1 + 1) xn + x +1 2n +1 Đẳng thức xảy nào? Lời giải • Với n = ta cần chứng minh: x(x2 + 1) x + 8x(x + 1) (x + 1) x+1 Tức là: x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + (x − 1)4 (đúng) Đẳng thức xảy x = • Giả sử xk (xk+1 + 1) xk + x +1 2k +1 , ta chứng minh xk+1 (xk+2 + 1) xk+1 + x +1 2k+ (*) Thật vậy, ta có: 2k + 2k +1 x + 1 x + 1 x + 1 x + xk (xk+1 + 1) = xk + Nên để chứng minh (*) ta cần chứng minh 2 x + xk (xk+1 + 1) xk+1 (xk +2 + 1) xk + xk+1 + Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí x + k+1 Hay + 1)2 x(xk+2 + 1)(xk + 1) (**) (x Khai triển (**) , biến đổi rút gọn ta thu x2k+2 (x − 1)2 − 2xk+1(x − 1)2 + (x − 1)2 (x − 1)2 (xk+1 − 1)2 BĐT hiển nhiên Đẳng thức có x = Vậy toán chứng minh Chú ý: Trong số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n ta chứng minh theo cách sau Bước 1: Ta chứng minh P(n) với n = n = k Bước 2: Giả sử P(n) với n = k + , ta chứng minh P(n) với n = k Cách chứng minh gọi quy nạp theo kiểu Cauchy (Cơ si) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh với số tự nhiên n , ta ln có n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + + (n − 1)2 + n = n 2n + + + + n = − 3 4.3n Bài Chứng minh đẳng thức sau n ( n + 1)( n + ) 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = với n 1 1 n + + + + = 1.5 5.9 9.13 4n +1 4n − 4n + ( )( ) n ( n + 1) + + + + n = 4 − − − − 25 ( 2n − 1)2 3 = + 2n − 2n 1 n + + + = 1.2 2.3 n(n + 1) n + n(n − 1)(3n + 2) , n 12 2n(n + 1)(2n + 1) 22 + 42 + + (2n)2 = 1.22 + 2.32 + 3.42 + + (n − 1).n = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = Với n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) * 1.22 + 2.32 + 3.42 + + (n − 1).n = n(n2 − 1)(3n + 2) 12 với n 10 1 n(n + 3) + + + = 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) Với n * Bài Chứng minh với số tự nhiên n ta có: + + + + + = 2cos (n dấu căn) n +1 Chứng minh đẳng thức sin x + sin 2x + sin nx = sin nx (n + 1)x sin 2 với x sin x k2 với n Bài Chứng minh với n ta có bất đẳng thức: sin nx n sin x x Bài n 1 Chứng minh với số tự nhiên n , ta có : + n 3n 3n + với số tự nhiên n ; 2.4.6.2n 2n + với số tự nhiên n ; 1.3.5 ( 2n − 1) Bài Cho hàm số f xác định với x thoả mãn điều kiện : f(x + y) f(x).f(y), x, y (*) Chứng minh với số thực x 2n x số tự nhiên n ta có : f ( x ) f n Bài Chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 1 + + + + − n n n Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí n 1+ + + n 2 n tan n n tan với ( n − 1) 2n 2n + n 2n + 2n + 5, (n * 3n −1 n(n + 2); (n 2n −3 3n − 1; (n ) * * ,n 4) ,n 8) − n cos với n n+1 n 2n + 1 2n + 3n + (n + 1)cos 10 + 1 + + + n ;(n n −1 Bài Cho tổng: S n = * , n 2) 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) Tính S1 ; S2 ; S3 ; S4 Dự đốn cơng thức tính S n chứng minh phương pháp qui nạp Bài Cho hàm số f : → , n số nguyên Chứng minh x+y f(x) + f(x) f x, y (1) ta có f(x1 ) + f(x2 ) + + f(x n ) x + x + + x n f xi , i = 1,n (2) n n Vấn đề Ứng dụng phương pháp quy nạp số học hình học Các ví dụ Ví dụ Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: a n = 16n – 15n – 225 Lời giải • Với n = ta có: a1 = a1 225 • Giả sử a k = 16k − 15k − 225 , ta chứng minh Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí a k+1 = 16k +1 − 15(k + 1) − 225 ( Thậ vậy: a k +1 = 16.16k − 15k − 16 = 16 k − 15k − − 15 16 k − ( ) ) = a k − 15 16k − ( ) Vì 16k − = 15 16k −1 + 16k −2 + + 15 a k 225 Nên ta suy ak+1 225 Vậy toán chứng minh Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n A(n) = n + 3n − chia hết cho Lời giải * Với n = A(1) = 71 + 3.1 − = A(1) * Giả sử A(k) k , ta chứng minh A(k + 1) Thật vậy: A(k + 1) = k+1 + 3(k + 1) − = 7.7 k + 21k − − 18k + A(k + 1) = 7A(k) − 9(2k − 1) A(k) A(k + 1) Vì 9(2k − 1) Vậy A(n) chia hết cho với số tự nhiên n Ví dụ Cho n số tự nhiên dương Chứng minh rằng: Bn = ( n + 1)( n + )( n + ) ( 3n ) n Lời giải • Với n = , ta có : B1 = 2.3 • Giả sử mệnh đề với n = k, tức : Bk = ( k + 1)( k + )( k + )( 3k ) k Ta chứng minh : Bk+1 = ( k + )( k + )( k + )3 ( k + 1) 3k+1 Bk+1 = ( k + 1)( k + )( k + 3)( 3k )( 3k + 1)( 3k + ) = 3Bk ( 3k + 1)( 3k + ) Mà Bk 3k nên suy Bk +1 3k +1 Vậy toán chứng minh Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ví dụ Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời (n > 2) tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối hai điểm điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n Lời giải Giả sử mệnh đề với n = k điểm Ta chứng minh cho n = k + điểm Ta chứng minh tồn đường thẳng chứa có hai điểm Ta kí hiệu đường thẳng qua hai điểm A n An+1 An An+1 Nếu điểm A1 ,A2 , ,An nằm đường thẳng số lượng đường thẳng n + : Gồm n đường thẳng nối An+1 với điểm A1 ,A2 , ,An đường thẳng chúng nối chung Nếu A1 ,A2 , ,An không nằm đường thẳng theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác Bây ta thêm đường thẳng nối An+1 với điểm A1 ,A2 , ,An Vì đường thẳng An An+1 khơng chứa điểm A1 ,A2 , ,An−1 , nên đường thẳng khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo A1 ,A2 , ,An Như số đường thẳng tạo không nhỏ n + Ví dụ Chứng minh tổng n – giác lồi (n 3) (n − 2)1800 Lời giải • Với n = ta có tổng ba góc tam giác 1800 • Giả sử công thức cho tất k-giác, với k n , ta phải chứng minh mệnh đề cho n-giác Ta chia n-giác đường chéo thành hai đa giác Nếu số cạnh đa giác k+1, số cạnh đa giác n – k + 1, hai số nhỏ n Theo giả thiết quy nạp tổng góc hai đa giác ( k − 1) 1800 ( n − k − 1) 180 Tổng góc n-giác tổng góc hai đa giác trên, nghĩa ( k – + n −k – 1) 1800 = ( n − ) 1800 Suy mệnh đề với n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho n số nguyên dương.Chứng minh rằng: n(2n2 − 3n + 1) chia hết cho Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 11n +1 + 122n −1 chia hết cho 133 n − n chia hết cho 13n − chia hết cho n − n chia hết cho với n 16n − 15n − chia hết cho 225 với n 4.32n+1 + 32n − 36 chia hết cho 64 với n Bài Chứng minh với n , ta ln có an = ( n + 1)( n + ) ( n + n ) chia hết cho n Cho a, b nghiệm phương trình x2 − 27x + 14 = Đặt S ( n ) = a n + b n Chứng minh với số nguyên dương n S(n) số ngun khơng chia hết cho 715 Cho hàm số f : → thỏa f(1) = 1,f(2) = f(n + 2) = 2f(n + 1) + f(n) Chứng minh rằng: f (n + 1) − f(n + 2)f(n) = ( −1)n n Cho pn số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng: 22 pn Chứng minh số tự nhiên không vượt qua n! biểu diễn thành tổng khơng n ước số đôi khác n! Bài Gọi x1 ,x2 hai nghiệm phương trình : x2 − 6x + = Đặt a n = x1n + x2n Chứng minh : an = 6an−1 − an−2 n a n số nguyên a n không chia hết cho với n Bài Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n ), ba mặt phẳng ln cắt khơng có bốn mặt phẳng có điểm chung Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền? Cho n đường thẳng nằm mặt phẳng hai đường thẳng ln cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy Chứng minh n đường thẳng chia mặt phẳng thành n2 + n + miền Bài Cho a,b,c,d,m số tự nhiên cho a + d , (b − 1)c , ab − a + c chia hết cho m Chứng minh xn = a.bn + cn + d chia hết cho m với số tự nhiên n Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Chứng minh từ n + số 2n số tự nhiên ln tìm hai số bội Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/