PP Quy Nap Toan 12 hay nhat

Khóa học Toán Cơ Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Toán Nâng cao 11 – Chuyên đề Dãy số, cấp số] I CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP Để chứng minh mệnh đề P(n) với n ∈ N* ta thực theo bước sau đây: Kiểm tra mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề với n = k; đưa biểu thức P(k); ta gọi giả thiết quy nạp Với giả thiết P(k) đúng, ta chứng minh mệnh đề với n = k + Để chứng minh mệnh đề P(n) với n ≥ p; (p số số tự nhiên) ta thực sau: Kiểm tra mệnh đề với n = p Giả sử mệnh đề với n = k; đưa biểu thức P(k); ta gọi giả thiết quy nạp Với giả thiết P(k) đúng, ta chứng minh mệnh đề với n = k + II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ [ĐVH]: Chứng minh biểu thức sau vợi số tự nhiên n dương: n(n + 1) a) + + + + n = n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + + n = Lời giải: n( n + 1) a) + + + + n = , (1) 1.2 +) Với n = ta có = ⇒ (1) k (k + 1) +) Giả sử (1) với n = k, ta có + + + + k = (k + 1)(k + 2) +) Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức + + + + k + (k + 1) = k ( k + 1) k (k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) Thật vậy, + + + + k + (k + 1) = (1 + + + + k ) + (k + 1) = + k +1 = = 2 Vậy biểu thức cho với n = k + n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + + n = , ( 2) 1.2.3 +) Với n = ta có 12 = ⇒ ( ) k ( k + 1)(2k + 1) +) Giả sử (2) với n = k, ta có 12 + 22 + 32 + + k = (k + 1)( k + 2)(2k + 3) +) Ta chứng minh (2) với n = k + 1, tức 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = k (k + 1)(2k + 1) Thật vậy, 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = (12 + 22 + 32 + + k ) + (k + 1) = + (k + 1) k (k + 1)(2k + 1) + 6( k + 1) (k + 1) [ k (2k + 1) + 6(k + 1) ] (k + 1)(2k + k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = = = 6 6 Vậy biểu thức (2) Ví dụ [ĐVH]: Chứng minh rằng: a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n.(3n − 1) = n (n + 1) với n dương b) 3n > n + 4n + với số tự nhiên n ≥ a) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n.(3n − 1) = n (n + 1), (1) Lời giải: Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 11 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Với n = ta có 1.2 = 12 (1 + 1) ⇒ (1) +) Giả sử (1) với n = k, ta có 1.2 + 2.5 + 3.8 + + k (3k − 1) = k (k + 1) +) Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức 1.2 + 2.5 + 3.8 + + k (3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1) (k + 2) Thật vậy, 1.2 + 2.5 + 3.8 + + k.(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = [1.2 + 2.5 + 3.8 + + k.(3k − 1)] + (k + 1)(3k + 2) = k (k + 1) + (k + 1)(3k + 2) = ( k + 1)(k + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k + 1) (k + 2) Vậy biểu thức cho với n = k + b) 3n > n + 4n + 5, ( 2) +) Với n = ta có 33 > 32 + 4.3 + ⇔ 27 > 26 ⇒ ( ) +) Giả sử (2) với n = k, ta có 3k > k + 4k + +) Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + Thật vậy, 3k +1 = 3k > 3(k + 4k + 5) = 3k + 12k + 15 = (k + 2k + 1) + 4(k + 1) + + 2k + 6k + = (k + 1) + 4(k + 1) + + 2k + 6k + > ( k + 1) + 4(k + 1) + 2k + 6k + > ∀k Do ta 3k +1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + Vậy (2) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Chứng minh với n ∈ ℕ* , ta có: a) n > 2n + 1; ( n ≥ 3) b) 2n+ > 2n + Bài 2: [ĐVH] Chứng minh với n ∈ ℕ* , ta có: 1 1 2n − 1 a) + + + < − ; ( n ≥ ) b) < n 2n n 2n + Bài 3: [ĐVH] Chứng minh với n ∈ ℕ* , ta có: 1 1 13 a) + + + < n b) + + + > ; ( n > 1) n +1 n + 2n 24 n Bài 4: [ĐVH] Chứng minh với n ∈ ℕ* , ta có: n (n + 1) a) 13 + 23 + + n3 = b) 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1) Bài 5: [ĐVH] Chứng minh với n ∈ ℕ* , ta có: n( n + 1)( n + 2) 1 n a) 1.2 + 2.3 + + n( n + 1) = b) + + + = 1.2 2.3 n( n + 1) n + Bài 6: [ĐVH] Chứng minh với n ∈ ℕ* , ta có: n(4n − 1) n(3n − 1) a) 12 + 32 + 52 + + (2n − 1) = b) + + + ⋯ + (3n − 2) = Bài 7: [ĐVH] Chứng minh với n ∈ ℕ* , ta có: a) n3 + 11n chia hết cho b) n3 + 3n + chia hết cho c) n3 + 2n chia hết cho d) 7.22 n −2 + 32 n −1 chia hết cho 1 1 Bài 8: [ĐVH] Cho tổng S n = + + + + 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4 b) Hãy dự đoán công thức tính Sn chứng minh dự đoán quy nạp n Đ/s: S n = 2n + 1 1 + + + + Bài 9: [ĐVH] Cho tổng S n = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) a) Tính S1; S2; S3; S4 b) Hãy dự đoán công thức tính Sn chứng minh dự đoán quy nạp Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 11 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 n 4n + Bài 10: [ĐVH] Dãy số (an) cho sau a1 = 2, an+1 = + an , với n = 1, 2, … Đ/s: S n = Chứng minh với n ∈ ℕ* ta có: an = cos π n +1 Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 11 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia!