Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 36 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
36
Dung lượng
1,79 MB
Nội dung
BÀI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ MỤC TIÊU: Kiến thức - Biết thứ tự bước giải toán phương pháp quy nạp - Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu bị chặn dãy số - Nắm phương pháp giải dạng tập dãy số tìm số hạng tổng qt, xét tính tăng, giảm bị chặn Kỹ - Chứng minh toán phương pháp quy nạp toán học - Biết cách xác định dãy số - Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số - Tính tổng dãy số I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề A n với giá trị nguyên dương n , ta thực sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n • Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n k tuỳ ý k 1 , chứng minh mệnh đề với n k Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n p thì: +) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; +) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n k p phải chúng minh mệnh đề với n k Dãy số a) Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên * gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : * n u ( n) Dạng khai triển: u1; u2 ; u3 ;; un ; Trong ta gọi: u1 số hạng đầu, un u n số hạng thứ n hay số hạng tổng quát dãy số b) Mỗi hàm số u xác định tập M {1; 2;3;; m} với m * gọi dãy số hữu hạn c) Các cách cho dãy số: Cách 1: Cho dãy số Công thức số hạng tổng quát Ví dụ 1: Cho dãy un với un 3n2 n 1 Cách 2: Cho dãy số hệ thức truy hồi (hay quy nạp): • Cho số hạng thứ u1 (hoặc vài số hạng đầu) • Với n , cho cơng thức tính uk biết uk 1 (hoặc vài số hạng đứng trước nó) Ví dụ 2: Cho dãy số ( un xác định u1 n un 1 un 2n Cách 3: Diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số Ví dụ 3: Cho đường trịn O bán kính R Cho dãy un với un độ dài cung trịn có số đo đường tròn O BẢN XEM THỬ Trang 2 n Dãy số tăng, dãy số giảm a) Dãy số un gọi tăng un1 un với n un1 un 0, n * hay un1 1, n un * un 0 b) Dãy số un gọi giảm un1 un với n un1 un 0, n hay un1 1, n un * * * un 0 Dãy số bị chặn a) Dãy số un gọi bị chặn tồn số M cho un M , n b) Dãy số un gọi bị chặn tồn số m cho un m, n * * c) Dãy số un gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn Số m, M cho m un M , n * II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Quy nạp toán học ► Phương pháp giải Để chứng minh mệnh đề P n phụ thuộc vào số tự nhiên n với n n0 ( n0 số tự nhiên cho trước), ta thực theo bước sau Bước Kiểm tra P n với n n0 Bước 2: Giả sử P n n k k n0 (xem giả thiết để chứng minh bước 3) Bước 3: Ta cần chứng minh P n n k Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận P n với n n0 Ví dụ: Chứng minh với số tự nhiên n , ta ln có 2n1 2n * Hướng dẫn giải Với n ta có 221 2.2 (đúng) Vậy * với n Giả sử với n k , k * đúng, có nghĩa ta có 2k 1 2k 1 Ta phải chứng minh * với n k , có nghĩa ta phải chứng minh 2k 2 2(k 1) Thật vậy, nhân hai vế 1 với ta 2.2k 1 2(2k 3) 2k 2 4k 2(k 1) Vậy 2k 2 2(k 1) (đúng) Do theo ngun lí quy nạp * với số nguyên dương n ► Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n , ta có 1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1)2 Hướng dẫn giải Với n , ta có VT (1) 1.4 4;VP(1) 1.(11)2 Suy VT 1 VP 1 với n Vậy 1 với n Giả sử 1 với n k BẢN XEM THỬ Trang 1 Khi ta có 1.4 2.7 k (3k 1) k (k 1)2 Ta phải chứng minh 1 với n k hay 1.4 2.7 k (3k 1) (k 1)(3k 4) (k 1)(k 2)2 Thật 1.4 2.7 k (3k 1) (k 1)(3k 4) k (k 1)2 (k 1)(3k 4) k ( k 1)2 (k 1)(k 2)2 (điều phải chứng minh) Vậy 1 n k Do theo ngun lí quy nạp 1 với số nguyên dương n Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n , ta có 1.2 2.3 3.4 (n 1)n n n2 1 (3n 2) 12 1 Hướng dẫn giải Với n , ta có VT (1) 1.22 4;VP(1) 2.3.8 12 Suy VT 1 VP 1 với n Vậy 1 với n Giả sử 1 với n k Khi ta có 1.2 2.3 3.4 (k 1)k k k 1 (3k 2) 12 Ta phải chứng minh 1 với n k Có nghĩa ta phải chứng minh 1.22 2.33 3.44 (k 1)k k (k 1) (k 1) (k 1)2 1 [3(k 1) 2] 12 (k 1) k 2k (3k 5) 1.22 2.33 3.44 (k 1)k k (k 1)2 Thật 1.2 2.3 3.4 k k 1 (3k 2) 12 (k 1)k k (k 1) k (k 1) 12 k (k 1) 3k 11k 10 12 k (k 1)(k 2)(3k 5) (k 1) k 2k (3k 5) (điều phải chứng minh) 12 12 Vậy 1 n k Do theo ngun lí quy nạp 1 với số nguyên dương n Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n, ta có 1 n(n 3) 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) Hướng dẫn giải 1.4 Với n , ta có VT (1) ;VP(1) 4.2.3 Suy VT 1 VP 1 n BẢN XEM THỬ Trang BẢN XEM THỬ Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n , ta có 1 n 1 n 13 (1) n n 24 Hướng dẫn giải 1 1 Đặt un n 1 n n (n 1) n n 1 13 Với n = ta có u2 (đúng) 12 24 1 13 Giả sử với n = k (1) đúng, có nghĩa ta có k 1 k k k 24 Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 , có nghĩa ta phải chứng minh 1 1 13 k 2 k 3 k k (k 1) (k 1) 24 Thật vậy, xét hiệu 1 1 1 k 2 k 3 k k 2k (k 1) (k 1) k k k k 1 1 1 1 0 2k (k 1) (k 1) k 2k 2(k 1) k 2k 2k Suy 1 1 1 1 k 2 k 3 k k 2k (k 1) (k 1) k k k k 13 Do uk 1 uk Vậy (1) với n = k+1 24 Suy (1) với số nguyên dương n Ví dụ Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n (cạnh n ) n( n 3) Hướng dẫn giải n(n 3) Khi n = , ta có S(4) = Suy mệnh đề với n = Đặt S (n) k (k 3) Ta cần chứng minh mệnh đề n = k , tức chứng minh Giả sử mệnh đề n = k 4, tức S (k ) BẢN XEM THỬ Trang (k 1)(k 2) Thật vậy, ta tách đa giác k cạnh thành đa giác k cạnh tam giác A1Ak Ak1 cách nối đoạn A1Ak S (k 1) Khi trừ đỉnh Ak1 đỉnh kề với A1Ak , ta cịn lại (k 1) k đỉnh, tương ứng với ( k 2) đường chéo kẻ từ đỉnh Ak1 cộng với đường chéo A1Ak ta có số đường chéo đa giác k (k 3) k (k 3) k k (k 1)(k 2) (k 2) k 1 2 2 mệnh đề n = k ( k ) cạnh S (k 1) Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề với n * ,( n ) Ví dụ Chứng minh n giác lồi ( n ) chia thành hữu hạn ngũ giác lồi Hướng dẫn giải Khi n = , ta có ngũ giác lồi nên mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề n = k , tức ta có k giác lồi chia thành hữu hạn ngũ giác lồi Ta cần chứng minh mệnh đề n = k , tức chứng minh (k 1) giác lồi chia thành hữu hạn ngũ giác lồi Bài Phương pháp quy nạp toán học Dãy số Thật vậy, cạnh A1Ak1 A3A4 , ta lấy điểm E, F không trùng với đỉnh Khi đoạn EF chia (k 1) giác lồi thành đa giác lồi, ngũ giác lồi A1A2A3 FE k giác lồi EFA4A5 Ak 1 Theo giả thiết quy nạp k giác lồi EFA4A5 Ak 1 chia thành hữu hạn ngũ giác lồi đồng thời ta có thêm ngũ giác lồi A1A2A3 FE nên (k 1) giác lồi chia thành hữu hạn ngũ giác lồi mệnh đề n = k Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n * ,( n ) Ví dụ Với số nguyên dương n , kí hiệu un 9n 1 Chứng minh với số nguyên dương n u n , ln chia hết cho Hướng dẫn giải Ta có u1 91 1 chia hết cho (đúng) Giả sử uk 9k 1 chia hết cho Ta cần chứng minh uk 1 9k 1 1 chia hết cho Thật vậy, ta có uk 1 9k 1 9.9k 9k 1 9uk Vì u k chia hết u k 1 chia hết cho Theo quy nạp với số nguyên dương n , u n chia hết cho Ví dụ Chứng minh với n BẢN XEM THỬ * , n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) chia hết cho 120 Trang Hướng dẫn giải Trước hết ta chứng minh bổ đề “Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8” Thật vậy, với n số nguyên 2n (2n+2) hai số chẵn liên tiếp Khi 2n(2n+2) = 4n(n+1) Mà n(n+1) tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n+1): Suy n(n+1): Đặt P(n) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) Khi n =1 , ta có P(1) =120: 120 Suy mệnh đề với n=1 Giả sử mệnh đề với n k , tức P(k) = k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4): 120 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k , tức chứng minh P(k+1) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5): 120 Thật vậy, ta có P(k+1) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5) = k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = P(k)+5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) Mà k+1, k+2, k+3, k+4 số tự nhiên liên tiếp nên chắn có số chẵn liên tiếp số chia hết cho bốn số Suy 5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 5.3 8=120 Mặt khác P(k): 120 nên P(k+1): 120 mệnh đề n = k Vậy theo nguyên lý quy nạp mệnh đề với n * Bài tập tự luyện dạng Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề A(n) với n = k Khẳng định sau đúng? A k > p B k p C k = p D k p Câu Với số nguyên dương, kí hiệu un 5.23n2 33n1 Một học sinh chứng minh u n , chia hết cho 19 sau Bước Khi n =1 , ta có u1 21 32 19 u1 19 Bước Giả sử uk 5.23k 2 33k 1 chia hết cho 19 với k Khi ta có uk 1 5.23k 1 33k 5.23k 2 33k 4 19.33k 1 Bước Vì 5.23k 2 33k 1 19.33k 1 chia hết cho 19 nên uk 1 , chia hết cho 19, n Vậy un , chia hết cho 19, n * * Lập luận hay sai? Nếu sai bước nào? A Sai từ bước B Sai từ bước C Sai từ bước D Lập luận hoàn toàn Câu Giả sử A tập tập hợp số nguyên dương cho ( I ) k A; (II) n A n 1 A, n k Lúc ta có A Mọi số nguyên bé k thuộc A B Mọi số nguyên dương thuộc A C Mọi số nguyên dương lớn k thuộc A D Mọi số nguyên thuộc A BẢN XEM THỬ Trang Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chưa biến A(n) với giá trị nguyên n p , với p số nguyên dương ta tiến hành bước Bước (bước sở) Chứng minh A(n) n =1 Bước (bước quy nạp) Với số nguyên dương tùy ý k , ta giả sử A(n) n = k (theo giả thiết quy nạp) Ta chứng minh A(n) n = k+1 Hãy chọn câu trả lời tương ứng với lí luận A Chỉ có bước C Cả hai bước sai Câu Với n B Cả hai bước D Chỉ có bước khẳng định sau sai? n(n 1) A n B (2n 1) n2 n(n 1)(2n 1) 2n(n 1)(2n 1) C 12 22 n D 22 42 62 (2n) 6 Bài Phương pháp quy nạp toán học Dãy số 1 1 Câu Cho Sn với n * Mệnh đề sau đúng? 1 2 3 n (n 1) A S n * n 1 n B S n n n 1 C Sn n 1 n2 D Sn n2 n3 u1 Câu Cho dãy số u n với n Số hạng tổng quát u n , dãy số số hạng đây? un 1 un (1) 3 A un =1+n B u n =1-n C un n D un n 1 1 u1 Câu Cho dãy xác định công thức Số hạng tổng quát dãy u n * un 1 un , n A un n 1 B un 2n C un 1 n D un 1 n un 1 un2 2vn2 Câu Cho hai dãy số un , xác định sau u1 3, v1 với n vn 1 2un Công thức tổng quát hai dãy un un ( 1) ( 1) A n ( 1) ( 1) vn 2 1 2n 22 u ( 1) ( 1) n 2 B n vn ( 1) ( 1) 2 1 2n 2n u ( 1) ( 1) n 2 C n vn ( 1) ( 1) 2 1 22 2 un ( 1) ( 1) D v ( 1) 2n ( 1) 22 n n Câu 10 Cho dãy số un BẢN XEM THỬ n u1 cos (0 ) xác định Số hạng thứ 2020 dãy số cho un u , n n1 Trang A u2020 cos 2020 2 B u2020 cos 2019 2 C u2020 sin 2021 2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT D u2020 sin 2020 2 NẠP TỐN HỌC DÃY SỐ Dạng Quy nạp tốn học 1B 2D 3C 4C 5D 6B 7D 8A 9B 10 B Câu Mệnh đề A n với n k với k p Câu Lập luận hoàn toàn Câu ( I ) k A : số nguyên dương k thuộc tập A ( II ) n A n 1 A, n k : số nguyên dương n n k thuộc tập A số ngun dương đứng sau n 1 thuộc A Mọi số nguyên dương lớn k thuộc A Câu Bước sai, theo tốn n p nên ta phải chứng minh A n n p Bước sai, “Với số nguyên dương tùy ý k” mà phải “Với số nguyên dương k , k p ” Câu Thử với n 1, n 2, n ta kết luận đáp án D sai Ta có 22 42 62 (2n) 2n(n 1)(2n 1) kết Câu n Ta có S1 , S2 , S3 dự đoán S n n 1 1 Với n , ta S1 ( ) 1.2 1 1 k Giả sử mệnh đề n k k 1 , tức 1.2 2.3 k k 1 k Ta có 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 1 k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k k 1 k 1 1 k 2k 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 k 1 1 k 1 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k BẢN XEM THỬ Trang Suy mệnh đề với n k Câu Ta có un1 un (1)2n un u2 2; u3 3; u4 4; Dễ dàng dự đoán un n Thật vậy, ta chứng minh un n * phương pháp quy nạp sau Với n u1 Vậy * với n Giả sử * với n k k * ta có u k k Ta chứng minh * với n k tức uk 1 k Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số un ta có uk 1 uk (1)2k k Vậy * với n * Số hạng tổng quát dãy số un n Câu 3 Ta có u1 3; u2 u1 ; u3 u2 ; 2 2 Ta chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát un 2n 1 Thật vậy, với n u1 (đúng) 2k Giả sử với n k k 1 u1 Ta chứng minh uk 1 1 3 Ta có uk 1 uk k 1 k (điều phải chứng minh) 2 2 Vậy số hạng tổng quát dãy số un n 1 Câu Chứng minh un 2vn 1 2n 1 Ta có un 2vn un21 2vn21 2un1vn1 un1 2vn1 Mặt khác u1 2v1 2 Giả sử uk 2vk 1 2k nên 1 với n ta có uk 1 2vk 1 uk 2vk 1 k 1 Vậy 1 với n Ta có un 2vn 1 2n 2 u n Do ta suy 2n 2 2v n n 2n 2n 1 un n n v n 2 n 2n Câu 10 Do nên u2 BẢN XEM THỬ cos cos2 cos ; u3 2 cos cos cos 4 Trang Vậy un cos n1 với n 2 Với n u cos a (đúng) Giả sử với n k * * Ta chứng minh quy nạp ta có uk cos k 1 Ta chứng minh uk 1 cos k 1 2 2 cos k 1 uk cos2 Thật uk 1 k 2 2 cos k 2 Từ ta có u2020 cos 2019 2 Dạng Tìm số hạng xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số Phương pháp giải Tìm số hạng dãy số Dãy số un : un f (n) với f n biểu thức n Bài toán yêu cầu tìm số hạng uk , ta thay trực tiếp n k vào u n = f(n) u1 a Dãy số un cho với f un biểu thức un , Bài tốn u cầu tìm số hạng uk , un 1 f un ta tính u2 ; u3 ;; uk cách u1 vào u2 , u2 vào u3 ,, , uk 1 vào uk 1 u1 a, u2 b Dãy số un cho un c un 1 d un e Bài tốn u cầu tìm số hạng uk Ta tính u3 ; u4 ;; uk cách u1 , u2 vào u3 ; u2 , u3 vào u4 ;…; uk 2 , uk 1 vào uk u1 a Dãy số un cho với f n, un kí hiệu biểu thức un1 , tính theo un , n Bài un 1 f n, un toán u cầu tìm số hạng uk , ta tính u3 ; u4 ;; uk cách (1, u1 ) vào u2 ;…; (2, u2 ) vào u2 ;…; (k 1, uk 1 ) vào uk Xác định công thức số hạng tổng quát dãy số n Nếu (un ) có dạng un a1 a2 an , (kí hiệu un an ) ta biến đổi ak , thành hiệu hai số k 1 hạng, dựa vào thu gọn un Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi, ta tính số số hạng đầu dãy số (chẳng hạn tính u1, u2 , u3 , từ dự đốn cơng thức un , theo n , chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp Có thể tính hiệu un1 -u n dựa vào để tìm cơng thức tính un , theo n Ví dụ 1: Cho dãy số (an ) n Đặt un ak với ak k 1 a) BẢN XEM THỬ k (k 1) Tính u1,u2 ,u3 ,u4 Trang 10 3un 1 1 un 1 un 1 4 Để chứng minh dãy (un ) giảm, ta chứng minh un 1, n phương pháp quy nạp Ta có un un 1 Thật Với n u1 (đúng) 3uk 1 4 Theo ngun lí quy nạp ta có un 1, n Giả sử uk uk 1 Suy un un1 un un1, n hay dãy (un ) dãy số giảm a1 Ví dụ Cho dãy an xác định an 1an an Hướng dẫn giải Ta có an1 an an2 an1 an Ta chứng minh an với n an * Thật • Với n a n =1>0 (đúng) • Với n a =a1 + (đúng) a1 Giả sử an với n k ta chứng minh với n k Ta có ak 1 ax tổng hai số dương nên dương ak Do an với n k Suy an với n * Vậy an1 an an1 an Do dãy (an ) dãy tăng Ví dụ Xét tính tăng, giảm dãy số un n (1)n n2 Hướng dẫn giải u2 u1 Ta có u1 0; u2 ; u3 u3 u2 Dãy số không tăng, không giảm Chú ý: an b - Dãy số có dạng un với cn d 0n N* cn d - Nếu c; d ad bc un dãy số tăng - Nếu ad bc un dãy số giảm Bài tốn Xét tính bị chặn dãy số ►Phương pháp giải Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh bất đẳng thức • Dãy số un có un f (n) hàm số có biểu thức Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un f (n) M , n * un f (n) m, n * • Dãy số un có un v1 v2 vk (tổng hữu hạn) Ta làm trội kiểu vk ak ak 1 BẢN XEM THỬ Trang 22 Lúc un a1 a2 a2 a3 an an1 Suy un a1 an1 M , n * • Dãy số un có un v1 v2v3 vn vói 0, n Lúc un Suy un * (tích hữu hạn) Ta làm trội kiểu vk ak 1 ak a2 a3 an1 a1 a2 an an1 M , n a1 * Phương pháp 2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm bị chặn trên, dãy số (un ) tăng bị chặn Cơng thức giải nhanh số dạng tốn dãy số bị chặn • Dãy số (un ) có un qn (| q | 1) bị chặn • Dãy số (un ) có un qn (| q | 1) khơng bị chặn • Dãy số (un ) có un qn (| q | 1) bị chặn • Dãy số (un ) có un an b bị chặn a bị chặn a • Dãy số (un ) có un an2 bn c bị chặn a bị chặn a • Dãy số (un ) có un amnm am1nm1 a1n a0 bị chặn am bị chặn am • Dãy số (un ) có un q n am nm am1nm1 a1n a0 với am q 1 khơng bị chặn • Dãy số (un ) có un am nm am1nm1 a1n a0 bị chặn với am • Dãy số (un ) có un am nm am1nm1 a1n a0 bị chặn am bị chặn P(n) P(n) Q ( n) đa thức, bị chặn bậc P(n) nhỏ Q(n) bậc Q ( n) • Dãy số (un ) có un P(n) P(n) Q ( n) đa thức, bị chặn bị chặn Q(n) bậc P(n) lớn bậc Q ( n) • Dãy số (un ) có un ►Ví dụ mẫu Ví dụ Cho dãy số (un ) biết un 1 Xét tính bị chặn dãy số (un ) 2n Hướng dẫn giải Ta có 2n 5, n * 0 1 , n 2n * 1 0, n 2n * un Suy dãy số (un ) bị chặn 4n Ví dụ Cho dãy số (un ) biết un Xét tính bị chặn dãy số (un ) n 1 Hướng dẫn giải BẢN XEM THỬ Trang 23 4n 0, n * n 1 4n 4(n 1) 1 un 4 , n N * n 1 n 1 n 1 2 Suy un , n * Vậy dãy số (un ) bị chặn Ta có un Ví dụ Cho dãy số (un ) biết un 1.3.5(2n 1) Xét tính bị chặn dãy số (un ) 2.4.6.2n Hướng dẫn giải Xét (2k 1)2 2k 2k 2k , k 2k (2k 1)(2k 1) 2k 4k 1 2n 1 , n 2n 2n Vậy dãy số (un ) bị chặn un * un Ví dụ Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ), biết un , n * n2 3n n 1 Hướng dẫn giải (n 1)2 3(n 1) n2 3n n2 5n n2 3n n2 n 1 n2 n 1 2 n 5n 5 (n 1) n 3n 1 (n 2) Ta có un1 un (n 1)(n 2) n 3n 0, n (n 1)(n 2) un1 un , n Dãy (un ) dãy số tăng Lại có un n2 2n n Dãy (un ) bị chặn Dãy un không bị chặn nên khơng bị n 1 chặn Chú ý: - Dãy số (un ) có bậc tử thấp bậc mẫu bị chặn - Dãy số (un ) có bậc tử bậc mẫu bị chặn ►Bài tập tự luyện dạng Câu Cho dãy số un : un sin n Chọn khẳng định sai khẳng định sau B un 1 sin A Dãy số (un ) tăng n 1 D Dãy số (un ) không tăng, không giảm C Dãy số (un ) bị chặn Câu Trong dãy số (un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số tăng? n A u n = n BẢN XEM THỬ B u n = n 2n n2 C u n = 3n D un (2)n n2 Trang 24 Câu Cho dãy số (un ) biết un A Dãy số (un ) tăng 5n Mệnh đề sau đúng? n2 B Dãy (un ) số giảm C Dãy số (un ) không tăng, không giảm D Dãy (un ) số dãy hữu hạn Câu Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm? n3 n A u n = B u n = C u n = n 1 n Câu Trong dãy (un ) sau đây, dãy dãy số bị chặn? n2 n 3n2 A u n = B u n = C u n =-n -n +1 n 2n n 5 Câu Cho dãy số (un ) biết u n =3n +6 Mệnh đề sau đúng? A Dãy số (un ) tăng B Dãy (un ) số giảm C Dãy số (un ) không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai (1)n D un n D un n3 3n Câu Xét tính tăng, giảm dãy số un n , ta kết A Dãy số (un ) tăng B Dãy số (un ) giảm C Dãy số (un ) không tăng, không giảm D Dãy số (un ) tăng giảm Câu Cho dãy số (un ) với un (1)n n Mệnh đề sau đúng? A Dãy số (un ) dãy số bị chặn B Dãy số (un ) dãy số giảm C Dãy số (un ) dãy số tăng D Dãy số (un ) dãy số không bị chặn a1 1, a2 Câu Cho dãy số (an ) xác định Phát biểu dãy số (an ) an an 1 an đúng? A Dãy số (an ) không tăng, không giảm B Dãy số (an ) dãy giảm C Dãy số (an ) dãy tăng D Dãy số (an ) dãy không tăng u1 Câu 10 Cho dãy số (un ) biết * Tất giá trị a để (u n ) dãy số tăng un 1 aun 1n A a B a C a D a Câu 11 Trong dãy số sau, dãy dãy số tăng? n 1 A un sinn B C I n (1).n D hn n n 1 n 1 Câu 12 Cho dãy số (un ) biết un n cos n Trong phát biểu sau, có phát biểu đúng? (1) (un ) dãy số tăng (2) (un ) dãy số bị chặn (3) n * : un n A B Câu 13 Cho dãy số (un ) có u1 un1 un C , n (1 n)2 D * Trong phát biểu sau, có phát biểu đúng? (1) (un ) dãy số tăng BẢN XEM THỬ Trang 25 (2) (un ) dãy số bị chặn (3) (un ) dãy số bị chặn A B C D an b c d Dãy số (un ) dãy số tăng với điều kiện cn d B b a C a 0, b D a 0, b Câu 14 Cho (un ) biết un A a 0, b Câu 15 Phát biểu dãy số (an ) cho an 2n n đúng? A Dãy số (an ) dãy số giảm B Dãy số (an ) dãy số tăng C Dãy số (an ) dãy số không tăng D Dãy số (an ) dãy không tăng không giảm Câu 16 Trong phát biểu sau, có phát biểu đúng? (1) Dãy số xác định an dãy bị chặn n (2) Dãy số xác định an n dãy giảm (3) Dãy số xác định an n2 dãy số giảm không bị chặn (4) Dãy số xác định an (1)n n2 dãy không tăng, không giảm A B C D u1 1, u2 Câu 17 Cho dãy số (un ) biết * Các giá trị a để dãy số (un ) tăng un aun 1 (1 a)un , n A a B a C a D a n n 1 u 52018 un 1 un , n Tất giá trị n để S k 5n 4.52018 k 1 k B n 2018 C n 2020 D n 2017 Câu 18 Cho dãy số (un ) có u1 A n 2019 Câu 19 Xét tính tăng giảm dãy số un n n2 , ta thu kết A Dãy số (un ) tăng B Dãy (un ) số giảm C Dãy số (un ) không tăng, không giảm D Dãy số (un ) dãy tăng giảm u1 Câu 20 Cho dãy số (un ) biết un2 u , n n 1 A (un ) dãy số tăng C (un ) dãy số không tăng, không giảm * Mệnh đề sau đúng? B (un ) dãy số giảm D (un ) dãy số không đổi Câu 21 Xét tính bị chặn dãy số un =3n -1 , ta thu kết A Dãy số bị chặn C Dãy số bị chặn B Dãy số không bị chặn D Dãy số bị chặn 2n ta thu kết n! A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn D Cả A, B, C sai Câu 23 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết un , ta thu kết n n2 Câu 22 Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số (un ) , biết un BẢN XEM THỬ Trang 26 A Dãy số tăng, bị chặn C Dãy số giảm, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn D Cả A, B, C sai 1 Câu 24 Xét tính bị chặn dãy số un , ta thu kết 1.3 2.4 n (n 2) A Dãy số bị chặn B Dãy số không bị chặn C Dãy số bị chặn D Dãy số bị chặn u1 Câu 25 Xét tính tăng, giảm dãy số , ta thu kết 3 u u 1, n n o 1 A dãy số tăng B dãy số giảm C dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C sai Bài Phương pháp quy nạp toán học Dãy số u1 Câu 26 Cho dãy số (un ) biết Mệnh đề sau đúng? u u n n A Dãy số (un ) bị chặn B Dãy số (un ) bị chặn C Dãy số (un ) bị chặn D Dãy số (un ) không bị chặn Câu 27 Trong dãy số sau dãy số bị chặn? A Dãy (an ) với an n3 n , n C Dãy (cn ) với cn (2)n 3, n Câu 28 Cho dãy số (un ) biết un A Dãy số (un ) bị chặn B Dãy (bn ) với bn n * D Dãy (dn ) d n * , n 2n 3n , n n 2 * * 1 1 Mệnh đề sau đúng? 2 n B Dãy số (un ) bị chặn C Dãy số (un ) bị chặn D Dãy số (un ) không bị chặn Câu 29 Cho dãy số (un ) biết un a sin n b cos n Mệnh đề sau đúng? A Dãy số (un ) không bị chặn B Dãy số (un ) bị chặn C Dãy số (un ) bị chặn D Dãy số (un ) bị chặn u1 Câu 30 Cho dãy số (un ) biết Khẳng định sau dãy số (un )? * un 1 un , n N A Dãy số (un ) giảm bị chặn B Dãy số (un ) giảm không bị chặn C Dãy số (un ) tăng bị chặn D Dãy số (un ) tăng không bị chặn HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-C 3-A 4-C 5-A 6-A 7-A 8-D 9-C 10-C 11-B 12-B 13-D 14-C 15-B 16-C 17-D 18-B 19-B 20-B 21-D 22-C 23-C 24-A 25-A 26-A 27-D 28-C 29-B 30-C Câu BẢN XEM THỬ Trang 27 un 1 sin n 1 Do 1 sin n nên B nên dãy số bị chặn, C u1 sin 0, u2 sin 1, u3 sin u1 u2 nên dãy số không tăng, không giảm Do u u3 Vậy D Do A sai Câu u1 n u u Loại A Ta xét đáp án A : un n 2 u u1 n u1 u2 Loại B Ta xét đáp án B : un 2 2n u 16 u1 n 1 40 u1 u2 Chọn C Ta xét đáp án C: un 25 3n u 40 Ta xét đáp án D: un (2) n u1 n u2 u1 u2 u3 Loại D u3 8 Câu Ta có un Xét tỉ số 5n 0, n n2 * un1 5n1 (n 1)2 2n n 1 2n un 1 5n 1 n2 5n2 n 2n 4n 2n 1, n un (n 1)2 5n n 2n n 2n n 2n Vậy un dãy số tăng Câu Xét đáp án A: n3 n2 n 2 n 3 ; un 1 Khi un1 un 0, n Ta có un n 1 n2 n n n 1 n Vậy un dãy số tăng Xét đáp án B: n n 1 n 1 n Khi un 1 un 0, n Ta có un ; un 1 2 2 Vậy un dãy số tăng Xét đáp án C: Ta có un un1 2 n2 n2 , u 1, n n 1 n2 (n 1)2 un (n 1)2 n2 BẢN XEM THỬ * Trang 28 * Vậy un dãy số giảm Xét đáp án D: 1 1 Ta có u1 ; u2 ; u3 27 Vậy un dãy số không tăng không giảm Câu n2 n n2 2n (do n 0 Suy un n2 n với n n2 2n Câu Ta có un 3n un1 n 1 3n Xét hiệu un1 un 3n 9 3n 6 0, n * Vậy un dãy số tăng Câu 3n1 3n 1 3n1 1 2.3n 3n Ta có un1 un n1 n n1 dãy un dãy số tăng 2 2n1 Câu Dãy số un (1)n n dãy số khơng bị chặn lim un lim n Câu Nhận xét: Mỗi số hạng thứ ba trở tổng hai số đứng trước Đồng thời số hạng số hạng thứ hai dãy số dương nên dễ thấy dãy số dãy tăng Câu 10 Xét hiệu un1 un aun 1 aun1 1 a un un1 Áp dụng, ta có u2 au1 1 a 1 u2 1 a u2 u1 a u3 u2 a u2 u1 a2 ; u4 u3 a u3 u2 a3 ; … un1 un an Để dãy số un tăng un un1 u2 u1 a Câu 11 Đáp án A,C dãy không tăng, không giảm 2 1 0, n Xét đáp án B, ta có n 1 n 1 n Câu 12 * nên dãy số tăng Vì cos n nên un n Phát biểu 3 Dãy không tăng, không giảm không bị chặn Vậy có phát biểu phát biểu cho Câu 13 Ta có n * , un1 un nên dãy số tăng Phát biểu 1 (1 n)2 BẢN XEM THỬ Trang 29 Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn u1 Phát biểu 2 Ta lại có u1 1; u2 u1 1 ; u3 u2 ; un un 1 2 n 1 * 2 n 1 1 1 1 1 * un Mặt khác n n n 1 n n 2 n 1 n Cộng đẳng thức theo vế, ta un u1 1 un 2, n n * Vậy dãy số bị chặn nên phát biểu 3 Câu 14 Xét hiệu un1 un ad bc Dãy số un dãy số tăng ad bc c n 1 d cn d Mà c d nên có điều kiện đáp án C để ad bc Câu 15 Ta có an1 an 2n1 n 2n n 2.2n 2n 2n 0, n * Vậy an dãy số tăng Câu 16 2, n n * nên dãy số xác định an an1 an n 1 n2 2n 0, n * nên dãy số xác định an n2 dãy tăng an1 an n 1 1 n2 2n 0, n dãy bị chặn n * nên dãy số xác định an n2 dãy số giảm không bị chặn a1 1 a2 a3 9 nên dãy số xác định an (1)n n2 dãy không tăng không giảm Câu 17 Xét hiệu un2 un1 aun1 (1 a)un un1 (a 1) un1 un u3 u2 a 1 u2 u1 a 1 ; u4 u3 a 1 u3 u2 a 1 ; un 1 un a 1 n 1 Để dãy số un tăng suy a 1 a Câu 18 Ta có un 1 Đặt u n 1 u un n 1 n 5n n 1 n un 1 , n Suy cấp số nhân có cơng bội q v1 n 5 n 1 1 n n n uk 1 q 1 5n 5 n Tn Ta có S vk v1 1 q 1 k 1 k k 1 BẢN XEM THỬ Trang 30 Do 0, n nên Tn dãy tăng Suy Tn 52018 T2018 n 2018 4.52018 Câu 19 Ta có Vậy dãy (u,) dãy số giảm un1 un n 1 n 1 1 n n 1 Vậy dãy un dãy số giảm Câu 20 Dự đốn dãy giảm sau chứng minh un1 un quy nạp toán học Từ giả thiết suy un 0, n * 3 2 4 Ta có u2 u1 Giả sử uk 1 uk 0, k uk21 uk2 1 uk 1 uk uk 1 uk 4 Theo nguyên lý quy nạp suy un1 un 0, n * Vậy dãy số un dãy số giảm Xét hiệu uk 2 uk 1 Câu 21 Ta có un 2, n un bị chặn dưới; dãy un không bị chặn Câu 22 u 2n 1 2n 2n 1 n ! : n 1, n Ta có n 1 un n 1! n! n 1! n Mà un 0, n nên un1 un , n dãy un dãy số giảm Vì un u1 2, n nên dãy un dãy bị chặn Câu 23 Ta có un 0, n un 1 un n2 n n 1 n 1 n2 n 1, n n 3n * un 1 un , dãy un dãy số giảm Mặt khác un dãy un dãy bị chặn Câu 24 Ta có un 1 1 1 1.2 2.3 n.(n 1) n 1 Dãy un bị chặn Câu 25 Ta có un1 un3 un1 un3 un , n * un dãy số tăng Câu 26 Ta dự đoán dãy số bị chặn Ta chứng minh quy nạp 2 un 1, n Với ta có (đúng) Giả sử mệnh đề với BẢN XEM THỬ * Tức Trang 31 ... n n Số ? ?19 số hạng thứ dãy? A B C D n 2n Giá trị u 11 n ? ?1 182 11 42 14 22 A u 11 = B u 11 = C u 11 = 12 12 12 u1 Câu Cho dãy số (un ) xác định * Giá trị u10 un ? ?1 un 5,... 1) n B un (n 1) n C un (n 1) n D un (n 1) (n 2) u1 Câu 12 Cho dãy số (un ) xác định sau Số hạng u 11 n un ? ?1 n un 1? ?? 11 A u 11 B u 11 C u 11 D u 11 ... u1 u2 u3 un (? ?1) u1 u2 u3 un ? ?1 ? ?1? ?? un (? ?1) n ? ?1 (? ?1) 2 2 2 n ? ?1 n ? ?1 so ? ?1? ?? Vậy un (? ?1) 2 n ? ?1 ? ?1? ?? b) Số hạng thức 10 dãy u10 (? ?1) 512