Việc chứng tỏ cho Qn đúng với mọi số tự nhiên n * bằng cách thử với 1 số giá trị của n “ Cho dù làm được với số lượng lớn” cũng không thể được coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô h[r]
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Tiết 1:Phương pháp quy nạp tốn học §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Tiết 1:Phương pháp quy nạp toán học Mở đầu Xét hai mệnh đề chứa biến P (n) : "3n n 100" Q(n) :"2n n " với n N* a) Với n = , , , , P(n) , Q(n) hay sai? b) Với n N* P(n) , Q(n) hay sai? Trả lời: Q(n) P(n) n 2n ss n Kq n 3n ss > Đ 101 Đ > Đ 16 > 27 81 > Đ Đ 102 103 Đ 3 104 Đ Đ 32 > Đ 243 > 105 S 5 b Với n *, P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắn n+100 Kq Việc chứng tỏ cho Q(n) với số tự nhiên n * cách thử với số giá trị n “ Cho dù làm với số lượng lớn” coi CM tập số tự nhiên vô hạn nên việc thử thực Vì vậy: cần có phương pháp cụ thể để chứng minh mệnh đề Một phương pháp chứng minh hiệu phương pháp qui nạp tốn học §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 (gọi giả thiết quy nạp),chứng minh với n = k+1 Phương pháp phương pháp quy nạp toán học hay gọi phương pháp quy nạp II VÍ DỤ ÁP DỤNG §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 (gọi giả thiết quy nạp),chứng minh với n = k+1 II VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Chứng minh với n N* + + + … + (2n -1) = n2 (1) Chứng minh Bước Khi n = 1, VT có số hạng 1, VP = 12 Vậy hệ thức (1) Bước Giả sử đẳng thức (1) với n = k 1, nghĩa + + + … + (2k -1) = k2 (giả thiết qui nạp) Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1+3+5+…+(2k –1) + [2(k +1)-1] = k2 + [2(k +1) -1] = k2 +2k+1 = (k + 1)2 Vậy hệ thức (1) với n * HOẠT ĐỘNG NHÓM NHÓM 1 1 1.2 2.3 n(n 1) Cho tổng: S n a Tính S1, S2 , S3 với n * b Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp NHĨM Cho tổng: A 1 3n n với n * a Tính A1, A2 , A3 b Dự đốn cơng thức tính tổng An chứng minh quy nạp NHÓM Cho tổng: Bn 1.2 2.3 n n 1 với n * a Tính B1, B2 , B3 b Dự đốn cơng thức tính tổng Bn chứng minh quy nạp CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥1 (gọi giả thiết quy nạp),chứng minh với n = k+1 Câu 1: Khẳng định sau hay sai? §Ĩ chøng minh mƯnh ®Ị chøa biÕn A n ®óng víi mäi n *, n p p * ph ơng pháp quy nạp toán học ta thực hai b ớc b¶n sau: B íc 1: Chøng minh A p ®óng B íc 2: Chøng minh "A k A k 1 " ®óng víi k *, k p " C©u 2: Sai lầm đâu? Một học sinh chứng minh "n n 1" (1) với n * nh sau: Giả sử (1) với n k k * , tøc lµ k k * Cộng vào hai vế (*), ta đ ợc k k hay k 1 k 1 Suy (1) cịng ®óng víi n k VËy (1) ®óng víi mäi n * II HƯỚNG DẪN TỰ HỌC Xem lại Phương pháp chứng minh quy nạp Xem lại tiếp ví dụ cịn lại Xác định cơng thức tổng qt chứng minh phương pháp quy nạp: S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n 1)( n 2), n S 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 3), n S 1 n n 2 2 S 1 n 3 n 1 1 S , n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n 1)( n 2) 1 1 S n 1.4 4.7 7.10 3n 1 3n 1 2 3 4 (5) 6 §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Bài tốn1 Xây dựng cơng thức tổng qt Tính: 1+3= 1+3+5= 1+3+5+7= ………………… + + + + …+ (2n – 1) = HƯỚNG DẪN Quan sát, rút qui luật 1 1 2 1 3 1 3 3 1 4 Sn 1 (2n 1) NHÓM 1 1 S Cho tổng: 1.2 2.3 n(n 1) n với n * a Tính S1, S2 , S3 b Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp 1 1.2 Phân tích: 1 3.4 1 n(n 1) n n 1 1 n S Dự đoán: 1.2 2.3 n(n 1) n 1 n 1 n NHÓM Cho tổng: Bn 1.2 2.3 n n 1 với n * a Tính B1, B2 , B3 b Dự đốn cơng thức tính tổng Bn chứng minh quy nạp PHÂN TÍCH Bn 1.2 2.3 n n 1 3Bn 1.2.3 2.3.3 n n 1 1.2.3 = 1.2.(3 -0) = 1.2.3 2.3.3 = 2.3 (4-1) = 2.3.4 - 1.2.3 3.4.3 = 3.4.(5-2) = 3.4.5 - 2.3.4 4.5.3 = 4.5.(6-3) = 4.5.6 - 3.4.5 5.6.3 = 5.6.(7- 4) = 5.6.7 - 4.5.6 ……………………………………… n.(n+1).3 = n.(n+1) [ (n+2) - (n-1) ] = n.(n+1).(n+2) – (n-1) n.(n+1) 3Bn n n 1 n Nhãm 3: Chøng minh r»ng víi mäi n *, ta lu«n cã n n 1 n 1.2 2.3 n n 1 1 Gi¶i: 1 Víi n (1) trở thành * Ta cã * 2 HiÓn nhiên Vậy (1) n Giả sử (1) n k k * , nghÜa lµ k k 1 k 1.2 2.3 Tõ klêi 1 k gi¶i ** nêu 3toán trên, hÃy ta chứng minh (1) khigiải n cho k 1bài , nghĩa cách toánlàtổng quát sau: k k k 3 1.2 2.3 k k 1"Chøng k 1minh k 2mÖnh ®Ị chøa biÕn ThËt vËy, tõ (**) ta cã: A n ®óng kvíik mäi 1 kn 2 * " 1.2 2.3 k k 1 k 1 k k 1 k k k 1 k k 3 k 1 k 1 3 VËy (1) ®óng víi n * Điều phải chứng minh NHÓM Quan sát 5 12 10 22 n(3n 1) (3n 2) Dự đoán: NHểM Bài toán: Chứng minh với n *, ta lu«n cã n n 1 n 1.2 2.3 n n 1 1 H1 a ) HÃy kiểm tra đẳng thức (1) n b) Em kiểm tra đẳng thức (1) với giá trị nguyên d ơng n hay không? Vậy làm để khẳng định đ ợc đẳng thức (1) với n *? H·y chøng minh r»ng: "NÕu (1) ®óng n k k * (1) n k 1" Bài toán: Chứng minh víi mäi n *, ta lu«n cã n n 1 n 1.2 2.3 n n 1 NhVới vậy, chứngđịnh: minh (1) với mäi n *, ta cã thĨ lµm nh sau: haiđểkhẳng 1) 1)Chứng minhkhi (1)nđúng (1) n 1 B»ng c¸ch kiĨm tra trùc tiÕp Nếu minh (1) khiđịn n 2) 2)Chứng khẳng h:k k * (1) n k Ta đ iợc (1) *đúng hay không? sao? " Nếu (1) suy ®óngrakh n k ®óng k víi * (1)ncũng n kVì 1" Kết luận: (1) víi mäi n * ... S ? ?1 n n 2 2 S ? ?1 n 3 n 1 1 S , n 1. 2.3 2.3.4 3.4.5 n( n 1) ( n 2) 1 1 S n 1. 4 4.7 7 .10 3n 1? ?? 3n 1? ?? 2 3 4 (5) 6 ? ?1 PHƯƠNG... (1) với n = k 1, nghĩa + + + … + (2k -1) = k2 (giả thiết qui nạp) Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1+ 3+5+…+(2k ? ?1) + [2(k +1) -1] = k2 + [2(k +1) -1] = k2 +2k +1 = (k + 1) 2 Vậy hệ thức (1) ... 3 1? ?? 4 Sn ? ?1 (2n 1) NHÓM 1 1 S Cho tổng: 1. 2 2.3 n(n 1) n với n * a Tính S1, S2 , S3 b Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp 1 1. 2 Phân tích: 1