Bài giảng Toán 1: Bài 7 - Kỹ năng khai triển Taylor

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK - TOÁN GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN • BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007) KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC Từ khai triển hàm y = ex  Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx Mũ chẵn x e x 1  x   2! Mũ lẻ n x2 x4   1 x n  n 1  cos x 1     o x ,x 2! 4! (2n)! n x3   1 x n1  n2  sin x x    o x ,x 3! (2n  1)! Tương tự sin x, cos x không đan dấu  shx, chx 2n x3 x n 1 x x shx x     o x n 2 , chx 1     o x n 1  3!  2n  1! 2! (2n)! x3 tgx  x   o x , x    Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: o nhỏ số hạng bị triệt tiêu! KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1  x), LN(1 + x) - Hàm nghịch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân): 1 n n n n   1  x    x  o x , 1  x  x      1 x  o x n  1 x 1 x Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)  Nhị thức Newton (1 + x)n 1  x   1  x     1 x        n  1 x n  o x n  2! n! VD: Khai triển MacLaurint hàm f  x  3  x đến cấp x   x    x3 Giải: 1  x  1     1    1     o x , x  3   2!     3! ln(1 + x): 1/(1+x)  xn/n, đan dấu x x3 ( 1) n  n ln1  x   x     x  o x n  n BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: HÀM - Haøm ex cos x sin x 1 x 1 x 1  x   ln1  x  Khai triển Phần dư Lagrange ec x x3 xn x n 1  x      n  1! 2! 3! n! 2n x2 x4 x cos sin  c n 2 n 2n 1       1 x x 2! 4!  2n !  2n  2! n 1 x3 x5 x cos sin  c n 3 n n 1 x       1 x x 3! 5!  2n  1!  2n  3! n 1 n 1 n n    x  x  x  x      1 x 1  c  n 2  x  x  x3   x n    1     n  1 n  x  x   x 2! n! n x2 x3 x n 1 x x        1 n PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH - Đưa hàm cần khai triển dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, tphân) hàm Aùp dụng kh/tr MacLaurint f  x  e   ln1  x  VD: Khai triển ML đến cấp 3: 1 x     x2 x      o x  Giải: f  x    x      x  x   5 x  2     x f  x  cos x cosh x VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3: Giải:  x2 x2   f  x     o x      o x   1  o x , x  2! 2!    Chú ý: Có thể sử dụng đạo hàm, tích phân (coi chừng C!) VD: Khai triển ML đến cấp 2:   f  x  ln x   x  KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1  x) - Với thương (tỷ số, phân số) hàm số: Dùng 1 x Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất số 1! ex a/ , caáp b/ , caáp VD: Khai triển MacLaurint 2x cos x 2    1 x x x x 2     x   o x       o x   Giải: a / e   1 x 2  2!   2 x x 1   b/  1    o x      o x    cos x   x 2!  o x       f  x  VD: Khai triển MacLaurint đến cấp x  4x  1 1  1 1         Giải: f  x     x  1 x  3  x  x  3   x  x  KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HỢP - Hàm hợp f(u(x)): Khai triển bước Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau khai triển f(u) & cắt đến luỹ thừa yêu cầu (Có thể đổi thứ tự) Chú ý quan trọng: Ln kiểm tra điều kiện u(0) = 0! a / sin  x  b / cos x đến cấp u  x  o x  Giải: a / u x & u  0 0  sin u u  3! 12      x2 x4   x x 4  b / 1    o x   1      o x    1  u   24     2  24         u VD: Khai triển MacLaurint VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ KTR ML - Khai triển Taylor f(x) quanh x = x0: Đổi biến t = x – x0 sử dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t) Cách 2: Biến đổi để (x – x0) xuất trực tiếp hàm số! f  x   quanh x0 2 đến cấp VD: Khai triển Taylor hàm x 1 1 1 t  f  x          Giải: Cách 1: t = x –    x t  2 1 t 2   1 f  x    Cách 2: Tạo (x – 2) hàm  x  2  2   x  2 f  x  3 x quanh x0  đến cấp VD: Khai triển Taylor hàm Giải:  x  2   21    x  2       x  2    2          ỨNG DỤNG KT TAYLOR TÌM GIỚI HẠN - Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB  x3  x x x  o  x     o x x  sin x   lim  lim VD: Tính lim 3 x x x x x x sin 3x  sin x  ln1  x  sin x  ln1  x  lim  lim VD: Tìm x x x2 e x  sin x   ln 1  x    lim  VD: Tìm  x   x 1  x  x      (SGK/80) lim  x  x ln    x   x  x  1  x  ln1  x  x x 1  x   x  ln1  x  x ln 1  x   lim   x x 1  x    x 1  x  lim ỨNG DỤNG KT TAYLOR TÍNH GẦN ĐÚNG Tính gần & ước lượng sai số: phần dư Lagrange n f ( x)  k 0 f k  x0  k! k  x  x0  ,   Rn  f  n 1  c  (n  1)! x  x0 n 1 , c   x0 , x  VD: Tính gần giá trị số e với độ xác 10-4 (SGK/79) 1 ec , c   0,1  e S ,   Giải: e 1        n  1!  1!  2!   n!  n  1! S Tương tự: Cần chọn số hạng khai triển hàm y = ex để xấp xỉ e với độ xác 10-4 VD: Góc x cho phép xấp xỉ sinx  x với độ xác 10-4 VI PHÂN - Hàm khả vi x0  y = Ax + o(x), x  : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo x vô bé bậc cao x y C  : y  f  x Vi phân: dy = Ax = f’(x)dx f  x0  x  Nhận xét: Hàm có đạo hàm  Có vi phân: Hàm khả vi 1/ C: số  dC = & d(Cy) = Cdy y f  x0  O x x0 f '  x0  x x0  x 2/ Vi phân tổng, hiệu, tích, thương: d  u v  du dv d  uv  vdu  udv u  vdu  udv  d   v2 v x VI PHÂN HÀM HỢP  y  f  x  , x : biến độc lập  Vi phân cấp 1:    dy  y ' dx  y  f  x  , x  x t  : hàm hợp  Vi phân cấp 1: bất biến! VD: Tính dy a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost Giải: b / dy cos xdx  cos x sin tdt hoaëc y sin cos t   dy  Vi phân cấp cao: x : Biến độc lập  d y  f ' ' dx , d y  y  f  x  , x  x t   d y  f ' ' dx  f ' d x d x  x' ' dt  VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint 2x sin t 2 2 b / d y  y ' ' dx  dt dx ĐS: a / d y  2 1 x 1  x 