Bài 6 tính chất ba đường phân giác của tam giác

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Cụ thể: A  A  ,B  B  ,C  C  => ID = IE = IF 2 2 Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao tam giác Ngược lại, tam giác có đường phân giác vẽ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến (hoặc đường cao) tam giác tam giác cân đỉnh  ABC : AB = AC A  A => BD = DC B.BÀI TẬP MINH HỌA I CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: • Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm đường phân giác góc thứ ba • Giao điểm đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác Bài Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB ABC ,   EH FH hai phân giác DEF DFE Bài 2.1 Cho hình vẽ bên, biết KN = 12 cm, IN = 13 cm I giao điểm, phân giác tam giác MNL a) So sánh IP IH b) Tính IH Bài 2.2 Tìm x hình vẽ sau biết I, H giao điểm ba đường phân giác góc tam giác Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Vận dụng tính chất ba đường phân giác tam giác Bài Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M trung điểm BC a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy H c) Giả sử có MN = MP = NP, tính tỉ số HM MK Bài 4.Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tam giác cân, đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao Bài 5.Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm.I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng Bài 6.Cho tam giác ABC có đường cao AH đồng thời đường phân giác góc A Chúng minh tam giác ABC cân A Dạng Chứng minh mối quan hệ góc Phương pháp giải: • Vận dụng tính chất tia phân giác góc để tìm mối liên hệ góc • Dùng định lí tổng ba góc tam giác 180° Bài 7.Cho  ABC, Các tia phân giác góc B C cắt I a) Biết A = 70°, tính số đo góc BIC  b) Biết BIC = 140°, tính số đo góc A A  c) Chứng minh BIC = 90° +  C  Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân giác AD Bài 8.Cho tam giác ABC có B  70 , C  50 , tính số đo HAD  a) Biết B  C  B  B) Chứng minh HAD  Dạng 5.Tổng hợp Bài 9.Tìm x, y biết M giao điểm phân giác tam giác ABC Bài 10.Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi H, J, K chân đường vng góc kẻ từ I đến AB, AC, BC Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm a) Chứng minh  BHI =  BKI b) Chứng minh tam giác AHI tam giác vuông cân c) Tính chu vi tam giác ABC Bài 11.Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho MB = AB, tia đối tia CB lấy điểm N cho NC = AC Qua M kẻ đường thẳng song song với AB Qua N kẻ đường thẳng song song với AC Hai đường thẳng cắt P Chứng minh:   a) MA, NA tia phân giác PMB , PNC  b) Tia PA cắt BC K Chứng minh PA tia phân giác MPN , từ suy AK tia  phân giác BAC Bài 12.Cho tam giác ABC Các đường phân, giác góc ngồi đỉnh A C cắt K a) Chứng minh BK phân giác góc ABC b) Cho tia phân giác góc A C tam giác ABC cắt I Chứng minh B, I, K thẳng hàng c) Cho biết ABC = 70° Tính AKC Bài 13.Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác Bx Cy cắt E 1   FEH Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy BEC Bài 14.Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng Bài 15.Cho tam giác ABC cân A CP, BQ tia phân giác tam giác ABC (P  AB, Q  AC) Gọi O giao điểm CP BQ a) Chứng minh tam giác OBC tam giác cân b) Chứng minh điểm O cách ba cạnh tam giác ABC c) Chứng minh đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với d) Chứng minh CP = BQ e) Tam giác APQ tam giác gì? Vì   Bài 16.Cho xOy = 50° Lấy điểm A  Ox, B  Oy Các tia phân giác xAB yBA cắt E a) Tính số đo góc AEB   b) Các đường AE, BE cắt phân giác ngồi góc xOy K, F Biết OBA = 40°.Tính góc tam giác KEF Bài 17.Cho tam giác ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC (H  BC)  Tia phân giác HAB cắt BC D a) Chứng minh tam giác ACD tam giác cân  b) Các tia phân giác HAC AHC cắt I Chứng minh CI qua trung điểm, AD Từ tính góc AIC Bài 18.Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C Gọi D giao điểm AI BC Kẻ IH vng góc với BC (H  BC) Chứng minh: a) AD tia phân giác A ;  B  b) CID 90    c) BIH CID Bài 19.Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B đến AI Chứng minh:   a) Các góc ICB BIH hai góc phụ nhau;  b) IBH  ACI Bài 20.Cho tam giác ABC Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC hạ BM vng góc với AC (M  AC) Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB hạ CN vuông góc vói AB (N  AB) Hai đường thẳng xy x'y' cắt P Chứng minh: a) Đường phân giác A hai đường BM, CN đồng quy; b) Đường phân giác A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy LỜI GIẢI CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN Bài  +C  2 IBC     ) 120 a) Ta có B + ICB 2( IBC  ICB  +C  ) 180  120 60 = A 180  ( B  nên I giao điểm ba đường phân giác  C Mà BI, CI tia phân giác B  ABC A => AI tia phân giác A  x  = 30°  E  2 HEF  b) Ta có  DEF cân D => F 64  DEF  => FH tia phân giác DFE  x  32 Bài 2.1 a) I giao điểm ba đường phân giác  MLN Do I cách ba cạnh  MLN => IP = IH b) Xét  IKN vuông K : IK  IN  IK 5cm => IH = IK = cm Bài 2.2 a) Do KA vừa đường cao vừa trung tuyến nên  OKB cân K  Suy KA phân giác OKB Vì H  nằm tia phân giác xOy nên H cách Ox, Oy => AH = HI b) Tính AH = 52  42 3cm Từ giả thiếp ta suy H giao điểm ba đường phân giác  OBK nên H cách ba cạnh tam giác Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK AH = 3cm Bài a) Chứng minh  AMB =  AMC (c.c.c) Từ suy AM tia phân giác góc BAC b) Xét  ABC có AM, BD,CE tia phân giác Từ tính chất ba đường phân giác tam giác, suy ba đường thẳng AM,BD,CE đồng quy Bài Gọi F,H,G hình chiếu vng góc điểm E xuống đường thẳng AB, AC BC Từ giả thiết suy EF = EG EH = EG => EF = EH nên E thuộc tia phân giác góc BAC Mà AD tia phân giác góc BAC Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng Bài I nằm tam giác cách ba cạnh tam giác nên MI tia phân giác góc M Do  MNP cân M nên đường giác MI đường trưng tuyến G trọng tâm  MNP nên G nằm MI Từ đó, suy M,G, I thẳng hàng Bài Hạ MD  AB, ME  AC Vì AM tia phân giác A nên MD = ME Do  BDM =  CEM (ch-cgv)  C  Vậy  ABC cân A Suy B Bài  C  = 110° a) Xét  ABC, ta tính B   Do đó, IBC = 55°  ICB  Vậy BIC = 180° - 55° = 125° b) Xét  BIC, từ giả thiết suy   = 40° Do đó, ta có: IBC  ICB ABC  ACB = 80°  Vậy BAC = 100°    ) c) Ta có: = BIC 180 - ( IBC  ICB = 180 -  C  B 180  A 180 2 A  A  180 -  90 -  90 +    Bài a) Từ giả thiết, ta tính được:  BAC 60  BAC    DAC  30  DAB   80 => ADH DAC C Do đó, xét  AHD ta tính  HAD 10  Có thể tính BAH = 90° - 70° = 20°  Vậy HDA = 30°- 20° = 10°   b) HAD = 90° - HDA   C   A   180  A  2C B   C     = 2 2  Bài Tương tự a) x = 19° b) x = 33°; y = 24° Bài 10 a)  BHI =  BKI (ch-gn) Do đó, BH = BK = 2cm A  b) AI tia phân giác góc A nên HAI  45 Do đó,  AHI tam giác vng cân c) Ta có IH = IK = IJ = 1cm Từ đó, suy AH = HI = lcm Tương tự ý b), ta có AJ = KI = cm  IKC =  IJC (ch-gn) => IC = KC = 3cm  IBH =  IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm Do đó, ta có: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm Vậy chu vi tam giác ABC 12cm Bài 11  a)  ABM cân nên A1 M   A (so le trong) Có AB // MP => M  M  , nên MA tia phân giác Vậy M  PMB Tương tự,  ACN có NA tia phân giác  PNC b) Xét  PMN có A giao điểm hai tia phân giác góc M N nên PA tia phân giác góc MPN Có:   ( đồng vị) P AB //MP => BAK   (đồng vị) P AC // PN => KAC  P  (do PA tia phân giác góc MPN) nên Do đó, AK tia phân giác BAC Mà P Bài 12 a) Tương tự b) Vì I giao điểm tia phân giác   ABC nên góc A C BI phân giác ABC Suy B, I, K thẳng hàng c) Sử dụng 7A, ta có:  AIC 90  ACB 125   Chú ý IAK = 90° nên suy ICK  = 180° - 125° = 55° KAC Bài 13 Từ Bài 4, ta chứng minh E  thuộc tia phân giác góc BAC Do đó, tia AD qua điểm E Chú ý: 1 1   BEG  FEG ; CEG  HEG 2 Suy ĐPCM Bài 14 Vì  ABC cân A nên tia phân giác AK đồng thời đưòng trung tuyến Mà BD trung tuyến  ABC nên K trọng tâm  ABC Do I, K, C thẳng hàng Bài 15 a) Vì  ABC cân nên ABC  ACB ,  C  Vậy  OBC cân O B 2 b) Vì O giao điểm tia phân giác CP BQ  ABC nên O giao điểm ba đường phân, giác  ABC Do đó, O cách ba cạnh  ABC c) Ta có  ABC cân A, AO tia phân giác đỉnh A nên AO đồng thời trung tuyến đường cao  ABC Vậy đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với d)  PBC =  QCS (g.c.g) => CP = BQ e) Từ ý d), ta suy AP = AQ Vậy tam giác APQ cân A đường phân giác góc A Vậy đường phân giác góc A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Bài 1: Cho tam giác cân ABC cân A Các đường cao BH CK cắt I Chứng  minh AI phân giác góc BAC Bài 2: Cho tam giác ABC cân A Gọi I trung điểm BC Từ I vẽ IH  AB ; IK  AC a) Chứng minh: IBH ICK ;  b) Chứng minh: AI phân giác góc BAC Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , AB 6cm , AC 8cm Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D cho CD  CA ; CD 10cm a) Chứng minh BD tia phân giác góc ABC ; b) Gọi I trung điểm BD Kẻ IM  AB , IN  BC , IP  CD Chứng minh rằng: IM  IN  IP Bài 4: Cho ABC , cân A , trung tuyến AM , gọi D điểm nằm A M Chứng minh: a ABD ADC b BDC cân     180 tia phân giác Om góc Trên tia Om lấy điểm I Bài 5: Cho góc xOy xOy Gọi điểm E , F chân đường vuông góc kẻ từ I đến Ox Oy Chứng minh: a) IOE IOF b) EF vng góc với Om Bài 6: Cho ABC , tia phân giác góc A góc B cắt I Qua kẻ song song với BC , cắt AB M , AC N Chứng minh MN  BM  CN Bài 7: Cho ABC , trung tuyến AM Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC N Biết AN  MN , BN cắt AM O Chứng minh a) ABC cân A b) O trọng tâm tam giác ABC Bài 8: Cho ABC cân A Gọi G trọng tâm tam giác, I giao điểm phân giác tam giác Chứng minh A, G, I thẳng hàng Bài 9: CMR tam giác có trung tuyến đồng thời phân giác tam giác tam giác cân  60 Tia phân giác góc A B cắt Bài 10: Cho tam giác ABC có A 70 , B I Kẻ đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BI M Tính góc tam giác MIC Bài 11: Cho tam giác ABC cân A Đường phân giác BD, CE góc B góc C cắt O Kẻ OK , OH vng góc với AC , AB Chứng minh: a) BCD CBE b) OB OC c) OH OK Bài 12: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ HM , HN vng góc với AB , AC Trên tia đối tia MH lấy MD  MH , tia đối NH lấy điểm E cho NE  NH Gọi I K giao điểm DE với AB AC Chứng minh :  a) IB tia phân giác góc HID ;  b) HA tia phân giác góc IHK ;  c) IC tia phân giác góc HIK ; d) IB  IC LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Bài 1: Ta có: KCB HBC (ch-gn)    KBC  HBC  IBC cân nên IB  IC Do đó: AIB AIC (c-c-c)     BAI CAI  AI tia phân giác góc BAC Bài 2:  C  ; IB  IC (gt) a) Xét BHI BKI có: B Vậy BHI = BKI (ch-gn) b) Vì AIB AIC (c-c-c)     BAI CAI  AI tia phân giác góc BAC Bài 3: a) ta có: BC  AB  AC  62  82 10   Nên BC CD 10cm  CBD (1) CDB  Do ABD CDB (SLT) (2) Từ (1) (2) ta có BD tia phân giác góc ABC ; b) ta có: MIB NIB (ch-gn)  IM  IN Tương tự: NIC PIC (ch-gn)  IP  IN Vậy: IM  IN  IP Bài 4: a) tam giác ABC , cân A , nên trung tuyến AM tia phân giác góc A    DAB  DAC Xét ADB ACD có: AB  AC (gt)   DAB  DAC AD chung Vậy ADB = ACD (c.g.c) b) Do ADB = ACD (cmt) DB  DC Vậy BDC tam giác cân D Bài 5: a) Xét OIE OIF có:  F  90 E OI chung   EOI  FOI  gt  Vậy OIE = OIF (ch-gn) b) OIE = OIF (cmt)  OE OF Gọi H giao điểm Om EF   Ta có : OHE = OHF (c.g.c)  OHE  FHO     OHE  FHO 180 OHE  FHO 90 Vậy EF vng góc với Om Bài 6: Ta có CI phân giác   Do MN  BC nên MIB (SLT)  IBC     Mà MBI (gt) suy MBI Suy MBI cân nên  IBC  MIB MI  MB (1) Chứng minh tương tự ta có: NCI cân nên NI  NC (2) Từ (1) (2) ta có: MN  BM  CN Bài 7: a) Ta có: AN  NM AMN cân N suy   NMA  NAM     Vì MN  AB (gt) nên NMA nên MAB MAB  NAM Do AM vừa trung tuyến vừa phân giác nên ABC cân  b) Vì MN  AB (gt) nên ABM  NMC (đồng vị) Mà  C  nên suy C   NMC  Do ABC cân A nên B Do MNC cân N  NC MN Mà NM  NA  NA  NC BN trung tuyến Vậy O trọng tâm Bài 8: Vì G trọng tâm ABC nên G thuộc trung tuyến AM Vì I giao điểm đường phân giác nên AI tia phân giác ABC Trong tam giác cân phân giác thuộc góc đỉnh cân trung tuyến, I  AM Vậy A, G, I thẳng hàng Bài 9:  Xét ABC , có trung tuyến AM đồng thời phân giác góc BAC Ta chứng minh: ABC cân A Trên tia đối tia MA lấy N cho: MN MA   Ta có: MBN MCN (c.g.c)  BN  AC ; CAM  MNB     Mà CAM (gt) BNM  ABN cân nên BA  BN MAB  MAB Mặt khác: BN  AC  AB  AC Vậy ABC cân Bài 10: Áp dụng tính chất phân giác đường thẳng song song    Tính được: ICM 75 ; CMI 30 ; MIC 75 Bài 11:   a) xét BCE CBD có: EBC (gt); BC chung;  BCD     B C   ECB  BDC      2 Vậy BCE = CBD (gcg)     B C   OBC      BOC cân O  OB OC b) OCB  2 c) BOH = COK (ch-gn)  OH OK Bài 12:  a) DMI HMI (cgc)  BI tia phân giác góc HID ; b) Chứng minh tương tự phần a) ta có: DAB HAB (cgc); ANH AEH (cgc)  AD  AH  AE Do ADE  AED (1) Ta có DAI HAI (ccc)  ADI  AHI (2) EPA HAP (ccc)  AEP  AHP (3)  Từ (1),(2),(3) ta có: HA tia phân giác góc IHP ;  c) Vì HA tia phân giác góc IHP (cmt) AH  HC  HC phấn giác IHP Mà PC phấn giác IHP  Suy IC tia phân giác góc HIP ;  d) BI tia phân giác góc HID (cmt)  IC tia phân giác góc HIP (cmt) Do IB  IC PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Dạng Chứng minh hai góc nhau, hai đoạn thẳng nhau; tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Bài 1: Tìm x hình vẽ sau, biết I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC : A a) b) A 27o x I I 39o x C B 23o C 37o B Bài 2: Cho hình vẽ bên, biết KN 12 cm , IN 13 cm I giao điểm đường phân giác tam giác MNL a) So sánh IP IH b) Tính IH Bài 3: Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C Gọi D giao điểm AI BC Kẻ IH  BC ,( H  BC ) M H P L I 13 K 12 N   Chứng minh rằng: BIH CIH Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ IH vng góc với BC ( H  BC ) Biết HI 1cm, HB 2cm, HC 3cm Tính chu vi tam giác ABC Bài 5: Cho ABC vng A có tia phân giác góc B , góc C cắt I Vẽ ID  AB D, IE  AC E Chứng minh AB  AC  BC 2AE Cho biết AB 6 cm , AC 8 cm Tính IA , IB , IC Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài 6: Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I , K , C thẳng hàng Bài 7: Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai cạnh bên Dạng Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng Bài 8: Cho ABC cân A có phân giác góc B góc C cắt I Chứng minh A , I trọng tâm G ABC thẳng hàng Bài 9: Cho tam giác ABC Phân giác góc B góc C cắt I Phân giác góc đỉnh B đỉnh C cắt J, phân giác góc ngồi đỉnh A đỉnh C cắt K, phân giác góc đỉnh A đỉnh B cắt L A b) Chứng minh ba điểm A , I , J thẳng hàng c) Chứng minh AJ , BK , CL cắt điểm  a) Chứng minh BIC 90  Có phần chưa đánhmathtype, lề chỗ trái chỗ đều, thầy trình bày lại chút cho đẹp (nếu cần) LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN SỐ Bài 1: a) b) A A 27o x I I 39o 23 o C 37 x C B o B A 180  ( B  C  ) 180  (2.23  2.37 ) 60 A 60 AI tia phân giác góc CAB nên x   30 2  180  ( A  B  ) 180  (2.39  2.27 ) 48 b) Trong tam giác ABC , có: C a) Trong tam giác ABC , có:  48 C CI tia phân giác góc ACB nên x   24 2 M Bài 2: a) I giao điểm đường phân giác tam giác MNL nên IP  IH b) Xét IKN vuông K, có : IK IN  NK 132  122 25  IK 5 cm I 13 L I giao điểm đường phân giác tam giác MNL nên IH IK 5 cm K 12 N Bài 3: Bˆ   Ta có : BIH (1) 90o  IBH 90o  Aˆ Cˆ Bˆ  ID IAC  C  I CA   90o  2   Từ (1) (2) suy BIH CIH H P A I (2) B Bài 4: Kẻ ID  AC , IE  AB Theo tính chất tia giác: IE ID IH 1cm Ta chứng minh BE BH 2cm , CD CH 3cm AI tia phân giác C H D A D E I B H C   45o Suy AD ID 1cm , AE IE 1cm Từ đó, chu vi góc A mà Aˆ 90o nên IAD IAE tam giác ABC :      12 (cm) Bài 5: B F D A I E C Kẻ IF vuông góc với BC F Chứng minh BD = BF, AD = AE, CE = CF dựa vào cặp tam giác AB + AC – BC = AD + BD + AE + EC – BF – CF = 2AE Phần màu đỏ nhóm yêu cầu đánh mathtype thầy sửa lại cịn khơng thơi Có AE = AD = ID = IE Có AB + AC – BC = 2AE nên AE = (6+8 – 10):2 = 2cm DB = AB – AD = – = 4cm EC = AC – AE = – = 6cm Áp dụng định lí Pytago tam giác vng có: IA2 22  22 8  IA  IB 42  22 20  IB  20 IC 62  22 40  IC  40 A Bài 6: Tam giác ABC cân A có: AK tia phân giác góc định nên đường thẳng AK đường trung tuyến (1) BD đường trung tuyến tam giác ABC (2) Từ (1) (2) suy K trọng tâm tam giác ABC Do C , K , I thẳng hàng I D K B C Bài 7: Xét tam giác ABC cân A , M trung điểm BC AM tia phân giác góc A nên M cách hai cạnh AB , AC A Bài 8: B M C