Bài 3 lôgarit

BÀI LÔGARIT A KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM Khái niệm lôgarit  Nhận xét: log a b   a b  a, b  0, a 1 Cho hai số dương a, b với a 1 Số  thỏa mãn đẳng thức a b gọi lôgarit số a Bài tập: log 3  8 Chú ý: Không có lơgarit số âm số b , ký hiệu log a b Tính chất Cho a, b  0, a 1 Ta có: log a 0; log a a 1 a loga b b; log a  a   Quy tắc tính lơgarit Bài tập: a Lơgarit tích  log 1   log log   log 0; 2   log 3  log  log   log  log 3 Cho a, b1 , b2  với a 1 , ta có: log a (b1b2 ) log ab1  log ab2 Chú ý: Định lý mở rộng cho tích n số dương: log a  b1 bn  log a b1   log a bn 8 1 log   9 2 log  a, b1 , b2 , , bn  0, a 1 b Lôgarit thương Bài tập: Cho a, b1 , b2  với a 1, ta có: log a  Đặc biệt: log a b1 log a b1  loga b2 b2  log a b b • log5 125 log5 125  log5 25 3  1; 25 • log  log 49  49  a  0, b   c Lôgarit lũy thừa Bài tập: Cho hai số dương a, b, a 1 Với  , ta có: • log2 83 3log2 3.3 9; log a b  loga b Trang 256 Đặc biệt: 1 • log2  log   4 log a n b  loga b n Đổi số Bài tập: Cho a, b, c  0; a 1; c 1, ta có: log a b  Đặc biệt: • log8 16  logc b logc a log a b  logb a log2 16  ; log2 • log3 27   b 1 ; 3; log27 1 • log128 log27  log 2  7 log a b  log a b   0   Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b  0, log10 b thường viết log b lg b b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số e Với b  0, loge b viết ln b Trang 257 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính loga b ta biến đổi theo cách Bài tập: sau: • b a , từ suy log a b log a a  ; • a b , từ suy log a b log b b  ;  • log32 128 log25  ; • 32log2 25log2 95 • a c , b c  , từ ta suy  log a b logc c     Để tính b loga c , ta biến đổi b a , từ suy b loga c a loga c c Bài tập Trang 258 a b c d Bài tập 1: Cho a, b, c,d  Rút gọn biểu thức S ln  ln  ln  ln ta b c d a A S 1 B S 0 a b c d C S ln      b c d a D S ln  abcd  Hướng dẫn giải Chọn B a b c d a b c d Ta có: S ln  ln  ln  ln ln   ln1 0 b c d a b c d a Bài tập 2: Cho a, b  a, b 1 , biểu thức P log a b log b a A B 24 C 12 D 18 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : P log a b3 log b a log b log b a  4.log a b 24 loga b a2 Bài tập 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a 1, a  b loga b  Biến đổi biểu thức P log b a b ta a A P   3 B P   C P   D P   3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: P loga loga b 1 loga b  1 3  3 a 2 2    b loga b   log a b  a   Trang 259  a  10 2 Bài tập : Biến đổi biểu thức P log a2 a b  log a    log b b (với  a 1,  b 1 )  b   ta A P 2 B P 1 C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn B Sử dụng quy tắc biến đổi lôgarit ta có:  a  2 P log a2 a10 b  log a    log b b  b     log a a10  log a b2    loga a  log a b      log b b       10  loga b     loga b   1   Bài tập Rút gọn biểu thức P  log b a  logb a  log b a   log a b  log ab b   log b a với  a, b 1 A P 1 C P 0 B P 2 D P 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: P  log b a  2log b a  log b a   log a b  log ab b   log b a   log b a  log b2 a  log b a  1  log a b    log b a logb ab    2 log b a  log b a  1  log a b    log b a log b a     log a b  log b a  1   log b a  log b a  1    log b a log b a    log b a  log b a 1  log a b log b a  log a b  1  log b a log b a  log b a  1 log a b  log b a log b a   log b a 1 2 Bài tập Cho a  , b  thỏa mãn log a 2 b 1  a  b  1  log ab 1  2a  2b  1 2 Giá trị a  2b bằng: A 15 B C D Trang 260 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 4a  b 4ab , với a, b  Dấu ‘ ’ xảy b 2a  1 Khi log a 2b1  4a  b  1  log ab 1  2a  2b  1 log a 2b1  4ab  1  log ab 1  2a  2b  1 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có log a 2b1  4ab 1  log ab 1  2a  2b  1 2 Dấu ‘ ’ xảy log a 2b1  4ab  1 1  4ab  2a  2b    3 15 Từ  1   ta có 8a  6a 0  a  Suy b  Vậy a  2b  4 Bài tập Cho a log3 27 , blog7 11 49 , c log11 25  11 Tính S a 2 log 11 log 25  b   c  11  A S 33 B S 469 C S 489 Hướng dẫn giải Chọn B log3  D S 3141 Ta có: a log3 27  log3 log a 27  log3 7.log3 log a 27.log3 2   log3  3log a 3.log3   log3  log a 73  a log3  a log a 73 2 Tương tự ta có blog 11 49  b log 11 112 ; blog11 25  11  c log11 25 5 2 Vậy S a log3   b log7 11  c log11 25  73  112  469 Bài tập Đặt log a , log b , Q log theo a , b A 5a  2b  2014 2015  log   log  log Tính Q 2015 2016 B 5a  2b  C 5a  2b  Hướng dẫn giải D  5a  2b  Chọn D 2014 2015  log   log  log 2015 2016  log  log    log  log 3    log 2014  log 2015    log 2015  log7 2016  Ta có Q log log  log 2016  log 2016   log 32.9.7    log 32  log  log 7   log7 25  log 32   5log  log   5a  2b    Bài tập Cho hai số thực dương a, b ( a 1 ) thỏa mãn điều kiện log a b  b 16 log a  b Tính tổng S a  b A S 12 B S 10 C S 16 D S 18 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 261 b  16 b b b   16     log b  b a b    b 2 b b a b 16         Ta có     16 16 a 2     log a 16 16 b b a 2 a 2   b b a   Vậy ta có S 16  18 Bài tập 10 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  20 x  0 Tính giá trị biểu thức P log( x1  x2 )  log x1  log x2 A C B D 10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có P log( x1  x2 )  log x1  log x2 log  x1  x2   log  x1.x2  log x1  x2 x1.x2 Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  20 x  0 nên ta có x1  x2 20 ; x1.x2 2 Vậy ta có P log 20 1 1 Bài tập 11 Cho M = log x + log x + + log x Tính M a a a A M = 272 log a x B M = 16 136 log a x C M = 1088 log a x D M = 272 3log a x Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có M  log x  log x   log x log x a  log x a   log x a16 a 16 a a log x a  log x a   log x a16 log x a  log x a   16 log x a 136 16   16      16  log x a  log x a  log a x Bài tập12 Với x, y, z số nguyên dương thỏa mãn x log1512  y log1512  z log1512 1 Tính giá trị biểu thức Q x  y  z A 1512 B 12 C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang 262 Ta x log1512  y log1512  z log1512 1 có  log1512 x  log1512 y  log1512 z log1512 1512  log1512 x.3 y.7 z log1512 1512  x 3   x.3 y.7 z 1512  x.3 y.7 z 23.33.7   y 3  z 1  Vậy Q 3   1.3 9 Bài tập 13 Giá trị biểu thức P  A 1    log 2017! log 2017! log 2017 2017! B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta P có 1    log 2017! log 2017! log 2017 2017! log 2017!  log 2017!   log 2017! 2017 log 2017!  2.3 2017  log 2017! 2017! 1  ; cos x  Giá trị biểu thức 10 log sin x  log cos x  log tan x Bài tập 14 Giả sử  x  A  10 B 10 C 10 D  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có sin x 1  cos x 1   10 10 Khi log sin x  log cos x  log tan x log  sin x.cos x.tan x  log sin x log Bài tập 15 Cho log 12  x , log12 24  y log 54 168   10 axy  , a, b, c số bxy  cx nguyên Tính giá trị biểu thức S a  2b  3c A S 4 B S 19 C S 10 D S 15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: log54 168   log  24.7  log 54  log 24  log 12 log12 24   log 54 log 54 log 12 log12 24  xy   log 12 log12 54 x.log12 54 Tính log12 54 log12  27.2  3log12  log12 3log12 3.2.12.24 24  log12 2.12.24 12 Trang 263 3log12 123 24 3   log12 24    log12 24  1 8  log12 24 8  5y  log12 24 12 Do đó: log 54 168  xy  xy   x   y   xy  x a 1  Vậy b   S a  2b  3c 15 c 8   x x 1 Bài tập 16 Với a, b thỏa mãn để hàm số f  x   có đạo hàm x0 1 Khi ax  b x  giá trị biểu thức S log  3a  2b  bằng? A S 1 B S 2 C S 3 D S 4 Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số f  x  có đạo hàm x0 1 suy ra: f  x  lim f  x   f  1  a  b 1 + Hàm số liên tục x0 1 : xlim  1 x + Tồn giới hạn lim x f  x   f  1 x  lim f  x   f  1 f  x   f  1 lim x x x  lim x2  ax  b  lim x  x x  x x  lim ax  b   a  b  x  a 2  1 x  2 a 2 Từ  1   suy  b  S log  3a  2b  log 2 Dạng Đẳng thức chứa logarit Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Cho x , y  x  y 12 xy Khẳng đinh sau đúng? A log2  x  y  log x  log y   x  2y  B log2   log2 x  log2 y   Trang 264 C log2  x  y  2   log2 x  log2 y  D log2  x  y  log2 x  log y Hướng dẫn giải Chọn C Với x , y  , ta có: x  y 12 xy   x  y  16 xy  log2  x  y  log2 16 xy  log2  x  y  4  log2 x  log2 y  log2  x  y  2   log2 x  log2 y  Bài tập 2: Cho x, y số thực lớn thỏa mãn x  y 6 xy Tính  log12 x  log12 y M log12 ( x  y ) A M  C M  B M 1 D M  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x  y 6 xy   x  y  0  x 3 y Vậy ta có  log12 x  log12 y  log12 y  log12 y log12 12  log12  log12 y  log12 y M   log12  x  y   log12  log12 y  log12 y  log12 36  log12 y 1 log12 36  log12 y Bài tập 3: Cho biểu thức B 3log3 a  log5 a log a 25 với a số dương, khác Khẳng định sau đúng? A B 2a  B log a2  B 1 C B a  D B  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có B 3log3 a  log a log a 25 a  log5 a.log a 25 a  log a.log a 52 a  log a.log a a  Vậy B a  Trang 265 Bài tập 4: Gọi c cạnh huyền, a b hai cạnh góc vuông tam giác vuông Trong khẳng định sau khẳng định đúng? A log b c a  log c b a 2 logb c a.log c b a B log b c a  logb  c a 2 log b c a.log b  c a C log bc a  log c  b a logb c a.log c  b a D log b c a  log b  c a 4 log b c a.log b c a Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: c a  b  c  b a   c  b   c  b  a  log a  c  b   c  b  2  log a  b  c   log a  c  b  2  1  2 log a  b  c  log a  c  b   logbc a  log c  b a 2 logbc a.log c  b a (đpcm) Bài tập 5: Cho log 27 a , log8 b , log c Khẳng định sau đúng? 3b  2ac 3b  3ac A log12 35  B log12 35  c2 c2 3b  2ac 3b  3ac C log12 35  D log12 35  c 3 c 1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : log 27 a  log 3a ; log b  log 3b ; log c log 3a  3b c  3ac  3b log log  log log  log 12 35    c2 log 12 log 3  log  log  c 3a  Bài tập 6: Cho log  y  x   log 4 1 , với y  0, y  x Chọn khẳng định khẳng y định sau? A x 4 y B x 3 y C x  y Hướng dẫn giải D y  x Chọn C Ta có log  y  x   log 4 1   log  y  x   log y 1  log y 1  log  y  x  y  log y log 4  y  x   y 4  y  x   x  y Bài tập 7: Số thực dương a, b thỏa mãn log a log12 b log16 ( a  b) Mệnh đề đúng? A a 2    ;1 b 3  B a  2   0;  b  3 C a   9;12  b D a  (9;16) b Hướng dẫn giải Trang 266 Chọn B Giả sử log a log12 b log16 (a  b) t Khi đó, ta có: a 4t ; b 12t ; a  b 16t Từ đây, t t  1  3 ta có phương trình: 4t  12t 16t       1  *  4  4 Vế trái phương trình  * nghịch biến nên  * có nghiệm t 1 Suy a  2    0;  b  3 Bài tập8: Có tất số dương a thỏa mãn đẳng thức log a  log a  log a log a.log a.log a a 4; b 12 suy A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có log a  log a  log a log a.log a.log a  log a  log 2.log a  log 2.log a log a.log 5.log a.log a  log a   log  log  log a.log 5.log 52 a  log a   log  log  log 5.log 52 a  0  a 1  log a 0     log  log 2 log a    log  log  log 5.log a 0  log   a 1 1log log    log3  a 5 Bài tập 9: Cho n số nguyên dương, tìm n cho log a 2019  22 log a 2019  32 log a 2019   n2 log n a 2019 10082.2017 2.log a 2019 A 2017 B 2019 Chọn C Đặt log a 2019  22 log a C 2016 Hướng dẫn giải D 2018 2019  32 log a 2019   n log n a 2019 10082.20172.log a 2019   Ta có n log n a 2019 n log a 2019  n  n  1       n log a 2019   log a 2019   Hay từ   ta có Vậy VT    3 3   n  n  1  2 2 2   log a 2019 1008 2017 log a 2019  n  n  1 2 1008 2017    n 2016  n 2016  n  n  1 20162.2017  n  n  4066272 0    n  2017 n   ) (vì Trang 267 2 Bài tập 10: Cho log x  y 1  log xy , với xy  Chọn khẳng định khẳng   định sau? A x  y B x  y C x  y Hướng dẫn giải D x  y Chọn C Ta log x  y 1  log xy  log x  y log 2 xy  x  y 2 xy  có      x  y  0  x  y Dạng Biểu thị biểu thức theo biểu thức cho từ tìm GTLN, GTNN Phương pháp giải Bài tập Bài tập Cho hai số thực x , y thỏa mãn log x2  y  x  y  1 Tính P  x biểu thức y S 4 x  y  đạt giá trị lớn A P  B P  C P  13 D P  17 44 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có log x2  y  x  y  1  x  y  x  y    x  1   y   4 Khi ta 4  x  1   y     4  32 S 4 x  y  có    x  1   y  2   3 13  x x y2      Dấu " " xảy   y  4 x  y  3  13 x 13 Vậy ta có P    y  Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P log 2a  a   3log b   b b A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15 Hướng dẫn giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có 2   a  a  a   a P log  a   3log b    log a a   3log b   4  log a  b    3log b   b  b b b   b  b  a b Trang 268   a 4   log a b   3log b   b b   3 2 Đặt t log a b  (vì a  b  ), ta có P 4   t   4t  8t    f  t  b t t 2t  1  4t  6t  3  t  t  Ta có f (t ) 8t     t t2 t2  1 Vậy f  t  0  t  Khảo sát hàm số, ta có Pmin  f   15  2 Bài tập Xét số thực dương x , y thỏa mãn log  xy 3 xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ x  2y Pmin P  x  y A Pmin  11  19 18 11  29 C Pmin  B Pmin  11  19 D Pmin  11  Hướng dẫn giải Chọn D  xy 3 xy  x  y  x  2y  log3   xy   log  x  y  3  xy  1   x  y   log  log3   xy   log3  x  y  3  xy  1   x  y   log 3   xy     xy  log  x  y    x  y  Xét f  t  log t  t ,  t   f  t     0, t  t ln Suy : f    xy    f  x  y    xy  x  y  x   2y  3y Điều kiện  xy   y    y  x  2y y2  3  2y P x  y  y   3y P 1   11 1 3y     11 y 0      11 y  Lập bảng biến thiên ta có Pmin  11  Bài tập Cho số thực a, b, c   1;2  thỏa mãn điều kiện log32 a  log32 b  log32 c 1 Trang 269 3 a b c Khi biểu thức P a  b  c  log2 a  log2 b  log2 c   đạt giá trị lớn giá trị a  b  c A B 3.2 33 C D Hướng dẫn giải Chọn C 3 Ta xét hàm số f  x   x  x log2 x  log2 c với x   1;2  Ta có đạo hàm f  x  3 x  3log2 x  3log2 x  ; ln x ln 6log2 x 3log22 x f  x  6 x    x ln x ln 2 x ln log2 x   log2 x    Vì f  x  6   3     x   1;2  nên x ln  x ln x ln2  f  x   f  1 1,67  Như hàm số f  x  đồng biến có nghiệm  1;2  f  1  0; f    có đồ thị lõm  1;2  Do ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta nhận thấy f  x  1 P 3  log32 a  log32 b  log32 c 4 Đẳng thức xảy a b 1, c 2 hoán vị Bài tập Trong tất cặp  x; y  thỏa mãn log x  y2 2  x  y   1 Với giá trị m tồn cặp  x; y  cho x  y  x  y   m 0? A  10   2 B  10     10  Trang 270 C 10  10  D 10  Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện: x  y  0 Ta có log x  y2 2  x  y   1 2  x  y   x  y    x     y   2  C1  Miền nghiệm bất phương trình hình trịn (cả bờ)  C1  có tâm I1  2;2  bán kính R1  2 Mặt khác: x  y  x  y   m 0   x  1   y  1 m  * 2 Với m 0 x  1; y 1 (khơng thỏa mãn  x     y   2 ) Với m   * đường trịn  C2  có tâm I   1;1 bán kính R2  m Để tồn cặp  x; y   C1   C2  tiếp xúc với Trường hợp 1:  C1   C2  tiếp xúc ngồi Khi đó: R1  R2 I1I   m   10  m  10   2 Trường hợp 2:  C1  nằm  C2  hai đường trịn tiếp xúc Trang 271 Khi đó: R2  R1 I1I   Vậy m  10   m   2  10  m  10   m  10   thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập Xét số thực a, b thỏa mãn a  b  Giá trị nhỏ Pmin biểu thức  a P log2a a2  3log b    b b   A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: P log2a b     a  a2  3logb       log b a  1  b   log a    a b          log b a  1   loga b  Đặt log a b t   t  1 Khi P  Ta có f  t   1 t  1 t    f  t  với  t  t  f  t  0  t  t Bảng biến thiên: Trang 272 Từ bảng biến thiên, ta có Pmin 15 Bài tập Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 x  y 3 log x  y2  x x  x  y  3y  2   Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Khi biểu thức T 2  M  m  1 có giá trị gần số sau đây? A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 Ta có log x  y2  x x  x  y  3y  2  log x2  y2  x  y   x  y2    x  3  x   y2     x  3  2   x    y 1  x  y 3 Tập hợp số thực x, y thỏa mãn:  điểm thuộc miền hình trịn  C1   x    y 1 có tâm I  2;  , bán kính R1 1 nằm ngồi hình trịn  C2  có tâm O  0;  bán kính R2  Trang 273 Biểu thức: P  x  y  x  y  P 0 họ đường thẳng  song song với đường y  x 3 3 3 3 ,B ;  Các giao điểm hai hình trịn A  ;  2  2     P đạt giá trị nhỏ đường thẳng  qua A Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có: 3 3   Pmin 0  Pmin  2 P đạt giá trị lớn đường thẳng  tiếp xúc với đường trịn  C1  ta có: d  I ;   R1  2 P 1 1  P 2   Pmax 2   3   10 Do T 2  M  m  1 2       Trang 274