Bài 3 LÔGARIT

BÀI LÔGARIT A KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM  Nhận xét: log a b    a  b  a, b  0, a  1 Khái niệm lôgarit Cho hai số dương a, b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a  b gọi lôgarit số a b , ký hiệu log a  b Bài tập: log    Chú ý: Khơng có lơgarit số âm số Tính chất Cho a, b  0, a  Ta có: log a  0; a loga b  b; log a a  log a  a    Quy tắc tính lơgarit Bài tập: a Lơgarit tích  log 1   log  log    log  0; 2   log 3  log  log   log  log 3 Cho a, b1 , b2  với a  , ta có: log a (b1b2 )  log a b1  log a b2 Chú ý: Định lý mở rộng cho tích n số dương: loga  b1 bn   loga b1   loga bn 8 1  log   9 2  log  2 a, b1, b2, , bn  0, a  b Lôgarit thương Bài tập: Cho a, b1, b2  với a  1, ta có: loga  Đặc biệt: loga b1  loga b1  loga b2 b2   loga b b • log5 125  log5 125 log5 25  3  1; 25 • log7   log7 49  2 49  a  0,b  0 c Lôgarit lũy thừa Bài tập: Cho hai số dương a, b, a  Với  , ta có: • log2 83  3log2  3.3  9; Trang loga b   loga b • log2  1 log2   4 Đặc biệt: loga n b  log b n a Đổi số Bài tập: Cho a, b, c  0; a  1; c  1, ta có: loga b  Đặc biệt: logc b logc a loga b  logb a loga b   b  1 ; • log8 16  log2 16  ; log2 • log3 27   3; log27 • log128  log27  1 log2  7 loga b    0  Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b  0, log10 b thường viết logb lgb b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số e Với b  0, loge b viết lnb Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính loga b ta biến đổi theo cách Bài tập: sau: • b  a , từ suy loga b  loga a   ; • a  b , từ suy logab  logb b  ;  • log32 128  log25 27  ; • 32log2  25log2  95 • a  c , b  c , từ ta suy loga b  logc c     Để tính bloga c , ta biến đổi b  a , từ suy loga c b  loga c a  c Bài tập Trang a b c d Bài tập 1: Cho a,b,c,d  Rút gọn biểu thức S  ln  ln  ln  ln ta b c d a A S  B S   a b c d C S  ln      b c d a D S  ln abcd Hướng dẫn giải Chọn B  a b c d a b c d Ta có: S  ln  ln  ln  ln  ln   ln1 b c d a  b c d a Bài tập 2: Cho a, b  a, b  1, biểu thức P  log a b logb a A B 24 C 12 D 18 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : P  log a b3.logb a4  log b3.logb a4  a2 4.loga b  24 loga b Bài tập 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  1, a  b loga b Biến đổi biểu thức P  log b a b ta a A P  5 3 B P  1 C P  1 D P  5 3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:   b 1 loga b  1 1  31 a2 P    1 b loga b  1 log b  3 loga a a loga Trang  a  10 2 Bài tập : Biến đổi biểu thức P  loga2 a b  log a   log3 b b (với  a  1,  b  1)  b   ta A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn B Sử dụng quy tắc biến đổi lơgarit ta có:  a  2 P  loga2 a10b2  log a   log3 b b  b     loga a10  loga b2   2 loga a  loga b  3. 2 logb b    2    10  2loga b  21 loga b     Bài tập Rút gọn biểu thức P   log b a  log b a  log b a   log a b  log ab b   log b a với  a, b  A P  C P  B P  D P  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: P   log b a  logb a  log b a   log a b  log ab b   log b a    log b a  log b2 a  log b a  1  log a b   log b a log b ab    2  log b a  log b a  1  log a b   log b a logb a     log a b  log b a  1    log b a  log b a  1   log b a log b a     logb a  logb a  1  log a b logb a  log a b  1  logb a  log b a  log b a  1 log a b  log b a  log b a   log b a  2 Bài tập Cho a  , b  thỏa mãn log a  2b 1  4a  b  1  log ab 1  2a  2b  1  Giá trị a  2b bằng: A 15 B C D Trang Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 4a  b  4ab , với a, b  Dấu ‘  ’ xảy b  2a  1 Khi  log a  b1  4a  b  1  log ab 1  2a  2b  1  log a  2b 1  4ab  1  log ab 1  2a  2b  1 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có log a  b1  4ab  1  log ab 1  2a  2b  1  Dấu ‘  ’ xảy log a  2b 1  4ab  1   4ab   2a  2b    Từ  1   ta có 8a  6a   a  3 15 Suy b  Vậy a  2b  4 Bài tập Cho a log3  27 , blog 11  49 , c log11 25  11 Tính S  a log3  log 11 log 25  b   c 11  A S  33 B S  469 C S  489 Hướng dẫn giải Chọn B 2 D S  3141 Ta có: a log3  27  log3  log a 27  log3 7.log3  log a 27.log   log3   3log a 3.log3   log3   log a 73  a log3   a log a  73 2 Tương tự ta có blog 11  49  b log7 11  112 ; blog11 25  11  c log11 25  2 Vậy S  a log3   b log 11  c log11 25  73  112   469 2 Bài tập Đặt log  a , log  b , Q  log theo a , b A 5a  2b  2014 2015  log   log  log Tính Q 2015 2016 B 5a  2b  C 5a  2b  Hướng dẫn giải D 5a  2b  Chọn D 2014 2015  log   log  log 2015 2016   log  log    log  log 3    log 2014  log 2015    log 2015  log7 2016  Ta có Q  log  log  log7 2016   log 2016    log7 32.9.7     log7 32  log  log 7      log7 25  log7 32   5log  log   5a  2b  Bài tập Cho hai số thực dương a, b ( a  ) thỏa mãn điều kiện log a b  Tính tổng S  a  b A S  12 B S  10 C S  16 b 16 log a  b D S  18 Hướng dẫn giải Chọn D Trang b  16  16 b b b      log b  b a b    b  b b  16 b  a        Ta có      16 16 a2    log a  16  16 b b a  a    b b a   Vậy ta có S  16   18 Bài tập 10 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  20 x   Tính giá trị biểu thức P  log( x1  x2 )  log x1  log x2 A C B D 10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có P  log( x1  x2 )  log x1  log x2  log  x1  x2   log  x1.x2   log x1  x2 x1.x2 Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  20 x   nên ta có x1  x2  20 ; x1.x2  Vậy ta có P  log 20  1 Bài tập 11 Cho M = log x + log x + + log x Tính M a a a A M = 272 loga x B M = 16 136 loga x C M = 1088 loga x D M = 272 3loga x Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có M  log x  log x   log x  log x a  log x a   log x a16 a 16 a a  log x a  log x a   log x a16  log x a  log x a   16 log x a      16  log x a  136 16   16  log x a  log a x Bài tập12 Với x, y, z số nguyên dương thỏa mãn x log1512  y log1512  z log1512  Tính giá trị biểu thức Q  x  y  3z A 1512 B 12 C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang Ta x log1512  y log1512  z log1512  có  log1512 x  log1512 y  log1512 z  log1512 1512  log1512 x.3 y.7 z  log1512 1512 x    x.3 y.7 z  1512  x.3 y.7 z  23.33.7   y  z   Vậy Q    1.3  Bài tập 13 Giá trị biểu thức P  A 1    log 2017! log 2017! log 2017 2017! B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta P có 1    log 2017! log 2017! log 2017 2017!  log 2017!  log 2017!   log 2017! 2017  log 2017!  2.3 2017   log 2017! 2017!  Bài tập 14 Giả sử  x   ; cos x  Giá trị biểu thức 10 log sin x  log cos x  log tan x A  10 B 10 C 10 D 1 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có sin x   cos x    10 10 Khi log sin x  log cos x  log tan x  log  sin x.cos x.tan x   log sin x log Bài tập 15 Cho log 12  x , log12 24  y log 54 168  nguyên Tính giá trị biểu thức S  a  2b  3c A S  B S  19  1 10 axy  , a, b, c số bxy  cx C S  10 D S  15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: log 54 168   log  24.7  log 24  log 12 log12 24    log 54 log 54 log 54 log 12 log12 24  xy   log 12 log12 54 x.log12 54 Tính log12 54  log12  27.2   3log12  log12  3log12 3.2.12.24 24  log12 2.12.24 12 Trang  3log12 123 24    log12 24    log12 24  1   5log12 24   5y  log12 24 12 Do đó: log 54 168  xy  xy   x   y  5 xy  x a   Vậy b  5  S  a  2b  3c  15 c    x x  Bài tập 16 Với a, b thỏa mãn để hàm số f  x    có đạo hàm x0  Khi ax  b x  giá trị biểu thức S  log  3a  2b  bằng? A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số f  x  có đạo hàm x0  suy ra: f  x   lim f  x   f  1  a  b  + Hàm số liên tục x0  : xlim 1 x1 + Tồn giới hạn lim x 1 f  x   f  1 x 1  lim f  x   f  1 f  x   f  1  lim x 1 x 1 x 1  lim x2 1 ax  b   lim x  x1 x  x 1 x 1   lim x 1  1 ax  b   a  b  x 1 a2  2 a  Từ  1   suy  b  1 S  log  3a  2b   log  Dạng Đẳng thức chứa logarit Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Cho x, y  x2  4y2  12xy Khẳng đinh sau đúng? A log2  x  2y  log2 x  log2 y   x  2y  B log2    log2 x  log2 y   Trang C log2  x  2y    log2 x  log2 y D 4log2  x  2y  log2 x  log2 y Hướng dẫn giải Chọn C Với x, y  , ta có: x2  4y2  12xy   x  2y  16xy  log2  x  2y  log2 16xy  2log2  x  2y   log2 x  log2 y  log2  x  2y    log2 x  log2 y Bài tập 2: Cho x, y số thực lớn thỏa mãn x  y  xy Tính  log12 x  log12 y M log12 ( x  y ) A M  C M  B M  D M  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x  y  xy   x  y    x  y Vậy ta có M   log12 x  log12 y  log12 y  log12 y log12 12  log12  log12 y  log12 y   log12  x  y   log12  log12 y  2log12 y log12 36  log12 y 1 log12 36  log12 y Bài tập 3: Cho biểu thức B  3log3 a  log5 a log a 25 với a số dương, khác Khẳng định sau đúng? A B  2a  B log a2 4 B  C B  a  D B  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có B  3log3 a  log a log a 25  a  log5 a.log a 25  a  log5 a.log a 52  a  log5 a.log a  a4 Vậy B  a  Trang Bài tập 4: Gọi c cạnh huyền, a b hai cạnh góc vng tam giác vuông Trong khẳng định sau khẳng định đúng? A log b c a  log c b a  log b c a.log c b a B logb c a  logb c a  log b c a.logb c a C logb c a  log c b a  log b c a.log c b a D log b c a  log bc a  log b c a.logb c a Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: c  a  b  c  b  a   c  b   c  b   a  log a  c  b   c  b    log a  b  c   log a  c  b    1  2 log a  b  c  log a  c  b   logb c a  log c b a  log b c a.log c b a (đpcm) Bài tập 5: Cho log 27  a , log8  b , log  c Khẳng định sau đúng? 3b  2ac 3b  3ac A log12 35  B log12 35  c2 c2 3b  2ac 3b  3ac C log12 35  D log12 35  c3 c 1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : log27  a  log3  3a ; log8  b log2  3b ; log2  c log2 3a 3b c  3ac  3b log3 log3 5 log3 log2  log12 35    c log3 12 log3 3 log3 1 2log3 1 c 3a Bài tập 6: Cho log  y  x   log 4  , với y  0, y  x Chọn khẳng định khẳng y định sau? A x  y B x  y C x  y D y  x Hướng dẫn giải Chọn C Ta có log  y  x   log 4    log  y  x   log y   log y   log  y  x  y y Bài tập 7: Số thực dương a, b thỏa mãn log a  log12 b  log16 ( a  b) Mệnh đề đúng?  log y  log 4  y  x   y   y  x   x  A a 2    ;1 b 3  B a  2   0;  b  3 C a   9;12  b D a  (9;16) b Hướng dẫn giải Trang 10 Chọn B Giả sử log a  log12 b  log16 (a  b)  t Khi đó, ta có: a  4t ; b  12t ; a  b  16t Từ đây, t t 1 3 ta có phương trình: 4t  12t  16t         * 4 4 Vế trái phương trình  * nghịch biến nên  * có nghiệm t  Suy a  2    0;  b  3 Bài tập8: Có tất số dương a thỏa mãn đẳng thức log a  log3 a  log a  log a.log a.log a a  4; b  12 suy A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có log a  log a  log a  log a.log3 a.log a  log a  log 2.log a  log 2.log a  log a.log 5.log a.log a  log a   log  log   log a.log 5.log 52 a  log a   log  log  log 5.log 52 a   a   log a      log  log 2 log a   1  log  log  log 5.log a   log  a   1 log3  log   log a  Bài tập 9: Cho n số nguyên dương, tìm n cho log a 2019  22 log a 2019  32 log a 2019   n log n a 2019  1008 2.20172.log a 2019 A 2017 B 2019 Chọn C Đặt log a 2019  22 log   a C 2016 Hướng dẫn giải D 2018 2019  32 log a 2019   n log n a 2019  10082.20172.log a 2019 Ta có n log n a 2019  n log a 2019  n  n  1       n log a 2019    log a 2019   Hay từ   ta có Vậy VT    3 3   n  n  1  2 2 2   log a 2019  1008 2017 log a 2019  n  n  1  1008 2017    n  2016  n  2016  n  n  1  20162.2017  n  n  4066272     n  2017 n  ¥  ) (vì Trang 11   2 Bài tập 10: Cho log x  y   log xy , với xy  Chọn khẳng định khẳng định sau? A x  y B x  y Chọn C Ta  C x  y Hướng dẫn giải  D x  y   log x  y   log xy  log x  y  log 2 xy  x  y  xy có   x  y   x  y Dạng Biểu thị biểu thức theo biểu thức cho từ tìm GTLN, GTNN Phương pháp giải Bài tập Bài tập Cho hai số thực x , y thỏa mãn log x  y  x  y   Tính P  x biểu thức y S  x  y  đạt giá trị lớn A P  B P  C P   13 D P  17 44 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có log x  y  x  y    x  y  x  y    x  1   y    Khi ta   x  1   y     4  32    x  1 S  4x  3y  có   y  2  7  13  x  x 1 y       Dấu "  " xảy  4 x  y   y    13 x 13 Vậy ta có P     y  Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P  log 2a  a   3log b   b b A Pmin  19 B Pmin  13 C Pmin  14 D Pmin  15 Hướng dẫn giải Chọn D Với điều kiện đề bài, ta có 2   a  a  a  a P  log  a   3log b    2 log a a   3log b   log a  b   3log b   b  b b b   b  b  a b Trang 12   a  1  log a b   3log b   b b   3 2 Đặt t  log a b  (vì a  b  ), ta có P    t    4t  8t    f  t  b t t 2t  1  4t  6t  3  t  t  Ta có f (t )  8t     t t2 t2 Vậy f   t    t  1 Khảo sát hàm số, ta có Pmin  f    15 2 Bài tập Xét số thực dương x , y thỏa mãn log  xy  xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ x  2y Pmin P  x  y A Pmin  11  19 B Pmin  11  19 C Pmin  18 11  29 D Pmin  11  Hướng dẫn giải Chọn D  xy  3xy  x  y  x  2y  log   xy   log  x  y    xy  1   x  y   log  log 3   xy   log  x  y    xy  1   x  y   log 3   xy     xy   log  x  y    x  y  Xét f  t   log t  t ,  t   f  t     0, t  t ln Suy : f    xy    f  x  y    3xy  x  y  x   2y  3y Điều kiện  xy   y    y  x  2y y2  3  2y P  x y  y  3y P   11  1 3y  1  11 y  0  1  11 y   Lập bảng biến thiên ta có Pmin  11  Bài tập Cho số thực a, b, c  1;2 thỏa mãn điều kiện log32 a  log23 b  log23 c  Trang 13  3 a b c Khi biểu thức P  a  b  c  log2 a  log2 b  log2 c  đạt giá trị lớn giá trị a  b  c A B 33 3.2 C D Hướng dẫn giải Chọn C 3 Ta xét hàm số f  x  x  3x log2 x  log2 c với x 1;2 Ta có đạo hàm f   x  3x2  3log2 x  3log2 x  ; ln2 xln2 6log2x 3log22 x f   x  6x    x ln2 x2 ln2 x2 ln2 6log2 x 3 log2 x   Vì f   x  6 1 3    x 1;2 nên x3 ln2  x ln  x ln2 f   x  f   1  1,67  Như hàm số f   x đồng biến có nghiệm 1;2 f  1  0;   2  có đồ thị lõm 1;2 Do ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta nhận thấy f  x  P  3 log32 a  log32 b  log32 c  Đẳng thức xảy a  b  1,c  hoán vị Bài tập Trong tất cặp  x; y thỏa mãn logx2  y2   4x  4y  4  Với giá trị m tồn cặp  x; y cho x2  y2  2x  2y   m 0? A   10  B  10     10  Trang 14 C 10  10  D 10  Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện: 4x  4y   Ta có logx2  y2   4x  4y  4   4x  4y   x2  y2    x  2   y  2   C1  2 Miền nghiệm bất phương trình hình trịn (cả bờ)  C1  có tâm I  2;2 bán kính R1  Mặt khác: x2  y2  2x  2y   m   x  1   y  1  m  * 2 Với m x  1; y  (không thỏa mãn  x  2   y  2  2) 2 Với m  * đường trịn  C2  có tâm I  1;1 bán kính R2  m Để tồn cặp  x; y  C1   C2  tiếp xúc với Trường hợp 1:  C1   C2  tiếp xúc ngồi Khi đó: R1  R2  I 1I  m  10  m   10  Trường hợp 2:  C1  nằm  C2  hai đường trịn tiếp xúc Trang 15 Khi đó: R2  R1  I 1I  m  10  m Vậy m  10   m  10     10  thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập Xét số thực a, b thỏa mãn a  b  Giá trị nhỏ Pmin biểu thức  a P  log2a a2  3logb    b b   A Pmin  19 B Pmin  13 C Pmin  14 D Pmin  15 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có:     a  P  log2a a2  3logb       3 logb a  1  b   log a  b   a b           3 logb a  1  1 loga b  Đặt loga b  t   t  1 Khi P  Ta có f   t   1 t     f  t với  t  t  1 t  f   t   t  t Bảng biến thiên: Trang 16 Từ bảng biến thiên, ta có Pmin  15 Bài tập Cho hai số thực x, y thỏa mãn:   2 x2  y2  logx2  y2  x 4x  3x  4y  3y   Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Khi biểu thức T  2 M  m 1 có giá trị gần số sau đây? A B C D 10 Hướng dẫn giải Chọn D     2 2 Ta có logx2  y2  x 4x  3x  4y  3y    logx2  y2  x  y  4x  3       x2  y2  4x  3  x2  y2    x  2  y2   x2  y2  Tập hợp số thực x, y thỏa mãn:  điểm thuộc miền hình trịn  C1   x  2  y2  có tâm I  2;0 , bán kính R1  nằm ngồi hình trịn  C2  có tâm O  0;0 bán kính R2  Trang 17 Biểu thức: P  x  y  x  y  P  họ đường thẳng  song song với đường y  x  3  3 , B  ;   Các giao điểm hai hình trịn A ;  2  2     P đạt giá trị nhỏ đường thẳng  qua A Khi đường thẳng  qua điểm A, ta có: 3 3   Pmin   Pmin  2 P đạt giá trị lớn đường thẳng  tiếp xúc với đường trịn  C1  ta có: d  I ;    R1  2 P 1  1 P    Pmax    3    10 Do T  2 M  m 1  2 2     Trang 18 ... Ta có : log27  a  log3  3a ; log8  b log2  3b ; log2  c log2 3a 3b c  3ac  3b log3 log3 5 log3 log2  log12 35    c log3 12 log3 3? ?? log3 1 2log3 1 c 3a Bài tập 6: Cho log  y... dẫn giải Chọn B 2 D S  31 41 Ta có: a log3  27  log3  log a 27  log3 7.log3  log a 27.log   log3   3log a 3. log3   log3   log a 73  a log3   a log a  73 2 Tương tự ta có blog... b a (đpcm) Bài tập 5: Cho log 27  a , log8  b , log  c Khẳng định sau đúng? 3b  2ac 3b  3ac A log12 35  B log12 35  c2 c2 3b  2ac 3b  3ac C log12 35  D log12 35  c? ?3 c 1 Hướng