BÀI LÔGARIT A KIẾN THƯC CƠ BẢN CẦN NẮM Khái niệm lôgarit Nhận xét: log a b a b a, b 0, a 1 Cho hai số dương a, b với a 1 Số thỏa mãn Bài tập: log 3 8 a đẳng thức a b gọi lôgarit số Chú ý: Khơng có lơgarit số âm số b , ký hiệu log b a Tính chất Cho a, b 0, a 1 Ta có: log a 0; log a a 1 a loga b b; log a a Quy tắc tính lơgarit Bài tập: a Lơgarit tích Cho a, b1 , b2 với a 1 , ta có: log a (b1b2 ) log ab1 log ab2 Chú ý: Định lý mở rộng cho tích n số dương: log a b1 bn log a b1 log a bn b Lôgarit thương b1 log a b1 loga b2 b2 log a b b 1 log 0; 2 log 3 log log log log 3 8 1 log 9 2 Bài tập: Cho a, b1 , b2 với a 1, ta có: Đặc biệt: log a log log log a, b1 , b2 , , bn 0, a 1 log a log • log5 125 log5 125 log5 25 3 1; 25 • log log 49 49 a 0, b c Lôgarit lũy thừa Bài tập: Cho hai số dương a, b, a 1 Với , ta có: • log2 83 3log2 3.3 9; log a b loga b 1 • log2 log 4 Đặc biệt: log a n b loga b n 113 Đổi số Bài tập: Cho a, b, c 0; a 1; c 1, ta có: log a b Đặc biệt: • log8 16 logc b logc a log a b logb a log2 16 ; log2 • log3 27 b 1 ; 1 • log128 log27 log 2 7 log a b log a b 0 Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên a Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân lôgarit số 10 Với b 0, log10 b thường viết log b lg b b Lôgarit tự nhiên Lôgarit tự nhiên lôgarit số 3; log27 e Với b 0, loge b viết ln b 114 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng Tính giá trị biểu thức khơng có điều kiện Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Để tính loga b ta biến đổi theo cách Bài tập: sau: • b a , từ suy log a b log a a ; • a b , từ suy log a b log b b ; • log32 128 log25 ; • 32log2 25log2 95 • a c , b c , từ ta suy log a b logc c Để tính b loga c , ta biến đổi b a , từ suy b loga c a loga c c Bài tập a b c d Bài tập 1: Cho a, b, c,d Rút gọn biểu thức S ln ln ln ln ta b c d a 115 A S 1 B S 0 a b c d C S ln b c d a D S ln abcd Bài tập 2: Cho a, b a, b 1 , biểu thức P log a b log b a A B 24 C 12 D 18 Bài tập 3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a 1, a b loga b Biến đổi biểu thức P log b ta a b a A P 3 B P C P D P 3 a 10 2 Bài tập : Biến đổi biểu thức P log a2 a b log a log b b (với a 1, b 1 ) b ta A P 2 B P 1 C P D P Bài tập Rút gọn biểu thức P log b a logb a log b a log a b log ab b log b a với a, b 1 A P 1 C P 0 B P 2 D P 3 2 Bài tập Cho a , b thỏa mãn log a 2 b 1 a b 1 log ab 1 2a 2b 1 2 Giá trị a 2b bằng: A 15 B C D Bài tập Cho a log3 27 , blog7 11 49 , c log11 25 11 Tính S a 2 log 11 log 25 b c 11 A S 33 B S 469 log3 Bài tập Đặt log a , log b , Q log C S 489 D S 3141 2014 2015 log log log Tính Q 2015 2016 theo a , b A 5a 2b B 5a 2b C 5a 2b Bài tập Cho hai số thực dương a, b ( a 1 ) thỏa mãn điều kiện log a b D 5a 2b b 16 log a b Tính tổng S a b A S 12 B S 10 C S 16 116 D S 18 Bài tập 10 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x 20 x 0 Tính giá trị biểu thức P log( x1 x2 ) log x1 log x2 A C B 1 D 10 Bài tập 11 Cho M = log x + log x + + log x Tính M a a a A M = 272 log a x 16 B M = 136 log a x C M = 1088 log a x D M = 272 3log a x Bài tập12 Với x, y , z số nguyên dương thỏa mãn x log1512 y log1512 z log1512 1 Tính giá trị biểu thức Q x y z A 1512 Bài tập 13 Giá trị biểu thức P A C B 12 1 log 2017! log 2017! log 2017 2017! B Bài tập 14 Giả sử x D C D ; cos x Giá trị biểu thức 10 log sin x log cos x log tan x A 10 B 10 C Bài tập 15 Cho log 12 x , log12 24 y log 54 168 10 D axy , a, b, c số bxy cx nguyên Tính giá trị biểu thức S a 2b 3c A S 4 B S 19 C S 10 D S 15 x x 1 a , b f x Bài tập 16 Với thỏa mãn để hàm số có đạo hàm x0 1 Khi ax b x giá trị biểu thức S log 3a 2b bằng? A S 1 B S 2 C S 3 Dạng Đẳng thức chứa logarit Phương pháp Bài tập Bài tập 1: Cho x , y x y 12 xy Khẳng đinh sau đúng? A log2 x y log x log y 117 D S 4 x 2y B log2 log2 x log2 y C log2 x y 2 log2 x log2 y D log2 x y log2 x log y Bài tập 2: Cho x, y số thực lớn thỏa mãn x y 6 xy Tính log12 x log12 y M log12 ( x y ) A M C M B M 1 D M Bài tập 3: Cho biểu thức B 3log3 a log5 a log a 25 với a số dương, khác Khẳng định sau đúng? B log a2 B 1 A B 2a C B a D B Bài tập 4: Gọi c cạnh huyền, a b hai cạnh góc vuông tam giác vuông Trong khẳng định sau khẳng định đúng? A log b c a log c b a 2 logb c a.log c b a B log b c a logb c a 2 log b c a.log b c a C log bc a log c b a logb c a.log c b a D log b c a log b c a 4 log b c a.log b c a Bài tập 5: Cho log 27 a , log8 b , log c Khẳng định sau đúng? 3b 2ac c2 3b 2ac C log12 35 c 3 3b 3ac c2 3b 3ac D log12 35 c 1 A log12 35 B log12 35 Bài tập 6: Cho log y x log 4 1 , với y 0, y x Chọn khẳng định khẳng y định sau? 3 C x y D y x 4 Bài tập 7: Số thực dương a, b thỏa mãn log a log12 b log16 ( a b) Mệnh đề A x 4 y B x 3 y đúng? A a 2 ;1 b 3 B a 2 0; b 3 C a 9;12 b Bài tập8: Có tất số dương a thỏa mãn đẳng thức log a log a log a log a.log a.log a 118 D a (9;16) b A B C D Bài tập 9: Cho n số nguyên dương, tìm n cho log a 2019 22 log a 2019 32 log a 2019 n2 log n a 2019 10082.20172.log a 2019 A 2017 B 2019 C 2016 D 2018 2 Bài tập 10: Cho log x y 1 log xy , với xy Chọn khẳng định khẳng định sau? A x y B x y C x y D x y Dạng Biểu thị biểu thức theo biểu thức cho từ tìm GTLN, GTNN Phương pháp giải Bài tập Bài tập Cho hai số thực x , y thỏa mãn log x2 y x y 1 Tính P x biểu thức y S 4 x y đạt giá trị lớn A P B P C P 13 D P 17 44 Bài tập Xét số thực a , b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P log 2a a 3log b b b A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 Bài tập Xét số thực dương x , y thỏa mãn log D Pmin 15 xy 3 xy x y Tìm giá trị nhỏ x 2y Pmin P x y A Pmin 11 19 18 11 29 C Pmin B Pmin 11 19 D Pmin 11 Bài tập Cho số thực a, b, c 1;2 thỏa mãn điều kiện log32 a log32 b log32 c 1 3 a b c Khi biểu thức P a b c log2 a log2 b log2 c đạt giá trị lớn giá trị a b c A B 3.2 33 C D Bài tập Trong tất cặp x; y thỏa mãn log x y2 2 x y 1 Với giá trị m tồn cặp x; y cho x y x y m 0? 119 A 10 C 10 2 B 10 10 D 10 10 Bài tập Xét số thực a, b thỏa mãn a b Giá trị nhỏ Pmin biểu thức a P log2a a2 3log b b b A Pmin 19 B Pmin 13 C Pmin 14 D Pmin 15 Bài tập Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 x y 3 log x y2 x x x y 3y 2 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y Khi biểu thức T 2 M m 1 có giá trị gần số sau đây? A B C 120 D 10