Dạy thêm toán 8 ôn tập hình chương 3

ƠN TẬP HÌNH CHƯƠNG I.Lí Thuyết Dạng 1: Các trường hợp đồng dạng tam giác Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc Đối với hai tam giác vng, ngồi trường hợp nói cịn có trường hợp đồng dạng cạnh huyền cạnh góc vng II Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC cân A , đường cao AD , K trung điểm AD Gọi I hình  chiếu điểm D CK Chứng minh AIB 90 Hướng Dẫn:    D  (cùng phụ C  ) nên KID DIC (g.g) KID DIC có KID DIC 90 , K  KI KD  DI DC Ta lại có: KD KA, DC DB nên KI KA  DI DB   Kết hợp với IKA suy IKA IDB (c.g.c) IDB      Cùng cộng với KIB được: AIB  AIK BID KID 90   Bài 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM  AM  BC  Lấy điểm I đoạn AM       cho MBI Chứng minh MCI MAC MAB Hướng Dẫn:  góc chung, B  A  nên MBI MAB (g.g) MBI MAB có M  MB MI MC MI    MA MB MA MC  góc chung suy MCI MAC (c.g.c) Kết hợp với M    MCI MAC Bài 3: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD, BE, CF Gọi M giao điểm BE DF , N giao điểm DE CF a) Kẻ MI NK song song với AD  I  AB, K  AC  Chứng minh AIM AKN Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang   b) Chứng minh FAM EAN Hướng Dẫn:       a) Ta có: BIM nên góc bù với chúng AIM BAD CAD CKN AKN Sẽ chứng minh AI AK  IM KN  B  nên Đặt BC a, AC b, AB c Do IM / /AD B AI MD BD   IF MF BF (1) IF AF  IM AD (2) Nhân (1) với (2) Tương tự AK CD c  KN AD a Từ (3) (4) suy Vậy AI BD AF BD AF BD b    IM BF AD AD BF AD a (3) (4) AI AK BD b AD a BD b :   1 IM KN AD a CD c CD c AI AK  Do AIM AKN (c.g.c) IM KN b) Suy từ câu a) Lưu ý: Trong ví dụ trên, xét tỉ số AI , ta viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung IM  AI IF  gian   , có nhiều tỉ số tỉ số trung gian từ định lí Ta-lét tính chất  IF IM  đường phân giác tam giác Cách viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung gian, với cách kẻ thêm đường thẳng song song cách thường dung để tạo cặp đoạn thẳng tỉ lệ   90  B Tính độ dài BC Bài 4: Cho tam giác ABC có AB 5 cm, AC 6 cm, A Hướng Dẫn: Trên BC lấy điểm D cho BD 5 cm  B   Tam giác ABD cân B nên ADC 90  BAC Ta có DAC ACB (g.g) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang  CA DC   DC.CB AC CB AC Đặt DC x x  x  5 36  x  5x  36 0   x    x   0 Do x  nên x 4 Do đó, BC 5  9 (cm)  CA DC   DC.CB AC CB AC Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA 7 cm, HB  cm, HC  17 cm Tính a)Đường cao AD ; b) Diện tích ABC Hướng Dẫn:    (cùng phụ ACB ) nên DBH DAC (g.g) a) DBH DAC vng D có DBH DAC  DB DH  DA DC Đặt DH x  x2 x  x 7 17  x 2 Rút gọn 14x  71x  85 0   x  1  14x  85x  85 0  Do x  nên x  0  x 1 Suy AD 8 cm b) BD 5  4  BD 2 (cm) DC2 17  16  DC 4 (cm) 1 SABC  BC.AD     24 (cm2) 2 Bài 6: Cho tam giác ABC  AB  AC  , đường trung tuyến AM Điểm D cạnh BC cho DB  AB     Chứng minh BAD CAM  DC  AC  Hướng Dẫn: Do MB MC nên DB DB MB  DC MC DC (1) Theo bổ đề hai tam giác có góc (Ví dụ 14) ta có: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DB SADB AB.AD   MC SAMC AM.AC (2) MB SAMB AB.AM   DC SADC AD.AC (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: DB AB.AD AB.AM  AB     DC AM.AC AD.AC  AC   A  nên đường thẳng AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường Lưu ý: Do A phân giác góc A Ta gọi AD đườngđối trung qua A Dạng 2: Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng Nếu ABC ABC có S AH AB k, ABC k k , AH AH đường cao AH SABC AB Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC , đường cao BD CE cắt H Gọi M N theo thứ tự hình chiếu E D BC a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM DN EM DN b) Gọi O giao điểm DM EN Chứng minh HO vng góc với BC Hướng Dẫn:  N  90 , KHD   Kẻ HI  EM, HK  DN KHD NDC có K (cùng phụ NDC  ) nên HDK a) KHD NDC (g.g)  Tương tự: HK HD  DN DC HI HE  EM EB (1) (2) Ta lại có HBE HCD (g.g)  HE HD  EB DC Từ (1), (2) (3) suy b) (3) HI HK HI EM    EM DN HK DN (4) Kẻ OP  EM, OQ  DN OEM OND (g.g) có OP OQ hai đường cao tương ứng nên Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang OP EM  OQ DN (5) Từ (4) (5) suy HI OP  , chứng tỏ HO / /EM , mà EM  BC nên HO  BC HK OQ Bài 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BE CF cắt G Gọi D điểm cạnh BC Qua D kẻ đường thẳng song song với CF , cắt BE BA theo thứ tự I M Qua D kẻ đường thẳng song song với BE , cắt CF CA theo thứ tự K N Tìm vị trí điểm D để: a) Tứ giác GIDK có diện tích lớn nhất; b) Tam giác DMN có diện tích lớn Hướng Dẫn: a) Đặt SGBC S, SGIDK S, BD x, DC y Các tam giác IBD, GBC, KDC đồng dạng nên 2 S S  SIBD  SKDC x  y2  x   y   1         S S  BC   BC   x  y S lớn  x  y2  x  y nhỏ x  y2 Do  x  y   x  y  nên  x  y  S lớn  x y  D trung điểm BC DM CF DN    , tương tự DI CG DK b) Ta có DM / /CF nên Suy SDMN DM DN 3 9     SDMN  SDIK  S SDIK DI DK 2 4 SDMN lớn  S lớn  x y (theo câu a)  D trung điểm BC III.Bài tập tự luyện  2C  Tính AB Bài 1: Cho tam giác ABC có AC 12 cm, BC 7 cm, B Hướng Dẫn: Trên tia đối tia BA lấy D cho BD = BC Ta có ∆ABC ∆ACD (g.g)  Đặt AB = x AB AC  AC AD x 12   x  x  144 0 12 x  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang  ( x  9)( x  16) 0 Đáp số: AB = 9cm  C   , I trung điểm BC , đặt IB IC a Các điểm M, N Bài 2: Cho tam giác ABC có B  theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho MIN  a) Tính BM.CN theo a b) Chứng minh NI tia phân giác góc MNC c) Chứng minh khoảng cách từ I đến MN khồn đổi Hướng Dẫn:  I (cùng cộng với   I 1800 ) a) Ta có N ∆BIM ∆CNI (g.g)  BM IB  CI NC  BM NC IB.IC a b) Hai tam giác đồng dạng suy IM IB IC   NI NC NC  N   ∆MIN ∆ICN (c.g.c)  N c) Từ câu b) suy khoảng cách từ I đến MN khoảng cách từ I đến AC không đổi  20 , đường phân giác CD Trên cạnh AC lấy điểm Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A có C  E cho ABE 30 Tia phân giác góc CBE cắt AC I Chứng minh DE song song với BI Hướng Dẫn: Kẻ IH BC Ta có ∆HIC ∆ABC (g.g)  HC AC AD (1)   IC BC DB Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC Ta có BI đường phân giác ∆EBC nên  BE BC  EI IC AE HC AE HC (2)    EI IC EI IC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Từ (1) (2) suy AD AE   DE // BI (định lí Ta-lét đảo) DB EI Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA 1 cm, HB  cm, HC 2 10 cm Tính diện tích tam giác ABC Hướng Dẫn: Giải tương tự Ví dụ 37 Gọi AD đường cao ∆ABC Đặt HD x Đưa phương trình: x  23x  100 0  ( x  2)( x  25 x  50) 0 HD = 2cm, BD = 1cm, DC = 6cm S ABC 10,5cm Bài 5: Tam giác ABC tam giác gì, có điểm D thuộc cạnh BC thỏa mãn AD chia tam giác ABC thành hai tam giác đồng dạng Hướng Dẫn:   A D  C  ∆ABD đồng dạng với tam giác có ba đỉnh A, D, C (h.230a) mà D 1  D  , suy AD  BC nên D Có hai trường hợp: + Nếu A1  A2 ∆ABC cân A  ∆ABC vng A + Nếu A1 B Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , điểm D đối xứng với A qua B Đường thẳng qua A vuông góc với DH cắt BC I Chứng minh HI IC Hướng Dẫn:  (cùng phụ     Ta có A1 D ) DAI ), C  A2 (cùng phụ HAC nên ∆ICA ∆HAD (g.g) Kẻ trung tuyến IK ∆ICA Do IK HB hai trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng  nên CIK  AHB 900 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang ∆AHC có AK = KC KI // AH nên HI // IC Bài 7: Cho hình thoi ABCD , M trung điểm BC Trên đoạn AM lấy điểm E cho   Chứng minh rằng: ABE CAM a) DAE AMB ;   b) MED BCD Hướng Dẫn: a) Sẽ chứng minh Ta có AD AE  MA MB AD AB  (1) MA MA Gọi O giao điểm AC BD  (vì AB // OM) Do A2 M   A nên ∆ABE ∆MAO (g.g)  AB  AE  AE (2) B 1 MA Từ (1) (2) suy MO MB AD AE   , lại có DAE  AMB MA MB nên ∆DAE  ∆AMB (c.g.c)  b) ∆DAE  ∆AMB  AED MBA   Suy hai góc bù với chúng MED BCD Bài 8: Cho tam giác ABC, AB  AC , điểm D cạnh AC cho AD AB , điểm E đoạn   Đường thẳng qua A song song với BD cắt BE K Gọi M giao AD cho ABE C điểm KD BC Chứng minh BM MC Hướng Dẫn: EI // BC  BM KB  (1) EI KE MC DC  (do EI // BC) EI DE  BC  B  ) (do B BE  AB (do ∆ABC  ∆AEB) AE  AD KB  (do AK // BD) (2) AE KE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Từ (1) (2) suy BM MC   BM MC EI EI Bài 9: Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA E, F Gọi M giao điểm DE BC Gọi H, N theo thứ tự giao điểm BF với DE, DC Chứng minh rằng: a) MN song song với EF ; b) H trực tâm tam giác AMN Hướng Dẫn: BM BE  MC CD (1) BN EC BE   NF CF AB (2) a) Do AB = CD nên từ (1) (2) suy BM BN   MN // EF MC NF b) AD AB AE AE    DN DN CD AD   AN  ∆AND  ∆EAD (c.g.c)  A1 E Tương tự AM DE BF Vậy H trực tâm ∆AMN Bài 10: Cho tam giác ABC , trọng tâm G Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD AG Gọi giao điểm DG với AC, BC theo thứ tự E, K Chứng minh DE EK Hướng dẫn: Kẻ DI / /AC  I  BC  Hãy chứng minh IC CK Hướng Dẫn: Kẻ DI // AC ( I  BC ) , ta có ∆BDI  BD = BI  AD = CI (1) Kẻ AH  750 DG A1 150 , D  D   B  750  600 150  K I đối xứng với D qua BG  750  I D Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang KI IG DG   2  KI 2 AD (2) ∆KIG  ∆ADH (g.g)  AD DH DH Từ (1) (2) suy KI = 2CI  IC = CK ∆DIK có IC = CK DI // EC nên DE = EK Bài 11: Cho tam giác ABC cân A , đường cao AH , điểm D cạnh AB Gọi I hình chiếu D BC , lấy điểm K đoạn HC cho HK BI Đường vng góc với DK K cắt  AH G Chứng minh ACG 90 Hướng Dẫn:  I 900 , ∆HKG ∆IDK có H   (cùng phụ  HKG D IKD ) nên ∆HKG ∆IDK (g.g)  HG HK  IK ID Do BI = HK, IK = BH = CH nên HG BI BH CH    CH ID AH AH  Kết hợp với CHG  ACH 900 suy ∆CHG  ∆AHC (c.g.c)   A Cùng cộng với C  ACG  A  C   C 1 2 Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Lấy điểm O nằm tam giác HBC cho   Gọi D E theo thứ tự hình chiếu O AB AC Chứng minh OH OBH OCH qua trung điểm DE Hướng Dẫn: Gọi I giao điểm OD HB, K giao điểm OE HC, Ta có OIHK hình bình hành nên OH qua trung điểm IK Hãy chứng minh IK //DE cách chứng minh DI EK  DO EO Xét tam giác đồng dạng BDI CEK, BOD COE Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH Ở phía ngồi tam giác ABC , vẽ tam giác   ABE vuông B , ACF vng C có BAE Chứng minh đường thẳng CAF AH, BF, CE đồng quy Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 Hướng Dẫn:  K  1, F  C 1 Qua C kẻ đường thẳng vng góc với BF, cắt HA K Do B nên  BCF ∽ KAC (g.g)  ACF ∽ ABE (g.g)  Từ (1) (2) suy CF BC   1 AC KA CF BE  AC AB  2 BC BE    , lại có CBE nên CBE ∽ KAB (c.g.c)  KAB KA AB  K  2 C   CBK    CBK   C K 90  CE  BK KH, BF, CE ba đường cao KBC nên chúng đồng quy Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, AC, AB cho   , BDF CDE     Chứng minh rằng: CDE AEF, AEF BFD a) AEF ABC ; b) AD, BE, CF đường cao ABC Hướng Dẫn: a)Đặt góc m, n, p hình vẽ Ta có 2m  2n  p 360 (bằng 540 trừ tổng ba góc DEF )  n , C  p  m  n  p 180  A m, B Do AEF ∽ ABC (g.g) b) (h.239b) AEF ∽ ABC  AE AF   ABE ∽ ACF (c.g.c) AB AC  2, B   A2  C  Tương tự A1 C  B   A1  B  C  C   A2 , AD  BC Suy B Tương tự BE  AC , CF  AB Bài 15: Cho tam giác ABC vuông A , đường phân giác AD Hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB , N thuộc cạnh AC , P Q thuộc cạnh BC Gọi E giao điểm BN MQ a) Chứng minh DE song song với AC b) Gọi F giao điểm CM NP Chứng minh DE DF c) Chứng minh AE AF Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 a)Theo định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác tam giác đồng dạng, ta có BE BQ BQ AB BD     EN QP MQ AC DC  DE / / NC , tức DE / / AC b) Do DE / / AC nên  DE  DE BD  CN BC BD CN BC Tương tự, DF   1 CD BM BC Từ (1) (2) suy Ta lại có Nên  2 DE BD CN  DF CD BM BD AB CN AC   (do AD đường phân giác), (do MN / / BC ) CD AC BM AB DE 1 , tức DE  DF DF   DAC    c) Ta có D  DAB D  ADE ADF (c.g.c)  AE  AF Bài 16: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh BC cho   Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC E Đường thẳng qua D BAD CAM song song với AC cắt AB F Chứng minh rằng: a) AEF ABC ;   b) EFD EDC Hướng dẫn: Sử dụng Ví dụ 38 Hướng Dẫn: a) Ta có AE BD  AC BC  1 AB BC  AF CD  2 Nhân (1) với (2) AE AB BD  AF AC CD Ta chứng minh  3 BD AB  CD AC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 Nên từ (3) suy AE AB AB AE AB    AF AC AC AF AC  AEF ∽ ABC (c.g.c)  Ta lại có AEF  EFD   EDC     b) AEF ∽ ABC  AEF  B B nên EFD  EDC   Bài 17: Cho hình chữ nhật ABCD Điểm I nằm hình chữ nhật cho IAD Chứng ICD minh rằng:   a) IDC ; IBC b) SABCD IA.IC  IB.ID Hướng Dẫn: a) Qua I kẻ MN  AD , kẻ IH  CD IMA ∽ IHC (g.g)  IM AM DH BN    IH HC IH IN  IDH ∽ IBN (c.g.c)  B  , tức IDC    D  IBC b)Kẻ đường vng góc với DI D, kẻ đường vng góc với CI C, chúng cắt K  nên A2 C  , B  D  nên B  D  , AIB CKD (g.c.g)  S AIB  SCKD Do A1 C S ABCD 2  S AIB  SCID  2  SCKD  SCID  2  S IDK  S ICK   ID.DK  IC.CK  ID.IB  IC IA Bài 18: Cho hình vng ABCD Hãy dựng đường thẳng d qua B , cắt tia đối tia AD CD E F cho tích BE.BF có giá trị nhỏ Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Hướng Dẫn: Đặt AB  BC a , AE  x , CF  y EAB ∽ BCF  x a   xy a a y 2 2 2 Ta có BE BF  x  a   y  a   x y  a  x  y   a  2a  a  x  y  Ta lại có x  y 2 xy 2a nên BE BF 4a  BE.BF  2a  x  y  d vng góc với BD B Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 Bài 19: Một hình thang có đáy nhỏ 17 cm, đáy lớn 31 cm chia thành hai phần đoạn thẳng song song với hai đáy dài 25 cm có hai đầu mút nằm hai cạnh bên Chứng minh hai phần có diện tích Hướng Dẫn: Kí hiệu hình vẽ Kẻ BG, FI song song với AD BGF ∽ FIC nên tỉ số hai đường cao tỉ số đồng dạng : BH GF 25  17 4     BH  FK FK IC 31  25 3 17  25 S ABFE  KF 28FK S EFCD  25  31 FK 28FK Suy điều phải chứng minh Bài 20: Cho tam giác nhọn ABC , có đường cao AD, BE, CF cắt H Biết diện tích tứ giác BDHF CDHE Chứng minh AB AC Hướng Dẫn: Giả sử AB  AC DB  DC HB  HC DB  DC  S1  S  1 FHB ∽ EHC (g.g) mà HB  HC nên S3  S  2 Từ (1) (2) suy S1  S3  S  S , tức S BDHF  SCDHE , trái với giả thiết Giả sử AB  AC , tương tự S BDHF  SCDHE , trái với giả thiết Vậy AB  AC Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A Tìm vị trí điểm D, E, F theo thứ tự nằm cạnh BC, AC, AB cho tam giác DEF vuông D đồng dạng với tam giác cho có diện tích nhỏ Hướng Dẫn: DEF có góc khơng đổi nên có diện tích EF nhỏ Kẻ AH  BC , HM  AC , HN  AB Gọi I trung điểm EF, ta có EF  EI  IF  AI  ID  AD  AH Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 minEF AH  D trùng H, E trùng M, F trùng N Khi DEF HMN Bài 22: Cho tam giác ABC có diện tích S , điểm O nằm tam giác Kẻ OD song song với AB  D  BC  , kẻ OE song song với BC  E  OA  , kẻ OF song song với CA  F  AB  a)Kẻ EH song song với AB  H  BC  , kẻ FI song song với BC  I  CA  , kẻ DK song song với CA  K  AB  Chứng minh diện tích tam giác DEF nửa diện tích lục giác FIEHDK S b)Chứng minh SDEF  Hướng Dẫn: a) Bạn đọc tự giải S b) Đặt S AFI  S1 , S KBD  S2 , S EHC  S3 Ta chứng minh S1  S  S3  Đặt FI OE  DH  x , BD  y , HC  z , BC a Các tam giác AFI, KBD, EHC đồng dạng với ABC nên 2 S1 S2 S3   S S S 1 x y z   x  y  z               3 a a a  a  a a S  S FIEHDK  S  S DEF  3 S DEF  S  x  y  z  O trọng tâm ABC Bài 23:Cho tam giác ABC vng A, có AB=3cm, AC=4cm,vẽ đường cao AH a) Vẽ đường thẳng vng góc với AC C cắt AH kéo dài D Chứng minh BAC ACD , suy AC2 = AB CD b) Chứng minh tứ giác ABDC hình thang vng Tính diện tích ABDC c) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt AC E cắt BD F So sánh HE HF? Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15      a)Ta có: ABC (cùng phụ với góc ABH ), BAC ACD 900 Do đó: CAD BAC ACD Từ suy AC BA   AC2 AB.CD CD AC b)Vì AB CD vng góc với AC nên AB // CD  900 nên ABDC hình thang vng Tứ giác ABDC có AB // CD A Theo AC2 AB.CD  CD  SABDC  AC2 16  (cm) AB 1 16 86  AB  DC  AC      (cm ) 2 9 c) Dễ thấy: ABH DCH  BH AH BH AH    (1) CH DH BC AD Mặt khác, EF // DC nên theo định lí Talet ta có: (1) (2)  HE AH HF BH   (2) CD BC DC AD HF HE   HE HF CD DC Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao (H thuộc BC) a) Trên tia đối tia AC lấy điểm D, vẽ AE vng góc với BD E Chứng minh tam giác AEB đồng dạng tam giác DAB b) Chứng minh BE.BD= BH.BC   c) Chứng minh BHE BDC Giải:     a) Ta có: DBA AEB DAB 900 AEB DAB ABE b) AEB DAB  BE BA   BE.BD BA (1) BA BD Xét hai tam giác BAH BCA có:     BHA ABH CBA BAC 900 Nên BAH BCA , Suy BH BA   BH.BC BA (2) BA BC (1) (2) suy BE.BD = BH.BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 c) Theo BE.BD  BH.BC  BE BH  BC BD  chung Xét hai tam giác BEH BCD có góc B BE BH  BC BD   Nên BEH BCD Từ ta có BHE BDC Bài 25: Cho tam giác ABC vuông A có AB = 8cm, AC = 6cm, đường cao AH Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt AH D a) Chứng minh AHB DHC b) Chứng minh AC2 = AB.DC c) Tứ giác ABDC hình gì? Vì sao? Tính diện tích tứ giác ABDC Hướng Dẫn:     a) Ta có ABH (so le trong) AHB DHC 900 nên AHB DHC DCH    b) ABC (cùng phụ với góc BAH ) CAD   DC // AB nên DC  AC  BAC ACD 900 Do ABC CAD , từ suy ra: AB AC   AB.CD AC2 CA CD  c) AB // CD BAC 900 nên ABDC hình thang vuông AC2 36 AB.CD AC  CD    (cm) AB 2 SABDC  1 75  AB  CD  AC      (cm ) 2 2  Bài 26: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Kẻ BD tia phân giác ABC cắt AH I Chứng minh AD2 = IH DC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 Ta chứng minh AD IH  DC AD Theo tính chất chân đường phân giác thì: AD BA  (1) CD BC Dễ thấy hai tam giác BAC BHA đồng dạng nên: BA BH  (2) BC BA    Xét hai tam giác BHI BAD có: HBI ( BD tia phân giác ABC ); ABD IH BH    (3) BHI BAD 900 Do BHI BAD , suy ra: DA Từ (1), (2), (3) suy ra: BA AD IH   AD IH.CD CD DA Bài 27 Cho đoạn thẳng AB Trong mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ hai tia Ax va By vng góc với AB A B Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác A, B) Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), tia vng góc MC M cắt By D a) Chứng minh AMC BDM b) Đường thẳng CD cắt AB E Chứng minh EC.BD= ED.AC c) Vẽ MH vuông góc với CD H Chứng minh HM2 = HC.HD d) Gọi I giao điểm BC AD Chứng minh DE.IA = ID.EC Hướng Dẫn: a) Ta có:       AMC  BMD 900 , BDM  BMD 900 , suy AMC BDM   Lại có MAC DBM 900 , AMC BDM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 b) Vì BD // AC, theo định lí Talet ta có: ED BD   EC.BD ED.AC EC AC      c) MCH (cùng phụ với góc CMH ); MHC DMH DHM 900 , nên ta có: MCH DMH  d) Ta có: MH CH   MH CH.DH DH MH ID BD ED BD   Mặt khác: BD // AC, ta suy IDB IAC nên EC AC IA AC Từ ta có: ED ID   DE.IA ID.EC EC IA Bài 28: Cho tam giác ABC vng A có AB = 15cm, AC = 20 cm đường cao AH Vẽ HD vng góc AB D HE vng góc AC E a) Vẽ tia Ax vng góc DE cắt BC M Chứng minh M trung điểm BC b) Tính diện tích tam giác ADE Hướng Dẫn:  D  E  900 nên ADHE hình chữ nhật a) Tứ giác ADHE có A    (cùng phụ với góc EDA ) MAB EDH   (ADHE hình chữ nhật) EDH AHD    (cùng phụ với góc BHD ) ABM AHD   Do đó: MAB Từ suy hai tam giác AMB AMC cân M Vậy M ABM trung điểm BC b) BC2 AB2  AC2 225  400 625  BC 25(cm) Dễ thấy HBA ABC   AH= HA BA   AH.BC AB.AC AC BC AB.AC 15.20  12(cm)  ED AH 12(cm) BC 25     Từ suy ABC AED ABC  HAD 900  ABC AED AE AD ED 12 12 36 12 48     AE  15  (cm), AD  20  (cm) AB AC BC 25 25 25 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 1 36 48 864 (cm ) Vậy S ADE  AE AD   2 5 25 Bài 29: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD BH cắt I a) Chứng minh HI.CB = CH.IA b) Tia CI cắt AB, DH K, M Chứng minh: IK.MC= KC.IM Hướng Dẫn: a) Xét hai tam giác IHA CHB có:    (cùng phụ với góc CAD ) AIH BCH   IHA CHB 900 Do IHA CHB Suy IH IA   HI.CB CH.IA CH CB b) Dễ thấy hai tam giác CDA CHB đồng dạng, đó: CD CA  CH CB  chung CD CA nên CDH CAB Hai tam giác CDH CAB có góc C CH CB Chứng minh tương tự, ta có AHK ABC , từ ta có CDH KAH     Suy CHD , hay I chân đường phân giác kẻ từ H tam KHA  KHI MHI giác HKM Vì HC  HI nên C chân đường phân giác kẻ từ H tam giác HKM Theo tính chất chân đường phân giác ngồi thì: KI KA KC    KI.MC KC.MI MI MA MC Bài 30: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H (D thuộc AC, E thuộc AB) a) Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng tam giác ABC b) Gọi K, F giao điểm AH với DE, BC Chứng minh KH.AF= AK.HF Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20