Dạy thêm toán 9 bài 7 hinh chương 3

DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP I.Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: 1.Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn 2.Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính có số đo 900 3.Đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây 4.Nếu hai tiếp tuyến cắt điểm thì: + Điểm cách hai tiếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đến tâm phân giác góc tạo hai tiếp tuyến + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm II Các dạng tập Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau: Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Minh họa: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Phương pháp 2: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường trịn Minh họa: Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh kề cạnh nhìn cạnh hai góc Minh họa: Phương pháp 4: Chứng minh cho bốn đỉnh tứ giác cách điểm Minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Cách 1: Phương pháp 2:Chứng minh đỉnh cách điểm OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  OB’ = OB = OC = r (1)  Xét BC’C có : BC'C 900 (GT) Tương tự  OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2)  B, C’, B’, C  (O; r) Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường trịn Cách 2: Phương pháp 3:Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lạ góc tứ giác nội tiếp  Ta có: BB’  AC (giả thiết)  BB'C 900  CC’  AB (giả thiết) BC'C 900  B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng  B’, C’ nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B ' C nội tiếp đường trịn đường kính BC Cách 3: Phương pháp phương pháp 4: Tứ giác có tổng góc đối 1800 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện  Ta có: BB’  AC (giả thiết)  BB'A 900  CC’  AB (giả thiết) CC'A 900  Xét ABB AC C có ABB  AC C 900 BAC chung AB ' AB AB ' AC '    AC ' AC AB AC AB ' AC '   Xét ABC  ABC ta có BAC chung Vậy ABC  ABC (c-g-c) AB AC  Tứ giác BC ' B ' C có góc ngồi đỉnh B ' góc đỉnh B  AB 'C' ABC Vậy ABB AC C (g-g)  Vậy tứ giác BC ' B ' C nội tiếp (Phương pháp 2)  ' BC  C  ' B ' C 1800 Để sử dụng theo phương pháp tứ giác BC ' B ' C có C nên tứ giác BC ' B ' C tứ giác nội tiếp Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp Hướng Dẫn: Xét tứ giác AMHN có: AMH  ANH 900  900  1800  ĐPCM Xét tứ giác BNMC có:   BNC BMC 900  ĐPCM Bài 3: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn:  ) Ta có: AED  (sđ AD + sđ MB      sđ DM MCD  DEP  PCD 1800  PEDC nội tiếp Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com   Ta có: MIC CHM 900  MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp; b) AH.AB = AD2; c) Tam giác ACE tam giác cân Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh b) ADB vng D, có đường cao DH  AD2 = AH.AB     EDC  sđ EC, EAC c) EAC KHC (Tứ giác AKCH nội tiếp)    EDC  DF//HK (H trung điểm DC nên K trung điểm FC) KHC  ĐPCM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 2: Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M  OA (M khơng trùng o A) Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn; b) NE2 = NC.NB;   c) NEH (H giao điểm AC d); NME d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh    CBE  sđ CE b) NEC  NEC  NBE (g.g)  ĐPCM c) NCH  NMB (g.g)  NC.NB = NH.NM = NE2 NEH  NME (c.g.c)    NEH EMN   d) EMN (Tứ giác NEMO nội tiếp) EON    NEH  EH  NO NOE    OEF cân O có ON phân giác  EON  NOF    NEO = NFO NFO NEO 900  ĐPCM Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K c) Kẻ DN  CB, DM  AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com   a) HIB HKB 1800  Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh được: AHI  ABK (g.g)  AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi) c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ  ĐPCM Bài 4: Cho đường trịn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường trịn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh AM2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cơ' định Hướng Dẫn: a) Chú ý: AMO  AIO  ANO 900    sđ MB b) AMB MCB  AMB  ACM (g.g)  ĐPCM c) AMIN nội tiếp  AMN  AIN  BE//AM  AMN BEN   BNM   BEN  AIN  Tứ giác BEIN nội tiếp  BIE  BCM  Chứng minh được: BIE  IE//CM d) G trọng tâm MBC  G  MI Gọi K trung điểm AO  MK = IK = AO Từ G kẻ GG'//IK (G'  MK) GG ' MG MG '    IK  AO không đổi (1) IK MI MK 3 MG '  MK  G ' cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc ( G '; AO ) 3  Dạng 3: Chứng minh điểm thuộc đường tròn Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Phương pháp: Chỉ khoảng cách từ điểm tới tất điểm Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung Chứng minh đỉnh đa giác nằm đường trịn Sử dụng cung chứa góc Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 1:Cho hình thoi ABCD có góc A 600 , AB = a Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn Xác định tâm tính bán kính đường trịn theo a Hướng Dẫn: Gọi O giao điểm AC BD ta có OB = OD Do ABCD hình thoi nên ta có AC  BD   Ta có BAD 600 nên BAO 300 (tính chất đường chéo hình thoi)   OB a.sin 300  Tam giác ABO vng O có OB  ABsinBAO a   Xét tam giác vng ABO có ABO  BAO 900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO 300 suy ABO 600 hay EBO  600 OE  AB EB EA ( tính chất đường trung tuyến tam giác vuông E trung điểm AB  Tam giác EOB tam giác cân E có EBO 600 nên tam giác EBO tam giác  OE OB Chứng minh tương tự với tam giác vng BOC, COD DOA ta có : OE OB OF OC OG OD OH Vậy điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn tâm O Bán kính OB  a Bài 2:Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com  Do DE  BC  DBE 900 Vì E F đối xứng với qua BD nên BD đường trung trực đoạn thẳng EF  BF BE ; DF DE   BFD BED (c-c-c)  BFD BED 900 Cách Gọi O trung điểm BD Xét tam giác vng ABD vng A có AO trung tuyến nên AO  BD OB OD (1) 2 Tam giác vuông BFDvuông F có OF trung tuyến nên FO  BD OB OD (3) Tam giác vuông BDE vuông E có OE trung tuyến nên EO  BD OB OD (2) Từ (1) (2) (3)  OA OB OD OE OF Vậy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Cách 2:   + Tứ giác BADE có BAD  DEB 1800 nên tứ giác BADE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD   +Tứ giác BFDE có BFD  DEB 1800 nên tứ giác BFDE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD Từ   suy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Bài 3:Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC Cát tuyến ADE không qua tâm O (D nằm A E) Gọi I trung điểm DE Chứng minh điểm O,B,A,C,I thuộc đường tròn Hướng Dẫn:   Do AC AB tiếp tuyến nên OCA OBA 900 Do I trung điểm ED nên OI  ED Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com (đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây cung)   900 hay OID OIA Gọi P trung điểm OA Xét tamgiác vng OCA có CP đường trung tuyến nên CP  AO OP PA Xét tam giác vng OBA có BP đường trung tuyến nên BP  AO OP PA Xét tam giác vng OIA có IP đường trung tuyến nên IP  AO OP PA Vậy OP PA PC PI PB nên điểm O,B,A,C,I thuộc đường tròn III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ~ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCEF nội tiếp b) HA.HD = HB.HE = HC.HF Hướng Dẫn: a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90o => điểm E, F thuộc đường trịn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp b) Vẽ đường trịn đường kính BC Xét ~BHF ~CHE có: +) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp chắn ) +) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh) Suy ~BHF ∼ ~CHE (g.g) BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1) Chứng minh tương tự ta có: HA.HD = HB.HE (2) Từ (1) (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF Bài 2: Cho ~ABC nhọn, đường cao AH Các điểm M N hình chiếu vng góc H AB, AC Chứng minh rằng: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10