ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỒM 2N + 3 SIÊU PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 Tai ngay!!! Ban c[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỒM 2N + SIÊU PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỐM 2N + SIÊU PHẲNG Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn BOUNPONE PHETBOUNHEUANG i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường Q Thầy Cơ giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Savannakhet CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người vit lun BOUNPONE PHETBOUNHEUANG ii Mục lục Mở đầu Chương Phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli 1.1 Hàm đặc trưng định lý thứ 1.1.1 KiÕn thøc c¬ sở phân bố giá trị cho hàm phân hình trªn Annuli 1.2 1.1.2 Hàm đặc trng vµ tÝnh chÊt 1.1.3 Định lý thứ 12 Định lý thứ hai 13 1.2.1 Một số mệnh đề chuẩn bị 13 1.2.2 Định lý thứ hai 22 Chương Định lý cho đường cong chỉnh hình gồm 2n+3 siêu phẳng 24 2.1 Mở đầu vấn đề cho đường cong chỉnh hình Annuli 2.2 24 2.1.1 Kh¸i niệm bổ đề 24 2.1.2 Một số định lý 27 Định lý gồm 2n + siêu phẳng 31 2.2.1 Mét sè mƯnh ®Ị 31 2.2.2 Định lý 36 KÕt luËn 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Một ứng dụng quan trọng lý thuyết phân bố giá trị nghiên cứu xác định hàm phân hình (cũng ánh xạ phân hình) thông qua ảnh ngược hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học: R Nevanlinna, H Fujimoto, L Smiley, H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, M Ru nhiều nhà toán học khác Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh: Hai hàm phân hình phức kh¸c h»ng f, g tháa m·n f −1 (ai ) = g −1 (ai ), i = 1, , 5, f g Năm 1982, F.Gross C.C Yang đà tập hợp T = {z ∈ C|ez + z = 0} lµ tËp xác định (kí hiệu URS) cho hàm nguyên Chú ý, T tập hợp xác định chứa vô số phần tử Năm 1994, H.Yi đà xÐt tËp SY = {z ∈ C|z n + az m + b = 0}, số khác không cho bội Ông đà chứng minh SY ®ã n ≥ 15, n > m ≥ 5, a, b z n + az m + b = lµ URS cho vµ M.Reinders chØ mét vÝ dụ URS cho A(C) nghiệm Năm 1998, G Frank M(C) Đối với đường cong chỉnh hình, năm 1975, H Fujimoto mở rộng kết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn tập xác định kể bội gồm 3n + siêu phẳng vị trí tổng quát cho họ ánh xạ phân hình phức không suy biến tuyến tính Về sau có nhiều nhà toán học nước phát triển kết nghiên cứu theo hướng Trong thời gian gần đây, có số công trình nhà toán học nước phân bố giá trị cho hàm phân hình Annuli C công bố Năm 2005, A Y Khrystiyanyn vµ A A Kondratyuk ([4, 5]) chøng minh mét sè kết định lý quan hệ số khuyết, sau công trình më réng bëi T B Cao, Z S Deng [1] vµ bëi Y Tan, Q Zhang [9] Năm 2015, H T Phương N V Thìn ([7]) đà nghiên cứu số kết phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli kết hợp với họ hữu hạn siêu phẳng Dựa nghiên cứu này, H T Phương T H Minh ([6]) v Nguyễn Việt Phương ([8]) đà chứng minh định lý cho đường cong chỉnh hình Annuli Với mong muốn tìm hiểu lý thuyết phân bố giá trị ứng dụng lý thuyết nghiên cứu định lý nhất, chọn đề tài "Tập cho đường cong chỉnh hình Annuli gồm 2n+3 siêu phẳng" Mục đích luận văn giới thiệu số kết nghiên cứu phân bố giá trị cho hàm phân hình Annuli chứng minh lại số kết xác định cho hàm phân hình Annuli công bố tác giả thời gian gần Luận văn gồm hai chương, Chương trình bày số kiến thức phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli, kiến thức chương sở tảng để chứng minh định lý Chương Trong Chương trình bày số kết vấn đề cho đường cong chỉnh hình công bố H T Phương, T H Minh [6] Nguyễn Việt Phương [8] Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Chương Phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli Trong chương trình bày số kiến thức phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli cần thiết cho việc chứng minh kết vấn đề Chương Nội dung chương viết dựa báo [7] 1.1 Hàm đặc trưng định lý thứ 1.1.1 Kiến thức sở phân bố giá trị cho hàm phân hình Annuli Cho R0 > số thực dương +, ta kí hiệu ∆= z∈C: < |z| < R0 , R0 lµ mét Annuli C Với số thực dương r thỏa m·n < r < R0 , ta kÝ hiÖu ∆1,r = z ∈ C : < |z| , r ∆2,r = z ∈ C : < |z| < r vµ ∆r = z ∈ C : < |z| < r r Cho f hàm phân hình , tức f chỉnh hình trừ số điểm bất thường cực điểm, ta nhắc l¹i m r, f −a = 2π Z2π log+ dθ, |f (reiθ ) − a| m(r, f ) = m(r, ∞) = 2π Z2π log+ |f (reiθ )|dθ, ®ã log+ x = max{0, log x}, a ∈ C vµ r ∈ (R0−1 ; R0 ) r ∈ (1, R0 ), ta kÝ hiÖu 1 1 = m r, +m , , f −a f −a r f −a m0 (r, f ) = m(r, f ) + m(r−1 , f ) Khi hàm m0 r, gọi hàm xấp xỉ hay hàm bù f f a a ∈ C KÝ hiƯu n1 t, lµ số không điểm f a {z C : f a số không điểm f a {z t < |z| 1} vµ n2 t, f −a C : < |z| < t}; n1 (t, ∞) lµ số cực điểm {z C : t < |z| 1} Víi mét sè thùc m0 r, n2 (t, ) số cực ®iÓm {z ∈ C : < |z| < t} r (1 < r < R0 ), ta đặt Z1 ) n1 (t, f −a N1 r, = dt, f −a t N2 r, f −a 1/r Zr = n2 (t, f −a ) t dt, vµ Z1 N1 (r, f ) = N1 (r, ∞) = 1/r Zr N2 (r, f ) = N2 (r, ∞) = n1 (t, ∞) dt, t n2 (t, ∞) dt t cña f Víi KÝ hiƯu N0 r, 1 = N1 r, + N2 r, f −a f −a f −a N0 (r, f ) = N1 (r, f ) + N2 (r, f ) N0 (r, f )được gọi hàm đếm cực điểm f kể bội, hàm N0 r, gọi đếm không điểm kể bội f a f a Hàm đặc trưng Nevanlinna T0 (r, f ) f định nghĩa Hàm T0 (r, f ) = m0 (r, f ) − 2m(1, f ) + N0 (r, f ) Trong luận văn này, kí hiệu k bất đẳng thức nghĩa với R0 = +, bất đẳng thức với r (1, +∞) n»m ngoµi mét tËp ∆0r R λ−1 tháa m·n dr < +, với R0 < +, bất đẳng thøc ®óng ®èi víi ∆0r r R dr < +∞, r ∈ (1, R0 ) n»m ngoµi mét tËp ∆0r tháa m·n ∆0 r (R − r)λ+1 > Mệnh đề sau dạng định lý Jensen cho hàm phân hình Annuli Mệnh đề 1.1 ([4]) Cho f hàm phân hình khác với r (1, R0 ), ta cã − N0 (r, f ) = 2π N0 r, f Z2π log |f (reiθ )|dθ + 2π − Z2π ∆ Khi log |f (r−1 eiθ )|dθ π Z2π log |f (eiθ )|dθ MƯnh ®Ị 1.2 ([4]) Cho f hàm phân hình r (1, R0 ), ta cã T0 (r, f ) = 2π Z2π N0 r, f ei Khi với (n) fn (z) fn (z) fn0 (z) Bỉ ®Ị sau lµ mét tÝnh chÊt quan träng cđa Wronskian thêng sư dụng lý thuyết phân bố giá trị Bổ đề 1.14 Cho n + dạng tuyến tính độc lập tuyÕn tÝnh L0 , , Ln Pn (C) Với j = 0, , n, đặt Fj = Lj (f0 , , fn ) Khi ®ã W (F0 , , Fn ) = C.W (f0 , , fn ), ®ã C 6= số phụ thuộc vào hệ sè cña Lj , j = 0, , n, không phụ thuộc vào f0 , , fn KÝ hiÖu f /f0 f /fn n L = L(f ) = L(f0 , , fn ) :=