ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG lu an n va p ie gh tn to TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỒM 2N + SIÊU PHẲNG d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG lu TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỐM 2N + SIÊU PHẲNG an n va gh tn to p ie Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan lu kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm an bảo tính trung thực xác n va to Thái Nguyên, tháng năm 2016 p ie gh tn Người viết luận văn w d oa nl BOUNPONE PHETBOUNHEUANG nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Savannakhet CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn z l gm @ m co BOUNPONE PHETBOUNHEUANG an Lu n va ac th ii si Môc lục Mở đầu Chương Phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli 1.1 Hàm đặc trưng định lý thứ 1.1.1 Kiến thức sở phân bố giá trị cho hàm phân hình Annuli lu an n va 1.1.2 Hàm đặc trưng tính chất 1.1.3 Định lý thứ nhÊt 12 Định lý thứ hai 13 1.2.1 Mét sè mƯnh ®Ị chuÈn bÞ 13 1.2.2 Định lý thứ hai 22 p ie gh tn to 1.2 Më ®Çu vỊ vÊn ®Ị nhÊt cho ®êng cong chØnh hình d 2.1 oa nl w Chương Định lý cho đường cong chỉnh hình gồm 2n+3 siêu phẳng 24 24 2.1.1 Khái niệm bổ đề 24 2.1.2 Mét số định lý 27 nf va an Định lý gồm 2n + siêu phẳng z at nh oi lm ul 2.2 lu Annuli 31 2.2.1 Mét sè mƯnh ®Ị 31 2.2.2 Định lý 36 gm @ 43 m co l Tài liệu tham khảo 42 z Kết luËn an Lu n va ac th si Mở đầu Mét øng dơng quan träng cđa lý thut ph©n bè giá trị nghiên cứu xác định hàm phân hình (cũng ánh xạ phân hình) thông qua ảnh ngược hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học: R Nevanlinna, H Fujimoto, L Smiley, H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, M Ru nhiều nhà toán học khác Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh: Hai hàm phân hình phøc lu f, g tháa m·n f −1 (ai ) = g −1 (ai ), i = 1, , 5, f g Năm an khác n va 1982, F.Gross C.C Yang đà chØ tËp hỵp T = {z ∈ C|ez + z = 0} tn to tập xác định (kí hiệu URS) cho hàm nguyên Chú ý, T xác định chứa vô số phần tử Năm 1994, H.Yi đà xét tập SY = {z ∈ C|z n + az m + b = 0}, hợp p ie gh tập số khác không cho nl w oa bội Ông ®· chøng minh SY ®ã n ≥ 15, n > m ≥ 5, a, b z n + az m + b = lµ URS cho d vµ M.Reinders chØ mét vÝ dơ vỊ URS cho A(C) nghiệm Năm 1998, G Frank M(C) Đối với đường cong lu nf va an chỉnh hình, năm 1975, H Fujimoto mở rộng kết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn lm ul tập xác định kể bội gồm 3n + siêu phẳng vị trí tổng quát z at nh oi cho họ ánh xạ phân hình phức không suy biến tuyến tính Về sau có nhiều nhà toán học nước phát triển kết nghiên cøu z theo híng nµy @ gm Trong thêi gian gần đây, có số công trình nhà toán học công bố Năm 2005, A Y Khrystiyanyn vµ A A Kondratyuk m C co l nước phân bố giá trị cho hàm phân hình Annuli an Lu ([4, 5]) chứng minh số kết định lý quan hệ số khuyết, sau công trình mở rộng T B Cao, Z S n va ac th si Deng [1] Y Tan, Q Zhang [9] Năm 2015, H T Phương N V Thìn ([7]) đà nghiên cứu số kết phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli kết hợp với họ hữu hạn siêu phẳng Dựa nghiên cứu này, H T Phương T H Minh ([6]) v Nguyễn Việt Phương ([8]) đà chứng minh định lý cho đường cong chỉnh hình Annuli Với mong muốn tìm hiểu lý thuyết phân bố giá trị ứng dụng lý thuyết nghiên cứu định lý nhất, chọn đề tài "Tập cho đường cong chỉnh hình Annuli gồm 2n+3 siêu lu phẳng" Mục đích luận văn giới thiệu số kết nghiên an cứu phân bố giá trị cho hàm phân hình Annuli chứng minh lại va n số kết xác định cho hàm phân hình Annuli gh tn to công bố tác giả thời gian gần p ie Luận văn gồm hai chương, Chương trình bày số kiến thức phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli, oa nl w kiến thức chương sở tảng để chứng minh định lý Chương Trong Chương trình bày số kết vấn đề d an lu cho đường cong chỉnh hình công bè bëi H T Ph¬ng, T nf va H Minh [6] Nguyễn Việt Phương [8] z at nh oi lm ul Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình Annuli Trong chương trình bày số kiến thức phân bố giá lu an trị cho đường cong chỉnh hình Annuli cần thiết cho việc chứng minh n va kết vấn đề Chương Nội dung chương gh tn to viết dựa báo [7] Hàm đặc trưng định lý thứ p ie 1.1 R0 > lµ mét sè thùc dương +, ta kí hiệu an lu Cho d oa nl w 1.1.1 KiÕn thøc c¬ së vỊ phân bố giá trị cho hàm phân hình Annuli nf va ∆= z∈C: < |z| < R0 , R0 Với số thực dương r thỏa mÃn < r < R0 , z at nh oi ta kÝ hiƯu C lm ul lµ mét Annuli z ∆1,r = z ∈ C : < |z| , r ∆2,r = z ∈ C : < |z| < r gm @ f hàm phân hình , tức f an Lu Cho m ∆r = z ∈ C : < |z| < r r co l chỉnh hình trừ n va ac th si số điểm bất thường cực điểm, ta nhắc lại m r, f −a = 2π Z2π log+ dθ, |f (reiθ ) − a| m(r, f ) = m(r, ∞) = 2π Z2π log+ |f (reiθ )|dθ, ®ã log+ x = max{0, log x}, a ∈ C vµ r ∈ (R0−1 ; R0 ) r ∈ (1, R0 ), ta kÝ hiÖu 1 1 = m r, +m , , f −a f −a r f −a m0 (r, f ) = m(r, f ) + m(r−1 , f ) Khi hàm m0 r, gäi lµ hµm xÊp xØ hay hµm bï cđa f t¹i f −a a ∈ C KÝ hiệu n1 t, số không điểm f − a {z ∈ C : f− a số không điểm f a {z ∈ t < |z| 1} vµ n2 t, f −a C : < |z| < t}; n1 (t, ) số cực điểm {z ∈ C : t < |z| 1} Víi mét sè thùc m0 r, lu an n va p ie gh tn to {z ∈ C : < |z| < t} cđa f Víi r (1 < r < R0 ), ta đặt Z1 ) n1 (t, f −a N1 r, = dt, f a t nf va an lu số cùc ®iĨm d n2 (t, ∞) oa nl w vµ lm ul n2 (t, f −a ) z at nh oi N2 r, 1/r Zr f −a = t dt, z vµ @ n2 (t, ∞) dt t an Lu m N2 (r, f ) = N2 (r, ∞) = co 1/r Zr n1 (t, ∞) dt, t l N1 (r, f ) = N1 (r, ∞) = gm Z1 n va ac th si KÝ hiÖu N0 r, 1 = N1 r, + N2 r, f −a f −a f −a N0 (r, f ) = N1 (r, f ) + N2 (r, f ) N0 (r, f )được gọi hàm đếm cực điểm f kể bội, hàm N0 r, gọi đếm không điểm kể bội f a f a Hàm đặc trưng Nevanlinna T0 (r, f ) f định nghĩa Hàm T0 (r, f ) = m0 (r, f ) − 2m(1, f ) + N0 (r, f ) k lu Trong luận văn này, kí hiệu bất đẳng thức nghĩa víi an n va ie gh tn to R0 = +, bất đẳng thức với r (1, +∞) n»m ngoµi mét tËp ∆0r R λ−1 tháa m·n dr < +, với R0 < +, bất đẳng thøc ®óng ®èi víi ∆0r r R dr < +∞, r ∈ (1, R0 ) n»m ngoµi mét tËp ∆0r tháa m·n ∆0 r (R − r)λ+1 > p Mệnh đề sau dạng định lý Jensen cho hàm phân hình nl w Annuli d oa Mệnh đề 1.1 ([4]) Cho f hàm phân hình khác trªn r ∈ (1, R0 ), ta cã − N0 (r, f ) = 2π nf va Z2π log |f (reiθ )|dθ + 2π lm ul N0 r, f an Khi lu với ∆ Z2π log |f (r−1 eiθ )|dθ z at nh oi Z2π − π log |f (eiθ )|d z f hàm phân hình Khi với l gm Cho @ MƯnh ®Ị 1.2 ([4]) r ∈ (1, R0 ), ta cã Z2π an Lu N0 r, f − eiθ m co T0 (r, f ) = 2π n va ac th si (n) fn (z) fn (z) fn0 (z) d oa Bỉ ®Ị sau lµ mét tÝnh chÊt quan träng cđa Wronskian thêng sử dụng an lu lý thuyết phân bố giá trị nf va Bổ đề 1.14 Cho n + dạng tuyến tính độc lập tuyến tính L0 , , Ln lm ul Pn (C) Víi j = 0, , n, đặt Fj = Lj (f0 , , fn ) Khi ®ã ®ã C 6= z at nh oi W (F0 , , Fn ) = C.W (f0 , , fn ), số phụ thuộc vào hƯ sè cđa z Lj , j = 0, , n, không phụ thuộc vào f0 , , fn l gm @ KÝ hiÖu m co f /f0 f /fn n L = L(f ) = L(f0 , , fn ) :=