Luận văn tập duy nhất cho các hàm phân hình

I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM Teui 0DALA T DU T ã M ẻI ǤI• TГÀ K̟ҺUƔ˜T sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П - 2015 „I HÅC TH•I NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M Teui Ѵ0ПǤDALA TŠΡ DUƔ ПҺ‡T ã M ẻI Iã T KUT s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu uả : T0Ă iÊi ẵ M số: 60.46.01.02 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: S.TS T ì TãI U - 2015 Li am 0a i Ê luê ô l sỹ iả u lê ừa ổi dữợi sỹ ữợ dă ừa S.TS TƯ ữ, Ă ká quÊ luê ô ữa ứ ữủ ổ ố Ă ổ ƚг¼пҺ ເõa ເ¡ເ ƚ¡ເ ǥi£ k̟Һ¡ເ ð Ѵi»ƚ Пam Һåເ iả Teui 0DALA Ă ê ừa ữ k0a T0Ă s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu Ă ê ừa ữi ữợ dă k0a S.TS TƯ ữ Li Êm ii Luê ô ữủ ỹ iằ Ôi ữ Ôi Sữ Ôm TĂi uả dữợi sỹ ữợ dă k0a ừa S.TS TƯ ữ Tổi i ọ lỏ iá ổ Ô ợi S.TS TƯ ữ - ữi  ê ẳ dẳu d- ổi ứ ữợ ê Ưu iả ả ữ iả u k0a ợi Đ Ê iÃm sa mả k0a Ơm uá ừa ữi Ư Tổi ụ Ơ Êm Ă Ư iằ T0Ă ồ, Ă Ư ổ k0a T0Ă - Tữ Ôi Sữ Ôm TĂi uả  ê ẳ iÊ dÔ a ổi kiá s ả ữ iả u k0a s y c cz hạ ເ¡ເ Tỉi ເơпǥ хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£mhc,ọtcὶп Ư ổ ỏ Ô0 c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu n Lu uLnu nvỏ L lu Ôi Sữ Ôm TĂi uả  Ô0 mồi iÃu kiằ ƚỉi ѵ· ƚ i li»u ѵ ƚҺõ ƚưເ Һ пҺ ẵ ổi Ê luê ô п ɣ Tỉi хiп ь ɣ ƚä láпǥ ьi¸ƚ ὶп sƠu s- ợi ữi Ơ ia ẳ ừa mẳ ữi luổ iả ia s kõ kô ѵ lп m0пǥ mäi ƚỉi ƚҺ пҺ ເỉпǥ Tỉi ເơпǥ ỷi li Êm Ă Ô lợ a0 T0Ă K21,  iả i ù ổi quĂ ẳ ê l m luê ô Ê luê ô kổ Ă kọi iáu sõ, Ă iÊ Đ m0 ê ữủ sỹ Ê0 ê ẳ ừa Ă Ư ổ Ô ỗ iằ TĂi uả, Ă ôm 2015 TĂ iÊ luê ô Teui Ѵ0ПǤDALA iii Möເ löເ MÐ †U 1 Mëƚ sè kiá Ê lỵ uá ealia 1.1 Ă m ealia ẵ Đ 1.2 Ă lỵ Ê 1.2.1 ເæпǥ ƚҺὺເ Jeпseп hay lỵ Đ s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 1.2.2 lỵ Ê 10 Х¡ເ àпҺ duɣ пҺ§ƚ Һ m Ơ ẳ ợi iÃu kiằ a iĂ kuá 16 2.1 m Ơ ẳ u au iĂ 16 2.1.1 ເ¡ເ k̟Һ¡i пi»m mð ¦u 16 2.1.2 Mở số ẵ Đ 20 2.2 Х¡ເ àпҺ m Ơ ẳ i iÃu kiằ Ôi số a ǥi¡ ƚгà k̟Һuɣ¸ƚ 27 Ká luê 43 T i liằu am kÊ0 43 Mé U ôm 1926, ealia ữủ ọ mở m Ơ ẳ ả m ữủ Ă mở Ă du Đ i Ê ữủ kổ ẵ ởi ừa Ơ iằ Ă iĂ ổ ẳ ừa ặ ữủ em l ki uỗ Ă Đ Ã iả u à ê Ă du Đ Ã sau, iằ iả u sỹ Ă Ă m Ơ ẳ i Ê ữủ ừa mở ê u Ô Ư ỷ  u ữủ sỹ qua Ơm ừa iÃu 0Ă i ữợ ôm 1977, 0ss ([4]) à uĐ iả u Đ Ã Ă du Đ m Ơ ẳ ( m uả) yi Ê ữủ ừa mëƚ ƚªρ Һύu sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă nv n nă ăđ ậ3 п−m ậLnuậv ậvnănv n,1lu2 Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Ô Ki iả u Đ Ã ừa 0ss, ôm 1996 Һ Ɣi ([11]) ເҺὺпǥ miпҺ Һai Һ m ρҺ¥п ẳ Êi au áu u au ê S = {z : zп + az + ь = 0}, õ m, l số uả sa0 m kổ õ ữợ số u, > 2m + (m ≥ 2) ѵ a, ь l Ă số kĂ kổ sa0 ữ ẳ zп +azп−m +ь = k̟Һỉпǥ ເâ пǥҺi»m ьëi П«m 1998, Fa ua ([3])  mi: áu m Ơ ẳ f ọa m (, f ) >1211, Θ(∞, ǥ) >1211 ѵ Ef (S) = Eǥ(S) ƚҺ¼ f ≡ ǥ, ƚг0пǥ â S = {z : z7 − z6 − = 0} K̟¸ƚ qu£ ả ừa Fa ua Đ mở iÃu kiằ ¤i sè º f ≡ ǥ, ƚг0пǥ â i·u k̟i»п ¤i sè ເâ ເҺὺa i·u k̟i»п ѵ· sè k̟Һuɣ¸ƚ ƚ¤i ∞ Ѵ· sau ເâ пҺi·u пҺ ƚ0¡п Һåເ ƚi¸ρ ƚưເ m e0 ữợ iả u ợi m0 muố ẳm a Ă iÃu kiằ Ôi số mợi õ a số kuá m Ơ ẳ au Ô, Laii ([5]), Laii aejee ([6]), A aejee S Majumde ([1, 2]) ợi m0 muố ẳm iu Đ Ã m Ơ ẳ ữủ Ă mở Ă du Đ i iÃu kiằ Ôi số õ a ǥi¡ ƚгà k̟Һuɣ¸ƚ, ເҺόпǥ ƚỉi ເҺåп · ƚ i Tê du Đ Ă m Ơ ẳ ợi ǥi¡ ƚгà sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu kuá Mử ẵ ẵ ừa luê ô l ẳ mở số ká quÊ ữủ mi ôm 2013 i A aejee S Majumde [1] [2] Luê ô ỗm õ ữ ữ sau: ữ 1: Mở số kiá s lỵ uá ealia T0 ữ ổi ẳ mở số kiá Ê lỵ uá Ơ ố iĂ ealia Ă m Ơ ẳ mở số kĂi iằm kẵ iằu sỷ dử ữ ữ 2: Tê iĂ du Đ Ă m Ơ ẳ ợi iĂ kuá Ơ l ữ ẵ ừa luê ô, ổi ẳ lÔi mở số ká quÊ iả u ừa A aejee S Majumde à iÃu kiằ Ôi số õ a iĂ kuá m Ơ ẳ l ь¬пǥ пҺau ay h sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺ÷ὶпǥ Mëƚ sè kiá Ê lỵ uá ealia 1.1 Ă m ealia ẵ Đ y z Tữợ a - lÔi mở số kĂi à kổ im ѵ ເüເ iºm ạc пi»m oc tch sỹ hc,ọ c 23d hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nvỏ L lu ừa m Ơ ẳ, ữ ữủ sỷ dử lỵ uá Ơ ố z0 ເ ÷đເ ǥåi l k̟Һỉпǥ iºm ьëi k̟ > ừa m f (z) áu ỗ Ôi mở ắa 1.1.(z) m ẳ f ả m im m ẳ iằdiạ iảu lƠ ê U ừa z0 sa0,0 lƠ ê õ m fkổ ữủ iu dữợi dÔ f (z) = (z z0)k(z) ắa l f ()(z0) = 0, ợi mội п = 1, , k̟ − ѵ f (k̟)(z0) = ắa 1.2 im z0 ữủ ồi l ເüເ iºm ьëi k̟ > ເõa Һ m f (z) áu lƠ ê U ừa z0 m f ữủ iu diạ dữợi dÔ f (z) = Һ(z), ƚг0пǥ â Һ m Һ(z) l Һ m ເҺ¿пҺ ẳ kổ (z z0)k iằ iảu lƠ ê U ເõa z0 Ѵỵi méi sè ƚҺüເ х > 0, k̟ ½ Һi»u: l0ǥ+ х = maх{l0ǥ х, 0} K̟Һi â l0ǥ х = l0ǥ+ х − l0ǥ+(1/х) f l mở m Ơ ẳ ả , г > 0, ѵỵi méi ϕ ∈ [0; 2π], ƚa ເâ п¶п l0ǥ |f (гeiϕ )| = l0ǥ + |f (гeiϕ )| − l0ǥ+ , f (гeiϕ) ∫2π ∫2π 1 0 ∫2π log f (reiϕ) dϕ = 2π 2π 2π + log+ f (reiϕ) dϕ log f (re ) dϕ− àпҺ пǥҺ¾a 1.3.m(r, Һ m f) = 2π ∫2π iϕ ÷đເ ǥåi l Һ m х§ρ х¿ ເõa Һ m f + i Ơ i a ắa Ă mlogám.f (re 0) fdl m Ơ ẳ > K̟½ Һi»u п(г, 1/f ) l sè k̟ Һỉпǥ iºm k̟º ເ£ ьëi, п(г, 1/f ) l sè y sỹ ạc k̟ Һæпǥ iºm k̟ Һæпǥ k̟º ьëi ເõa f , ,ọп(г, fcz ) l sè ເüເ iºm k̟º ເ£ ьëi, п(г, f ) tch c h c hoọ hc ọ oca ọi căzn l sè ເüເ iºm k̟ Һæпǥ k̟º ьëi ເõa cna ạiđhạ f ov ƚг0пǥ Dг = {z ∈ ເ : |z| ™ |г|} ă nv ăđn ậ3nd àпҺ пǥҺ¾a 1.4 Һ m ă ậvn ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu г ∫ п(ƚ, f ) − п(0, f ) П (г, ∞; f ) = П (г, f ) = dƚ + п(0, f ) l0 ữủ ồi l m ám k̟º ເ£ ьëi ເõa f (ເáп ǥåi l Һ m ám Ôi Ă ỹ im) m (, f ) − п(0, f ) П (г, ∞; f ) = П (г, f ) = dƚ +n(0 , f ) l0ǥ г ƚ ÷đເ ǥåi l Һ m ¸m k̟Һỉпǥ k̟º ьëi Tг0пǥ â п(0, f ) = lim п(ƚ, f ), п(0, f ) = lim п(ƚ, f ) ƚ→0 ƚ→0 33 Sû döпǥ 2.24, Ьê à 2.2 à 2.3, ứ lỵ ь£п ƚҺὺ Һai ƚa ເâ ѵỵi ε > 0, 1) пT (г, f ) ≤ П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) + П E (г, 1; F ) + ПL(г, 1; F ) + ПL (г, 1; Ǥ) + П 1)(г, 1; F ) − П E J (г, 0; f ) + S(г, f ) Σ (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) ≤ 2.П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) +П (2 + T (г, f ) + T (г, ǥ) + П E (г, 1; F ) + 2ПL(г, 1; Ǥ) + 2ПL(г, 1; F ) + П (г, 0; ǥ J ) + S(г, f ) + S(г, Σ ǥ) Σ ≤ П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) +3 П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) + T (г, f ) + T (г, ǥ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) ≤ (16 − 3Θ(0; f ) − 3Θ(∞; f ) − 3Θ(0; ǥ) − 3Θ(∞; ǥ) + ε)T (г) + S(г) Mëƚ ເ¡ເҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü, ƚa ເâ: (2.25) ay h sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu пT (г, ǥ) ≤(16 − 3Θ(0; f ) − 3Θ(∞; f ) − 3Θ(0; ǥ) − 3Θ(∞; ǥ) + ε)T (г) + S(г) (2.26) K̟¸ƚ Һđρ (2.25) ѵ (2.26) ƚa ເâ (п − 16 + 3Θ(0; f ) + 3Θ(∞; f ) + 3Θ(0; ǥ) + 3Θ(∞; ǥ) − ε)T (г) ≤ S() (2.27) ẳ > ả (2.27) kổ Ê a Tữ ủ LĐ ẵ ρҺ¥п ເỉпǥ ƚҺὺເ (2.2) ƚa ເâ F−1 ≡ A Ǥ−1 + Ь, (2.28) ƚг0пǥ â A, Ь l ເ¡ເ Һ¬пǥ sè ѵ A ƒ= Tø (2.28) ƚa ƚҺu ÷ñເ: F ≡ (Ь + 1)Ǥ + A − Ь − ЬǤ + A − Ь (2.29) 34 Гã г пǥ l (2.29) ເὸпǥ ѵỵi Ьê · 2.1 ƚa ເâ T (г, f ) = T (г, ǥ) + 0(1) (2.30) Tữ ủ 2.1 iÊ sỷ ƒ= 0, −1 П¸u A − Ь − ƒ= 0, ƚø (2.29) ເҺόпǥ ƚa °ƚ ÷đເ: П (г, Ь+1−A ; Ǥ) = П (г, 0; F ) Ь+1 Tø ả, à 2.1 lỵ Ê Һai ƚa ເâ: пT (г, ǥ) < П (г, ∞ ; Ǥ) + П (г, 0; Ǥ) + П (г, Ь +1− A ; Ǥ) + S(г, ǥ) Ь+1 ≤ П (г, ∞; ǥ) + П (г, 0; ǥ) + П (г, 0; ǥ + a) + П (г, 0; f ) + П (г, 0; f + a) + S(г, ǥ) ≤ 2T (г, f ) + 3T (г, ǥ) + S(г, ǥ), y i·u п ɣ k̟¸ƚ ủ ợi (2.30) a õ mƠu uă ki ẳ ê A z c oc tch d ọ , = ѵ d0 â (2.29) ÷a ѵ· ocahoọhạhcọi hcọcăczn 12 a sỹ cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu F≡ Tø â ƚa ເâ: П г, −1 Ь (Ь + 1)Ǥ ЬǤ + ; ǤΣ =П (г, ∞ ; f ) ã dử à 2.1 mở lƯ a sỷ dử lỵ Ê ai, a õ: пT (г, ǥ) < П (г, ∞ ; Ǥ) + П (г, 0; Ǥ) + П (г, −1 ; Ǥ) + S(г, ǥ) Ь ≤ П (г, ∞; ǥ) + П (г, 0; ǥ) + П (г, 0; ǥ + a) + П (г, ∞; f ) + S(г, ǥδ) ≤ T (г, f ) + 3T (г, ǥ) + S(, ), iÃu ká ủ ợi (2.30) a õ mƠu uă ki 35 Tữ Һđρ ເ0п 2.2 Ǥi£ sû г¬пǥ Ь = −1 Tø (2.29) ƚa ເâ F≡ A −Ǥ + A + (2.31) П¸u A + ƒ= 0, ƚø (2.31) ƚa ເâ: П (г, A + 1; Ǥ) = П (г, ∞; f ) D0 â A + = ѵ ƚø (2.31) ƚa ເâ F Ǥ ≡ 1, ƚὺເ l f п−1 (f + a)ǥ п−1 (ǥ + Sỷ dử lê luê iố ữ ữ ủ 2.1 ả a s õ mƠu uă a) 2, l k̟Һỉпǥ ƚҺº х£ɣ гa ƚҺe0 Ьê · 2.4 Tг÷ίпǥ Һđρ ເ0п 2.3 Ǥi£ sû г¬пǥ Ь = Tø (2.29) ƚa ເâ: F ≡ Ǥ + A− (2.32) A П¸u A − ƒ= 0, ƚø (2.32) ƚa ເâ: П (г, − A; Ǥ) = П (г, 0; F ) F ≡ Ǥ, ƚὺເ l f п−1 (f + a) ≡ ǥ п−1 (ǥ + a) K y luê ừa lỵ õ ữủ Tứ uă ê, A = d0 õ ứ õ, lỵ luê iố ữ ả a õ mƠu s iằ sû döпǥ Ьê · 2.5 ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu Ă ẵ dử sau ữủ ເҺ0 ƚҺ§ɣ i·u k̟i»п Θf + Θǥ > àпҺ lỵ 2.4 ki m Ѵ½ dư 2.2 ([6], ѵ½ dư 2) ເҺ0 ƚг0пǥ â п−1 l ƚèƚ ƚг0пǥ − Һп−1 − Һп−1 f = −a ;ǥ = −aҺ , − Һп − Һп 2πi Σ α (e − 1) h = zz ; α = exp e −α п ѵ п (≥ 3) l sè пǥuɣ¶п 0(1) ѵ T= (г, Һ)1)T = T(г, (г,Һ) ez)++0(1) 0(1)ѵ Һὶп пύa Һ(пƒ= α, α(г, ѵҺ)èi+ sè ѵỵiρҺὺເ ເ¡K̟Һi â T (г, f ) (п − T (г, ǥ) = − 1)T γ ƒ= α, α2, П (г, γҺ) ∼ T (, ) Ta ụ ỵ mở iằm 36 ເõa Һ = k̟Һæпǥ ρҺ£i l ເüເ iºm ѵ k̟Һæпǥ iºm ເõa f ѵ ǥ D0 â Θ(∞;f ) = Θ(∞;ǥ) = п − M°ƚ k̟Һ¡ເ Σп−2 − ѵ Θ(0, f ) = П (г, β k̟ ; Һ) + П (г, ∞; Һ) k̟=1 (п lim suρ г→∞ Θ(0, ǥ) = − lim suρ г→∞ Σ п−2 − 1)T (г, Һ) + 0(1) =0 П (г, β k̟ ; Һ) + П (г, 0; Һ) = 0, k̟=1 (п − 1)T (г, Һ) + 0(1) 2πi Σ Гã г пǥ l Ef (S, ∞) = Eǥ (S, ∞) ѵ¼ f п−1 (f + ƚг0пǥ â β = eхρ п −1 a) 1( + a) ữ f ẵ dö 2.3 ([1]) ເҺ0 f ѵ ǥ l х¡ເ àпҺ ữ ẵ dử 2.2, õ 2i α(αez z − 1) h= e − ; α = exp п ѵ п (≥ 3) l sè пǥuɣ¶п Tг0пǥ [2], A Ьaпeгjee ѵ S Majumdeг ¢ ເҺὺпǥ miпҺ: y sỹ c z hạ п doc п−1 c t ,ọ c c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu lỵ 2.5 ([2]) Һ¬пǥ ເҺ0 S.sè = zk̟:Һ¡ເ z +kaz +ь = ,ເҺ0 ƚг0пǥп â+az п п−1 (≥ 6) пǥuɣ¶п ѵ a, ь l Һai ̟ Һæпǥ sa0 +ьl =sè0 ̟k̟Һ¡ເ k Һỉпǥ ເâ пǥҺi»m ьëi Ǥi£ sû г¬пǥ f ѵ l mz Ơ ẳ ọa m Ef (S, m) = E (S, m) П¸u (i) m ≥ ѵ Θf + Θǥ > maх{(9 − п)/2, (п + 1)/(п − 1)}; (ii) Һ0°ເ m = ѵ Θf + Θǥ > maх{(10 − п)/2, (п + 1)/(п − 1)}; (iii) Һ0°ເ m = ѵ Θf + Θǥ > maх{(15 − п)/2, (п + 1)/(п − 1)}, k̟Һi â f ≡ ǥ, ƚг0пǥ â Θf = Θ(0, f )+ Θ(∞, f )+ 1δ22(−a, f ) ѵ ữủ ắa ữ ỹ Tứ iÊ iá su гa ເ¡ເ k̟Һæпǥ iºm ເõa zп +azп−1+ь l k̟Һæпǥ iºm , kỵ iằu i wj, j = 1, 2, , п ເҺ0 F, Ǥ l х¡ເ àпҺ ьði (2.1) ѵ (2.2) Tø Ef (S, m) = Eǥ(S, m) ƚa suɣ гa F ѵ Ǥ ເҺuпǥ (1, m) Ta х²ƚ Һai ƚг÷ίпǥ Һđρ sau: ເҺὺпǥ miпҺ 37 Tг÷ίпǥ Һđρ Һ ƒ≡ Tг÷ίпǥ Һđρ ເ0п 1.1 Ta х²ƚ m ≥ K̟Һi m ≥ 2, sû döпǥ Ьê · 2.6 ƚa ເâ: П (г, 0; ǤJ ) + П (г, 1; Ǥ| ≥ 2) + П ∗ (г, 1; F, Ǥ) ≤ П (г, 0; ǤJ ) + П (г, 1; Ǥ| ≥ 2) + П (г, 1; Ǥ| ≥ 3) ≤ П (г, 0; ǤJ |Ǥ ƒ= 0) + S(г, ǥ) ≤ П (г, 0; ǥ) + П (г, −a; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) + S(г, ǥ) (2.33) D0 â sû döпǥ (2.33) ѵ Ьê · 2.1, Ьê · 2.2 à 2.7, e0 lỵ Ê Һai, ѵỵi méi ε > 0, ƚa ເâ (п + 1)T (г, f ) ≤ П (г, 0; f ) + П (г, −a; f ) + П (г, ∞; f ) + П (г, 1; F| = 1) + П (г, 1; F | ≥ 2) − П0 (г, 0; F J ) + S(г, f ) y a Σ h sỹ c z oc f ) +П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) ≤ П (г, 0; f ) + П (г, tch ∞; hc,ọ c 3d hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu + П2(г, −a; f ) + П (г, −a; ǥ| ≥ 2) + П (г, 1; Ǥ| ≥ 2) +.П ∗ (г, 1; F, Ǥ) + П (г, 0; ǤJ ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) Σ ≤ П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) + П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) + П2(г, −a; f ) + П2(г, −a; ǥ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) ≤ 10 − 2Θ(0, f ) − 2Θ(∞, f ) − 2Θ(0, ǥ) − 2Θ(∞, ǥ) Σ − δ2(−a, f ) − δ2(−a, ǥ) + ε T (г) + S(г) Σ = 10 − 2Θf − 2Θǥ + ε T (г) + S(г), (2.34) ƚг0пǥ â f ữủ Ă lỵ 2.5 T÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ: Σ (п + 1)T (г, ǥ) ≤ 10 − 2Θf − 2Θǥ + ε T (г) + S(г) (2.35) K̟¸ƚ Һđρ (2.34) ѵ (2.35) ƚa ເâ 38 Σ п − + 2Θf + Θǥ − ε T (г) ≤ S(г) (2.36) Ѵ¼ ε > 0, (2.36) dă sỹ mƠu uă Ki m = 1, sû dưпǥ Ьê · 2.6, ເỉпǥ ƚҺὺເ (2.33) ữủ iá lÔi ữ sau: (, 0; J ) + П (г, 1; Ǥ| ≥ 2) + П ∗ (г, 1; F, Ǥ) ≤ П (г, 0; ǤJ ) + П (г, 1; Ǥ| ≥ 2) + П L (г, 1; Ǥ) + П (г, 1; F | ≥ 3) Σ ΣΣ п ≤ П (г, 0; ǤJ |Ǥ ƒ= 0) + П (г, wj; f ) − П (г, wj; f ) j=1 ≤ П (г, 0; ǥ) + П (г, −a, ǥ) + П (г, ∞, ǥ) Σ + П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) +S(г, f ) + S(г, ǥ) (2.37) Sû döпǥ (2.37) ѵ Ьê · 2.2 ѵ Ьê · 2.7, ƚҺüເ Һi»п ǥièпǥ ເæпǥ y sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ƚҺὺເ (2.34), ƚø lỵ Ê a õ ợi mội ε ≥ 0, (п + 1)T (г, f ) ≤ 2П (г, 0; f ) + П (г, −a; f ) + 2П (г, ∞; f ) + 2П (г, 0; ǥ) + П2(г, −a; ǥ) + 2П (г, ∞; ǥ) + 12 Σ П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) ≤ 2П (г, 0; f ) + 2П (г, ∞; f ) + П2(г, −a; f ) + 2П (г, 0; ǥ) + 2П (г, ∞; ǥ) + П2(г, −a; ǥ) + T (г, f ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) ≤ (11 − 2Θf − 2Θǥ + ε)T (г) + S(г) T÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ (п + 1)T (г, ǥ) ≤ (2.38) Σ 11 − 2Θf − 2Θǥ + ε T (г) + S(г) (2.39) K̟¸ƚ Һđρ (2.38) ѵ (2.39) ƚa ເâ Σ п − 10 + 2Θf + 2Θǥ − ε T (г) ≤ S(г) (2.40) 39 Ѵ¼ ε > 0, (2.40) dă sỹ mƠu uă Tữ ủ 2.2 m = Sû döпǥ Ьê · 2.6 ƚa ເâ: (2 П (г, 0; ǤJ ) + П E (г, 1; F ) + 2П L(г, 1; Ǥ) + 2П L(г, (2 E ≤ П (г, 0; Ǥ ) + П (г, 1; F ) + П + 2ПL(г, 1; F ) J 1; F ) L(г, 1; Ǥ) + П L(г, 1;Ǥ) ≤ П (г, 0; ǤJ ) + П L (г, 1; Ǥ| ≥ 2) + П L (г, 1; Ǥ) + 2П L (г, 1; F ) ≤ П (г, 0; ǤJ |ǥ ƒ= 0) + П (г, 1; Ǥ| ≥ 2) + 2П (г, 1; F | ≥ 2) ≤ П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) + П (г, −a; ǥ) + П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) + 2П (г, 0; f ) + 2П (г, ∞; f ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) ≤ П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) + П (г, −a; ǥ) + 2T (г, ǥ) + 4T (г, f ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) (2.41) ỹ ay h s c z D0 â sû döпǥ (2.41) ѵ Ьê · 2.2 hạ ѵdoc Ьê à 2.7, ứ lỵ Ê c t , hc c 23 hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ƚҺὺ Һai, ѵỵi méi ε > 0, ƚa ເâ E (г, 1; F ) (п + 1)T (г, f ) ≤ П (г, 0; f ) + П (г, −a; f ) + П (г, ∞; f ) + П 1) (2 (г, 1; F ) + ПL (г, 1; F ) + ПL (г, 1; Ǥ) + П E −.П0 (г, 0; F J ) + S(г, f ) Σ ≤ П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) +П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) (2 + П2(г, −a; f ) + П (г, −a; ǥ| ≥ 2) + П E (г, 1; F ) + 2П L (г, 1; Ǥ) + 2П L (г, 1; F ) + П (г, : ǤJ ) + S(г, f ) +S(г, ǥ) 40 Suɣ гa Σ (п + 1)T (г, f ) ≤ П (г, 0; f ) + П (г, ∞; f ) +П2 (г, −a; f ) Σ + П (г, 0; ǥ) + П (г, ∞; ǥ) +П2 (г, −a; ǥ) + 4T (г, f ) + 2T (г, ǥ) + S(г, f ) + S(г, ǥ) Σ ≤ 16 − 2Θf − 2Θǥ + ε T (г) + S(г) (2.42) T÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ Σ (п + 1)T (г, ǥ) ≤ 16 − 2Θf − 2Θǥ + ε T (г) + S(г) (2.43) K̟¸ƚ Һđρ (2.42) ѵ (2.43) Σ п − 15 + 2Θf + 2Θǥ − ε T (г) ≤ S(г) sỹ (2.44) y Ѵ¼ ε > 0, (2.44) dă sỹ mƠu cuă cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca hạọi căzn Tг÷ίпǥ Һđρ Һ ≡ LĐ Ơ ổ (2.2), a õ i ov cna ạƚ½ເҺ ă nv n nd đ vnă nvă u2ậ3 1ậLnuậ ậvnă n,1l A Lu uậLnu nồvăá + Ь L ậĐ ≡ u F −l Ǥ − (2.45) Tг0пǥ â A ѵ Ь l ເ¡ເ Һ¬пǥ sè ѵ A ƒ= Tø (2.45) ƚa ເâ: F ≡ (Ь + 1)Ǥ + A − Ь − ЬǤ + A − Ь (2.46) Tø (2.46) ເὸпǥ ѵỵi Ьê · 2.1 ƚa ເâ T (г, f ) = T (г, ǥ) + 0(1) Tг÷ίпǥ Һđρ ເ0п 2.1 (2.47) Ь ƒ= 0, −1 П¸u A − Ь − ƒ= 0, ƚø (2.46) ƚa ເâ: П г, Ь+1−A Σ ; Ǥ = П (г, 0; F ) (2.48) Ь+1 T½пҺ 0Ă ữ ả, ká ủ ợi à 2.1 lỵ Ê ai, 41 a õ: T (г, ǥ) < П (г, Σ ; Ǥ) + П (г, 0; Ǥ)∞ +П г, Ь +1− A ;Ǥ +S(г, ǥ) Ь+1 ≤ П (г, ∞; ǥ) + П (г, 0; ǥ) + П (г, 0; ǥ + a) + П (г, 0; f ) + П (г, 0; f + a) + S(г, ǥ) ≤ 2T (г, f ) + 3T (г, ǥ) + S(г, ǥ) (2.49) K̟Һi п ≥ 6, ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.49) k̟Һỉпǥ ƚҺº х£ɣ a ẳ ê A1 =0, d0 õ (2.46) ƚa F ≡ Tø â ƚa ເâ: П г, −1 (Ь + 1)Ǥ ЬǤ + (2.50) Σ ; Ǥ = П (г, ∞; f ) (2.51) B y Sỷ dử à 2.1 lỵ ь£п ƚҺὺ Һai mëƚ l¦п пύa ƚa ເâ: sỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu −1 пT (г, ǥ) < П (г, ∞; Ǥ) + П (г, 0; Ǥ) + П г, Σ ; Ǥ +S(г, ǥ) B ≤ П (г, ∞; ǥ) + П (г, 0; ǥ) + П (г, 0; ǥ + a) + П (г, ∞; f ) + S(г, ǥ) ≤ T (г, f ) + 3T (г, ǥ) + S(г, ǥ) (2.52) K̟Һi п ≥ 6, ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.52) k̟Һỉпǥ ƚҺº х£ɣ гa Tг÷ίпǥ Һđρ ເ0п 2.2 Ь = −1 Tø (2.46) ƚa ເâ: F≡ П¸u A + ƒ= 0, ƚø (2.53) ƚa ເâ: A −Ǥ + A + П (г, A + 1; Ǥ) = П (г, ∞; f ) (2.53) (2.54) ƚø (2.53) ƚa ເâ F Ǥ ≡ 1, ƚὺເ l f п−1 (f + a)ǥ п−1 (ǥ + a) ≡ ь2 , iÃu Lê luê ữ ỹ ữÃả Ê a e0 2.4.a su a mƠu uă D0 õ A + = ѵ̟ kҺỉпǥƚҺº 42 Tг÷ίпǥ Һđρ ເ0п 2.3 Ь = Tø (2.46), ƚa ເâ: F ≡ Ǥ + A− П¸u A − ƒ= 0, ƚø (2.55) ƚa ເâ: (2.55) A П (г, − A; Ǥ) = П (г, 0; F ) (2.56) Lê luê ẵ 0Ă ữ ả a õ sỹ mƠu uă ê A = 1, d0 õ F Ǥ, k̟²0 ƚҺe0 f п−1 (f + a) ≡ ǥ ( + a) lỵ ữủ su a ứ Ьê · 2.8 Ь¥ɣ ǥiί ƚa хem х²ƚ mëƚ sè ẵ dử Đ iÃu kiằ f + > ( + 1)/( 1) lỵ 2.5 l Ư iá ki m Ѵ½ dư 2.4 Х²ƚ f = −a((1 − Һп−1)/(1 − Һп)); ǥ = −aҺ((1 − Һп−1)/(1 − Һп)), sỹ y c ƚг0пǥ â Һ = ((α2(ez − 1))/(ez − hcα)), αocz= eхρ(2πi/п) ѵ п (≥ 3) l sè hạ ,ọtc c 3d ọ ọ пǥuɣ¶п K̟Һi â aho ọi hc aoc hạ căzn cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu T (г, f ) = (п − 1)T (г, Һ) + 0(1), T (г, ǥ) = (п − 1)T (г, Һ) + 0(1), ƚø â T (г, Һ) = T (г, ez) + 0(1) Пǥ0 i a, a Đ , ợi ເ¡ເ sè ρҺὺເ ь§ƚ k̟ý γ ƒ= α, α2, П (г, γ; Һ) ∼ T (г, Һ) Ta ເôпǥ ເҺό þ г¬пǥ пǥҺi»m ເõa Һ = k̟Һỉпǥ l ເüເ iºm ѵ k̟Һæпǥ iºm ເõa f ѵ ǥ D0 â Θ(∞, f ) = Θ(∞, ǥ) = M°ƚ k̟Һ¡ເ п −1 Σ п− k̟ N (r, β ; h) + N (r, ∞; h) Θ(0, f ) = − limsuρ k=1 ̟ г→∞ (п − 1)T (г, Һ) + 0(1) ѵ =0 k̟ Σ п− N (r, β ; h) + N (r, 0; h) Θ(0, ǥ) = − lim suρ k̟=1 =0 г→∞ (п − 1)T (г, Һ) + 0(1) ƚг0пǥ â β = eхρ(2πi/(п − 1)) Һὶп пύa 2П (г, 0; Һ) (п − 3) δ (−a, ǥ) = − lim suρ = (п − 1) г→∞ (п − 1)T (г, Һ) + 0(1) 43 ѵ δ (−a, f ) = − limsuρ Tø â Θf + Θǥ = п +1 п −1 г→∞ 2П (г, ∞; Һ) (п − 1)T (г, Һ) + 0(1) = (п − 3) (п − 1) Гã г пǥ Ef (S, ∞) = Eǥ (S, ∞) ѵ¼ f п−1 (f + a) ≡ ǥ п−1 (ǥ + a), пҺ÷пǥ f ƒ≡ ǥ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu 44 Ká luê ợi mử ẵ iá iả u dử ừa lỵ uá Ơ ố iĂ Đ Ã Ă du Đ m Ư ẳ, luê ô ổi ẳ Đ Ã sau Ơ: Tờ ủ Ă kĂi iằm Ă lỵ Ê lỵ uá Ơ ố iĂ Ă m Ơ ẳ, õ l kiá sû dưпǥ ƚг0пǥ ເ¡ເ ເҺὺпǥ miпҺ ƚг0пǥ ເҺ÷ὶпǥ y Ǥiỵi ƚҺi»u mëƚ sè k̟Һ¡i пi»m ѵ ạເҺὺпǥ mi mở ẵ Đ ừa Ă c z oc tch d ọ , hc c 23 hoọ ọi hc m m ám, m ữ ừa Ăcnaoca zn Ơ ẳ h i vc s o nv đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ΡҺ¡ƚ ьiºu ѵ ເҺὺпǥ mi lÔi mở số iÃu kiằ Ôi số õ a iĂ kuá m Ơ ẳ l au: lỵ 2.4 Đ iÃu kiằ Ôi số a iĂ kuá Ôi ; lỵ 2.5 Đ iÃu kiằ Ôi số a iĂ kuá Ôi 0, 2(a, f ) õ Đ, Ă ká quÊ luê ô  a US Ă m Ơ ẳ ỗm Ư ỷ ợi mở số iÃu kiằ Ô Ã số kuá i ká quÊ Â ẳ luê ô, ỏ õ mở số ká qu£ ເõa ເ¡ເ ƚ¡ເ ǥi£ k̟Һ¡ເ Tг0пǥ ƚҺίi ǥiaп ƚỵi ổi s iá Ă i Đ Ã iả u ợi ỵ ữ ữa a Ă iÃu kiằ ố ợi số kuá 45 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 0п uпique гaпǥ seƚ 0f meг0m0г- ρҺiເ fuпເƚi0пs wiƚҺ defiເieпƚ ρ0les, Faເƚa Uпiѵ Seг MaƚҺ Iпf0гm, 28(1)(2013), 1-15 [1] A [2] A Ьaпeгjee aпd S Majumdeг, [3] M Faпǥ aпd Х Һua, [4] Ьaпeгjee aпd S Majumdeг, 0п uпique гaпǥ seƚ 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs wiƚҺ defiເieпƚ ѵalues, J 0f ເ0mρleх Aпalɣsis, 2013 (2013), 1-9 y Meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs ƚҺaƚ sҺaгe 0пe sỹ c cz hạ o c t hc,ọ ọc 23d fi- пiƚe seƚ ເM, J ПaпjiпǥUпiѵ Ьiquaгƚeгlɣ, 15(1)(1998), 15hoọ ọiMaƚҺ hc zn a c o cna ạiđhạ ndovcă ă nv đn 22 vnă nvă u2ậ3 nuậ vnă n,1l F Ǥг0ss, ậL ậ n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Faເƚ0гizaƚi0п 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs ѵ s0me 0ρeп ρг0ьlems, Ρг0ເ ເ0пf Uпiѵ K̟eпƚuເk̟ɣ, Leiхпǥƚ0п, K̟eпƚuເk̟ɣ (1976); Leເƚuгe П0ƚes iп MaƚҺ., 599(1977), 51-69, Sρгiпǥeг (Ьeгliп) A quesƚi0п 0f Ǥг0ss ѵ weiǥҺƚed sҺaгiпǥ 0f a fiпiƚe seƚ ьɣ meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs, Aρρlied MaƚҺ E-П0ƚes, 2(2002), 16-21 [5] I LaҺiгi, [6] I [7] I LaҺiгi ѵ [8] A.Z Ьaпeгjee, Uпiqueпess 0f meг0m0гρҺiເ fuпເ- ƚi0пs wiƚҺ defiເieпƚ ρ0les, K̟ɣuпǥρ00k̟ MaƚҺ J., 44(2004), 575-584 LaҺiгi aпd A Ѵalue disƚгiьuƚi0п 0f ƚҺe ρг0duເƚ 0f a meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0п ѵ iƚs deгiѵaƚiѵe, K̟0dai MaƚҺ J., 26(2003), 95-100 S Dewaп, M0Һ0п'k̟0, 0п ƚҺe Пeѵaпliппa ເҺaгaເƚeгisƚiເs 0f s0me 46 meг0- m0гρҺiເ fuпເƚi0пs, TҺe0гɣ 0f Fuпເƚ Fuпເƚ Aпal Aρρl., 14(1971), 83-87 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 47 [9] S0me sau â гesulƚs 0п ƚҺe uпique гaпǥe seƚs 0f meг0m0гρҺiເfuпເƚi0пs, K̟0dai MaƚҺ J., 13(1995), 437-450 Ρ Li aпd ເ.ເ Ɣaпǥ, [10] Һ.Х Ɣi, A quesƚi0п 0f Ǥг0ss ѵ ƚҺe uпiqueпess 0f eпƚiгe fuпເƚi0пs, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 138(1995), 169-177 [11] Һ.Х Ɣi, Uпiເiƚɣ ƚҺe0гem f0г meг0m0гρҺiເ 0f eпƚiгe fuпເƚi0пs III., Ьull Ausƚгal MaƚҺ S0ເ., 53 (1996), 71-82 [12] Һ.Х Ɣi, Meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs ƚҺaƚ sҺaгe 0пe 0г ƚw0 ѵalues II, K̟0dai MaƚҺ J., 22(1999), 264-272 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu