(LUẬN văn THẠC sĩ) tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên annuli gồm 2n + 3 siêu phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỒM 2N + SIÊU PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỐM 2N + SIÊU PHẲNG Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn BOUNPONE PHETBOUNHEUANG i download by : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Savannakhet CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn BOUNPONE PHETBOUNHEUANG ii download by : skknchat@gmail.com ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✶ ❈❤➢➡♥❣ ✶ P ố trị ỉ ì tr ❆♥♥✉❧✐ ✸ ✶✳✶ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ò ♣❤➞♥ ố trị ì tr ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✷ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳✶ ▼ét sè ♠Ư♥❤ ➤Ị ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐ ✷✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❣å♠ ✷♥✰✸ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ✷✹ ✷✳✶ ▼ë ➤➬✉ ✈Ò ✈✃♥ ➤Ò ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ✷✳✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❜ỉ ➤Ò ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✶✳✷ ▼ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ✷✼ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❣å♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 2n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✷✳✶ ▼ét sè ♠Ư♥❤ ➤Ị ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ✸✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑Õt ❧✉❐♥ ✹✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✸ download by : skknchat@gmail.com ✶ ▼ë ➤➬✉ ▼ét ø♥❣ ❞ơ♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✭❝ị♥❣ ♥❤➢ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✮ t❤➠♥❣ q✉❛ ợ ủ ột ề t ữ tư✳ ❱✃♥ ➤Ị ♥➭② ❝ị♥❣ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✿ ❘✳ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❍✳ ❋✉❥✐♠♦t♦✱ ▲✳ ❙♠✐❧❡②✱ ❍✳ ❍✳ ❑❤♦❛✐✱ ●✳ ❉❡t❤❧♦❢❢✱ ❉✳ ❉✳ ❚❤❛✐✱ ❈✳ ❈✳ ❨❛♥❣✱ ▼✳ ❘✉ ✈➭ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝✳ ◆➝♠ ✶✾✷✻✱ ❘✳ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❍❛✐ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♣❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ f, g t❤á❛ ♠➲♥ f −1 (ai ) = g −1 (ai ), i = 1, , 5, t❤× f ≡ g ✳ ◆➝♠ ✶✾✽✷✱ ❋✳●r♦ss ✈➭ ❈✳❈✳ ❨❛♥❣ ➤➲ ❝❤Ø r❛ t❐♣ ❤ỵ♣ T = {z ∈ C|ez + z = 0} ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✭❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ❯❘❙✮ ❝❤♦ ú ý T t ợ ị ♥❤➢ tr➟♥ ❝❤ø❛ ✈➠ sè ♣❤➬♥ tö✳ ◆➝♠ ✶✾✾✹✱ ❍✳❨✐ ➤➲ ①Ðt t❐♣ SY = {z ∈ C|z n + az m + b = 0}✱ ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❜é✐ ✈➭ ↕♥❣ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ SY tr♦♥❣ ➤ã n ≥ 15, n > m ≥ 5✱ a, b z n + az m + b = ❧➭ ❯❘❙ ❝❤♦ ✈➭ ▼✳❘❡✐♥❞❡rs ❝❤Ø r❛ ♠ét ✈Ý ❞ơ ✈Ị ❯❘❙ ❝❤♦ A(C)✳ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ◆➝♠ ✶✾✾✽✱ ●✳ ❋r❛♥❦ M(C)✳ ➜è✐ ✈í✐ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✱ ♥➝♠ ✶✾✼✺✱ ❍✳ ❋✉❥✐♠♦t♦ ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ❝ñ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤ ♣❤ø❝✱ ❝❤♦ t❤✃② tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❦Ó ❝➯ ❜é✐ ❣å♠ 3n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ❝❤♦ ❤ä ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♣❤ø❝ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❱Ị s❛✉ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭②✳ ❚r♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❣➬♥ ➤➞②✱ ❝ã ♠ét sè ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝ ✈Ị ố trị ì tr ❆♥♥✉❧✐ tr♦♥❣ C ➤➢ỵ❝ ❝➠♥❣ ❜è✳ ◆➝♠ ✷✵✵✺✱ ❆✳ ❨✳ ❑❤r②st✐②❛♥②♥ ✈➭ ❆✳ ❆✳ ❑♦♥❞r❛t②✉❦ ✭❬✹✱ ✺❪✮ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ q ệ số ết s ó ữ trì ➤➢ỵ❝ ♠ë ré♥❣ ❜ë✐ ❚✳ ❇✳ ❈❛♦✱ ❩✳ ❙✳ download by : skknchat@gmail.com ✷ ❉❡♥❣ tr♦♥❣ ❬✶❪ ✈➭ ❜ë✐ ❨✳ ❚❛♥✱ ◗✳ ❩❤❛♥❣ tr♦♥❣ ❬✾❪✳ ◆➝♠ ✷✵✶✺✱ ❍✳ ❚✳ P❤➢➡♥❣ ✈➭ ◆✳ ❱✳ ❚❤×♥ ✭❬✼❪✮ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ỉ ì tr ết ợ ột ọ ữ ❤➵♥ ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ❉ù❛ tr➟♥ ♥❤÷♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭②✱ ❍✳ ❚✳ P❤➢➡♥❣ ✈➭ ❚✳ ❍✳ ▼✐♥❤ ✭❬✻❪✮ ✈à ◆❣✉②Ô♥ ❱✐Ưt P❤➢➡♥❣ ✭❬✽❪✮ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✳ ❱í✐ ♠♦♥❣ ố tì ể ề ý tết ố trị ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ä♥ ➤Ị t➭✐ ✧❚❐♣ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ❣å♠ ✷♥✰✸ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✧✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♣❤➞♥ ố trị ì tr ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ①➳❝ ➤Þ♥❤ t ì tr ợ ❜è ❜ë✐ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❣➬♥ ➤➞②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✱ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trị ỉ ì tr ế t❤ø❝ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ♥Ị♥ t➯♥❣ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝❤Ý♥❤ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❚r♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈✃♥ ➤Ị t ỉ ì tr ợ ❜è ❜ë✐ ❍✳ ❚✳ P❤➢➡♥❣✱ ❚✳ ❍✳ ▼✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✻❪ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❱✐Ưt P❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❬✽❪✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✹ ♥➝♠ ✷✵✶✻ ❚➳❝ ❣✐➯ download by : skknchat@gmail.com ✸ ❈❤➢➡♥❣ P ố trị ỉ ì tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ❝➬♥ t❤✐Õt ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ✈✃♥ ➤Ò ❞✉② ♥❤✃t tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞ù❛ tr➟♥ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✼❪✳ ✶✳✶ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ✶✳✶✳✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ sở ề ố trị ì tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ❈❤♦ R0 > ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ ❤♦➷❝ +∞✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ ∆= z∈C: ❧➭ ♠ét ❆♥♥✉❧✐ tr♦♥❣ C✳ < |z| < R0 , R0 ỗ số tự r tỏ < r < R0 ✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ < |z| , r = z ∈ C : < |z| < r ∆1,r = z ∈ C : ∆2,r ✈➭ ∆r = z ∈ C : ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ < |z| < r r ∆✱ tø❝ ❧➭ f ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ download by : skknchat@gmail.com ∆ trõ r❛ ✹ ♠ét sè ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❜✃t t❤➢ê♥❣ ❝ù❝ ➤✐Ó♠✱ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ 2π m r, f −a = 2π log+ dθ, |f (reiθ ) − a| 2π m(r, f ) = m(r, ∞) = 2π log+ |f (reiθ )|dθ, tr♦♥❣ ➤ã log+ x = max{0, log x}, a ∈ C ✈➭ r ∈ (R0−1 ; R0 )✳ ❱í✐ ♠ét sè t❤ù❝ r ∈ (1, R0 )✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ 1 1 = m r, +m , , f −a f −a r f −a m0 (r, f ) = m(r, f ) + m(r−1 , f ) m0 r, ❑❤✐ ➤ã ❤➭♠ m0 r, a ∈ C✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ n1 t, f −a f −a ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ①✃♣ ①Ø ❤❛② ❤➭♠ ❜ï ❝đ❛ ❧➭ sè ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ f t➵✐ f − a tr♦♥❣ {z ∈ C : ❧➭ sè ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ f − a tr♦♥❣ {z ∈ f −a C : < |z| < t}❀ n1 (t, ∞) ❧➭ sè ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ {z ∈ C : t < |z| 1} t < |z| ✈➭ 1} n2 t, n2 (t, ) ỗ số ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ {z ∈ C : < |z| < t} r (1 < r < R0 )✱ t❛ ➤➷t N1 r, f −a = t 1/r r N2 r, f −a ) n1 (t, f −a = n2 (t, f −a ) t dt, dt, ✈➭ N1 (r, f ) = N1 (r, ∞) = 1/r r N2 (r, f ) = N2 (r, ∞) = n1 (t, ∞) dt, t n2 (t, ∞) dt t download by : skknchat@gmail.com ❝đ❛ f✳ ❱í✐ ✺ ❑Ý ❤✐Ư✉ 1 = N1 r, + N2 r, f −a f −a f −a N0 (r, f ) = N1 (r, f ) + N2 (r, f ) N0 r, N0 (r, f ) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤Õ♠ t➵✐ ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ f ❦Ĩ ❝➯ ❜é✐✱ ❤➭♠ N0 r, ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤Õ♠ t➵✐ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❦Ĩ ❝➯ ❜é✐ ❝ñ❛ f − a✳ f −a ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ T0 (r, f ) ❝đ❛ f ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ ❍➭♠ T0 (r, f ) = m0 (r, f ) − 2m(1, f ) + N0 (r, f ) ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ “ ” tr♦♥❣ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ✈í✐ R0 = +∞✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ r ∈ (1, +∞) ♥➺♠ ♥❣♦➭✐ ♠ét t❐♣ ∆r rλ−1 dr < +∞, ✈➭ ✈í✐ R0 < +∞✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤ó♥❣ ➤è✐ ✈í✐ dr < +∞✱ r ∈ (1, R0 ) ♥➺♠ ♥❣♦➭✐ ♠ét t❐♣ ∆r t❤á❛ ♠➲♥ ∆ r (R − r)λ+1 tr♦♥❣ ➤ã λ t❤á❛ ♠➲♥ ∆r ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ❏❡♥s❡♥ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶ ✭❬✹❪✮✳ ➤ã ✈í✐ ỗ f ột ì tr➟♥ N0 ❑❤✐ r ∈ (1, R0 )✱ t❛ ❝ã 2π r, f ∆✳ 2π log |f (reiθ )|dθ + 2π − N0 (r, f ) = 2π log |f (r−1 eiθ )|dθ 2π − π log |f (eiθ )|dθ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷ ✭❬✹❪✮✳ ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ ∆✳ ó ỗ r (1, R0 ) t ❝ã 2π T0 (r, f ) = 2π N0 r, f − eiθ download by : skknchat@gmail.com ✷✾ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2n2 k ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ sè t❤ù❝ r ➤đ ❧í♥✳ ❈❤♦ r −→ R0 q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2n2 k t❛ ❝ã lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) < +∞ Tf (r) + Tg (r) ➜✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ k(q − n − − 2n2 ) + (q − qn − n − 1) lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) ✭✶✳✽✮ ◆Õ✉ r❛ ❝❤ä♥ k> tr♦♥❣ ➤ã (qn + k0 + n + − q) , q − n − − 2n2 Of (r) + Og (r) ✱ t❤× tõ ❣✐➯ t❤✐Õt q 2n2 + n + r−→R0 Tf (r) + Tg (r) ◆❤➢ ✈❐② fi gj ≡ fj gi ỗ i = j {0, , n}✱ tø❝ k0 = lim inf ❝ã ♠➱✉ t❤✉➱♥✳ t❛ ❧➭ f ≡ g ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✳ ❈❤♦ H = {H1 , , Hq } ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ ❧➭ ♠ét ❤ä ❣å♠ f, g : ∆ −→ Pn (C) 3n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤á❛ ♠➲♥ ✭❛✮ f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ E f (H) ∪ E g (H)✱ ✭❜✮ E f (Hi ) ∩ E f (Hj ) = ∅ ✈➭ E g (Hi ) ∩ E g (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}✱ 1 ✭❝✮ log = O(Tf (r)), log = O(Tg (r)) ❦❤✐ r −→ R0 ♥Õ✉ R0 − r R0 − r R0 < +∞✳ ❑❤✐ ➤ã f ≡ g✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ sư f ≡ g✱ ❚❛ ❝ị♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺ ❜➺♥❣ ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣✳ ●✐➯ ❦❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❤❛✐ ❝❤Ø sè fi1 gi2 ≡ fi2 gi1 ✳ ●ä✐ k i1 , i2 ∈ {0, , n}, i1 = i2 s❛♦ ❝❤♦ ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t❛ sÏ ❝❤ä♥ s❛✉✳ ❱í✐ ❝➳❝ download by : skknchat@gmail.com ✸✵ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✱ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶ t❛ ❝ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))Tf (r) ✭✶✳✾✮ q Nf,1 k (r, Hj ) + Of (r), nk j=1 ỗ Hj H✱ ✈í✐ ♠ä✐ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ r t❤á❛ ♠➲♥ ▼Ư♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã E f (Hi ) E f (Hj ) = ỗ ❝➷♣ i = j ∈ {1, , q}✳ ▲❐♣ ❧✉❐♥ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✱ t❛ ❝ã q Nf,1 k (r, Hj ) j=1 N0 (r, ) h Tf (r) + Tg (r) + Of (r) h = fi1 gi2 − fi2 gi1 ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ tr♦♥❣ ➤ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))Tf (r) ✭✶✳✶✵✮ nk(Tf (r) + Tg (r)) + Of (r) ❚➢➡♥❣ tù ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ g t❛ ❝ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))Tg (r) ✭✶✳✶✶✮ nk(Tf (r) + Tg (r)) + Og (r) ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✶✵✮ ✈➭ ✭✶✳✶✶✮✱ t❛ ❝ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))(Tf (r) + Tg (r)) 2nk(Tf (r) + Tg (r)) + Of (r) + Sr (r) ❑Ð♦ t❤❡♦ q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2nk Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) download by : skknchat@gmail.com ✸✶ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ sè t❤ù❝ r✳ ❈❤♦ r −→ R0 q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2nk t❛ ❝ã lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) < +∞ Tf (r) + Tg (r) ➜✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ k(q − 3n − 1) + (q − qn − n − 1) lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) ✭✶✳✶✷✮ ◆Õ✉ t❛ ❝❤ä♥ k> (qn + k0 + n + − q) , q − 3n − Of (r) + Og (r) ✱ t❤× tõ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ q 3n + t❛ r−→R0 Tf (r) + Tg (r) sÏ ❝ã ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❚õ fi gj ≡ fj gi ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {0, , n}✱ tø❝ ❧➭ f ≡ g ✳ k0 = lim inf tr♦♥❣ ➤ã ➜Þ♥❤ ý ợ ứ ú ý ị ý ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺ ❧➭ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ♥ã ❝❤♦ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➵✐ sè ➤Ĩ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ trï♥❣ ♥❤❛✉✳ ❈ã t❤Ĩ t❤✃②✱ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✱ sè ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❧➭ 3n + trï♥❣ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❋✉❥✐♠♦t♦✳ ✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❣å♠ 2n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ✷✳✷✳✶ ▼ét sè ♠Ư♥❤ ➤Ị ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✻ ✭❬✻❪✮✳ ❈❤♦ f : ∆ −→ Pn (C) ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ H1 , H2 ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❧➭ ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã T0 r, ✈í✐ ♠ä✐ r t❤á❛ ♠➲♥ (f, H1 ) (f, H2 ) Tf (r) + O(1) < r < R0 ✳ download by : skknchat@gmail.com ✭✶✳✶✸✮ ✸✷ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ T0 r, ❚❛ ❝ã (f, H1 ) (f, H2 ) = m0 r, (f, H1 ) (f, H2 ) + N0 r, + O(1) ✭✶✳✶✹✮ 2π 2π log+ = (f, H1 ) (f, H2 ) (f, H1 ) iθ dθ (re ) + (f, H2 ) 2π (f, H1 ) −1 iθ dθ (r e ) (f, H2 ) 2π 0 + N0 r, log+ (f, H2 ) + O(1) ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✱ t❛ ❝ã 2π N0 r, (f, H2 ) log |(f, H2 )(reiθ )| dθ 2π ✭✶✳✶✺✮ 2π log |(f, H2 )(r−1 eiθ )| + dθ + O(1) 2π ❍➡♥ ♥÷❛ 2π 2π log+ (f, H1 ) iθ dθ (re ) + (f, H2 ) 2π log |(f, H2 )(reiθ )| dθ 2π ✭✶✳✶✻✮ 0 2π 2π = |(f, H1 )(reiθ )| + |(f, H2 )(reiθ )| dθ log+ + |(f, H2 )(reiθ )| 2π |(f, H1 )(reiθ )| + |(f, H2 )(reiθ )| dθ log + |(f, H2 )(reiθ )| 2π 2π log |(f, H2 )(reiθ )| dθ 2π 2π log |(f, H2 )(reiθ )| log(|(f, H1 )(reiθ )| + |(f, H2 )(reiθ )|) = 2π dθ 2π 2π log max{|f0 (reiθ )|, |f1 (reiθ )|, , |fn (reiθ )|} dθ + O(1) 2π download by : skknchat@gmail.com dθ 2π ✸✸ ❚➢➡♥❣ tù t❛ ❝ã 2π 2π (f, H1 ) −1 iθ dθ (r e ) + (f, H2 ) 2π log+ log |(f, H2 )(r−1 eiθ )| dθ 2π ✭✶✳✶✼✮ 2π log max{|f0 (r−1 eiθ )|, |f1 (r−1 eiθ )|, , |fn (r−1 eiθ )|} dθ + O(1) 2π ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✶✹✮✱ ✭✶✳✶✺✮✱ ✭✶✳✶✻✮ ✈➭ ✭✶✳✶✼✮✱ t❛ ❝ã ✭✶✳✶✸✮✳ ❱í✐ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ f, g : ∆ −→ Pn (C) tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ t❛ ❦Ý ❤✐Ư✉ T (r) = Tf (r) + Tg (r) ✈➭ n−1 n−1 (n − t)N f,=t (r, Hj ); Fj = t=1 t=1 ✈í✐ ♠ä✐ (n − t)N g,=t (r, Hj ) Gj = j ∈ {1, , q}✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✼ ✭❬✻❪✮✳ ❈❤♦ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ H = {H1 , , Hq } f, g : ∆ −→ Pn (C) ❧➭ ♠ét ❤ä ❣å♠ q s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ ❛✮ E f (Hi ) ∩ E f (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}❀ ❜✮ E f (Hj ) ⊂ E g (Hj ) ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, 2, , q ✈➭ f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ E f (H)✳ n r−→R0 n+1 (f, Hk ) (g, Hk ) ó ỗ k = l ∈ {1, , q} t❤á❛ ♠➲♥ Φ = − ≡ 0, (f, Hl ) (g, Hl ) ❝✮ lim inf q j=1 Nf (r, Hj )/ q j=1 Ng (r, Hj ) > t❛ ❝ã nNf1 (r, Hk ) + nNf1 (r, Hl ) + Nf1 (r, Hj ) ✭✶✳✶✽✮ j T (r) + Fk + Fl + Gk + Gl + O(1), ✈í✐ ỗ r s < r < R0 tr♦♥❣ ➤ã tỉ♥❣ ➤➢ỵ❝ ❧✃② tr➟♥ {1, , q}\{k, l}✳ download by : skknchat@gmail.com j ∈ ✸✹ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ Nf1 (r, Hj ) + Nfn (r, Hk ) − Gk N0 (r, j∈{1, ,q}\{k,l} ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ f (z) = g(z) z0 ∈ ) Φ ✭✶✳✶✾✮ {z ∈ ∆r : (f, Hj )(z) = 0} j{1, ,q}\{k,l} ỗ z ∈ f (Hj ) ✈➭ ❦❤✐ ➤ã tõ f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}✱ t❛ ❝ã (f, Hk )(z0 ) = λ(g, Hk )(z0 ) = 0, ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ ◆Õ✉ (f, Hl )(z0 ) = λ(g, Hl )(z0 ) = Φ(z0 ) = 0✱ ❜ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : (f, Hk )(z) = 0} ⊂ {z ∈ ∆r : (g, Hk )(z) = 0}✳ ❚❛ ❝ã {z ∈ ∆r :(f, Hk )(z) = 0} = {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) 1} = {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = 1} ∪ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = 2} ∪ ∪ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = n − 1} ∪ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) n} ❚❛ ①❡♠ ①Ðt ❜❛ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛✿ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = 1}✳ ❑❤✐ ➤ã min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} = = min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} νΦ (z0 ) ❇ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = α}✱ tr♦♥❣ ➤ã ◆Õ✉ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β α n − 1✳ α}✱ t❤× min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} = α = min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} νΦ (z0 ) ❇ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ◆Õ✉ νΦ (z0 ) z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β < α}✱ t❤× min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} = β = α − (α − β) > α − (n − β) = min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} − (n − β) min{ν(g,Hk ) (z0 ), 1} ❚❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ download by : skknchat@gmail.com ✸✺ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✸✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) ◆Õ✉ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} = n n}✳ n}✱ t❤× min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} νΦ (z0 ) ❇ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ◆Õ✉ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β < n}✱ t❤× νΦ (z0 ) min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} = β = n − (n − β) = min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} − (n − β) min{ν(g,Hk ) (z0 ), 1} ❚õ ➤ã t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ❚❛ ❝ã N0 (r, ) Φ T (r) − Nfn (r, Hl ) + Gl + O(1) ✭✶✳✷✵✮ ❙ö ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✹ t❛ ❝ã N0 (r, ) Φ T0 (r, ) Φ T0 (r, Φ) + O(1) = N0 (r, Φ) + m0 (r, Φ) + O(1) ✭✶✳✷✶✮ ◆❣♦➭✐ r❛ m0 (r, Φ) (f, Hk ) (g, Hk ) + m0 r, + O(1) (f, Hl ) (g, Hl ) (f, Hk ) (g, Hk ) T0 r, + T0 r, − N0 r, (f, Hl ) (g, Hl ) (f, Hl ) − N0 r, + O(1) (g, Hl ) m0 r, ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✻ t❛ ❝ã m0 (r, Φ) (f, Hl ) − N0 r, (g, Hl ) + O(1), T (r) = Tf (r) + Tg (r) ❑❤✐ ➤ã ✭✶✳✷✶✮ trë t❤➭♥❤ tr♦♥❣ ➤ã N0 (r, T (r) − N0 r, ) Φ T (r) − N0 r, (f, Hl ) − N0 r, (g, Hl ) + N0 (r, Φ) + O(1) ✭✶✳✷✷✮ download by : skknchat@gmail.com ✸✻ ❚❛ t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ❝đ❛ z0 ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❤♦➷❝ (g, Hl ) t❤× z0 ❧➭ Φ ✈➭ νΦ∞ (z0 ) tr♦♥❣ ➤ã (f, Hl ) max{ν(f,Hl ) (z0 ), ν(g,Hl ) (z0 )}, νΦ∞ (z0 ) ❧➭ ❜❐❝ ❝đ❛ ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ Φ t➵✐ z0 ✳ ❉♦ ➤ã ν(f,Hl ) (z0 ) + ν(g,Hl ) (z0 ) − νΦ∞ (z0 ) ν(f,Hl ) (z0 ) + ν(g,Hl ) (z0 ) − max{ν(f,Hl ) (z0 ), ν(g,Hl ) (z0 )} = min{ν(f,Hl ) (z0 ), ν(g,Hl ) (z0 )} ▲❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✾✮ t❛ ❝ã N0 r, (f, Hl ) + N0 r, (g, Hl ) − N0 (r, Φ) Nfn (r, Hl ) − Gl ✭✶✳✷✸✮ ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✷✷✮ ✈➭ ✭✶✳✷✸✮ t❛ ❝ã ✭✶✳✷✵✮✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ tõ ✭✶✳✶✾✮ ✈➭ ✭✶✳✷✵✮✱ t❛ ❝ã Nf1 (r, Hj ) + Nfn (r, Hk ) − Gk T (r) − Nfn (r, Hl ) + Gl + O(1) j ✭✶✳✷✹✮ ❈❤ó ý r➺♥❣ Nfn (r, Hk ) = nNf1 (r, Hk ) − Fk ; Nfn (r, Hl ) = nNf1 (r, Hl ) − Fl , ❜ë✐ ✈❐② tõ ✭✶✳✷✹✮ t❛ ❝ã ✭✶✳✶✽✮✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝đ❛ ♠Ư♥❤ ➤Ị✳ ✷✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ◆➝♠ ✷✵✶✵✱ ❈❤❡♥ ✈➭ ❨❛♥ ✭❬✷❪✮ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✽✳ ❈❤♦ f, g : Cn −→ PN (C) ❧➭ ❤❛✐ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ♠➲♥ Hj , dim f −1 (Hi ∩ Hj ) j q, ❧➭ q s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t t❤á❛ n − ❢♦r i = j ✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ E f (Hj ) ⊂ E g (Hj ), j = 1, 2, , q download by : skknchat@gmail.com ✸✼ ✈➭ f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ q −1 j=1 f (Hj )✳ ◆Õ✉ 2N +3 r−→+∞ ❑❤✐ ➤ã 2N +3 Nf1 (r, Hj )/ lim inf q = 2N + ✈➭ j=1 Ng1 (r, Hj ) > j=1 N N +1 f ≡ g✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✽ ❝❤♦ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❣å♠ 2n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ n N q✉➳t tr ị ột ỉ ì từ C ✈➭♦ P (C)✳ ➜è✐ ✈í✐ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ♥➝♠ ✷✵✶✸✱ ❍✳ ❚✳ P❤➢➡♥❣ ✈➭ ❚✳ ❍✳ ▼✐♥❤ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ ✭❬✻❪✮✳ ❈❤♦ H = {H1 , , Hq } ❧➭ ♠ét ❤ä ❣å♠ q s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ f, g : ∆ −→ Pn (C) ❧➭ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ 1 = O(Tf (r)), log = R0 − r R0 − r O(Tg (r)) ❦❤✐ r −→ R0 ♥Õ✉ R0 < +∞✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤á❛ ♠➲♥ log ❛✮ E f (Hi ) ∩ E f (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}❀ ❜✮ E f (Hj ) ⊂ E g (Hj ) ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, 2, , q ✈➭ z ∈ E f (H)✳ ❝✮ ◆Õ✉ lim inf r−→R0 q j=1 Nf (r, Hj )/ q j=1 Ng (r, Hj ) > f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ n n+1 2n + t❤× f ≡ g ✳ q ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ ❜➺♥❣ ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣✱ ❣✐➯ sư r➺♥❣ f ≡ g ✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ s➽♣ ①Õ♣ ❧➵✐ ❝➳❝ ❝❤Ø sè t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ H = H1 ∪ H2 ∪ · · · ∪ Hk , tr♦♥❣ ➤ã H1 = {H1 , , Hs1 }✱ H2 = {Hs1 +1 , , Hs2 }✱ {Hsk−1 +1 , , Hsk }✱ sk = q ✱ t❤á❛ ♠➲♥ (f, Hk ) (f, Hl ) ≡ (g, Hk ) (g, Hl ) ♥Õ✉ Hk , Hl ∈ Hj , j k, ✈➭ (f, Hk ) (f, Hl ) ≡ (g, Hk ) (g, Hl ) download by : skknchat@gmail.com ✱ Hk = ✸✽ ♥Õ✉ Hk , Hl t❤✉é❝ ❝➳❝ ❤ä ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt s✉② r ọ H s tr ỗ ọ ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ Hj ♥❤✐Ị✉ ♥❤✃t ❧➭ n✳ f ≡ g t❛ s✉② r❛ sè ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➳♥❤ ①➵ p : {1, , q} −→ {1, , q} ❜ë✐ i + n, i + n − q, p(i) = ❑❤✐ ➤ã i + n q, ✐❢ i + n > q ✐❢ p ❧➭ s♦♥❣ ➳♥❤✳ ❈è ➤Þ♥❤ i ∈ {1, , q}✱ Hi t❤❡♦ r➺♥❣ ✈➭ Hp(i) j z0 ∈ E f (H)✳ |p(i) − i| ✈× q > 2n✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❦Ð♦ (f, Hi ) (g, Hi ) − ≡ (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) q ✱ j = p(i)✱ ❚õ n t❤✉é❝ ọ ó i = ỗ t❛ ❝ã f (z) = g(z) ♥Õ✉ z0 ✈í✐ ♠ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ z ∈ E f (H)✱ t❛ ❝ã (f, Hj ) t❤× f (z0 ) = g(z0 )✱ ❞♦ ➤ã (f, Hi )(z0 ) = (g, Hi )(z0 ) ❱➭ tõ E f (Hj ) ∩ E f (Hp(i) ) = ∅✱ t❛ ❝ã (f, Hp(i) )(z0 ) = (g, Hp(i) )(z0 ) = ➜✐Ò✉ ➤ã ❦Ð♣ t❤❡♦ z0 ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ Φi ◆❤➢ ✈❐② q Nf1 (r, Hj ) − Nf1 (r, Hp(i) ) j=1 N0 (r, ) Φi ✭✶✳✷✺✮ ◆❣♦➭✐ r❛ t❛ t❤✃② r➺♥❣ N0 (r, ) Φi T0 (r, ) = T0 (r, Φi ) + O(1) = N0 (r, Φi ) + m0 (r, Φi ) + O(1) Φi download by : skknchat@gmail.com ✸✾ ❱➭ N0 (r, Φi ) m0 (r, Φi ) 1 , }, (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) (g, Hi ) (f, Hi ) + m0 r, + O(1) m0 r, (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) (f, Hi ) (g, Hi ) T0 r, + T0 r, − N0 r, (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) (f, Hp(i) ) + O(1) − N0 r, (g, Hp(i) ) N0 (r, Ψ), tr♦♥❣ ➤ã Ψ = max{ ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✻ t❛ ❝ã m0 (r, Φi ) ❚õ Tf (r) + Tg (r) − N0 r, (f, Hp(i) ) − N0 r, (g, Hp(i) ) + O(1) E f (Hp(i) ) ⊂ E g (Hp(i) )✱ t❛ ❝ã N0 r, (f, Hp(i) ) + N0 r, (g, Hp(i) ) − N0 (r, Ψ) Nf1 (r, Hp(i) ) ❇ë✐ ✈❐② ✭✶✳✷✺✮ trë t❤➭♥❤ q Nf1 (r, Hj ) T (r) + O(1), ✭✶✳✷✻✮ j=1 tr♦♥❣ ➤ã T (r) = Tf (r) + Tg (r) ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✼ ✈➭ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ t❛ ❝ã q Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) (q − n − 1)Tf (r) j=1 q n−1 nNf1 (r, Hj ) = − j=1 (n − k)N f,=k (r, Hj ) k=1 + o(Tf (r)) ❚➢➡♥❣ tù ❝❤♦ g ✱ t❛ ❝ã q n−1 nNg1 (r, Hj ) (q − n − 1)Tg (r) j=1 − (n − k)N g,=k (r, Hj ) k=1 + o(Tg (r)) download by : skknchat@gmail.com ỗ j {1, 2, , n}✱ t❛ ➤➷t n−1 n−1 (n − k)N f,=k (r, Hj ); Fj = (n − k)N g,=k (r, Hj ) Gj = k=1 k=1 ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã q (q − n − 1)T (r) q Nf1 (r, Hj ) n + Ng1 (r, Hj ) − j=1 (Fj + Gj ) j=1 ✭✶✳✷✼✮ + o(T (r)) ❚õ ệ ề ỗ i {1, , q}✱ t❛ ❝ã nNf1 (r, Hi ) + nNf1 (r, Hp(i) ) + Nf1 (r, Hj ) ✭✶✳✷✽✮ j∈{1, ,q}\{i,p(i)} T (r) + Fi + Fp(i) + Gi + Gp(i) + O(1) ▲✃② tỉ♥❣ ❝đ❛ ✭✶✳✷✽✮ tr➟♥ ❝➳❝ ❝❤Ø sè i ∈ {1, , q}✱ t❛ ❝ã q q Nf1 (r, Hi ) n + Nf1 (r, Hp(i) ) Nf1 (r, Hj ) + (q − 2) i=1 ✭✶✳✷✾✮ j=1 q Fi + Fp(i) + Gi + Gp(i) + O(1) qT (r) + i=1 ❚õ p ❧➭ s♦♥❣ ➳♥❤✱ ✭✶✳✷✾✮ trë t❤➭♥❤ q q Nf1 (r, Hj ) (q + 2n − 2) Fj + Gj + O(1) qT (r) + j=1 j=1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ q + 2n − 2 q Nf1 (r, Hj ) j=1 q − T (r) + O(1) q Fj + Gj ✭✶✳✸✵✮ j=1 ❚õ ✭✶✳✷✼✮ ✈➭ ✭✶✳✸✵✮✱ t❛ ❝ã q (q − n − 1)T (r) Nf1 (r, Hj ) + Ng1 (r, Hj ) n j=1 q + 2n − − q q Nf1 (r, Hj ) + T (r) + o(T (r)) j=1 download by : skknchat@gmail.com ✹✶ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ q − 2n − T (r) 2−q q q Nf1 (r, Hj ) Ng1 (r, Hj ) + o(T (r)) +n j=1 j=1 ❉♦ ➤ã T (r) 2−q q − 2n − q Nf1 (r, Hj ) j=1 2n + q − 2n − q Ng1 (r, Hj ) j=1 + o(T (r)) ✭✶✳✸✶✮ ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✷✻✮ ✈➭ ✭✶✳✸✶✮✱ t❛ ❝ã q q n q−n−2 Nf1 (r, Hj ) j=1 Ng1 (r, Hj ) + o(T (r)) j=1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ q q Nf1 (r, Hj )/ lim inf r−→R0 ◆Õ✉ t❛ ❧✃② q j=1 Ng1 (r, Hj ) j=1 n q−n−2 2n + t❤× q lim inf r−→R0 q Nf1 (r, Hj )/ j=1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ◆❤➢ ✈❐② Ng1 (r, Hj ) j=1 n n+1 f = g download by : skknchat@gmail.com ✹✷ ❑Õt ❧✉❐♥ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ố trị rt ỉ ì tr ❆♥♥✉❧✐ ✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ♥➭② tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ị t❐♣ ị t ỉ ì ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠✿ ✶✮ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠✱ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ❝➳❝ ỉ ì tr tr trờ ợ ụ t✐➟✉ ❧➭ ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ✷✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ị ✈✃♥ ➤Ị ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ỉ ì tr tr trờ ợ ụ t ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❝è ➤Þ♥❤ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ị ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♠í✐ ❞õ♥❣ ❧➵✐ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❝è ➤Þ♥❤✳ ❚r♦♥❣ t➢➡♥❣ ❧❛✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ t✐Õ♣ ❝➳❝ ết q tr tr trờ ợ s t ố ị ❤❛② ❞✐ ➤é♥❣✳ download by : skknchat@gmail.com ✹✸ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❈❛♦ ❚✳ ❇✳ ❛♥❞ ❉❡♥❣ ❩✳ ❙✳ ✭✷✵✶✷✮✱ ❖♥ t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t s❤❛r❡ t❤r❡❡ ♦r t✇♦ ❢✐♥✐t❡ s❡ts ♦♥ ❛♥♥✉❧✐✱ Pr♦❝ ■♥❞✐❛♥ ❆❝❛❞ ❙❝✐ ✭▼❛t❤ ❙❝✐✮✱ ✶✷✷✱ ◆♦ ✷✿ ✷✵✸✲✷✷✵✳ ❬✷❪ ❈❤❡♥ ❩✳ ❨✳ ❛♥❞ ❨❛♥ ◗✳ ▼✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ❆ ♥♦t❡ ♦♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ♠❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤ 2N + ❤②♣❡r♣❧❛♥❡s✱ ❙❝✐✳ ❈❤✐♥❛ ▼❛t❤✳ ❱♦❧✳ ✺✸✱ ◆♦✳ ✶✵✱ ✷✻✺✼✲✷✻✻✸✳ ❬✸❪ ❋✉❥✐♠♦t♦ ❍✳ ✭✶✾✼✺✮✱ ❚❤❡ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ♠❛♣s ✐♥t♦ ❝♦♠♣❧❡① ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ s♣❛❝❡✱ ■✱ ◆❛❣♦②❛ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✺✽ ✶✲✷✸✳ ❬✹❪ ❑❤r②st✐②❛♥②♥ ❆✳ ❨✳ ❛♥❞ ❑♦♥❞r❛t②✉❦ ❆✳ ❆✳ ✭✷✵✵✺✮✱ ❖♥ t❤❡ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ t❤❡♦r② ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐s ■✱ ▼❛t❡♠❛t②❝❤♥✐ ❙t✉❞✐✐✱ ❱♦❧✳ ✷✸✱ ◆♦✳ ✶✱ ✶✾✲✸✵✳ ❬✺❪ ❑❤r②st✐②❛♥②♥ ❆✳ ❨✳ ❛♥❞ ❑♦♥❞r❛t②✉❦ ❆✳ ❆ ✭✷✵✵✺✮✱ ❖♥ t❤❡ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ t❤❡♦r② ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐ ■■✱ ▼❛t❡♠❛t②❝❤♥✐ ❙t✉❞✐✐✱ ✷✹✿ ✺✼✲✻✽✳ ❬✻❪ P❤✉♦♥❣ ❍✳ ❚✳ ❛♥❞ ▼✐♥❤ ❚✳ ❍✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝✉r✈❡s ♦♥ ❛♥♥✉❧✉s s❤❛r✐♥❣ ❆ ✉♥✐q✉❡♥❡ss t❤❡♦r❡♠ ❢♦r 2n + ❤②♣❡r♣❧❛♥❡s✱ ❱✐❡t◆❛♠ ❥♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤✳ ✹✶✱ ✶✻✼✲✶✼✾✳ ❬✼❪ P❤✉♦♥❣ ❍✳ ❚✳ ❛♥❞ ❚❤✐♥ ◆✳ ❱✳ ✭✷✶✵✺✮✱ ❖♥ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝✉r✈❡s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ❯❝r❛✐♥✐❛♥ ▼❛t❤✳ ❏♦✉r✳✱ ❱♦❧✳ ✻✼✱ ◆♦ ✳ ✵✼✱ ♣♣ ✶✵✷✼✲✶✵✹✵✳ ❬✽❪ P❤✉♦♥❣ ◆✳ ❱✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ❯♥✐q✉❡♥❡ss t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝✉r✈❡s ♦♥ ❛♥♥✉❧✉s s❤❛r✐♥❣ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡s✱ ❚❤❛✐ ◆❣✉②❡♥ ❥♦✉r♥❛❧ ♦❢ s❝✐❡♥❡ ❛♥❞ t❡❝❤♥♦❧♦❣② ✶✶✸✱ ✸✾✲✹✺✳ ❬✾❪ ❚❛♥ ❨✳ ❛♥❞ ❩❛♥❣ ◗✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❖♥ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❛❧❣❡❜r♦✐❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ❚✉r❦✐s❤ ❏♦✉r✳ ♦❢ ▼❛t❤✳✱ ❱♦❧✳ ✸✾✱ ✸✾✸✲✸✶✷✳ download by : skknchat@gmail.com ... SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỐM 2N + SIÊU PHẲNG Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... − − 2n2 ) + (q − qn − n − 1) lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) ✭✶✳✽✮ ◆Õ✉ r❛ ❝❤ä♥ k> tr♦♥❣ ➤ã (qn + k0 + n + − q) , q − n − − 2n2 Of (r) + Og (r) ✱ t❤× tõ ❣✐➯ t❤✐Õt q 2n2 + n + r−→R0... + 1)(k + 1))Tg (r) ✭✶✳✶✶✮ nk(Tf (r) + Tg (r)) + Og (r) ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✶✵✮ ✈➭ ✭✶✳✶✶✮✱ t❛ ❝ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))(Tf (r) + Tg (r)) 2nk(Tf (r) + Tg (r)) + Of (r) + Sr (r) ❑Ð♦ t❤❡♦ q(k + − n)