Tập duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên annuli gồm 2n 3 siêu phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỒM 2N + SIÊU PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỐM 2N + SIÊU PHẲNG Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn BOUNPONE PHETBOUNHEUANG i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Savannakhet CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn BOUNPONE PHETBOUNHEUANG ii ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✶ ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ✸ ✶✳✶ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ✶✳✷ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✷ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳✶ ▼ét sè ♠Ư♥❤ ➤Ị ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐ ✷✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❤➢➡♥❣ ị ý t ỉ ì ❣å♠ ✷♥✰✸ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ✷✹ ✷✳✶ ▼ë ➤➬✉ ✈Ò ✈✃♥ ➤Ị ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ✷✳✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❜ỉ ➤Ị ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✶✳✷ ▼ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ✷✼ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❣å♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 2n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✷✳✶ ▼ét sè ♠Ư♥❤ ➤Ị ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ✸✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑Õt ❧✉❐♥ ✹✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✸ ✶ ▼ë ➤➬✉ ▼ét ø♥❣ ❞ơ♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✭❝ị♥❣ ♥❤➢ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✮ t❤➠♥❣ q ợ ủ ột ề t ữ ♣❤➬♥ tư✳ ❱✃♥ ➤Ị ♥➭② ❝ị♥❣ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝✿ ❘✳ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❍✳ ❋✉❥✐♠♦t♦✱ ▲✳ ❙♠✐❧❡②✱ ❍✳ ❍✳ ❑❤♦❛✐✱ ●✳ ❉❡t❤❧♦❢❢✱ ❉✳ ❉✳ ❚❤❛✐✱ ❈✳ ❈✳ ❨❛♥❣✱ ▼✳ ❘✉ ✈➭ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝✳ ◆➝♠ ✶✾✷✻✱ ❘✳ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❍❛✐ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♣❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ f, g t❤á❛ ♠➲♥ f −1 (ai ) = g −1 (ai ), i = 1, , 5, t❤× f ≡ g ✳ ◆➝♠ ✶✾✽✷✱ ❋✳●r♦ss ✈➭ ❈✳❈✳ ❨❛♥❣ ➤➲ ❝❤Ø r❛ t❐♣ ❤ỵ♣ T = {z ∈ C|ez + z = 0} ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✭❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ❯❘❙✮ ❝❤♦ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥✳ ❈❤ó ý✱ T t❐♣ ❤ỵ♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ tr➟♥ ❝❤ø❛ ✈➠ sè ♣❤➬♥ tư✳ ◆➝♠ ✶✾✾✹✱ ❍✳❨✐ ➤➲ ①Ðt t❐♣ SY = {z ∈ C|z n + az m + b = 0}✱ ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❜é✐ ✈➭ ↕♥❣ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ SY tr♦♥❣ ➤ã n ≥ 15, n > m ≥ 5✱ a, b z n + az m + b = ❧➭ ❯❘❙ ❝❤♦ ✈➭ ▼✳❘❡✐♥❞❡rs ❝❤Ø r❛ ♠ét ✈Ý ❞ơ ✈Ị ❯❘❙ ❝❤♦ A(C)✳ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ◆➝♠ ✶✾✾✽✱ ●✳ ❋r❛♥❦ M(C)✳ ➜è✐ ✈í✐ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✱ ♥➝♠ ✶✾✼✺✱ ❍✳ ❋✉❥✐♠♦t♦ ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ❝đ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤ ♣❤ø❝✱ ❝❤♦ t❤✃② tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❦Ĩ ❝➯ ❜é✐ ❣å♠ 3n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ❝❤♦ ❤ä ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♣❤ø❝ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❱Ò s❛✉ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭②✳ ❚r♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❣➬♥ ➤➞②✱ ❝ã ♠ét sè ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝ ề ố trị ì tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ tr♦♥❣ C ➤➢ỵ❝ ❝➠♥❣ ❜è✳ ◆➝♠ ✷✵✵✺✱ ❆✳ ❨✳ ❑❤r②st✐②❛♥②♥ ✈➭ ❆✳ ❆✳ ❑♦♥❞r❛t②✉❦ ✭❬✹✱ ✺❪✮ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ q ệ số ết s ó ữ trì ♥➭② ➤➢ỵ❝ ♠ë ré♥❣ ❜ë✐ ❚✳ ❇✳ ❈❛♦✱ ❩✳ ❙✳ ✷ ❉❡♥❣ tr♦♥❣ ❬✶❪ ✈➭ ❜ë✐ ❨✳ ❚❛♥✱ ◗✳ ❩❤❛♥❣ tr♦♥❣ ❬✾❪✳ ◆➝♠ ✷✵✶✺✱ ❍✳ ❚✳ P❤➢➡♥❣ ✈➭ ◆✳ ❱✳ ❚❤×♥ ✭❬✼❪✮ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ố trị ỉ ì tr ết ợ ột ọ ữ s ♣❤➻♥❣✳ ❉ù❛ tr➟♥ ♥❤÷♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭②✱ ❍✳ ❚✳ P❤➢➡♥❣ ✈➭ ❚✳ ❍✳ ▼✐♥❤ ✭❬✻❪✮ ✈à ◆❣✉②Ơ♥ ❱✐Ưt P❤➢➡♥❣ ✭❬✽❪✮ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✳ ❱í✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t×♠ ❤✐Ĩ✉ ✈Ị ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ä♥ ➤Ị t➭✐ ✧❚❐♣ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ❣å♠ ✷♥✰✸ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✧✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ị ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ì tr ợ ố t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❣➬♥ ➤➞②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✱ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ♥Ị♥ t➯♥❣ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝❤Ý♥❤ tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❚r♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈✃♥ ➤Ò ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ỉ ì tr ợ ố ❚✳ P❤➢➡♥❣✱ ❚✳ ❍✳ ▼✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✻❪ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❱✐Ưt P❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❬✽❪✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✹ ♥➝♠ ✷✵✶✻ ❚➳❝ ❣✐➯ ✸ ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trị ỉ ì tr tết ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ị ✈✃♥ ➤Ị ❞✉② ♥❤✃t tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞ù❛ tr➟♥ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✼❪✳ ✶✳✶ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ✶✳✶✳✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ị ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐ ❈❤♦ R0 > ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ ❤♦➷❝ +∞✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ ∆= z∈C: ❧➭ ♠ét ❆♥♥✉❧✐ tr♦♥❣ C✳ < |z| < R0 , R0 ỗ số tự r tỏ ♠➲♥ < r < R0 ✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ < |z| , r = z ∈ C : < |z| < r ∆1,r = z ∈ C : ∆2,r ✈➭ ∆r = z ∈ C : ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ < |z| < r r ∆✱ tø❝ ❧➭ f ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ∆ trõ r❛ ✹ ♠ét sè ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t t❤➢ê♥❣ ❝ù❝ ➤✐Ó♠✱ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ 2π m r, f −a = 2π log+ dθ, |f (reiθ ) − a| 2π m(r, f ) = m(r, ∞) = 2π log+ |f (reiθ )|dθ, tr♦♥❣ ➤ã log+ x = max{0, log x}, a ∈ C ✈➭ r ∈ (R0−1 ; R0 )✳ ❱í✐ ♠ét sè t❤ù❝ r ∈ (1, R0 )✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ 1 1 = m r, +m , , f −a f −a r f −a m0 (r, f ) = m(r, f ) + m(r−1 , f ) m0 r, ❑❤✐ ➤ã ❤➭♠ m0 r, a ∈ C✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ n1 t, f −a f −a ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ①✃♣ ①Ø ❤❛② ❤➭♠ ❜ï ❝đ❛ ❧➭ sè ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ f t➵✐ f − a tr♦♥❣ {z ∈ C : ❧➭ sè ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ f − a tr♦♥❣ {z ∈ f −a C : < |z| < t}❀ n1 (t, ∞) ❧➭ sè ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ {z ∈ C : t < |z| 1} t < |z| ✈➭ 1} n2 t, n2 (t, ) ỗ số ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ {z ∈ C : < |z| < t} r (1 < r < R0 )✱ t❛ ➤➷t N1 r, f −a = t 1/r r N2 r, f −a ) n1 (t, f −a = n2 (t, f −a ) t dt, dt, ✈➭ N1 (r, f ) = N1 (r, ∞) = 1/r r N2 (r, f ) = N2 (r, ∞) = n1 (t, ∞) dt, t n2 (t, ∞) dt t ❝đ❛ f✳ ❱í✐ ✺ ❑Ý ❤✐Ö✉ 1 = N1 r, + N2 r, f −a f −a f −a N0 (r, f ) = N1 (r, f ) + N2 (r, f ) N0 r, N0 (r, f ) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ➤Õ♠ t➵✐ ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ f ❦Ĩ ❝➯ ❜é✐✱ ❤➭♠ N0 r, ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤Õ♠ t➵✐ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❦Ĩ ❝➯ ❜é✐ ❝đ❛ f − a✳ f −a ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ T0 (r, f ) ❝đ❛ f ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ ❍➭♠ T0 (r, f ) = m0 (r, f ) − 2m(1, f ) + N0 (r, f ) ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ “ ” tr♦♥❣ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ✈í✐ R0 = +∞✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ r ∈ (1, +∞) ♥➺♠ ♥❣♦➭✐ ♠ét t❐♣ ∆r rλ−1 dr < +∞, ✈➭ ✈í✐ R0 < +∞✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤ó♥❣ ➤è✐ ✈í✐ dr < +∞✱ r ∈ (1, R0 ) ♥➺♠ ♥❣♦➭✐ ♠ét t❐♣ ∆r t❤á❛ ♠➲♥ ∆ r (R − r)λ+1 tr♦♥❣ ➤ã λ t❤á❛ ♠➲♥ ∆r ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ❝đ❛ ị ý s ì tr ệ ề ó ỗ f ột ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ tr➟♥ N0 ❑❤✐ r ∈ (1, R0 )✱ t❛ ❝ã 2π r, f ∆✳ 2π log |f (reiθ )|dθ + 2π − N0 (r, f ) = 2π log |f (r−1 eiθ )|dθ 2π − π log |f (eiθ )|dθ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷ ✭❬✹❪✮✳ ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ r ∈ (1, R0 )✱ t❛ ❝ã 2π T0 (r, f ) = 2π N0 r, f − eiθ ∆✳ ❑❤✐ ➤ã ỗ ề é t Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2n2 k ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ sè t❤ù❝ r ➤đ ❧í♥✳ ❈❤♦ r −→ R0 q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2n2 k t❛ ❝ã lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) < +∞ Tf (r) + Tg (r) ➜✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ k(q − n − − 2n2 ) + (q − qn − n − 1) lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) ✭✶✳✽✮ ◆Õ✉ r❛ ❝❤ä♥ k> tr♦♥❣ ➤ã (qn + k0 + n + − q) , q − n − − 2n2 Of (r) + Og (r) ✱ t❤× tõ ❣✐➯ t❤✐Õt q 2n2 + n + r−→R0 Tf (r) + Tg (r) ◆❤➢ ✈❐② fi gj ≡ fj gi ỗ i = j {0, , n}✱ tø❝ k0 = lim inf ❝ã ♠➱✉ t❤✉➱♥✳ t❛ ❧➭ f ≡ g ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✳ ❈❤♦ H = {H1 , , Hq } ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ ❧➭ ♠ét ❤ä ❣å♠ f, g : ∆ −→ Pn (C) 3n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤á❛ ♠➲♥ ✭❛✮ f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ E f (H) ∪ E g (H)✱ ✭❜✮ E f (Hi ) ∩ E f (Hj ) = ∅ ✈➭ E g (Hi ) ∩ E g (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}✱ 1 ✭❝✮ log = O(Tf (r)), log = O(Tg (r)) ❦❤✐ r −→ R0 ♥Õ✉ R0 − r R0 − r R0 < +∞✳ ❑❤✐ ➤ã f ≡ g✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ sư f ≡ g✱ ❚❛ ❝ị♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺ ❜➺♥❣ ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣✳ ●✐➯ ❦❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❤❛✐ ❝❤Ø sè fi1 gi2 ≡ fi2 gi1 ✳ ●ä✐ k i1 , i2 ∈ {0, , n}, i1 = i2 s❛♦ ❝❤♦ ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t❛ sÏ ❝❤ä♥ s❛✉✳ ❱í✐ ❝➳❝ ✸✵ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✱ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶ t❛ ❝ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))Tf (r) ✭✶✳✾✮ q Nf,1 k (r, Hj ) + Of (r), nk j=1 ỗ Hj H ọ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ r t❤á❛ ♠➲♥ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã E f (Hi ) ∩ E f (Hj ) = ỗ i = j ∈ {1, , q}✳ ▲❐♣ ❧✉❐♥ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹✱ t❛ ❝ã q Nf,1 k (r, Hj ) j=1 N0 (r, ) h Tf (r) + Tg (r) + Of (r) h = fi1 gi2 − fi2 gi1 ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ tr♦♥❣ ➤ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))Tf (r) ✭✶✳✶✵✮ nk(Tf (r) + Tg (r)) + Of (r) ❚➢➡♥❣ tù ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ g t❛ ❝ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))Tg (r) ✭✶✳✶✶✮ nk(Tf (r) + Tg (r)) + Og (r) ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✶✵✮ ✈➭ ✭✶✳✶✶✮✱ t❛ ❝ã (q(k + − n) − (n + 1)(k + 1))(Tf (r) + Tg (r)) 2nk(Tf (r) + Tg (r)) + Of (r) + Sr (r) ❑Ð♦ t❤❡♦ q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2nk Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) ✸✶ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ sè t❤ù❝ r✳ ❈❤♦ r −→ R0 q(k + − n) − (n + 1)(k + 1) − 2nk t❛ ❝ã lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) < +∞ Tf (r) + Tg (r) ➜✐Ị✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ k(q − 3n − 1) + (q − qn − n − 1) lim inf r−→R0 Of (r) + Og (r) Tf (r) + Tg (r) ✭✶✳✶✷✮ ◆Õ✉ t❛ ❝❤ä♥ k> (qn + k0 + n + − q) , q − 3n − Of (r) + Og (r) ✱ t❤× tõ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ q 3n + t❛ r−→R0 Tf (r) + Tg (r) sÏ ❝ã ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❚õ fi gj ≡ fj gi ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {0, , n}✱ tø❝ ❧➭ f ≡ g ✳ tr♦♥❣ ➤ã k0 = lim inf ị ý ợ ứ ú ý ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✹ ✈➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺ ❧➭ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ♥ã ❝❤♦ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➵✐ sè ➤Ĩ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ trï♥❣ ♥❤❛✉✳ ❈ã t❤Ó t❤✃②✱ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✺✱ sè ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❧➭ 3n + trï♥❣ ✈í✐ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❋✉❥✐♠♦t♦✳ ✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ❣å♠ 2n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ✷✳✷✳✶ ▼ét sè ♠Ư♥❤ ➤Ị ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✻ ✭❬✻❪✮✳ ❈❤♦ f : ∆ −→ Pn (C) ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ H1 , H2 ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❧➭ ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã T0 r, ✈í✐ ♠ä✐ r t❤á❛ ♠➲♥ (f, H1 ) (f, H2 ) < r < R0 ✳ Tf (r) + O(1) ✭✶✳✶✸✮ ✸✷ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ T0 r, ❚❛ ❝ã (f, H1 ) (f, H2 ) = m0 r, (f, H1 ) (f, H2 ) + N0 r, + O(1) ✭✶✳✶✹✮ 2π 2π log+ = (f, H1 ) (f, H2 ) (f, H1 ) iθ dθ (re ) + (f, H2 ) 2π (f, H1 ) −1 iθ dθ (r e ) (f, H2 ) 2π 0 + N0 r, log+ (f, H2 ) + O(1) ❚õ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✱ t❛ ❝ã 2π N0 r, (f, H2 ) log |(f, H2 )(reiθ )| dθ 2π ✭✶✳✶✺✮ 2π log |(f, H2 )(r−1 eiθ )| + dθ + O(1) 2π ❍➡♥ ♥÷❛ 2π 2π log+ (f, H1 ) iθ dθ (re ) + (f, H2 ) 2π log |(f, H2 )(reiθ )| dθ 2π ✭✶✳✶✻✮ 0 2π 2π = |(f, H1 )(reiθ )| + |(f, H2 )(reiθ )| dθ log+ + |(f, H2 )(reiθ )| 2π |(f, H1 )(reiθ )| + |(f, H2 )(reiθ )| dθ log + |(f, H2 )(reiθ )| 2π 2π log |(f, H2 )(reiθ )| log |(f, H2 )(reiθ )| dθ 2π 2π log max{|f0 (reiθ )|, |f1 (reiθ )|, , |fn (reiθ )|} dθ 2π 2π log(|(f, H1 )(reiθ )| + |(f, H2 )(reiθ )|) = 2π dθ + O(1) 2π dθ 2π ✸✸ ❚➢➡♥❣ tù t❛ ❝ã 2π 2π (f, H1 ) −1 iθ dθ (r e ) + (f, H2 ) 2π log+ log |(f, H2 )(r−1 eiθ )| dθ 2π ✭✶✳✶✼✮ 2π log max{|f0 (r−1 eiθ )|, |f1 (r−1 eiθ )|, , |fn (r−1 eiθ )|} dθ + O(1) 2π ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✶✹✮✱ ✭✶✳✶✺✮✱ ✭✶✳✶✻✮ ✈➭ ✭✶✳✶✼✮✱ t❛ ❝ã ✭✶✳✶✸✮✳ ❱í✐ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ f, g : ∆ −→ Pn (C) tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ T (r) = Tf (r) + Tg (r) ✈➭ n−1 n−1 (n − t)N f,=t (r, Hj ); Fj = t=1 t=1 ✈í✐ ♠ä✐ (n − t)N g,=t (r, Hj ) Gj = j ∈ {1, , q}✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✼ ✭❬✻❪✮✳ ❈❤♦ ë ✈Þ trÝ tæ♥❣ q✉➳t ✈➭ H = {H1 , , Hq } f, g : ∆ −→ Pn (C) ❧➭ ♠ét ❤ä ❣å♠ q s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ ❛✮ E f (Hi ) ∩ E f (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}❀ ❜✮ E f (Hj ) ⊂ E g (Hj ) ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, 2, , q ✈➭ f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ E f (H)✳ n r−→R0 n+1 (f, Hk ) (g, Hk ) ❑❤✐ ó ỗ k = l {1, , q} t❤á❛ ♠➲♥ Φ = − ≡ 0, (f, Hl ) (g, Hl ) ❝✮ lim inf q j=1 Nf (r, Hj )/ q j=1 Ng (r, Hj ) > t❛ ❝ã nNf1 (r, Hk ) + nNf1 (r, Hl ) + Nf1 (r, Hj ) ✭✶✳✶✽✮ j T (r) + Fk + Fl + Gk + Gl + O(1), ỗ r s {1, , q}\{k, l}✳ < r < R0 ✱ tr♦♥❣ ➤ã tỉ♥❣ ➤➢ỵ❝ ❧✃② tr➟♥ j ∈ ✸✹ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ Nf1 (r, Hj ) + Nfn (r, Hk ) − Gk N0 (r, j∈{1, ,q}\{k,l} ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ f (z) = g(z) z0 ∈ ) Φ ✭✶✳✶✾✮ {z ∈ ∆r : (f, Hj )(z) = 0} j{1, ,q}\{k,l} ỗ z ∈ f (Hj ) ✈➭ ❦❤✐ ➤ã tõ f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}✱ t❛ ❝ã (f, Hk )(z0 ) = λ(g, Hk )(z0 ) = 0, ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ ◆Õ✉ (f, Hl )(z0 ) = λ(g, Hl )(z0 ) = Φ(z0 ) = 0✱ ❜ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : (f, Hk )(z) = 0} ⊂ {z ∈ ∆r : (g, Hk )(z) = 0}✳ ❚❛ ❝ã {z ∈ ∆r :(f, Hk )(z) = 0} = {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) 1} = {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = 1} ∪ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = 2} ∪ ∪ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = n − 1} ∪ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) n} ❚❛ ①❡♠ ①Ðt ❜❛ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛✿ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = 1}✳ ❑❤✐ ➤ã min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} = = min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} νΦ (z0 ) ❇ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) = α}✱ tr♦♥❣ ➤ã ◆Õ✉ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β α n − 1✳ α}✱ t❤× min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} = α = min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} νΦ (z0 ) ❇ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ◆Õ✉ νΦ (z0 ) z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β < α}✱ t❤× min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} = β = α − (α − β) > α − (n − β) = min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} − (n − β) min{ν(g,Hk ) (z0 ), 1} ❚❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ✸✺ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✸✳ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(f,Hk ) (z) ◆Õ✉ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} = n n}✳ n}✱ t❤× min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} νΦ (z0 ) ❇ë✐ ✈❐② t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ◆Õ✉ z0 ∈ {z ∈ ∆r : ν(g,Hk ) (z) = β < n}✱ t❤× νΦ (z0 ) min{ν(f,Hk ) (z0 ), ν(g,Hk ) (z0 )} = β = n − (n − β) = min{ν(f,Hk ) (z0 ), n} − (n − β) min{ν(g,Hk ) (z0 ), 1} ❚õ ➤ã t❛ ❝ã ✭✶✳✶✾✮✳ ❚❛ ❝ã N0 (r, ) Φ T (r) − Nfn (r, Hl ) + Gl + O(1) ✭✶✳✷✵✮ ❙ư ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✹ t❛ ❝ã N0 (r, ) Φ T0 (r, ) Φ T0 (r, Φ) + O(1) = N0 (r, Φ) + m0 (r, Φ) + O(1) ✭✶✳✷✶✮ ◆❣♦➭✐ r❛ m0 (r, Φ) (f, Hk ) (g, Hk ) + m0 r, + O(1) (f, Hl ) (g, Hl ) (f, Hk ) (g, Hk ) T0 r, + T0 r, − N0 r, (f, Hl ) (g, Hl ) (f, Hl ) − N0 r, + O(1) (g, Hl ) m0 r, ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✻ t❛ ❝ã m0 (r, Φ) tr♦♥❣ ➤ã N0 (r, ) Φ T (r) − N0 r, (f, Hl ) − N0 r, (g, Hl ) + O(1), T (r) = Tf (r) + Tg (r) ❑❤✐ ➤ã ✭✶✳✷✶✮ trë t❤➭♥❤ T (r) − N0 r, (f, Hl ) − N0 r, (g, Hl ) + N0 (r, Φ) + O(1) ✭✶✳✷✷✮ ✸✻ ❚❛ t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉ ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ z0 ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❤♦➷❝ (g, Hl ) t❤× z0 ❧➭ Φ ✈➭ νΦ∞ (z0 ) tr♦♥❣ ➤ã (f, Hl ) max{ν(f,Hl ) (z0 ), ν(g,Hl ) (z0 )}, νΦ∞ (z0 ) ❧➭ ❜❐❝ ❝ñ❛ ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ Φ t➵✐ z0 ✳ ❉♦ ➤ã ν(f,Hl ) (z0 ) + ν(g,Hl ) (z0 ) − νΦ∞ (z0 ) ν(f,Hl ) (z0 ) + ν(g,Hl ) (z0 ) − max{ν(f,Hl ) (z0 ), ν(g,Hl ) (z0 )} = min{ν(f,Hl ) (z0 ), ν(g,Hl ) (z0 )} ▲❐♣ ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✶✾✮ t❛ ❝ã N0 r, (f, Hl ) + N0 r, (g, Hl ) − N0 (r, Φ) Nfn (r, Hl ) − Gl ✭✶✳✷✸✮ ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✷✷✮ ✈➭ ✭✶✳✷✸✮ t❛ ❝ã ✭✶✳✷✵✮✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ tõ ✭✶✳✶✾✮ ✈➭ ✭✶✳✷✵✮✱ t❛ ❝ã Nf1 (r, Hj ) + Nfn (r, Hk ) − Gk T (r) − Nfn (r, Hl ) + Gl + O(1) j ✭✶✳✷✹✮ ❈❤ó ý r➺♥❣ Nfn (r, Hk ) = nNf1 (r, Hk ) − Fk ; Nfn (r, Hl ) = nNf1 (r, Hl ) − Fl , ❜ë✐ ✈❐② tõ ✭✶✳✷✹✮ t❛ ❝ã ✭✶✳✶✽✮✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝đ❛ ♠Ư♥❤ ➤Ị✳ ✷✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❞✉② ♥❤✃t ◆➝♠ ✷✵✶✵✱ ❈❤❡♥ ✈➭ ❨❛♥ ✭❬✷❪✮ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✽✳ ❈❤♦ f, g : Cn −→ PN (C) ❧➭ ❤❛✐ ➳♥❤ ①➵ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ♠➲♥ Hj , dim f −1 (Hi ∩ Hj ) j q, ❧➭ q s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t t❤á❛ n − ❢♦r i = j ✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ E f (Hj ) ⊂ E g (Hj ), j = 1, 2, , q ✸✼ ✈➭ f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ z ∈ q −1 j=1 f (Hj )✳ ◆Õ✉ 2N +3 r−→+∞ ❑❤✐ ➤ã 2N +3 Nf1 (r, Hj )/ lim inf q = 2N + ✈➭ j=1 Ng1 (r, Hj ) > j=1 N N +1 f ≡ g✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✽ ❝❤♦ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❣å♠ 2n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ n N q✉➳t tr♦♥❣ ị ột ỉ ì từ C P (C)✳ ➜è✐ ✈í✐ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr➟♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ♥➝♠ ✷✵✶✸✱ ❍✳ ❚✳ P❤➢➡♥❣ ✈➭ ❚✳ ❍✳ ▼✐♥❤ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ ✭❬✻❪✮✳ ❈❤♦ H = {H1 , , Hq } ❧➭ ♠ét ❤ä ❣å♠ q s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t ✈➭ f, g : ∆ −→ Pn (C) ❧➭ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➠♥❣ 1 = O(Tf (r)), log = R0 − r R0 − r O(Tg (r)) ❦❤✐ r −→ R0 ♥Õ✉ R0 < +∞✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤á❛ ♠➲♥ log ❛✮ E f (Hi ) ∩ E f (Hj ) = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ i = j ∈ {1, , q}❀ ❜✮ E f (Hj ) ⊂ E g (Hj ) ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, 2, , q ✈➭ z ∈ E f (H)✳ ❝✮ ◆Õ✉ lim inf r−→R0 q q j=1 Nf (r, Hj )/ q j=1 Ng (r, Hj ) > f (z) = g(z) ✈í✐ ♠ä✐ n n+1 2n + t❤× f ≡ g ✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ ❜➺♥❣ ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣✱ ❣✐➯ sư r➺♥❣ f ≡ g ✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ s➽♣ ①Õ♣ ❧➵✐ ❝➳❝ ❝❤Ø sè t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ H = H1 ∪ H2 ∪ · · · ∪ Hk , tr♦♥❣ ➤ã H1 = {H1 , , Hs1 }✱ H2 = {Hs1 +1 , , Hs2 }✱ {Hsk−1 +1 , , Hsk }✱ sk = q ✱ t❤á❛ ♠➲♥ (f, Hk ) (f, Hl ) ≡ (g, Hk ) (g, Hl ) ♥Õ✉ Hk , Hl ∈ Hj , j k, ✈➭ (f, Hk ) (f, Hl ) ≡ (g, Hk ) (g, Hl ) ✱ Hk = ✸✽ ♥Õ✉ Hk , Hl t❤✉é❝ ❝➳❝ ❤ä ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt s✉② r❛ ❤ä H ❝➳❝ s✐➟✉ tr ỗ ọ ị trí tổ qt Hj ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❧➭ n✳ f ≡ g t❛ s✉② r❛ sè ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➳♥❤ ①➵ p : {1, , q} −→ {1, , q} ❜ë✐ i + n, i + n − q, p(i) = ❑❤✐ ➤ã i + n q, ✐❢ i + n > q ✐❢ p ❧➭ s♦♥❣ ➳♥❤✳ ❈è ➤Þ♥❤ i ∈ {1, , q}✱ Hi t❤❡♦ r➺♥❣ ✈➭ Hp(i) j z0 ∈ E f (H)✳ |p(i) − i| ✈× q > 2n✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❦Ð♦ (f, Hi ) (g, Hi ) − ≡ (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) q ✱ j = p(i)✱ ❚õ n t❤✉é❝ ❝➳❝ ❤ä ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ ❞♦ ó i = ỗ t ó f (z) = g(z) ♥Õ✉ z0 ✈í✐ ♠ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ z ∈ E f (H)✱ t❛ ❝ã (f, Hj ) t❤× f (z0 ) = g(z0 )✱ ❞♦ ➤ã (f, Hi )(z0 ) = (g, Hi )(z0 ) ❱➭ tõ E f (Hj ) ∩ E f (Hp(i) ) = ∅✱ t❛ ❝ã (f, Hp(i) )(z0 ) = (g, Hp(i) )(z0 ) = ➜✐Ò✉ ➤ã ❦Ð♣ t❤❡♦ z0 ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ Φi ◆❤➢ ✈❐② q Nf1 (r, Hj ) − Nf1 (r, Hp(i) ) j=1 N0 (r, ) Φi ✭✶✳✷✺✮ ◆❣♦➭✐ r❛ t❛ t❤✃② r➺♥❣ N0 (r, ) Φi T0 (r, ) = T0 (r, Φi ) + O(1) = N0 (r, Φi ) + m0 (r, Φi ) + O(1) Φi ✸✾ ❱➭ N0 (r, Φi ) m0 (r, Φi ) 1 , }, (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) (g, Hi ) (f, Hi ) + m0 r, + O(1) m0 r, (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) (f, Hi ) (g, Hi ) T0 r, + T0 r, − N0 r, (f, Hp(i) ) (g, Hp(i) ) (f, Hp(i) ) + O(1) − N0 r, (g, Hp(i) ) N0 (r, Ψ), tr♦♥❣ ➤ã Ψ = max{ ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✻ t❛ ❝ã m0 (r, Φi ) ❚õ Tf (r) + Tg (r) − N0 r, (f, Hp(i) ) − N0 r, (g, Hp(i) ) + O(1) E f (Hp(i) ) ⊂ E g (Hp(i) )✱ t❛ ❝ã N0 r, (f, Hp(i) ) + N0 r, (g, Hp(i) ) − N0 (r, Ψ) Nf1 (r, Hp(i) ) ❇ë✐ ✈❐② ✭✶✳✷✺✮ trë t❤➭♥❤ q Nf1 (r, Hj ) T (r) + O(1), ✭✶✳✷✻✮ j=1 tr♦♥❣ ➤ã T (r) = Tf (r) + Tg (r) ❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✼ ✈➭ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✾ t❛ ❝ã q Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) (q − n − 1)Tf (r) j=1 q n−1 nNf1 (r, Hj ) = − j=1 (n − k)N f,=k (r, Hj ) k=1 + o(Tf (r)) ❚➢➡♥❣ tù ❝❤♦ g ✱ t❛ ❝ã q n−1 nNg1 (r, Hj ) (q − n − 1)Tg (r) j=1 + o(Tg (r)) − (n k)N g,=k (r, Hj ) k=1 ỗ j ∈ {1, 2, , n}✱ t❛ ➤➷t n−1 n−1 (n − k)N f,=k (r, Hj ); Fj = (n − k)N g,=k (r, Hj ) Gj = k=1 k=1 ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã q (q − n − 1)T (r) q Nf1 (r, Hj ) n + Ng1 (r, Hj ) − j=1 (Fj + Gj ) j=1 ✭✶✳✷✼✮ + o(T (r)) ❚õ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✼✱ ỗ i {1, , q} t❛ ❝ã nNf1 (r, Hi ) + nNf1 (r, Hp(i) ) + Nf1 (r, Hj ) ✭✶✳✷✽✮ j∈{1, ,q}\{i,p(i)} T (r) + Fi + Fp(i) + Gi + Gp(i) + O(1) ▲✃② tỉ♥❣ ❝đ❛ ✭✶✳✷✽✮ tr➟♥ ❝➳❝ ❝❤Ø sè i ∈ {1, , q}✱ t❛ ❝ã q q Nf1 (r, Hi ) n + Nf1 (r, Hp(i) ) Nf1 (r, Hj ) + (q − 2) i=1 ✭✶✳✷✾✮ j=1 q Fi + Fp(i) + Gi + Gp(i) + O(1) qT (r) + i=1 ❚õ p ❧➭ s♦♥❣ ➳♥❤✱ ✭✶✳✷✾✮ trë t❤➭♥❤ q q Nf1 (r, Hj ) (q + 2n − 2) Fj + Gj + O(1) qT (r) + j=1 j=1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ q + 2n − 2 q Nf1 (r, Hj ) j=1 q − T (r) + O(1) q Fj + Gj ✭✶✳✸✵✮ j=1 ❚õ ✭✶✳✷✼✮ ✈➭ ✭✶✳✸✵✮✱ t❛ ❝ã q (q − n − 1)T (r) Nf1 (r, Hj ) + Ng1 (r, Hj ) n j=1 q + 2n − − q q Nf1 (r, Hj ) + T (r) + o(T (r)) j=1 ✹✶ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ q − 2n − T (r) 2−q q q Nf1 (r, Hj ) Ng1 (r, Hj ) + o(T (r)) +n j=1 j=1 ❉♦ ➤ã T (r) 2−q q − 2n − q Nf1 (r, Hj ) j=1 2n + q − 2n − q Ng1 (r, Hj ) j=1 + o(T (r)) ✭✶✳✸✶✮ ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✶✳✷✻✮ ✈➭ ✭✶✳✸✶✮✱ t❛ ❝ã q q n q−n−2 Nf1 (r, Hj ) j=1 Ng1 (r, Hj ) + o(T (r)) j=1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ q q Nf1 (r, Hj )/ lim inf r−→R0 ◆Õ✉ t❛ ❧✃② q j=1 Ng1 (r, Hj ) j=1 n q−n−2 2n + t❤× q lim inf r−→R0 q Nf1 (r, Hj )/ j=1 ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ◆❤➢ ✈❐② Ng1 (r, Hj ) j=1 f = g n n+1 ✹✷ ❑Õt ❧✉❐♥ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ❜è trị rt ỉ ì tr ✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ♥➭② tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ị t❐♣ ①➳❝ ị t ỉ ì ết q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠✿ ✶✮ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠✱ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➞♥ ❜è ❣✐➳ trÞ ❝❤♦ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ỉ ì tr tr trờ ợ ụ t ❧➭ ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ✷✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ✈✃♥ ➤Ò ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ì tr tr trờ ợ ụ t s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ❝è ➤Þ♥❤ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣ q✉➳t✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tr trờ ợ s ố ị ❚r♦♥❣ t➢➡♥❣ ❧❛✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ t✐Õ♣ ❝➳❝ ❦Õt q tr tr trờ ợ s t ố ị ❞✐ ➤é♥❣✳ ✹✸ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❈❛♦ ❚✳ ❇✳ ❛♥❞ ❉❡♥❣ ❩✳ ❙✳ ✭✷✵✶✷✮✱ ❖♥ t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t s❤❛r❡ t❤r❡❡ ♦r t✇♦ ❢✐♥✐t❡ s❡ts ♦♥ ❛♥♥✉❧✐✱ Pr♦❝ ■♥❞✐❛♥ ❆❝❛❞ ❙❝✐ ✭▼❛t❤ ❙❝✐✮✱ ✶✷✷✱ ◆♦ ✷✿ ✷✵✸✲✷✷✵✳ ❬✷❪ ❈❤❡♥ ❩✳ ❨✳ ❛♥❞ ❨❛♥ ◗✳ ▼✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ❆ ♥♦t❡ ♦♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ♠❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤ 2N + ❤②♣❡r♣❧❛♥❡s✱ ❙❝✐✳ ❈❤✐♥❛ ▼❛t❤✳ ❱♦❧✳ ✺✸✱ ◆♦✳ ✶✵✱ ✷✻✺✼✲✷✻✻✸✳ ❬✸❪ ❋✉❥✐♠♦t♦ ❍✳ ✭✶✾✼✺✮✱ ❚❤❡ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ♠❛♣s ✐♥t♦ ❝♦♠♣❧❡① ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ s♣❛❝❡✱ ■✱ ◆❛❣♦②❛ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✺✽ ✶✲✷✸✳ ❬✹❪ ❑❤r②st✐②❛♥②♥ ❆✳ ❨✳ ❛♥❞ ❑♦♥❞r❛t②✉❦ ❆✳ ❆✳ ✭✷✵✵✺✮✱ ❖♥ t❤❡ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ t❤❡♦r② ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐s ■✱ ▼❛t❡♠❛t②❝❤♥✐ ❙t✉❞✐✐✱ ❱♦❧✳ ✷✸✱ ◆♦✳ ✶✱ ✶✾✲✸✵✳ ❬✺❪ ❑❤r②st✐②❛♥②♥ ❆✳ ❨✳ ❛♥❞ ❑♦♥❞r❛t②✉❦ ❆✳ ❆ ✭✷✵✵✺✮✱ ❖♥ t❤❡ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ t❤❡♦r② ❢♦r ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐ ■■✱ ▼❛t❡♠❛t②❝❤♥✐ ❙t✉❞✐✐✱ ✷✹✿ ✺✼✲✻✽✳ ❬✻❪ P❤✉♦♥❣ ❍✳ ❚✳ ❛♥❞ ▼✐♥❤ ❚✳ ❍✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝✉r✈❡s ♦♥ ❛♥♥✉❧✉s s❤❛r✐♥❣ ❆ ✉♥✐q✉❡♥❡ss t❤❡♦r❡♠ ❢♦r 2n + ❤②♣❡r♣❧❛♥❡s✱ ❱✐❡t◆❛♠ ❥♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤✳ ✹✶✱ ✶✻✼✲✶✼✾✳ ❬✼❪ P❤✉♦♥❣ ❍✳ ❚✳ ❛♥❞ ❚❤✐♥ ◆✳ ❱✳ ✭✷✶✵✺✮✱ ❖♥ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝✉r✈❡s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ❯❝r❛✐♥✐❛♥ ▼❛t❤✳ ❏♦✉r✳✱ ❱♦❧✳ ✻✼✱ ◆♦ ✳ ✵✼✱ ♣♣ ✶✵✷✼✲✶✵✹✵✳ ❬✽❪ P❤✉♦♥❣ ◆✳ ❱✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ❯♥✐q✉❡♥❡ss t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❝✉r✈❡s ♦♥ ❛♥♥✉❧✉s s❤❛r✐♥❣ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡s✱ ❚❤❛✐ ◆❣✉②❡♥ ❥♦✉r♥❛❧ ♦❢ s❝✐❡♥❡ ❛♥❞ t❡❝❤♥♦❧♦❣② ✶✶✸✱ ✸✾✲✹✺✳ ❬✾❪ ❚❛♥ ❨✳ ❛♥❞ ❩❛♥❣ ◗✳ ✭✷✵✶✺✮✱ ❖♥ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❛❧❣❡❜r♦✐❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ❆♥♥✉❧✐✱ ❚✉r❦✐s❤ ❏♦✉r✳ ♦❢ ▼❛t❤✳✱ ❱♦❧✳ ✸✾✱ ✸✾✸✲✸✶✷✳ ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNPONE PHETBOUNHEUANG TẬP DUY NHẤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN ANNULI GỐM 2N + SIÊU PHẲNG Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN... ♠ä✐ z ∈ q −1 j=1 f (Hj )✳ ◆Õ✉ 2N +3 r−→+∞ ❑❤✐ ➤ã 2N +3 Nf1 (r, Hj )/ lim inf q = 2N + ✈➭ j=1 Ng1 (r, Hj ) > j=1 N N +1 f ≡ g✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✽ ❝❤♦ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ ❣å♠ 2n + s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ë ✈Þ trÝ tỉ♥❣... q + 2n − − q q Nf1 (r, Hj ) + T (r) + o(T (r)) j=1 ✹✶ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ q − 2n − T (r) 2−q q q Nf1 (r, Hj ) Ng1 (r, Hj ) + o(T (r)) +n j=1 j=1 ❉♦ ➤ã T (r) 2−q q − 2n − q Nf1 (r, Hj ) j=1 2n +