Một số bài toán không chỉnh với dữ liệu nhiễu ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH VỚI DỮ LIỆU NHIỄU NGẪU NHIÊN LUẬN ♦ ÁN TIẾN SĨ TP Hồ Chí Minh - 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE NGUYEN DUC PHUONG SOME ILL-POSED PROBLEMS ASSOCIATE WITH RANDOM NOISE Doctoral Thesis Ho Chi Minh City - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH VỚI DỮ LIỆU NHIỄU NGẪU NHIÊN Ngành: Tốn giải tích Mã số ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS TS Mai Đức Thành Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Bích Huy NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Anh Triết TS Ơng Thanh Hải TP Hồ Chí Minh - 2023 Lời cam đoan Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Tốn giải tích, voi đề tài "Một số tốn khơng chỉnh voi liệu nhiễu ngẫu nhiên" cơng trình khoa học Tơi thực hướng dẫn TS Nguyễn Anh Triết TS Ông Thanh Hải Những kết nghiên cứu luận án hồn tồn trung thực, xác khơng trùng lắp với cơng trình cơng bố nước Tập thể cán hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS Nguyễn Anh Triết Nguyễn Đức Phưong TS Ông Thanh Hải Lời cảm ơn Trước tiên với tình cảm sâu sắc chân thành nhất, cho phép tơi bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy hướng dẫn TS Nguyễn Anh Triết TS Ông Thanh Hải Hai thầy tận tình hướng dẫn, quan tâm tơi nhiều suốt thời gian học tập Hai thầy ln động viên giúp đỡ tơi trước khó khăn việc học tập sống Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức quý báu Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô Phòng, Ban giúp đỡ quy chế học vụ Tôi xin cảm ơn sâu sắc đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, Chủ nhiệm Khoa Khoa học Cơ tạo điều kiện để tơi an tâm học tập hồn thành cơng việc nhà trường Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô đồng nghiệp động viên giúp đỡ Xin tri ân người cha tơi, người tận lực già đình Xin cảm ơn gia đình, cảm ơn vợ chỗ dựa vững cho tơi động lực lớn để tơi hồn thành chương trình học luận án tiến sĩ Xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Huy Tuấn bạn nhóm nghiên cứu chia nhiều kiến thức bổ ích, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận án Mặc dù cố gắng luận án khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo quý thầy, cô góp ý chân thành bạn bè, đồng nghiệp ii Mục lục i ii iii Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Trang thông tin luận án tiếng Việt Trang thông tin luận án tiếng Anh Danh mục ký hiệu vii ix Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Đối tuợng nghiên cứu 1.3 Phạm vi nghiên cứu 1.4 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn đề tài 2 3 Tổng quan 2.1 Tinh hình nghiên cứu 2.2 Mục tiêu nghiên cứu luận án 2.3 Nội dung nghiên cứu luận án 7 Phương pháp nghiên cứu 3.1 Phương pháp nghiên cứu 3.1.1 Các phương pháp nghiên cứu 3.1.2 Tiếp cận nghiên cứu 3.2 Cơ sở lý thuyết 3.2.1 Các hàm số 3.2.2 Phân phối chuẩn chặt cụt 3.2.3 Giải tích khơng ngun 3.2.4 Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard 3.2.5 Một số không gian hàm 3.2.6 Xấp xỉ cho hệ số Fourier 22 3.2.7 Xấp xỉ hàm giá trị cuối 3.2.8 Một số định lý quan trọng 14 14 14 14 15 15 17 18 20 20 iii V 23 24 Kết nghiên cứu 4.1 Bài tốn giá trị cuối cho phưong trình Parabolic Kirchhoff voi liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc 4.1.1 Nghiệm mild toán 4.1.2 Tính ổn định nghiệm 4.1.3 Tính chỉnh nghiệm chỉnh hóa 4.1.4 Ví dụ số 4.2 Bài toán giá trị cuối cho hệ phuong trình khuếch tán phi địa phuong với liệu đầu vào đuợc quan sát bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc 43 4.2.1 Nghiệm mild 4.2.2 Tính khơng chỉnh 4.2.3 Xấp xỉ nghiệm 4.2.4 Sự hội tụ 4.2.5 Ví dụ số 4.3 Bài toán giá trị đầu cho phưong trình sóng phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên voi liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc 4.3.1 Tính khơng chỉnh tốn 4.3.2 Nghiệm chỉnh hóa hội tụ 4.3.3 Ví dụ số 4.4 Bài toán giả Parabolic Kirchhoff với liệu đầu vào đuợc quan sát bị nhiễu tuân theo qui luật Gaussian white noise 4.4.1 Nghiệm mild 4.4.2 Tính khơng chỉnh 4.4.3 Kết 4.4.4 Ví dụ số 25 25 26 28 30 39 45 47 49 56 60 66 68 72 82 85 86 88 89 98 Kết luận, kiến nghị 103 5.1 Kết luận 103 5.2 Kiến nghị 103 Tài liệu tham khảo 104 Dan h mục báo khoa học 116 iv Trang thông tin luận án Tên đề tài luận án: Một số tốn khơng chỉnh với liệu nhiễu ngẫu nhiên Ngành: Tốn giải tích Mã số Ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Đức Phương Khóa đào tạo: 2019 Người hương dẫn khoa học: TS Nguyễn Anh Triết; TS Ông Thanh Hải Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP HCM Tóm tắt nội dung luận án Luận án trình kết chỉnh hóa nghiệm tốn cụ thể sau: Bài tốn Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị cuối cho phương trình Parabolic Kirchhoff với liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Bài tốn Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi địa phương với liệu nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Bài tốn Chỉnh hóa nghiệm tốn giá trị đầu cho phương trình sóng phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên với liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Bài tốn Chỉnh hóa nghiệm toán giá trị cuối giả Parabolic Kirchhoff với liệu đầu vào quan sát bị nhiễu tuân theo qui luật Gaussian white noise Những kết luận án Luận án chứa đựng số kết cơng bố tạp chí khoa học uy tín Trong luận án này, chúng tơi đưa kết sau: • Chỉ không chỉnh, đề xuất phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier kết hợp ước lượng phi tham số chỉnh hóa nghiệm cho phương trình, hệ phương trình khuếch tán phi địa phương với liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc V • Bài tốn giá trị ban đầu cho phương trình sóng đạo hàm cấp khơng ngun oc e (1,2) liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc không chỉnh Chúng sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier ước lượng phi tham số hàm giá trị đầu vào để chỉnh hóa nghiệm Cấc đánh giá hội tụ thực khơng gian L2 HV • Bài tốn giá trị cuối cho phương trình giả Parabolic Kirchhoff với liệu đầu vào bị nhiễu ngẫu nhiên Gaussian white noise không chỉnh Bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier chúng tơi đề xuất nghiệm chỉnh hóa cho tốn đánh giá hội tụ nghiệm chỉnh hóa nghiệm mild Các kết tổng hợp từ báo công bố tạp chí: Computers and Mathematics with Applications (ISI-Q1), International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation (ISI-Q2), Mathematical Meth­ ods in the Applied Sciences (ISI-Q1), Applied Mathematics and Computation (ISI-Q2), Proceedings of the American Mathematical Society (ISI-Q1) Chaos, Solitons and Fractals (ISI-Q1) Các ứng dụng/ Khả ứng dụng thực tiễn hay vấn đề bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu Trong tương lai, mở rộng nghiên cứư theo hướng sau: • Nghiên cứu ứng dụng phương trình khuếch tán lĩnh vục kỹ thuật, đặc biệt xử lý ảnh • Nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên với đạo hàm không nguyên • Khảo sát tồn tại, tính qui hóa nghiệm cho toán giá trị biên, giá trị đầu, giá trị cuối, điều kiện phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên theo biến thời gian khơng gian • Nghiên cứu tốn ngược thời gian cho phương trình sóng đạo hàm cấp khơng nguyên theo nghĩa khác như: Conformable, Riemann - Liouville, Atangana - Baleanu, với liệu nhiễu ngẫu nhiên vi Thesis information Thesis title: Some ill-posed problems associate with discrete random noise Speciality: Mathematical Analysis Code: 9460102 Name of PhD Student: Nguyen Duc Phuong Academic year: 2019 Supervisor: Dr Nguyen Anh Triet; Dr Ong Thanh Hai At: VNUHCM - University of Science Summary The thesis presents the results of Regularized the solution of the following four specific problems: Problem Regularized the solution of the terminal value problem for the Parabolic equation Kirchhoff with discrete random noise Problem Regularized the solution of the terminal value problem for a system of nonlocal diffusion equation associate discrete random noise Problem Regularized the initial value problem for nonlinear fractional wave equation associate with discrete random noise Problem Regularized the terminal value problem for pseudo Parabolic Kirch­ hoff equation associate with Gaussian white noise Novelty of thesis Thesis contains some new results, which have been published on prestigious scientific journals The novelty of thesis can be mentioned as follows: • Showing the ill-posedness and proposing the Fourier truncation method to regularize the nonlocal diffusion equation, system of equations associate with discrete random noise vii Caputo [54-56] u(x, t) định nghĩa sau c9“m(x,ì) = , í (t - w)(1-a)^u(x,u)du 1(2 — X) Jo ỜCé)2 r(-) hàm Gamma (Định nghĩa 3.2.1) • Trong trường hợp sai số tất định ||p-/|| + ||ể-ril 1, miền liên thơng có biên trơn 30 Xét tốn tìm nghiệm u(xf í) phương trình giả Parabolic (Ting [69], Showalter Ting [70]) với số hạng Kirchhoff phi địa phương —aAí 0, > l,g€ L2(O); hàm nguồn / e C([0, t], L2(O)) Chúng ta có giả định cho số hạng Kirchhoff G( -): Kl Hàm G € C^R) G1 < G(t) < Gj, G1 G2 số dưong; K2 G(t) Lipschitz liên tục, nghĩa có L > độc lập với T1, T2 thỏa |G(ri)-G(t2)| • X = 0, p = 1, Triet cộng [73] nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho toán nguợc với liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc • Đặc biệt G(‘) = 1, X = p = 1, phuong trình nhiệt quen thuộc nghiên cứu nhiều cơng trình Crank Nicolson [74], Unsworth Duarte [75], Cheng Liu [76], Qian cộng [77], Phuong trình có nhiều ứng dụng khoa học, kỹ thuật, đặc biệt tượng vật lý tượng thấm chất lỏng đồng qua lớp đá nứt nẻ (Barenblatt cộng [78]) Khi này, số X có vai trị đặc trưng cho nứt đá, giảm giá trị X tưong ứng với tăng mức độ nứt võ đá Ngồi cịn có ứng dụng khác mơt tả truyền sóng dài phi tuyến đon hướng (Benjamin cộng [79]), Gần đây, có nhiều tác giả quan tâm đến tính chất dáng điệu tiệm cận Bài toán (2.13) với điều kiện ban đầu n(x,0) = h(x) (tiêu biểu cơng trình Cao cộng [72], Zhu cộng [80], Zheng Fang [81], Antontsev Shmarev [82]) Tuy nhiên, theo tìm hiểu chúng tơi chưa có kết liên quan đến tốn giá trị cuối toán (2.13) Trong ứng dụng, khơng có hàm giá trị cuối Thay vào chúng đề xuất nhà nghiên cứu thông qua kinh nghiệm họ tiến hành môt khảo sát để đo đạt Tuy nhiên việc quan trắc tồn sai số Sai số thiết bị đo nguồn đo Gần đây, Tuan cộng [83, 84] khảo sát toán với sai số nhiễu ngẫu nhiên rời rạc tuân theo phân phối chuẩn Kết có giới hạn chỗ liệu phải quan sát điểm cách thuộc khoảng (0,7ĩ) Để mỏ rộng kết trên, giả định sai số tn theo mơ hình Gaussian white noise r«=?(x) + eW« 12 (2.14) e gọi biên độ nhiễu W(x) trình Gaussian white noise Ta khơng có quan sát trực tiếp từ (2.14), thay vào ta quan sát gián tiếp qua (pp) + (Pp), p= (2.15) {(pp} co sỏ trực chuẩn không gian không gian L2(O); (., •) tích khơng gian L2(O); Wp := (W, (Pp) biến ngẫu nhiên độc lập phân bố xác suất Nữ(0,1) 13 Chương Phương pháp nghiên cứu Trong chương phân tích phương pháp, cách tiếp cận vấn đề nghiên cứu cho tốn trình bày luận án Cũng sở lý thuyết, lý luận tổng hợp trình bày cách hợp lý để sử dụng cho luận án 3.1 Phương pháp nghiên cứu 3.1.1 Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp tra cứu kế thừa kết quả: Chúng thu thập, phân tích, xử lý kết có nghiên cứu liên quan đến đề tài Từ chọn lọc nội dung kết có giá trị giúp định hướng xây dựng kết nghiên cứu Phương pháp phân loại tổng hợp lý thuyết: Từ kết nghiên cứu trước cơng trình liên quan đến đề tài, chúng tơi thực hệ thống hố lý thuyết đưa giả thuyết dự đoán nghiệm cho toán nghiên cứu đề tài Phát triển phương pháp việc chỉnh hóa nghiệm 3.1.2 Tiếp cận nghiên cứu Trên sở lý thuyết, lý luận biết phương pháp nghiên cứu nêu trên, luận án tiếp cận việc nghiên cứu cho vấn đề sau: Vấn đề (Tính chỉnh cho tốn) Chúng tơi thiết lập nghiệm mild cho phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng cấp nguyên/không nguyên cách sử dụng khai triển chuỗi fourier, hàm số hàm Gamma, hàm Mittag-Leffler để tìm dạng nghiệm tích phân cho tốn Sử dụng công cụ không gian Hilbert để khảo sát tính chỉnh chỉnh tốn 14 vấn đề thứ hai (Thiết lập xấp xỉ cho liệu đầu vào) Với dũ liệu quan sát rời rạc bị nhiễu, phuong pháp phi tham số thiết lập ước luợng cho liệu Vấn đề thứ ba (Thiết lập nghiệm chỉnh hóa) Bằng phưong pháp chặt cụt, chúng tơi thiết lập nghiệm chỉnh hóa Sử dụng điểm bất động Banach để chứng minh tồn nghiệm Từ đó, xây dựng nghiệm chỉnh hóa dựa việc phát triển phưong pháp chỉnh hóa Dựa vào bất đẳng thức quan trọng, chẳng hạn bất đẳng thức Gronwall đưa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác không gian phù hợp 3.2 Cơ sở lý thuyết 3.2.1 Các hàm số Hàm Gamma Hàm gamma lần giới thiệu nhà toán học Thụy Sĩ Leon hard Euler (1707 - 1783) nhằm mục đích tổng quát giai thừa số nguyên thành giai thừa số khơng ngun Về sau, tầm quan trọng mà nhà nghiên cứu Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), Carl Friedrich Gauss (1777 -1855), Christoph Gudermann (1798 -1852), Joseph Liouville (1809 -1882), Karl Weierstrass (1815 -1897), Charles Hermite (1822 -1901), quan tâm Trong năm 1729 1730 [85, 86], Euler giới thiệu hàm giải tích có thuộc tính để nội suy giai thừa đối số hàm số nguyên Trong thư ngày tháng năm 1730 cho Christian Goldbach ông đề xuất định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2.1 (Hàm Gamma) Cho X > r(x) = (3.1) Hàm số thác triển [87] miền {x|x € (—n — 1; — n),n e IN} u ]R+ Đồ thị hình 3.1 Trên khoảng (0,1), hàm Gamma nghịch biến giá trị hàm giảm từ +oo đến Trên khoảng (1,2), hàm Gamma đạt giá trị cực tiểu Xq = 1.4616 giá trị r (%o) = 0.8856 Với X > 0, tacóxr(x) = r(x +1) Thật vậy, việc lấy tích phân phần ta r(x + 1) = — í lim e-fíx + x Ị 15 = xf(x) Với n G IN*, công thức trở thành T(n) = (n — 1)! Các tính chất khác hàm Gamma tham khảo tài liệu [54, 87, 88] Hình 3.1: Đồ thị hàm Gamma nghịch đảo Hàm Mittag-Leffler Hàm Mittag-Leffler đuợc giới thiệu Mittag-Leffler năm 1903 [89], liên quan đến phuong pháp ơng để tổng qt hóa số chuỗi phân kỳ Trong thời gian đầu, nguời ta không quan nhiều đến hàm Tuy nhiên, sau nghiên cứu tích phân cấp khơng ngun, đạo hàm cấp khơng ngun phuong trình vi phân cấp khơng ngun nguời ta thấy có tồn hàm Mi ttag-Leffler dạng nghiệm Hàm Mittag-Leffler đuợc định nghĩa chuỗi lũy thừa nhu sau: Định nghĩa 3.2.2 (Hàm Mittag-Leffler tham số) Với oc > 0, hàm MittagLeffler định nghĩa oo gk Ea(z)=£)r(^+1)' Z€C’ (3’2) Trong báo năm 1903, 1905 ơng cơng bố số tính chất co hàm Mittag-Leffler [90-92] Có khái quát đon giản hàm Mittag-Leffler cổ điển thu cách thay số z/l" đối số hàm Gamma Định nghĩa 3.2 tham số thực /3 tùy ý Định nghĩa 3.2.3 (hàm Mittag-Leffler hai tham số) Với oc > 0, p e IR, hàm Mittag-Leffler định nghĩa sau oo = E yk rợcẩ+py zeC' (3’3) Hàm Mittag-Leffler đuợc định nghĩa nhu (3.3) lần đuợc giới thiệu cơng trình Wiman [93] Sau nghiên cứu nhiều tác 16 Agarwal [94], Humbert [95], Humbert Agarwal [96] Các tính chất quan trọng hàm trình bày đầy đủ sách Erdélyi cộng [97] Nhận xét 3.2.1 Với oc, ệ> đặc biệt z > 0, hàm Mittag-Leffler ỉà hàm quen thuộc sau: • = ez ♦ E24 = cosh yZ • £2,2(2) = £1,2(2) = yi sinh ỵ/z Mệnh đề 3.2.1 Cho số thực Ả > 0, < oc < Các hàm số t HẠ Eaq (—Ảt^) t Ea^—Ảt^')) khả vi liên tục với t > với at£ail(-Aía) = -ẢtK-1Ea,a(-ẢtK'), = tK~2Ea^-ẢtK) (3.4) (3.5) Chứng minh Chứng minh Tính chất tìm mục 1.2.3 Podlubny [54] mục 4.3 Gorenflo cộng [87] □ Tính chất 3.2.1 Cho số thực Ả > oc e [^1,^2] cho < ữq < &2 < Luôn tồn số thực C~, cị cho bất đẳng thức sau thỏa với t > 0: a CK exp [Ảptj < E^Ạ^Ảpt^) < exp \Ảptj, b tE^Ảpt*) < c+pUexp c tc‘~1EXra(Ảptx') < c+Ảp“ exp pp/aiY Chứng minh Xem tài liệu Tuan cộng [23], Trong cộng [98] 3.2.2 □ Phân phối chuẩn chặt cụt Đặt