Một số bài toán không chỉnh với đạo hàm bậc không nguyên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN TRẦN THỊ KHIẾU MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÔNG CHỈNH VỚI DẠO HÀM BẬC KHÔNG NGUYÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh — 2022 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE TRÂN THI KHIỀU SOME ILL-POSED PROBLEMS WITH FRACTIONAL DERIVATIVE DOCTORAL THESIS Ho Chi Minh City - 2022 ĐẠI HỌC QUÔC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN TRẦN THỊ KHIẾU MỘT SỐ BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH VỚI ĐẠO HÀM BẬC KHƠNG NGUN Ngành: Tốn giải tích Mã số ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Phản biện 2: PGS.TS Lê Xuân Trường Phản biện 3: PGS.TS Nguyền Thành Nhân Phản biện độc lập 1: miễn Phản biện độc lập 2: miễn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Hướng dẫn chính: PGS.TS Võ Hồng Hưng Hướng dẫn phụ: PGS.TS Lý Kim Hà Thành phố Hồ Chí Minh — 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Tốn giải tích, với đề tài "Một số tốn khơng chỉnh vói đạo hàm bậc khơng ngun" cơng trình khoa học Tơi thực hướng dẫn PGS.TS Võ Hoàng Hưng PGS.TS Lý Kim Hà Những kết nghiên cứu luận án hồn tồn trung thực, xác khơng trùng lắp với cơng trình cơng bố nước Nghiên cứu sinh Trần Thị Khiếu i LỜI CẢM ƠN Lời luận án, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy hướng dần khoa học mình: PGS.TS Võ Hoàng Hưng PGS.TS Lý Kim Hà Quý Thầy tận tình hướng dẫn, bảo cho tơi từ chi tiết nhỏ việc nghiên cứu Trong suốt thời gian học tập mình, q Thầy ln tạo điều kiện thuận lợi, nhiệt tình hỗ trợ giúp đỡ tơi nhiều để tơi hồn thành luận án Tơi xin chân thành cảm ơn Trường Dại học Khoa học Tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học, q Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin học giúp đỡ suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Sự tận tâm dạy quý Thầy Cô Khoa Toán - Tin học suốt thời gian đại học, đặc biệt GS Dương Minh Dức, GS Đặng Dức Trọng, TS Nguyễn Thành Long, PGS Nguyễn Huy Tuấn TS Ông Thanh Hải, tạo tảng vững để tơi có thổ tiếp tục đường học thuật Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến người thân cưa tơi tạo điều kiện tốt cho học tập Luận án q mà tơi dành tặng cho gái nhỏ Trà Thanh Mai ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIENG việt V TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIENG anh ix MỘT SỐ KÝ HIỆU, CHỮ VIET TAT xii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ xiii DANH MỤC CÁC BẢNG BIẺU XV MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUAN BỊ 1.1 Một số kiến thức Giải tích thực 1.1.1 Không gian Lp 1.1.2 Biến đổi Fourier 10 1.1.3 Hàm Gamma 11 1.1.4 Laplacian bậc không nguyên 11 1.1.5 Một vài không gian hàm xét luận án 12 1.2 Một vài bất đẳng thức sử dụng luận án 13 1.3 Định lý ánh xạ co 16 1.4 Bài toán không chỉnh 16 CHƯƠNG BÀI TỐN TUYEN tính 18 2.1 Sự khơng chỉnh 19 2.2 Phương pháp hàm lọc bậc không nguyên 22 2.3 Kết luận Chương 29 ill CHƯƠNG BÀI TOÁN PHI TUYEN VỚI HÀM NGUỒN LIPSCHITZ TOÀN cục 3.1 3.2 3.3 31 Bài tốn phi tuyến với tốn tử Laplace bậc khơng nguyên hàm nguồn Lipschitz toàn cục 31 3.1.1 Sự không chỉnh 33 3.1.2 Phương pháp hàm lọc 40 Bài tốn phi tuyến vói tốn tử dạng hỗn hợp hàm nguồn Lip­ schitz toàn cục 52 3.2.1 Sự không chỉnh 54 3.2.2 Phương pháp hàm lọc 61 Kết luận Chương 74 CHƯƠNG BÀI TOÁN PHI TUYEN VỚI HÀM NGUỒN LIPSCHITZ DỊA PHƯƠNG 76 4.1 Kỹ thuật xấp xỉ dãy hàm Lipschitz toàn cục 77 4.2 Nghiệm chỉnh hóa uớc lượng hội tụ 80 4.3 Kết luận Chương 83 CHƯƠNG CÁC TÍNH TỐN số 5.1 Các tính tốn số cho tốn tuyến tính 5.2 Các tính tốn số cho tốn phi tuyến liên kết với phương trình khuếch tán vói tốn tử Laplace bậc khơngngun 5.3 84 84 92 Các tính tốn số cho tốn phi tuyến liên kết với phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp 102 5.4 Kết luận Chương 110 KẾT LUẬN 111 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC DÃ CỊNG Bố 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO 114 iv TRANG THÔNG TIN LUÂN ÁN Tên đề tài luận án: Một số tốn khơng chỉnh với đạo hàm bậc khơng ngun Ngành: Tốn giải tích Mã số ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: Trần Thị Khiếu Khóa đào tạo: 2018 Ngưịi hướng dẫn khoa học: PGS.TS Võ Hoàng Hưng PGS.TS Lý Kim Hà Cơ sở đào tạo: Trường Dại học Khoa học Tự nhiên, DHQG.HCM TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN Trong luận án, khảo sát số tốn ngược thời gian khơng chinh liên quan đến phương trình khuếch tán với đạo hàm bậc khơng nguyên Cụ thể, luận án chia thành năm (05) chương với nội dung tóm tắt sau: Chương 1: Trình bày số kiến thức làm tảng cho việc nghiên cứu nội dung luận án trình bày các chương sau Chương 2: Trình bày kết đạt cho tốn ngược thời gian tuyến tính cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp Toán tử dạng hỗn hợp hiểu kết hợp Laplacian cổ điển Laplacian bậc không ngun Dầu tiên, chúng tơi dita ví dụ minh họa cho tính khơng chỉnh tốn Sau đó, phương pháp chỉnh hóa hàm lọc bậc khơng ngun đề xuất áp dụng vào toán Các ước lượng hội tụ dạng Logarithm dạng Holder trình bày số điều kiện tiên V nghiệm Chương 3: Trình bà.y kết đạt cho toán phi tuyến với hàm nguồn Lipschitz tồn cục Cụ thể, tốn khảo sát chương bao gồm: • Bài tốn ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với tốn tử Laplace bậc khơng ngun: • Bài tốn ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hổn hợp Hàm nguồn phi tuyến chương giả định thỏa tính chất Lipschitz tồn cục Chúng tơi chứng minh tính khơng chỉnh tốn khảo sát Song song với đó, đề xuất áp dung phương pháp hàm lọc để chỉnh hóa tốn Các ưóc lượng hội tụ dạng Holder đưa Chương 4: Trình bày kết đạt cho tốn ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với toán tử dạng hỗn hợp với hàm nguồn Lipschitz địa phương Theo đó, chứng tơi áp dụng kỹ thuật xấp xỉ dãy hàm Lipschitz toàn cục phương pháp hàm lọc để chỉnh hóa tốn thu ước lượng hội tụ Chương 5: Trình bày tính tốn số để minh họa cho kết lý thuyết đạt NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN Trong luận án, chúng tơi thu kết mơi sau: • Đối với toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình khuếch tán với tốn tử Laplacc bậc khơng ngun: Chúng tơi đưa chứng minh cho tính khơng chỉnh tốn Dồng thơi, chúng tơi chỉnh hóa toán vi cách áp dụng phương pháp hàm lọc thu ước lượng hội tụ dạng Holder • Dối vói tốn ngược thời gian cho phương trình khuếch tán với tốn tứ dạng hỗn hợp: Chúng tơi đưa chứng minh cho tính khơng chỉnh tốn trường hợp tuyến tính phi tuyến Trong trường hợp tuyến tính, chúng tơi áp dụng phương pháp hàm lọc bậc không nguyên để chỉnh hóa tốn thu ước lượng hội tụ phù hựp Trong trường hựp phi tuyến, chỉnh hóa tốn hai trường hợp hàm nguồn phi tuyến có tính chất Lipschitz tồn cục hàm nguồn có tính chất Lipschitz dịa phương • Trong tốn nghiên cứu, chúng tơi đưa ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết Các kết luận án tổng hợp từ báo công bố tạp chí ISI có uy tín Trong đó, có báo cơng bố tạp chí Journal of Computational and Applied Mathematics, báo công bố tạp chí Numerical Algorithms báo cơng bố tạp chí SIAM Journal on Numerical Analysis CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN cứu Trên sở tiếp thu kết đạt luận án, xin nêu vấn đề nghiên cứu phát triển tiếp sau: • Khảo sát tốn xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với tốn tử dạng hỗn hợp vii (a) Nghiệm xác nghiệm khơng chỉnh hóa (b) Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa Hình 5.19: Nghiệm xác, nghiệm khơng chỉnh hóa nghiệm chỉnh hóa Ví dụ 5.3.2 thời điểm t = 0.14 Bảng 5.10: = 0.4 Bảng sai số Tại í = 0.14 5.3.2 Tại t = 0.94 ỗ e(0.14) re(0.14) ÓI = 1O"1 0.0221409837 s2 0.0118204595 0.3414377986 0.1822842079 0.0004806750 0.0074125263 = 10-2 Ổ3 = 10"3 Ví dụ e(0.94) 0.0128281122 0.0024080472 0.0001292942 re(0.94) 0.4367058146 0.0819768486 0.0044015462 Trong ví dụ này, ta mơ nghiệm xác, nghiệm khơng chỉnh hóa nghiệm, chỉnh hóa t = (Hình 5.21) t = 0.8 (Hình 5.22) Ta có Bảng 5.11 tóm tắt sai số ví dụ Bảng 5.11: = 0.75 Bảng sai sồ Ví dụ 5.3.3 Tại t = ỏ 5] = 10-1 s2 = 10"2 e(0) 0.3430687327 0.2328853562