H12 c3 b3 phương trình đường thẳng

PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 HÌNH HỌC 12- – CHƯƠNG §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thời lượng dự kiến: tiết A MỤC TIÊU Kiến thức + Nắm vững khái niệm vectơ phương đường thẳng + Trình bày cách viết phương trình tham số đường thẳng + Trình bày vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng Kĩ + Biết cách viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng + Biết cách xét vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng Câu hỏi: Nhắc lại phương trình tham số đường thẳng mặt phẳng Oxy? Trả lời: Trong đó,  u  a; b   x  x0  at d : ,t  R  y  y0  bt véc tơ phương, M  x0 ; y0   d Như vậy, không gian đường thẳng có phương trình nào? Trang 1/34 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng   Cho đường thẳng  Vectơ u 0 gọi vectơ phương đường thẳng  giá song song trùng với  Chú ý:   k.u  k 0  + Nếu u vectơ phương  vectơ phương   + Nếu đường thẳng  qua hai điểm A, B AB vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng  Định lí: Cho đường thẳng  qua đủ để điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương  u  a; b; c  Điều kiện cần  x  x0  at   y  y0  bt  z z  ct M  x; y ; z  nằm  có số thực t cho  Chứng minh:  Ta có: M M  x  x0 ; y  y0 ; z  z0   x  x0 at   y  y0 bt     M    t  R , M M t.a  z  z0 ct  x x0  at   y  y0  bt  1  z  z  ct   Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng  qua  u  a; b; c  Trang 2/34 phương trình có dạng M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022  x x0  at   y  y0  bt , t  R  1  z  z  ct  Trong t tham số Chú ý: Nếu a, b, c khác người ta cịn viết phương trình đường thẳng  dạng x  x0 y  y0 z  z0   b c tắc sau: a Nhận xét: Để viết phương trình đường thẳng cần biết điểm thuộc đường thẳng véc tơ phương đường thẳng M  2;  1;3 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số đường thẳng qua điểm vectơ phương A  x   2t   y   t  z 4  3t   u  1; 2;    x 1  2t   y 2  t  z   3t B  có  x   t   y 1  2t  z   4t C  D  x 2  t   y   2t  z 3  4t  Lời giải Chọn D Phương trình tham số đường thẳng qua điểm  u  1; 2;    x 2  t   y   2t  z 3  4t  M  2;  1;3 có vectơ phương Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, phương trình tắc đường thẳng qua điểm vectơ phương  u  1; 2;   M  2;  1; 3 có x 1 y  z    1 A x y  z 4   1 B x 2 y  z 3   4 C x  y 1 z    4 D Lời giải Chọn D Phương trình tắc đường thẳng qua điểm  u  1; 2;   có vectơ phương x  y 1 z    4 Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho điểm Trang 3/34 M  2;  1;3 A  1; 2;3  P mặt phẳng   có phương trình PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 3x  y  z  0 Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng  P  có phương trình A  x 3  t   y   2t  t  R   z 7  3t  C  x 1  3t   y 2  4t  t  R   z 3  7t  B  x 1  3t   y 2  4t  t  R   z 3  7t  D  x 1  4t   y 2  3t  t  R   z 3  7t  Lời giải Chọn B   u Gọi  vectơ phương đường thẳng   thỏa mãn yêu cầu toán  P  nP  3;  4;7   Ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng :   u nP  3;  4;7    A  1; 2;3        P    A   Vì  nên phương trình tham số  Chú ý: Cho đường thẳng  x 1  3t   y 2  4t  t  R   z 3  7t   x  x0  at  d :  y  y0  bt , t  R  z  z  ct  M  d tồn số t cho M  x0  at; y0  bt ; z0  ct   x 2  t  d :  y 1  t  t  R   z   2t A 4;3;   Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho điểm  Tìm tọa độ điểm M  d cho AM 5 biết hoành độ điểm M số nguyên A M  4;  1;3 B M  0;3;   C M  2;1;  1 D khơng có M Lời giải Chọn A M  d  M   t ;1  t;   2t  , t  Z 2 MA 5   t     t     2t    t 25  6t  28t  32 0     t 2  t 2  M  4;  1; 3 II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU: Trang 4/34 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Cho đường thẳng  u1  a1 ; b1 ; c1   x  x1  a1t  d :  y  y1  b1t  z z  c t 1  đường thẳng qua điểm M  x1 ; y1 ; z1  có véc tơ phương , có véc tơ phương  u2  a2 ; b2 ; c2  Điều kiện để hai đường thẳng song song:   u1 k u2 d / /d '    M  d '   u1 k u2 d d '    M  d Đặc biệt: Ví dụ Chứng minh hai đường thẳng sau song song:  x 1  t  d :  y 2t  z 3  t   x 2  2t '  d ' :  y 3  4t '  z 5  2t '  Lời giải d qua điểm M  1; 0;3 , có véc tơ phương d ' có véc tơ phương  u1  1; 2;  1  u2  2; 4;   1  u1  u2   M  d ' Vì nên d / / d ' Ví dụ Chứng minh hai đường thẳng sau trùng nhau:  x 3  t  x 2  3t '   d :  y 4  t d ' :  y 5  3t '  z 5  2t  z 3  6t '   Lời giải d qua điểm M  3; 4;5  , có véc tơ phương d ' có véc tơ phương  u1   1;1;    u2   3;3;   1  u1  u2   M  d ' Vì nên d d ' Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng d d ' cắt hệ phương trình ẩn t t ' sau có nghiệm Trang 5/34 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022  x1  a1t  x2  a2t '   y1  b1t  y2  b2t '  I   z  c t z  c t ' 2  1 Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm /  t ; t  Để tìm giao điểm M 0 d d ' ta thay t0 vào / phương trình tham số d t0 vào phương trình tham số d ' Ví dụ Tìm giao điểm hai đường thẳng sau:  x 1  t  d :  y 2  3t  z 3  t   x 2  2t '  d ' :  y   t '  z 1  3t '  Lời giải Xét hệ phương trình   t 2  2t '  1  2  3t   t '     t 1  3t '  3    t 2  2t ' t     t ' 1 Từ (1) (2) ta có hệ 2  3t   t ' Thay vào (3) ta thấy thỏa mãn t   Vậy hệ phương trình có nghiệm  t ' 1 M  0;  1;  Thay t  phương trình d suy d d ' cắt Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau: Cho đường thẳng  u1  a1 ; b1 ; c1   x  x1  a1t  d :  y  y1  b1t  z z  c t 1  đường thẳng qua điểm M  x1 ; y1 ; z1   x  x2  a2t '  d ' :  y  y2  b2t '  z z  c t ' 2  Chú ý: , có véc tơ phương có véc tơ phương    u2  a2 ; b2 ; c2  Hai đường thẳng d d ' chéo u1 u2 khơng phương hệ phương trình  x1  a1t  x2  a2t '   y1  b1t  y2  b2t '  z  c t z  c t ' 2  1 Ví dụ Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau: Trang 6/34 vô nghiệm PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022  x 1  2t  d :  y   3t  z 5  t  Ta có:  x 1  3t '  d ' :  y   2t '  z   2t '    u1  2;3;1 u1  3; 2;2  , Lời giải     u1 k u2 nên u1 u2 không phương Xét hệ phương trình:   2t 1  3t '     3t   2t '   t   2t '  Từ hai phương trình đầu ta được: t  , t '  5 , thay vào phương trình cuối khơng thỏa mãn Ta suy hệ phương trình vơ nghiệm Vậy hai đường thẳng d d ' chéo Củng cố học: Bài học hôm em cần nhớ nội dung sau Phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng Các vị trí tương đối hai đường thẳng Sơ đồ tư duy:   u u d qua điểm M , có véc tơ phương , d’ có véc tơ phương M  d '  d d ' Xét M d ' M  d '  d / /d '   u u Xét nghiệm  d cắt d ' Xét hệ  x1  a1t  x2  a2t '   y1  b1t  y2  b2t '  z  c t z  c t ' 2  1 vô nghiệm  d , d ' chéo B LUYỆN TẬP I BÀI TẬP SGK Bài trang 89 – SGK: Viết phương trình tham số đường thẳng (d) trường hợp sau:  M(5, 4;1) a a) (d) qua điểm có vectơ phương (2;  3;1) b) (d) qua điểm A(2;  1;3) vng góc với mặt phẳng ( ) : x  y  z  0 Trang 7/34 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 c) (d) qua điểm B (2;0;  3) song song với đường thẳng  x 1  2t   :  y   3t  z 4t  d) (d) qua hai điểm P(1; 2;3) Q(5;4;4) Lời giải  x 5  2t  (d) :  y 4  3t  z 1  t  a) Phương trình tham số  b) (d) vng góc với mặt phẳng ( ) nên (d) nhận vectơ pháp tuyến n (1;1;  1) mặt phẳng ( ) làm vectơ phương, phương trình tham số  x 2  t  (d) :  y   t  z 3  t   a c) Đường thẳng  có vectơ phương (2;3; 4)  a  (d) // nên (d) nhận (2;3; 4) làm vectơ phương  x 2  2t   y 3t z   4t (d) qua B(2;0;  3) nên có phương trình tham số:   P,Q d) Đường thẳng (d) qua hai điểm nên nhận vectơ PQ làm vectơ phương  Ta có: PQ (4; 2;1)  x 1  4t  (d) :  y 2  2t   z 3  t  (d) qua P(1;2;3) nhận PQ làm vectơ phương nên có phương trình Bài trang 90 – SGK: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d' cho phương trình sau:  x   2t  x 5  t    d :  y   3t d :  y   4t  z 6  4t  z 20  t   a) b)  x 1  t  d :  y 2  t z 3  t   x 1  2t   d :  y   2t   z 2  2t   Lời giải  a d a) Đường thẳng có vectơ phương (2;3; 4)   a d' có vectơ phương (1;  4;1)      a a 4 ' không phương Ta xét hệ:   2t 5  t     3t   4t  6  4t 20  t '   Hệ cho ta nghiệm t 3, t  Vậy d d' cắt Trang 8/34 2t  t  8   3t  4t 1   4t  t 14 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN - NĂM 2021-2022  a b) Ta có: d có vectơ phương (1;1;  1)  d' có vectơ phương a' (2; 2;  2)       a ' 2a  a ; a ' phương d qua điểm M(1; 2;3) Nếu M  d ' hệ phương trình 1  2t  1     2t 2 2  2t  3  phải có nghiệm Dễ thấy phương trình vơ nghiệm Vậy M  d M  d  Suy d / /d  Bài trang 90 – SGK: Tìm số giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng ( ) trường hợp sau:  x 12  4t  d :  y 9  3t ( ) : 3x  5y  z  0 z 1  t a)   x 1  t  d :  y 2  t  z 1  2t  b) ( ) : x  3y  z  0  x 1  t  d :  y 1  2t  z 2  3t  c) ( ) : x  y  z  0 Lời giải  M(12;9;1) a a) Đường thẳng d qua điểm có vectơ phương (4;3;1)  Mặt phẳng  có vectơ pháp tuyến n (3;5;  1) Ta xét điều kiện:   n a 4.3  3.5  1.( 1) 26 0 Vậy d mặt phẳng  cắt điểm M Để tìm tọa độ giao điểm M ta biểu thức x, y, z theo t vào phương trình  được: 3(12  4t )  5(9  3t )  (1  t )  0  26t  78 0  t  Thế giá trị t  vào phương trình tham số d , ta tìm tọa độ giao điểm M:  x 12  4( 3)   y 9  3( 3)   z 1  ( 3)   x 0   y 0  M (0; 0;  2)  z   ( ) có điểm chung  M(1; 2;1) a b) Đường thẳng d qua có vectơ phương (1;  1; 2)  Mặt phẳng  có vectơ pháp tuyến n (1;3;1)  d Ta xét hai điều kiện:   n a 1.1  ( 1)  1.2 0 Thế tọa độ điểm M vào phương trình  : Trang 9/34 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 1.1  3.2  1.1  9 0  M  ( ) d / /   Suy Chú y : giải theo cách sau: Thế biểu thức x, y, z theo t phương trình tham số d vào phương trình tổng  quát ( ) , ta có: (1  t )  3(2  t )  (1  2t ) 1 0  0.t  0 Phương trình vơ nghiệm, suy d / /( ) ( ) khơng có điểm chung  M(1;1; 2) a d c) Đường thẳng qua có vectơ phương (1;2;  3)  (  ) n Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến (1;1;1)  d Ta xét hai điều kiện:   n a 1.1  1.2  1.( 3) 0 Thế tọa độ điểm M vào phương trình ( ) :1    0 Suy tọa độ M thỏa mãn phương trình ( ) hay M thuộc ( ) Suy đường thẳng d thuộc mặt phẳng ( )  d ( ) có vơ số điểm chung Chú ý: Có thể giải theo cách sau: Thế biểu thức x, y, z theo t phương trình tham số d vào phương trình ( ) : (1  t )  (1  2t )  (2  3t )  0  0.t  0 Phương trình có vơ số nghiệm, chứng tỏ d ( ) cắt vô số điểm hay d  ( )  x   2t   :  y   3t  z   2t  Bài trang 90 – SGK: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng ( ) : x  y  z  0 Lời giải Thế biểu thức x, y, z theo t phương trình tham số  vào phương trình mp( ) , ta có: 2(  2t )  2(  3t )  (  2t )  0  0t 2 Phương trình vơ nghiệm Vậy d / / ( ) Đường thẳng  / /( ) nên khoảng cách  ( ) khoảng cách từ điểm thuộc  đến mp( ) Ta có điểm M(  3;  1;  1) thuộc  nên: | (  3)  2(  1)   | d( , ( )) d(M, ( ))   2  ( 2)  12 Trang 10/34 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Vậy, phương trình tham số đường thẳng OH là:  x 6t   y 4t  z 3t  Dạng 3: Phương trình đường thẳng qua điểm, thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 18: d A 1; 2;  3 [Mức độ 1] Phương trình tham số đường thẳng   qua hai điểm  B  3;  1;1 A  x 1  t   y   2t  z   3t  B  x 1  3t   y   t  z   t  C Lời giải  x   2t   y   3t  z 3  4t  D  x   2t   y 5  3t  z   4t  Chọn D  d Ta có: AB  2;  3;  vectơ phương đường thẳng   Loại đáp án A , B  x   2t   y 5  3t  z   4t Thế tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d :  1   2t   5  3t     4t  t 1  A  d Ta có:   x   2t   y 5  3t  z   4t d Vậy phương trình tham số đường thẳng    Câu 19: [Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x y2 z   1  x 1  t  d :  y 1  2t  z   t  A 1; 2;  Đường thẳng  qua điểm  , vng góc với d1 cắt d có phương trình x y z   3 5 A  x y z   5 C x y z   B x y z   3 5 D Lời giải Chọn D  x 1  t  M  d :  y 1  2t  z   t  M   t ;  2t ;   t   Vectơ phương d1 Trang 20/34  u  2;  1; 1  ; AM   t ; 2t  1;   t 