Định lí điểm bất động kiểu meir keeler trong không gian tựa metric và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNCHANH PHENGTHONEXAY ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU MEIR– KEELER TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2022 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUNCHANH PHENGTHONEXAY ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU MEIR– KEELER TRONG KHÔNG GIAN TỰA METRIC VÀ ÁP DỤNG Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2022 Lời cam đoan Tôi cam đoan thực việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận văn qua phần mềm Turnitin cách trung thực đạt kết mức độ tương đồng % Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm cứng nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tơi hồn toàn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 14 tháng năm 2022 Người viết luận văn Bounchanh PHENGTHONEXAY i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên suốt trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 14 tháng năm 2022 Người viết luận văn Bounchanh PHENGTHONEXAY ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục Mở đầu Chương Định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian metric 1.1 Định lí điểm bất động Meir- Keeler khơng gian metric 1.2 Định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian metric Chương Định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian tựa metric áp dụng 13 2.1 Không gian tựa metric 13 2.2 Định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian tựa metric 15 2.3 Áp dụng 22 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Mở đầu Năm 1922, Banach chứng minh kết tiếng ngày gọi Nguyên lý điểm bất động ánh xạ co Banach Kết trung tâm lý thuyết điểm bất động metric, lý thuyết có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực Tốn học khác khoa học định lượng kinh tế học Bởi tầm quan trọng nên thu hút nhiều nhà toán học nước nghiên cứu Năm 1969, Meir Keeler [1] đưa điều kiện co yếu điều kiện co Banach đảm bảo tồn tính điểm bất động không gian metric đầy đủ Kết coi mở rộng quan trọng Nguyên lý co Banach gọi định lí điểm bất động Meir – Keeler Năm 2013, B Sameta, C Vetrob, H Yazidi [3] thiết lập định lý điểm bất động kiểu Meir– Keeler không gian metric đầy đủ Năm 1930, Wilson [6] lần đầu giới thiệu không gian tựa metric mở rộng không gian metric mà khoảng cách không gian không thỏa mãn điều kiện đối xứng Sau nhiều người thiết lập định lí điểm bất động khơng gian Năm 2021, M Rachid, Z D Mitrovíc, V Parvaneh Z Bagheri [4] chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Meir- Keeler B Sameta, C Vetrob, H Yazidi [3] không không gian tựa metric tác giả chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co kiểu MeirKeeler chứa tham số song hàm khơng gian tựa metric Ngồi ra, số ứng dụng vào phương trình tích- vi phân khơng gian Musielak–Orlicz thiết lập cơng trình Mục đích luận văn trình bày kết cơng trình Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn trình bày định lí điểm bất động Meir- Keeler không gian metric, định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler khơng gian metric Chương trình bày định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian tựa metric số ứng dụng vào phương trình tích- vi phân khơng gian Musielak–Orlicz Chương Định lí điểm bất động kiểu MeirKeeler không gian metric Trong chương này, chúng tơi trình bày định lí điểm bất động Meir- Keeler định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian metric đầy đủ Các kết chương chúng tơi trích từ tài liệu [1] [3] 1.1 Định lí điểm bất động Meir- Keeler không gian metric Năm 1962, Edelstein chứng minh định lý sau Định lý 1.1.1 Giả sử (X, d) không gian metric compact ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau d(T x, T y) < d(x, y), với x, y ∈ X, x 6= y Khi T có điểm bất động x∗ ∈ X Chứng minh Xét hàm số f : X → R xác định f (x) = d(x, T x) với x ∈ X Khi f liên tục X Vì X compact nên f đạt giá trị nhỏ X , tức tồn x ¯ ∈ X cho f (¯ x) = d(¯ x, T x¯) ≤ f (x) = d(x, T x) với x ∈ X Ta chứng minh T x ¯ = x¯ Thật vậy, giả sử T x¯ 6= x¯ Khi theo giả thiết ta có f (T x¯) = d(T x¯, T x¯) < d(¯ x, T x¯) = f (¯ x) Điều mâu thuẫn với f (¯ x) ≤ f (x) với x ∈ X Vậy T x¯ = x¯ Do x¯ điểm bất động T Tính điểm bất động ánh xạ T hiển nhiên Định nghĩa 1.1.2 Ánh xạ T : X → X gọi co Meir–Keeler với  ≥ 0, tồn δ > cho [ ≤ d(θ, ϑ) <  + δ ] =⇒ d(T θ, T ϑ) <  Định lý 1.1.3 Giả sử (X, d) không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X → X co Meir–Keeler Khi T có điểm bất động a ∈ X thỏa mãn a = lim T n θ0 với θ0 ∈ X n→∞ Chứng minh Từ giả thiết T co Meir–Keeler, với θ 6= ϑ ta có d(T θ, T ϑ) < d(θ, ϑ) (1.1) Với θ0 ∈ X cố định, xét dãy {θn } xác định θn = T θn−1 với n ≥ Nếu tồn p ≥ cho θp = θp+1 θp điểm bất động T Giả sử θn 6= θn+1 với n ≥ Với n ≥ 1, ta đặt dn := d(θn , θn+1 ) Bởi (1.1), ta có dn := d(T θn−1 , T θn ) < d(θn−1 , θn ) = dn−1 với n ≥ Vậy dãy {dn }n đơn điệu giảm số thực dương Do tồn  ≥ cho limn→∞ dn =  Nếu  > limn→∞ dn−1 =  nên tồn δ > N ≥ cho <  ≤ dN −1 <  + δ Từ T co Meir–Keeler, ta có dN = d(θN , θN +1 ) = d(T θN −1 , T θN ) <  Điều mâu thuẫn với dãy {dn }n đơn điệu giảm hội tụ  Từ suy limn→∞ dn = Ta chứng minh dãy {θn } dãy Cauchy Thật vậy, giả sử ngược lại Khi tồn  > cho lim supm,n→∞ d(θm , θn ) > 2 Bởi giả thiết nên tồn δ > cho với θ, ϑ ∈ X : [ ≤ d(θ, ϑ) <  + δ ] =⇒ d(T θ, T ϑ) <  (1.2) Với  > 0, điều kiện (1.2) thỏa mãn với δ thay δ0 := min{δ , } Vì limn→∞ dn = nên tồn số N cho dN < δ0 Với m > n > N ta có d(θm , θn ) > 2 Với j ∈ [n, m], ta có δ0 |d(θn , θj ) − d(θn , θj+1 )| ≤ dj < Vì d(θn , θn+1 ) <  d(θn , θm ) >  + δ0 nên tồn j ∈ [n, m] cho 2δ0 + < d(θn , θj ) <  + δ0 Mặt khác, với n j , ta có (1.3) d(θn , θj ) ≤ d(θn , θn+1 ) + d(θn+1 , θj+1 ) + d(θj+1 , θj ) Từ suy δ0 δ0 2δ +  +  =  +  3 Điều mâu thuẫn với (1.3) Vậy {θn } dãy Cauchy X Vì (X, d) d(θn , θj ) ≤ dn +  + dj < không gian metric đầy đủ nên tồn a ∈ X cho limn→∞ θn = a Từ (1.1) ta có d(T a, a) ≤ d(T a, T θn ) + d(T θn , a) ≤ d(a, θn ) + d(θn+1 , a) Cho n → ∞ ta thu d(T a, a) = Từ suy a = T a Vậy a điểm bất động T Giả sử b điểm bất động khác T Từ (1.1) ta d(a, b) = d(T a, T b) < d(a, b) Điều mâu thuẫn Vậy a điểm bất động T Định lí chứng minh 1.2 Định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian metric Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ T : X → X gọi co kiểu Meir–Keeler với  > 0, tồn δ > cho [2 ≤ N (θ, ϑ) < 2 + δ ] =⇒ d(T θ, T ϑ) < , θ) N (θ, ϑ) = d(ϑ, T ϑ) 1+d(θ,T 1+d(θ,ϑ) + d(θ, ϑ) Nếu θ > z d(θ, ϑ) = ϑ − θ, d(θ, z) = α(θ − z), d(z, ϑ) = ϑ − z Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(θ, z) + d(z, ϑ) Nếu θ ≤ z z ≤ ϑ d(θ, ϑ) = ϑ − θ, d(θ, z) = z − θ, d(z, ϑ) = ϑ − z Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(θ, z) + d(z, ϑ) Nếu θ ≤ z z > ϑ d(θ, ϑ) = ϑ − θ, d(θ, z) = z − θ, d(z, ϑ) = α(ϑ − z) Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(θ, z) + d(z, ϑ) Trường hợp ϑ < θ Nếu θ ≤ z d(θ, ϑ) = α(θ − ϑ), d(θ, z) = z − θ, d(z, ϑ) = α(z − ϑ) Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(θ, z) + d(z, ϑ) Nếu θ > z z ≤ ϑ d(θ, ϑ) = α(θ − ϑ), d(θ, z) = α(z − θ), d(z, ϑ) = ϑ − z Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(θ, z) + d(z, ϑ) Nếu θ > z z > ϑ d(θ, ϑ) = α(θ − ϑ), d(θ, z) = α(z − θ), d(z, ϑ) = α(ϑ − z) Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(θ, z) + d(z, ϑ) Vậy (X, d) không gian tựa metric Định nghĩa 2.1.3 Cho (X, d) không gian tựa metric, {θn }n∈N dãy phần tử X Ta nói (i) dãy {θn }n∈N hội tụ đến θ ∈ X lim d(θn , θ) = lim d(θ, θn ) = 0; n→∞ n→∞ Ta kí hiệu lim θn = θ θn → θ n → ∞ n→∞ (ii) dãy {θn }n∈N Cauchy trái với  > 0, tồn số nguyên dương N () cho d(θn , θm ) <  với n ≥ m > N (); 14 (iii) dãy {θn }n∈N Cauchy phải với  > 0, tồn số nguyên dương N () cho d(θn , θm ) <  với m ≥ n > N (); (iv) dãy {θn }n∈N Cauchy với  > 0, tồn số nguyên dương N () cho d(θn , θm ) <  với n, m > N () Định nghĩa 2.1.4 Cho (X, d) không gian tựa metric Ta nói (i) (X, d) đầy đủ trái dãy Cauchy trái X hội tụ; (ii) (X, d) đầy đủ phải dãy Cauchy phải X hội tụ; (iii) (X, d) đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 2.2 Định lí điểm bất động kiểu Meir- Keeler không gian tựa metric Mệnh đề 2.2.1 Định lí 1.1.3, Định lí 1.2.2 Định lí 1.2.6 không không gian tựa metric Chứng minh Xét ánh xạ T : [2, 3] → [2, 3] d : [2, 3] × [2, 3] → R+ T θ = θ + với θ ∈ [2, 3]  d(θ, ϑ) =  nθ = E ln(3) ln−1
nθ , θ θ < ϑ, (2.1) |θ − ϑ|, trường hợp lại,
 6T θ + với θ ∈ [2, 3) E(.) hàm phần 5θ nguyên Ta chứng minh khẳng định sau: A1 ) T θ > θ với θ ∈ [2, 3) A2 ) Ánh xạ θ 7→ nθ đơn điệu không giảm, tức θ ≤ ϑ nθ ≤ nϑ A3 ) Với θ ∈ [2, 3] dãy {θm } ([2, 3], d), ta ln có A3,1 ) limm→∞ d(θ, θm ) = kéo theo θm ≤ θ với m đủ lớn A3,2 ) limm→∞ d(θm , θ) = limm→∞ d(θ, θm ) = kéo theo θm = θ với m đủ lớn A4 ) ([2, 3], d) không gian tựa metric đầy đủ A5 ) T ánh xạ liên tục 15 A6 ) Với  > 0, tồn δ > cho với θ, ϑ ∈ [2, 3], ta ln có  ≤ d(θ, ϑ) <  + δ =⇒ d(T θ, T ϑ) < , 2 ≤ d(ϑ, T ϑ) + d(θ, T θ) + d(θ, ϑ) < 2 + δ =⇒ d(T θ, T ϑ) < , + d(θ, ϑ) 3 ≤ d(ϑ, T ϑ) + d(θ, T θ) d(θ, T θ)d(ϑ, T ϑ) + + d(θ, ϑ) < 3 + δ + d(θ, ϑ) d(θ, ϑ) =⇒ d(T θ, T ϑ) <  A7 ) Dãy lặp Picard {T n θ} không hội tụ với θ ∈ [2, 3) Thật vậy: Với A1 ), ta có T θ − θ = − 23 θ + > với θ ∈ [2, 3) Với A2 ), ta có Tθ θ − Tϑ ϑ = ϑ−θ θϑ > với θ < ϑ Từ suy Tθ θ ≥ với θ ∈ [2, 3] Do 6T θ
6T ϑ
< ln−1 5θ 5ϑ Từ suy nθ < nϑ , tức ánh xạ θ 7→ nθ đơn điệu không giảm
n Với A3 ), ý 1θ θ 6= với θ ∈ [2, 3] Bởi định nghĩa d ta suy ln−1 limm→∞ d(θ, θm ) = kéo theo θm ≤ θ với m đủ lớn Ta chứng minh khẳng định A3,2 ) Giả sử tồn dãy {θmk }k ⊆ {θm }m cho θmk 6= θ với k Từ A3,1 ) ta suy d(θmk , θ) >
nθmk θmk >
ln ln−1 56 +1 với k đủ lớn Điều mâu thuẫn với limm→∞ d(θ, θm ) = Vậy khẳng định A3 ) chứng minh Với A4 ), ta có Với θ, ϑ ∈ [2, 3] cho d(θ, ϑ) = d(ϑ, θ) = Bởi định nghĩa d ta suy θ = ϑ Với θ, ϑ, z ∈ [2, 3], ta xét trường hợp sau: Nếu ϑ ≤ min{θ, z} d(θ, ϑ) = |θ − ϑ| d(z, ϑ) = |z − ϑ| Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(ϑ, z) + d(z, ϑ) Nếu θ ≤ min{ϑ, z} d(θ, ϑ) = d(θ, z) = d(ϑ, z) + d(z, ϑ) 16
nθ θ Từ suy d(θ, ϑ) ≤ Nếu z < ϑ < θ d(θ, ϑ) = |θ − ϑ| d(θ, z) = |θ − z| Từ suy d(θ, ϑ) ≤ d(ϑ, z) + d(z, ϑ)
nθ θ Nếu z < θ < ϑ d(θ, ϑ) = d(z, ϑ) = Sử dụng A2 ) ta có
nz
nθ > z θ Vậy d(θ, ϑ) ≤ d(ϑ, z) + d(z, ϑ) Nếu θ, ϑ, z khơng phân biệt d(θ, ϑ) ≤ d(ϑ, z) + d(z, ϑ) Giả sử {θn }n dãy Cauchy không gian tựa metric ([2, 3], d), tức lim d(θn , θm ) = n,m→∞ Chọn  > thỏa mãn <
ln ln−1 65 +1 Khi tồn số N0 cho d(θn , θm ) <  với n, m > N0 Với n > m > N0 , khơng tính tổng qt ta giả sử θn < θm Khi d(θn , θm ) =
nθ
ln ln−1 65 +1 > θ Điều mâu thuẫn Vậy θn = θm với n, m > N0 Vậy dãy {θn }n hội tụ ([2, 3], d) ([2, 3], d) khơng gian tựa metric đầy đủ Với A5 ), cho dãy {θn }n [2, 3] hội tụ tới θ∗ ∈ [2, 3], tức lim d(θn , θ∗ ) = lim d(θ∗ , θn ) = n→∞ n→∞ Bởi A3,2 ) ta suy lim d(T θn , T θ∗ ) = lim |T θn − T θ∗ | = n→∞ n→∞ Với A6 ), với θ, ϑ ∈ [2, 3] ta đặt F1 (θ, ϑ) = d(θ, ϑ) + d(θ, T θ) + d(θ, ϑ) + d(θ, ϑ) + d(θ, T θ) d(θ, T θ)d(ϑ, T ϑ) F3 (θ, ϑ) = d(ϑ, ϑ) + + d(θ, ϑ) + d(θ, ϑ) d(θ, ϑ) F2 (θ, ϑ) = d(ϑ, ϑ) 17 Cho θ < ϑ [2, 3], ta có Fi (θ, ϑ) ≥
nθ
nT θ d(T θ, T ϑ) = , θ Tθ (2.2) với i = 1, 2, Bằng việc sử dụng A2 ) A3 ), ta có

nθ nθ 6T θ

nθ < ln 1θ
nT θ ln < nθ ln < ln 5θ 5θ 6T θ Tθ Điều (2.2) ta suy Fi (θ, ϑ) > 3d(T θ, T ϑ) với θ ∈ [2, 3] i = 1, 2, Với θ, ϑ ∈ [2, 3], θ > ϑ, ta có F2 (θ, ϑ) > d(θ, ϑ), F3 (θ, ϑ) > d(θ, ϑ) d(T θ, T ϑ) = d(θ, ϑ) Từ suy với i ∈ {1, 2, 3}, với  > 0, tồn δ > cho i ≤ Fi (θ, ϑ) < i + δ =⇒ d(T θ, T ϑ) <  Vậy A6 ) thỏa mãn Với A7 ), cho θ ∈ [2, 3], ta có T m θ 6= T n θ với n 6= m Sử dụng A3,2 ), dãy Picard {T n θ}n không hội tụ với θ ∈ [2, 3] Bằng việc sử dụng điều kiện A4 ), A5 ), A6 ) A7 ) ta khẳng định Định lí 1.1.3, Định lí 1.2.2 Định lí 1.2.6 khơng khơng gian tựa metric ([2, 3], d) Cho (X, d) không gian tựa metric Xét ánh xạ M : X × X → [0, +∞) xác định + d(θ, T θ) d(θ, T θ)d(ϑ, T ϑ) +β + d(θ, ϑ) d(θ, ϑ) )d(θ, ϑ) d(θ, ϑ) 6= 0, + γφ2 (d(θ, ϑ), d(ϑ, θ) M (θ, ϑ) = αd(ϑ, ϑ) (2.3) M (θ, ϑ) = d(θ, ϑ) = 0, (α, β, γ) ∈ R2 × (0, +∞) thỏa mãn điều kiện α + β + γ ≤ φ : R+ × R+ → [0, 1] cho (P ) tồn 0 > thỏa mãn φ(t, s) ≤ min{t, s} với t ≤ 0 Định nghĩa 2.2.2 Ánh xạ T : X → X gọi co φ- kiểu Meir–Keeler với  ≥ 0, tồn δ > cho  [ ≤ M (θ, ϑ) <  + δ] =⇒ d(T θ, T ϑ) < ,  > 0, d(T θ, T ϑ) = 0,  = 18 Định lý 2.2.3 Giả sử (X, d) không gian tựa metric đầy đủ ánh xạ T : X → X co φ- kiểu Meir–Keeler Khi T có điểm bất động a ∈ X thỏa mãn a = lim T n θ0 với θ0 ∈ X n→∞ Chứng minh Với θ0 ∈ X cố định, xét dãy {θn } xác định θn = T θn−1 với n ≥ Với n ≥ 1, ta đặt dn := d(θn , θn+1 ) dn := d(θn+1 , θn ) Vì T co φ- kiểu Meir–Keeler nên ta có  d(T θ, T ϑ) < M (θ, ϑ), M (θ, ϑ) 6= 0, d(T θ, T ϑ) = 0, M (θ, ϑ) = (2.4) Ta xét ba trường hợp sau: Trường hợp Tồn n ≥ cho dn = Từ tính chất hàm φ ta có M (θn , θn+1 ) = M (θn+1 , θn ) = Từ suy dn+1 = dn+1 = Điều kéo theo θn+1 điểm bất động T Trường hợp Tồn n ≥ cho dn = Từ tính chất hàm φ ta có M (θn , θn+1 ) = (α + β)dn+1 Do dn+1 = Điều kéo theo θn+2 điểm bất động T Trường hợp dn dn > với n ≥ Từ suy M (θn , θn+1 ).M (θn+1 , θn ) > với n ≥ Điều kéo theo dn+1 < M (θn , θn+1 ) = (α + β)dn+1 + γφ2 (dn , )dn với n ≥ dn (2.5) Bởi φ(t, s) ∈ [0, 1] với t, s ≥ nên < dn+1 < M (θn , θn+1 ) < dn với n ≥ (2.6) Điều chứng tỏ dãy {dn } đơn điệu giảm số thực dương Do tồn c ≥ cho lim dn = lim M (θn , θn+1 ) = c dn > M (θn , θn+1 ) > c với n ≥ n→∞ n→∞ 19 (2.7) Nếu c > từ (2.7) T co φ- kiểu Meir–Keeler, ta suy dn+1 < c với n đủ lớn Điều mâu thuẫn với (2.7) Vậy lim dn = lim M (θn , θn+1 ) = n→∞ (2.8) n→∞ Mặt khác, từ dn dn > với n ≥ định nghĩa M , với n ≥ ta có M (θn+1 , θn ) = αdn + dn+1 dn+1 dn n + β + γφ (d , )d n + dn dn dn (2.9) Với  > tùy ý, từ (2.8) ta chọn n ≥ cho  dn < min{0 , , } với n ≥ n α Giả sử tồn n > n cho dn+1 >  Bởi (2.9) tính chất (P ) nên dn+1 dn n + dn+1 + β + γφ (d , )d n + dn dn+1 dn dn+1 ≤ [(1 + dn+1 )α + max{1, n+1 }β]dn d n + γ(min{dn , n }) d d ≤ [(1 + dn+1 )α + β]dn + γ(dn n )dn d = [α + β + γ]dn + α.dn+1 dn M (θn+1 , θn ) = αdn ≤  (2.10) Từ suy dn+1 ≤  Điều mâu thuẫn với dn+1 >  Vậy dn+1 ≤  với n > n Từ suy lim dn = lim dn = n→∞ (2.11) n→∞ Điều kéo theo, tồn số n1 cho √ max{dn , dn } < min{ , 0 } với n ≥ n1 Với n ≥ n1 , từ (2.5) (P) ta suy dn+1 < M (θn , θn+1 ) = (α + β)dn+1 + γφ2 (dn , ≤ (α + β)dn+1 + γ ≤ γ − (α + β) dn dn 20 )dn dn Do dn+i ≤ ( γ − (α + β) )i dn với i ≥ (2.12) Điều kéo theo p−1 X d(θn , θn+p ) ≤ dn ( = dn i=0 p−1 X ( i=0 γ − (α + β) )i γ )i ( )i − (α + β) ∞ X ≤ dn ( )n n=0 = 2dn → n → ∞ Từ suy limn→∞ d(θn , θn+p ) = với p ≥ Vậy dãy {θn } Cauchy phải Mặt khác, ta có dn+1 < α
dn+1 + dn+1 n + β + γd d dn với n ≥ n1 n + dn dn+1 Bởi {dn } dãy đơn điệu giảm nên
dn+1 ≤ max{dn+1 , (1 + dn+1 )α + β + γdn dn dn }

≤ max{dn+1 , α + β + γ + dn+1 dn } ≤ (1 + dn+1 )dn ≤ 2dn Do với n ≥ n1 p > ta co d(θn+p , θn ) ≤ p−1 X n+i d ≤2 i=0 p−1 X dn+i−1 i=0 Sử dụng (2.12) ta thu d(θn+p , θn ) ≤ 2dn−1 + p−1 X i=1 ( γ − (α + β) )i−1 dn ≤ 2dn−1 + 4dn → n → ∞ 21 Từ suy limn→∞ d(θn+p , θn ) = với p ≥ Vậy dãy {θn } Cauchy trái Do dãy {θn } Cauchy (X, d) Vì (X, d) không gian tựa metric đầy đủ nên tồn a ∈ X cho limn→∞ θn = a Từ (2.4) ta có d(T a, a) ≤ d(T a, T θn ) + d(T θn , a) ≤ M (a, θn ) + d(T θn , a) d(a, T a) + d(a, T a) dn + β dn =α + d(a, θn ) d(a, θn ) + γφ2 (d(θn , a), )d(a, θn ) + d(θn+1 , a) d(a, θn ) Cho n → ∞ ta thu d(T a, a) = Từ suy a = T a Vậy a điểm bất động T Giả sử b điểm bất động T , tức b = T b Nếu d(a, b) 6= từ (2.4) ta d(a, b) = d(T a, T b) < M (a, b) d(a, T a)d(b, T b) + d(a, T a) +β + d(a, b) d(a, b) )d(a, b) + γφ2 (d(b, a), d(a, b) + d(a, T a) d(a, T a)d(b, T b) ≤ αd(b, T b) +β + γd(a, b) + d(a, b) d(a, b) ≤ d(a, b) = αd(b, T b) Điều mâu thuẫn Vậy d(a, b) = Chứng minh tương tự ta thu d(b, a) = Từ suy a = b Định lí chứng minh 2.3 Áp dụng Gọi Ω tập không rỗng, mở R Một hàm M : Ω × [0, ∞) → [0, ∞) gọi ϕ- hàm, viết M ∈ ϕ, • M (θ, ) hàm không tăng lồi với θ ∈ Ω; • M (., 0) = 0; • M (., s) > với s > 0; • M (θ, s) → ∞ s → ∞ với θ ∈ Ω; • M (., s) hàm đo với s > 22 Với M ∈ ϕ, ta định nghĩa không gian Musielak- Orlicz LM (Ω) sau Z |u(θ)| )dθ < ∞ với λ > 0} LM (Ω) := {u : Ω → R : u đo M (θ, λ Ω với chuẩn Luxemburg xác định kukLM (Ω) = kukM = inf{λ > : Z M (θ, |u(θ)| )dθ ≤ 1} λ Hơn nữa, LM (Ω) không gian Banach với chuẩn Luxemburg (xem [2]) Xét phương trình vi tích phân đây:  ∂ R1 u(t) + u(t) = g(t, s, u(s))ds; ∂t ∂ ∂t u(0) = u(0) = (2.13) Định lý 2.3.1 Giả sử g : [0, 1] × [0, 1] × LM (Ω) → LM (Ω) thỏa mãn điều kiện sau: (A1) tồn α > cho Z |g(ξ, s, u(s)) − g(ξ, s, v(s))|ds ≤ α|u(ξ) − v(ξ)|3 với ξ ∈ [0, 1] (A2) tồn β > cho Z |g(ξ, s, u(s))|ds ≤ β|u(ξ)|3 với ξ ∈ [0, 1] (A3) supθ∈[0,1] M (θ, 1) < max{α, β} ≤ Khi phương trình vi tích phân (2.13) có nghiệm u ∈ C([0, 1]) thỏa mãn sup u(t) ≤ t∈[0,1] Chứng minh Từ phương trình ∂ u(t) + u(t) = ∂t Z ∂ t (e u(t)) = et ∂t Z g(t, s, u(s))ds ta suy g(t, s, u(s))ds 23 Sử dụng điều kiện biên ta thu Z t Z t e u(t) = (eξ g(t, s, u(s))ds)dξ Từ ta thu t Z ξ−t u(t) = Z (e g(t, s, u(s))ds)dξ (2.14) Xét ánh xạ T p : C([0, 1]) → C([0, 1]), d : C([0, 1]) × C([0, 1]) → R F : C([0, 1]) → C([0, 1]) xác định Z p T (u)(t) = t f p (t)dt, Z F (u)(t) = t ξ−t Z (e g(ξ, s, u(s))ds)dξ,  d(f, g) = kT (f − g)kM + kT (g)kM , f 6= g, 0, f = g (2.15) Ta kí hiệu E := {u ∈ C([0, 1]) : sup u(t) ≤ 1} t∈[0,1] Bởi (A2) (A3), ta có F ánh xạ từ E vào Chú ý với u ∈ E , T (u) ∈ E kukM < 21 Từ suy d(u, v) < với u, v ∈ E (2.16) Với u, v ∈ E , ta có kT (F (u) − F (v))kM  = inf λ > : R
R1 R1 t ξ−t dt ≤ M t, e ( (g(ξ, s, u(s)) − g(ξ, s, v(s)))ds dξ λ  ≤ inf λ > :

3
R R1 R1 t ξ−t M t, e ( |g(ξ, s, u(s)) − g(ξ, s, v(s))| ds dξ dt ≤ 

3
R λ1 Rt R1 ≤ inf λ > : M t, λ α eξ−t ( |u(ξ) − v(ξ)|3 dξ dt ≤ 
3
R1 Rt ≤ inf λ > : M t, λ1 |u(ξ) − v(ξ)|3 dξ dt ≤ Bởi M không giảm |u(ξ) − v(ξ)| < với ξ ∈ [0, 1], nên 3   Z Z |u(ξ) − v(ξ)|3 dξ)dt kT (F (u) − F (v))kM inf λ > : M (t, λ1 24